Objectifs. Circuits Logiques. Les nombres en binaire. Les nombres en binaire ( ) Connaître et comprendre. Être capable de
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- Marin Dumas
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1 Objectifs Circuits Logiques ELE1300 Représentation des nombres et opérations JP David Connaître et comprendre La représentation d un nombre dans une base quelconque et en particulier dans les formats binaires. Être capable de Convertir un nombre d une base à une autre Réaliser des opérations sur les nombres Addition soustraction multiplication division 2 Les nombres en binaire Les nombres en binaire ( ) Forme générale d un nombre : (système de numération pondérée) [ an 1 an 2 a1 a0, a 1 a 2 a m ] ( b ) [ an 1 an 2 a1 a0, a 1 a 2 a m ] ( b ) b b b b b b b n 1 n m partie entière n chiffres partie fractionnaire m chiffres base Valeur : a b + a b + + a b + a n 1 n 2 n 1 n a b + a b + + a b m m 3 4
2 Quelques bases usitées Quelques bases usitées (suite) SYSTÈME BASE CHIFFRES { } BINAIRE 2 ai 0,1 OCTAL 8 ai { 0,1,2,3,4,5,6,7} DÉCIMAL 10 ai { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} HEXADÉCIMAL 16 a { 0,1,2,3, 4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F } Exemples : i ,101( ) = 1( ) 10( ) + 0( ) 10( ) + 1( ) 10( ) + 1( ) 10( ) + 1( ) 10( ) + 0( ) 10( ) + 1( ) ( 2) ,36( ) 4( ) 10( ) 5( ) 10( ) 3( ) 10 = + + ( ) + 6( ) ( 8) ,6( 10) = 2( 10) 10( 10) + 4( 10) 10( 10) + 3( 10) 10( 10) + 6( 10) 10 ( 10) A, 4( 16) = 1( 16) 10( 16) + 2( 16) 10( 16) + A( 16) 10( 16) + 4( 16) 10 ( 16) BINAIRE OCTAL DÉCIMAL HEXADÉCIMAL A B C D E F Compter en base Combien y a-t-il d autos? (voir cours 1 ) Une base est un paquet Compter en base 10, cela signifie qu on va faire des paquets de 10 objets : 7 8
3 49 = 4 paquets de La base 2 Il y a 4 paquets + 9 autos, soit 49 autos 11 mars 2015 Circuits logiques - JP David Compter en base 2, cela signifie qu on va faire des paquets de 2 objets : 9 La base 2 (suite) 11 mars 2015 Circuits logiques - JP David 10 La base 2 (suite) Compter en base 2, cela signifie qu on va faire des paquets de 2 objets : Paquet de 2 Compter en base 2, cela signifie qu on va 2 paquets de 2 faire des paquets de 2 objets : autos 11 mars 2015 Circuits logiques - JP David mars 2015 Circuits logiques - JP David 12
4 La base 2 (suite) Compter en base 2, cela signifie qu on va faire des paquets de 2 objets : Paquet de 4 autos La base 2 (suite) Compter en base 2, cela signifie qu on va faire des paquets de 2 objets : La base 2 (suite) La base 2 (suite) Paquet de 8 autos 15 16
5 La base 2 (suite) La base 2 (suite) Paquet de 16 autos La base 2 (suite) Paquet de 32 autos La base 2 (suite) = 2 x = 2 x = 2 x
