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1 Chapitre 4 Statistiques COTEUS CAPACITÉS ATTEDUES COMMETAIRES Statistique descriptive, analyse de données Caractéristiques de dispersion : variance, écart-type. Diagramme en boîte. Utiliser de façon appropriée les deux couples usuels qui permettent de résumer une série statistique : (moyenne, écarttype) et (médiane, écart interquartile). Étudier une série statistique ou mener une comparaison pertinente de deux séries statistiques à l aide d un logiciel ou d une calculatrice. On utilise la calculatrice ou un logiciel pour déterminer la variance et l écart-type d une série statistique. Des travaux réalisés à l aide d un logiciel permettent de faire observer des exemples d effets de structure lors du calcul de moyennes. 1

2 2 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes

3 Table des matières 4 Statistiques 1 I - Diagramme en boite (ou boite à moustache) II - Variance et écart type III - Résumé d une série statistique Dans ce chapitre, on considère des séries à caractères quantitatifs discrètes ou continues (avec dans le cas d une série continue l hypothèse d une répartition uniforme à l intérieur de chaque classe). otation p est un entier supérieur ou égal à 1 ; x 1, x 2,..., x p sont les valeurs ou les centres des classes; n 1, n 2,..., n p sont les effectifs des valeurs x 1, x 2,..., x p ; f 1, f 2,..., f p sont les fréquences des valeurs x 1, x 2,..., x p ; est l effectif total : = n 1 +n n p = n i. Donc f i = n i i = 1,2,...,p et f i = 1. I - Diagramme en boite (ou boite à moustache) On considère une série ordonnée par ordre croissant : x 1 x 2... x p. Méthode pour calculer les quartiles Cas d un caractère quantitatif discret Le premier quartile Q 1 est la valeur x i du caractère dont l indice i est le plus petit entier supérieur ou égal à n 4. Le troisième quartile Q 3 est la valeur x i du caractère dont l indice i est le plus petit entier supérieur ou égal à 3n 4. Cas d un caractère quantitatif continu Le premier quartile Q 1 est l abscisse du point de la courbe des fréquences cumulées croissantes d ordonnée 0,25 et le troisième quartiles Q 3 est l abscisse du point de la courbe des fréquences cumulées d ordonnée 0,75. Remarques : Une série admet trois quartiles : le deuxième quartile Q 2 n est pas utilisé; Attention les calculatrices donnent pour Q 1 la valeur médiane de la sous série constituée des valeurs de la série comprises entre la valeur minimale et la valeur médiane; dans ce cas Q 1 n est pas nécessairement une valeur de la série ce qui est contradictoire avec la définition ci-dessus. Pour retrouver les mêmes résultats que ceux du cours (lorsqu ils sont différents), il faut prendre la plus grande valeur de la série inférieure au quartile trouvé par la calculatrice. On peut définir de manière analogue les déciles d une série : on utilisera en générale seulement le premier décile D 1 et la neuvième décile D 9. Un diagramme en boite est un rectangle delimité par Q 1 et Q 3 : 3

4 Q 1 Me Q 3 min max Q 3 Q 1 e On peut également faire apparaître le premier et le neuvième décile de la série, ainsi que les valeurs extrêmes qui sont en dehors de l intervalle interdécile. Q 1 Me Q 3 D 1 D 9 min max Exemple 1 Exercice 22 du livre (avec utilisation de la calculatrice). II - Variance et écart type Définition 1 La variance d une série statistique est notée V et a pour valeur : V = n 1(x 1 x) 2 +n 2 (x 2 x) n p (x p x) 2 n 1 +n n p On note s = V l écart type de la série. = 1 n i (x i x) 2 (moyenne des carrés des écarts). Théorème 1 La variance peut aussi se calculer des deux manières suivantes : (1) V = f i (x i x) 2. (2) V = 1 n i x 2 i x 2. Démonstration (1) V = 1 n i (x i x) 2 = (2) V = 1 V = 1 n i (x i x) 2 = 1 n i (x i x) 2 = f i (x i x) 2 ; n i (x 2 i 2x i x+x 2 ) = 1 n i x 2 i 2x 2 +x 2 = 1 n i x 2 i x 2. n i x 2 i 2x 1 n i x i } {{ } x +x 2 1 n i }{{}. Remarque : Dans la pratique, on utilise la formule (2) pour calculer la variance. 4 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes

5 Exemple 2 Une équipe de football dresse le bilan de sa dernière saison : ombre de buts marqués par match ombre de matchs Le nombre moyen de buts marqués par match est : x = = = 1,4. La variance est : V = 1 ( ) ( ) = = , Donc, l écart-type est s = 4225 = 1, Théorème 2 (1) La moyenne x est la valeur qui minimise la fonction de dispersion des carrés des écarts, notée d, définie par : d(x) = n i (x i x) 2. (2) La médiane Me est la valeur qui minimise la fonction de dispersion des écarts absolus, notée f et définie par f(x) = n i x i x oà x 1 < x 2 <... < x p. Remarque : L écart type, contrairement à la variance, possède la même unité que les valeurs de la série, il permet de mesurer la dispersion de la série autour de la moyenne. III - Résumé d une série statistique Résumer une série, c est indiquer la répartition des données en utilisant différents indicateurs. Deux questions peuvent alors être posées : Autour de quelle valeur centrale les données sont-elles réparties? Quelle est l importance de la dispersion des données autour de cette valeur centrale? On utilise habituellement un paramètre de position indiquant un tendance centrale et un paramètre de dispersion. Ainsi pour résumer une série, on peut déterminer puis, interpréter suivant l étude désirée, l un des couples définis dans le tableau ci-dessous : Paramètre de tendance centrale Paramètre de dispersion Propriété médiane : Me écart interquartile : Q 3 Q 1 peu sensible aux valeurs extrêmes moyenne : x écart-type : s sensible aux valeurs extrêmes 5 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes

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