Sujets de devoirs pour les séries : SET MTI MTGC Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako

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1 Sujets de devoirs pour les séries : SET MTI MTGC Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Techique Bamako EXERCICE I : (7 poits) ** Devoir ** O cosidère le ombre complee Z = ( 3) i (+ 3) ) Ecrire sous forme algébrique Z ) Trouver le module et u argumet de Z, e déduire le module et u argumet de Z 7π 7π 3) E déduire les valeurs eactes de cos et si 4) E utilisat ce résultat résoudre pour ] π ; π] l équatio : ( 3)cos (+ 3)si = EXERCICE II : (9 poits) ) Ecrire sous forme algébrique les solutios de l équatio: Z 6 = E déduire les solutios de l équatio : (z i 3) 6 = i ( 3z i) 6 ) Démotrer que R cos 5 = (cos 5 5cos 3 + cos ) EXERCICE III : (4 poits) 6 + ) Détermier l esemble des poits M du pla tels que:arg z π ( ) = z + i ) Démotrer que quels que soiet les ombres complees U et U de module vérifiat UU +, le ombre Z = u + u' + uu' est réel Devoir SET- MTI - MTGC Adama Traoré Professeur Lycée Techique

2 **DEVOIR N ** EXERCICE : (5 poits) Soit l équatio (E) : z 3 iz 4z + 8i = ) Motrer que (E) admet ue solutio imagiaire pure z qu o détermiera ) Résoudre (E) 3) Détermier l esemble (Γ) des poits M, d affie t, tels que t soit u réel EXERCICE : (5 poits) Cet eercice est composé de deu parties idépedates ) Trouver suivat les valeurs de l etier aturel, le reste de la divisio euclidiee par 4 des ombres 7 et 3 E déduire le reste de la divisio euclidiee de 7 3 par 4 z + z z z + ) Résoudre das C : + = EXERCICE 3 : (5 poits) Z est u ombre complee différet de O pose ) Comparer z et z ) Détermier z ' 3 3 z z ' = et z z' + r = z 3) O appelle A, B, M et M les poits du pla complee d affies respectives,, z et z Calculer r e foctio de Z et Z E déduire que r est u réel Que peut-o dire des vecteurs AM et BM? O justifiera la répose EXERCICE 4 : (5 poits) ) Trouver les ombres complees z et t tels que : ( + i) z + (3 + i) t = 6 ( + 3i) z + ( + i) t = 3 + i ( 3 ) 3 (3 i ) + 6i ) Écrire sous leurs formes trigoométriques z, t et t z E déduire les valeurs eactes de π cos π et si Devoir SET- MTI - MTGC Adama Traoré Professeur Lycée Techique

3 **DEVOIR N 3** EXERCICE : (5 poits) ) Calculer le module et l argumet de chacu des ombres complees z 6 i = et z = i ) E déduire le module et l argumet de z z Z = 3) Utiliser les résultats précédets pour calculer EXERCICE : (5 poits) π cos et π si O cosidère l applicatio f de C das C défiie par : f(z) = z (9 + i)z + 6 ) Détermier les ombres complees U tels que U = 3 + 4i puis résoudre l équatio f(z) = ) O pose z = + iy Détermier l esemble des poits M( ;y) du pla complee, tels que f(z) soit u réel Préciser la ature de cet esemble 3) Soit les ombres complees a et b défiis par : a = 3 + i et b = + i Problème : 3 Écrire : a ; b ; a b sous forme trigoométrique Das l esemble C des ombres complees o cosidère le polyôme complee f(z) = z 3 4z + 6z 4 ) Motrer que l équatio f(z) = admet ue solutio réelle z que l o détermiera ) Résoudre das C l équatio f(z) = O otera z et z les deu autres solutios (où z est la solutio complee dot la partie imagiaire est positive) 3) Représeter das le pla complee les poits M ; M ; M d affies respectives z ; z ; z Motrer que le triagle M M M est rectagle 4) a) Résoudre das C l équatio z = z O doera les solutios sous forme algébrique et trigoométrique E déduire les valeurs eactes π π π de : cos ; si ta 8 b) Calculer (z ) 8 et 8 Devoir 3 SET- MTI - MTGC Adama Traoré Professeur Lycée Techique

