Produit scalaire. Sommaire CHAPITRE. Partie A (s3) 2

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1 CHAPITRE Produit scalaire Sommaire Partie A (s Rappels de première Produit scalaire par normes et angle. Produit scalaire par projection orthogonale. Expression analytique du produit scalaire Lien produit scalaire-trigonométrie Vers la linéarisation Formules d addition. Formules de duplication 5. Linéarisation 5

2 Ch. Produit scalaire T ale STID Partie A (s Le produit scalaire apparaît assez tard dans l histoire des mathématiques. On en trouve trace chez Hamilton en lorsqu il crée le corps des quaternions. Peano le définit associé à un calcul d aire ou de déterminant. Marcolongo et Burali-Forti le définissent à l aide du cosinus d un angle et lui donnent le nom de produit intérieur ou produit scalaire. C est un outil puissant de simplification d expressions trigonométriques dont les applications sont très nombreuses. En particulier, elle est utilisée en astronomie et en navigation avec notamment la technique de triangulation (technique utilisée par les scientifiques français Méchain et Delambre à la fin du xviii e siècle afin de définir le mètre. On a retrouve également en sciences physiques, élécticité, économie, sciences naturelles, médecine.... Rappels de première. Produit scalaire par normes et angle Définition. Si u ou/et v est nul, u. v Soit u et v deux vecteurs non nuls du plan. Le produit scalaire de u et v est le nombre réel défini par : u. v u v cos( u, v Exemple On considère les vecteurs u et v suivants dans un repère orthonormé. Déterminons u. v : v u u v + ( u, v 5 u. v cos. /5 Lycée Georges Brassens

3 Ch. Produit scalaire T ale STID. Produit scalaire par projection orthogonale Proriété. Soient deux points A et B, et H le projeté orthogonal de B sur (OA, alors : OA. { OA OH si OA et OH sont de même sens OB OA OH si OA et OH sont de sens contraire OA et OH sont de même sens Exemple On reprend l exemple précédent On pose u OA et v OB u. v OA OH H A. O B. Expression analytique du produit scalaire On se place dans un repère orthonormé du plan (O; ı ; j Définition 5. ( ( Soient x u et x v y y deux vecteurs du plan, le produit scalaire de u et de v le réel défini par : u. v xx + yy Exemple 6 On considère toujours les vecteurs u et v suivants : v u le vecteur ( u a pour coordonnées : u ; le vecteur ( v a pour coordonnées : v ; leur produit scalaire vaut : u. v +. /5 Lycée Georges Brassens

4 Ch. Produit scalaire T ale STID Lien produit scalaire-trigonométrie Soit ( C, le cercle ( trigonométrique de centre O muni d un repère (O; ı ; j cos a cos b A et B sont deux points de ce cercle. sin a sin b On cherche un lien entre cos(a b et le cosinus et le sinus de a et de b. un cercle trigonométrique a pour rayon, donc OA OB sin a sin b A a b a b cos a B cos b On a d une part : OB. OA OB OA cos( OB; OA OB. OA cos(a b Et d autre part : OB. OA x OB x OA + y OB y OA OB. OA cos b cos a + sin b sin a D où : cos(a b cos a cos b + sin a sin b Vers la linéarisation. Formules d addition x cos x est paire x ( sin x est impaire cos x sin x Grâce au produit scalaire et aux propriétés des sinus et cosinus, on obtient finalement les formules d addition suivantes : Proriété 7. cos(a b cos a cos b + sin a sin b ; sin(a b sin a cos b cos a sin b ; cos(a + b cos a cos b sin a sin b sin(a + b sin a cos b + cos a sin b cos( b cos b et sin( b sin b sin(a + b sin a cos a+cos a sin a Un exemple de démonstration : cos(a + b cos(a ( b cos a cos( b + sin a sin( b cos a cos b sin a sin b Exemple En remarquant que 7 + ( 7, on peut calculer la valeur exacte de sin : ( 7 sin sin + ( sin cos + cos sin + ( + /5 Lycée Georges Brassens

5 Ch. Produit scalaire T ale STID. Formules de duplication En choisissant b a, on obtient les formules de duplication : Proriété 9. sin(a sin a cos a cos(a cos a sin a cos a sin a cos a + sin a Un exemple de démonstration : cos(a cos(a + a cos a cos a sin a sin a cos a sin a cos a ( cos a cos a cos(a cos a Exemple En remarquant que, calculons la valeur exacte de cos : ( cos cos cos cos cos cos + + cos. Linéarisation Linéariser une fonction trigonométrique, c est la transformer en une combinaison linéaire de cos(kx et sin(kx, k avec k un nombre réel. Lorsque la fonction est du second degré, on utilise les formules de linéarisation suivantes : Proriété. cos a cos a + et sin a cos a wxmaxima : trigreduce (*(sin(*x ; Exemple La linéarisation de sin cos( x (x est D où, sin (x ( cos 6x. 5/5 Lycée Georges Brassens