6 Les nombres en binaire ( ) Convertion entre les bases Compter en base 10, cela signifie qu on va faire des paquets de 10 objets ou des paquets de 10 paquets 51 = 5 x = 1 x (10x10) + 6 x = 1 x (10x10x10) + 9 x (10x10) + 6 x Compter en base 2, cela signifie qu on va faire des paquets de 2 objets ou des paquets de 2 paquets 51 = 1 x (2x2x2x2x2) + 1 x (2x2x2x2) + 1 x = 1 x (2 7 =128) + 1 x (2 5 =32) + 1 x = 1 x (2 10 =1024) + 1 x (2 9 =512) + (1 x 2 8 =256) + 1 x (2 7 =128) + 1 x (2 5 =32) + 1 x (2 3 =8) + 1 x (2 2 =4) Conversion d une base quelconque en base décimale : MÉTHODE POLYNOMIALE DIRECTE Développer le polynôme et faire le calcul Exemples : binaire en décimal (2) = = 8+2+1=11 en base (2) = = =25 en base (2) =? (10) (2) =? (10) 1000,001 (2) =? (10) 011,111 (2) =? (10) Conversion entre les bases ( ) Conversion d une base quelconque en base décimale : MÉTHODE POLYNOMIALE ITÉRATIVE Pour la partie entière (E) E = a b + + a b + a b + a b n n E = ((((0 + a ) b + a ) b + + a ) b + a ) b + a n 1 n Conversion entre les bases ( ) Conversion d une base quelconque en base décimale : MÉTHODE POLYNOMIALE ITÉRATIVE Pour la partie fractionnaire (F) F = a b + a b + a b + + a b m m F = ((((0 + a ) b + a ) b + + a ) b + a ) b m ( m 1) (2) = (((1) 2+0) 2+1) 2+1 = 11 (10) (2) = ((((1) 2+1) 2+0) 2+0) 2+1 =25 (10) (2) = ((((1) ½+1) ½+0) ½+1) ½ = (10) (2) = (((((1) 2+1) 2+1) 2+0) 2+1) ½ = (10) 23 24
7 Conversion entre les bases ( ) Conversion d une base décimale en base quelconque : MÉTHODE ITÉRATIVE PAR DIVISION Le calcul se fait différemment pour la partie entière et la partie fractionnaire : [ an 1 an 2 a1 a0, a 1 a 2 a m ] ( b ) Conversion entre les bases ( ) Conversion d une base décimale en base quelconque : MÉTHODE ITÉRATIVE PAR DIVISION Pour la partie entière (E) Partie entière : E = a b + + a b + a b + a b n n E n a0 a0 = an reste b b + + a b + a b + = Q + = Q a b b 0 partie entière n chiffres partie fractionnaire m chiffres base Q1 n 3 0 a1 a1 = an reste b b + + a b + = Q + = Q a b b 1 Q2 n 4 0 a2 a2 = an reste b b + + a b + = Q + = Q a b b 2 (le processus est appliqué jusqu à a n-1 ) Conversion entre les bases ( ) Conversion entre les bases ( ) Exemple : 57 (10) =? (2) 57 2 = 28 reste = 14 reste = 7 reste = 3 reste = 1 reste = 0 reste 1 Exemple : 637 (10) =? (2) = 318 reste = 159 reste = 79 reste = 39 reste = 19 reste = 9 reste = 4 reste = 2 reste = 1 reste = 0 reste 1 Conversion d une base décimale en base quelconque : MÉTHODE ITÉRATIVE PAR DIVISION Pour la partie fractionnaire (F) Partie fractionnaire : F = a b + a b + a b + + a b m m bf = a b + a b + a b + + a b m m Partie entière Partie fractionnaire F 1 bf = a b + a b + a b + + a b m m d où 57 (10) = (2) d où 637 (10) = (2) Partie entière Partie fractionnaire F 2 (le processus est appliqué jusqu à a -m ) 27 28
8 Conversion entre les bases ( ) Exemple : 0,6875 (10) =? (2) 0, = 1,375 partie entière = 1 0,375 2 = 0,75 partie entière = 0 0,75 2 = 1,5 partie entière = 1 0,5 2 = 1,0 partie entière = 1 d où 0,6875 (10) = 0,1011 (2) Exemple : 0,8125 (10) =? (2) 0, = 1,625 partie entière = 1 0,625 2 = 1,25 partie entière = 1 0,25 2 = 0,5 partie entière = 0 0,5 2 = 1,0 partie entière = 1 d où 0,8125 (10) = 0,1101 (2) Conversion entre les bases ( ) La répétition existe aussi en binaire : MÉTHODE ITÉRATIVE PAR DIVISION Exemple : 22/7 = 21/7 + 1/7 = 3+1/7 =? (2) RÉPÉTITION d où 22/7 = 11, (2) 1/7 2 = 2/7 0,2857 partie entière = 0 2/7 2 = 4/7 0,5714 partie entière = 0 4/7 2 = 8/7 1,1428 partie entière = 1 1/7 2 = 2/7 0,2857 partie entière = Et les nombres négatifs? Un ordinateur représente l information en 0 et en 1 (des bits). Pour représenter le signe moins ( - ), on a pas d autre choix que d utiliser un bit supplémentaire REPRÉSENTATION EN COMPLÉMENT À 2 Supposons que l on utilise 8 bits (n=8). On a 2 n =256 valeurs binaires (de 0 à 255). Pour réserver un bit de signe, on choisit PAR CONVENTION de répartir les valeurs possibles en deux groupes, 128 nombres positifs (0 à 127) et 128 nombres négatifs (-128 à -1). Remarque : 0 est considéré comme un positif Pour représenter les nombres négatifs on écrit: N sera 256 N -3 sera = 253 = (2) -128 sera = 128 = (2) Et les nombres négatifs? REPRÉSENTATION EN COMPLÉMENT À 2 Reprenons l écriture en binaire. Nous disposons de 8 bits (256 valeurs) partagés en 128 valeurs positives (0 à 127) et 128 valeurs négatives (-128 à -1). Les valeurs positives sont :
9 Et les nombres négatifs? Et les nombres négatifs? REPRÉSENTATION EN COMPLÉMENT À 2 REPRÉSENTATION EN COMPLÉMENT À 2 Les valeurs négatives sont : Conclusions: Le bit le plus significatif (le plus à gauche, noté MSB) est un bit de signe Si le MSB vaut 0, le nombre est positif (sa valeur est la valeur binaire directe) Exemples: Si le MSB vaut 1, le nombre est négatif (sa valeur est la valeur binaire 2 n ) Exemples: ( = -1) ( = -50) ( = -100) ( = -127) Et les nombres négatifs? Et les nombres négatifs? REPRÉSENTATION EN COMPLÉMENT À 2 CALCUL DU COMPLÉMENT À 2 D UN NOMBRE Comme le bit de poids fort est toujours vrai pour un nombre négatif, en 8 bits, la valeur représentée est, valeur binaire sur 7 bits 256, soit : valeur binaire sur 7 bits 128 Tout se passe comme si la valeur du premier bit (a n-1 ) devait être comptée en négatif (-2 (n-1) = -128) plutôt qu en positif En généralisant à n bits, on peut donc trouver la valeur d un nombre binaire signé comme suit, en notant le signe MOINS devant la première puissance de 2: Pour trouver la valeur négative d un nombre de manière simple, on inverse les bits (complément à 1) et on ajoute 1: Exemples: 001 : INVERSE (+1) : : INVERSE (+1) : : INVERSE (+1) : -100 [ n 1 n 2 1 0, 1 2 m ] ( b ) N = a a a a a a a 127 : INVERSE (+1) : -127 N = a a 2 + a 2 + a + a 2 + a 2 + a a 2 n m n m 35 36
10 Et les nombres négatifs? CALCUL DU COMPLÉMENT (À 2) D UN NOMBRE Le chemin inverse est juste aussi, on inverse les bits (complément à 1) et on ajoute 1: Et les nombres négatifs? CALCUL EN REPRÉSENTATION EN COMPLÉMENT À 2 Le complément à 2 est cyclique: Exemple (4 bits allant de -8 à +7) : Exemples: -001 : INVERSE (+1) : : INVERSE (+1) : : INVERSE (+1) : : INVERSE (+1) : Et les nombres négatifs? Et les nombres négatifs? REPRÉSENTATION EN COMPLÉMENT À 2 Il est possible de choisir n importe quel nombre de bits. Pour n bit: N sera N pour N>=0 N sera 2 n N pour N<0 Exemples: Source xkcd n (2) =? (10) 1011 (2) =? (10) 0101 (2) =? (10) (2) =? (10) (2) =? (10) (2) =? (10) (2) =? (10) (2) =? (10) (2) =? (10) 39 40
11 Et les nombres négatifs? REPRÉSENTATION EN COMPLÉMENT À 2 Pour n+m bit, qu est-ce que ça donne avec la partie en virgule fixe? Exemples: [ n 1 n 2 1 0, 1 2 m ] ( 2 ) N = a a a a a a a N sera N pour N>=0 N sera 2 n N pour N<0 L addition binaire : ,01 (2) =? (10) 10,11 (2) =? (10) 01,01 (2) =? (10) 11,100 (2) =? (10) 11,001 (2) =? (10) 00,111 (2) =? (10) Arithmétique signée Lorsqu on additionne ou que l on soustrait des nombres représentés en complément à 2, on choisit d abord un nombre de bits (n,m) qui sera le même pour les opérandes ET pour le résultat. Si nécessaire, on utilise l extension de signe pour les opérandes (voir plus loin). Arithmétique signée ADDITION ( ) Quel impact cela a-t-il sur le résultat? Finalement, on réalise les opérations comme si on était en arithmétique positive mais on ignore le bit de retenue ( 54) + ( 15) ( 69) 43 44
12 Arithmétique signée SOUSTRACTION N 1 N 2 = N 1 + ( N 2 ) Arithmétique signée LE DÉBORDEMENT Quel impact cela a-t-il sur le résultat? ( 54) ( 15) Quel est le problème? ( 39) Un peu d arithmétique ( ) LE DÉBORDEMENT ( ) En complément à 2 avec 4 bits, il n y a pas de représentation de +8!!! Lorsque le résultat de l opération n est pas représentable, on parle de DÉBORDEMENT de l opération +/-. Un peu d arithmétique ( ) LE DÉBORDEMENT ( ) Le débordement survient uniquement quand on additionne deux nombres positifs ou deux nombres négatifs. Le débordement peut être facilement détecté, il survient lorsque les deux dernières retenues sont différentes ( 4) + ( 5)
13 Un peu d arithmétique ( ) LE DÉBORDEMENT ( ) Pour éviter le débordement, il faut choisir un nombre bits plus grand. On procède alors à l extension signée des opérandes : Pour les nombres positifs, on met un ou plusieurs 0 devant Pour les nombres négatifs, on met un ou plusieurs 1 devant Un peu d arithmétique ( ) LE DÉCALAGE Chaque décalage à droite correspond à une division par deux : , , , , , , , , , , , , , Un peu d arithmétique ( ) Un peu d arithmétique ( ) LE DÉCALAGE Chaque décalage à gauche correspond à une multiplication par deux : LA MULTIPLICATION Un exemple simple (entiers positifs non signés): 1 0, , , , , , , , , , , , ,
14 Un peu d arithmétique ( ) LA MULTIPLICATION ( ) Quelques exemples Un peu d arithmétique ( ) LA DIVISION Un exemple simple (entiers positifs non signés): = = donne reste 0 13 donne reste = = Un peu d arithmétique ( ) LA DIVISION Quelques exemples Virgule fixe La représentation en virgule fixe signifie que l on fixe le nombre de bits de la partie fractionnaire Ex : 5 bits d entier + 3 bits après la virgule Pour les additions soustractions Aucun changement Pour les multiplications/divisions Ajuster la virgule et tronquer/arrondir 55 56
15 Exemples en virgule fixe L additionneur En virgule fixe = 1/8 ( ) (2) (2) = (2) ( (2) (2) ) = (2) ( (2) ) = (2) x = (1/8) x 75 x (1/8) x 167 = (1/8) 2 x 75 x (2) X (2) = (0.001 (2) x (2) ) x (0.001 (2) (2) ) = (2) x ( (2) (2) ) = (2) ( (2) ) = (2) (virgule fixe 10.6) Ce qui donnerait en format 5.3 : (2), on aurait donc un débordement Addition de deux bits (demi-additionneur binaire) A B S R A B A et B : cumulande et cumulateur S : somme R : retenue S = A B R = AB S R L additionneur L additionneur + rn 1 r3 r2 r1 a a a a a n b b b b b n Addition de deux nombres binaires : Additionneur binaire complet r a b s r + i i i i i 1 a i b i r i a n-1 b n-1 r s s s s s n r n-1 r 3 n a 2 b 2 r n s n-1 Additionneur binaire s 2 s 1 11 mars 2015 complet Circuits logiques - JP David a 1 b 1 r 2 r 1 a 0 b 0 s 0 r 0 = s = r a b + r a b + r a b + r a b i i i i i i i i i i i i i a i b i r i r = r a + + r b + a b i 1 i i i i i i 60
16 L additionneur L additionneur si = ri ai bi + ri ai bi + ri aibi + ri ai bi ( ) ( ) = r a b + a b + r a b + a b i i i i i i i i i i ( ) ( ) ( ) = r a b + r a b = r a b i i i i i i i i i a i b i si = ri ( ai bi ) r i r = r a + + r b + a b i 1 i i i i i i ( ) ou = r a b + a b + a b i i i i i i i ( ) = r a b + a b i i i i i r a b + r a b + a b i i i i i i i i a i b i r i ( ) r = r a + b + a b i 1 i i i i i Inconvénient : Délai de propagation des retenues L additionneur L additionneur Circuit d anticipation des retenues («Carry Lookahead Network») Circuit d anticipation des retenues pour un additionneur à 4 bits (avec r 0 = 0) r 1 r = i 1 ri p + i gi où p = i a i bi (ou bien a + + i bi ) et g = i aibi g 0 p 1 g 1 r 2 r1 = r0 p0 + g0 ( ) r = r p + g = r p + g p + g = r p p + g p + g ( ) r = r p + g = r p p + g p + g p + g = r p p p + g p p + g p + g p 2 g 2 p 3 g 3 r 3 r = r p p p p + g p p p + g p p + g p p + n n n n n 1 + g p p p + g p p + g p + g n 4 n 3 n 2 n 1 n 3 n 2 n 1 n 2 n 1 n 1 r
17 L additionneur Additionneur à 4 bits (avec r 0 = 0) a 0 a 1 a 2 a 3 b b 0 b 1 2 b 3 s 0 s 1 Le soustracteur Arithmétique binaire : application du complément à deux Réalisation de la soustraction b n-1 [ a a a a a ] [ b b b b b ] n 1 n n 1 n b 2 b 1 b 0 s 2 a n-1 a 2 a 1 a 0 s 3 r n-1 r 3 r 2 r 1 r 0 = 1 g 0 p 1 g 1 p 2 g 2 p 3 g 3 Circuit d anticipation des retenues r 1 r 2 r 3 r 4 r 4 r n s n-1 s 2 s 1 s L additionneur/soustracteur Unité arithmétique binaire avec commande de l opération 0, addition c = 1, soustraction Le comparateur a n-1 a 2 a 1 a 0 b n-1 b 2 b 1 b 0 b n-1 b 2 b 1 b 0 s E a n-1 a 2 a 1 a 0 COMPARATEUR s G r n-1 r 3 r 2 r 1 s P r 0 r n s n-1 d s 2 s 1 s 0 [ an 1an 2 a2a1 a0 ] [ bn 1bn 2 b2 b1 b0 ] [ ] [ ] [ a a a a a ] < [ b b b b b ] 100 si = se sg sp = 010 si an an a a a > bn bn b b b 001 si n 1 n n 1 n détection de débordement 67 68
18 Le comparateur Comparateur : réalisation avec des comparateurs à un bit Le comparateur a b E G P E G P i i i i i i+ 1 i+ 1 i+ 1 a 0 b 0 a i b i a n-1 b n-1 E 0 E 1 E i E i+1 E n-1 G 0 P 0 COMPARATEUR (UN BIT) G 1 P 1 Note : E 0 = 1 et G 0 = P 0 = 0 G i P i COMPARATEUR (UN BIT) G i+1 P i+1 G n-1 P n-1 COMPARATEUR (UN BIT) E n G n P n s E s G s P E i G i P i a i b i COMPARATEUR (UN BIT) E i+1 G i+1 P i ( Tous les autres cas sont facultatifs ) Le comparateur Le comparateur ( ) ( ) ( ) E = a b E + a b E = a b + a b E = + a b E = a b E i 1 i i i i i i i i i i i i i i i i i a i b i G = b G + + a G + a b i 1 i i i i i i ( ) ( ) P = b P + + a P + a b i 1 i i i i i i ou ai bi Gi + aibi Gi + ai bi = a b + a b G + a b = a b G + a b i i i i i i i i i i i i ( ) ( ) ou ai bi Pi + aibi Pi + aibi = a b + a b P + a b = a b P + a b i i i i i i i i i i i i E i G i P i E i+1 G i+1 P i
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