4 **DEVOIR N 4** EXERCICE : (5 poits) Soiet les ombres z et Z tels que z 3 et Z = z + i z + 3 O désige par A, B et M les poits d affies respectives 3 ; +i et z Détermier et costruire : a) L esemble E des poits M tels que Z = b) L esemble E des poits M tels que Z soit u réel égatif c) L esemble E des poits M tels que Z soit imagiaire pure EXERCICE : (5 poits) Détermier les racies cubiques du ombre complee i sous forme trigoométrique et algébrique 3 E déduire la résolutio das de l équatio :[( i ) z] i = EXERCICE 3 : (5 poits) ) Résoudre das C l équatio : z 6 + iz 3 = Placer les poits images de ces solutios das le pla complee P mui d u repère orthoormé (O ; i ; j ) ) Liéariser l epressio : cos 3 si 3) Détermier ue forme trigoométrique du ombre complee : z= 3 +3i 4) Soit z le complee d image poctuelle M tel que z = 3 z et u l affie d u poit M du pla ; tel que les images poctuelles de z et u soiet les sommets d u triagle rectagle e M Détermier l esemble des ombres complees u EXERCICE 4 : (5 poits) ) Soit k u réel positif o ul et u ombre complee z k = k i Calculer z k e foctio de k Détermier k pour zk vérifie : z k z k = + i ) Soiet u u ombre complee et l équatio d icoue z : z z =u a) Détermier l esemble des valeurs de u telles que l équatio : z z =u admette ue solutio ; puis résoudre cette équatio das C b) Soit u = r(cosα + isiα ) ; r ε R ; π π + < α < Eprimer le module et l argumet de la solutio de l équatio à l aide de r et α 3) Soiet les complees z et z tels que : z = cosφ + siφ et z = cosφ + siφ avec < φ< π Calculer le module et l argumet du ombre complee u = z z' Devoir 4 SET- MTI - MTGC Adama Traoré Professeur Lycée Techique

5 **DEVOIR N 5** EXERCICE: (5 poits) Le pla P est rapporté à u repère orthoormal direct ( O ; u ; v ) Soiet A le poit d affie + 3i, B le poit d affie 3i, M le poit d affie z, (z + 3i), M le poit d affie z tel que z = z + 3i i z + 3i ) Détermier l esemble (E) des poits M tels que z = ; ) Détermier et costruire l esemble (F) des poits M tels que z soit u réel strictemet égatif Problème : (5 poits) ) Détermier les racies carrées δ et δ du complee z= 8i ; ) Résoudre das C l équatio z + 4iz 4 + 8i = ; 3) Soit le système d icoue b, 4 b b + 56b 88 = 3 4b 8b + 4b 64 = Motrer que 4 est ue solutio de chacue des équatios du système 4) Soit f(z)= z 4 4z 3 + 6(+3i)z + 8(3 7i)z 88 64i Motrer que l équatio f(z)= admet ue solutio imagiaire pure ote z A et ue solutio réelle ote z B 5) Détermier les complees a ; b et c tels que : f(z) = [ z (4+4i)z +6i] [az +bz + c] E déduire la résolutio de f(z)= O otera z C la solutio o réelle et o imagiaire pur dot R e (z C ) > ; puis z D la quatrième solutio dot R e (z D )< 6) Placer das le pla complee les poits A, B, C, D d affies respectives z A ; z B ; z C et z D puis calculer AB² ;AC² ;AD² ;BC² ;BD² ;CD² 7) Costruire le barycetre G des poits (A,) ;(B,) ;(C,) ;(D,) 8) Soit l applicatio f défiie par f (M)=MA²+MB²+MC²+MD² a) Détermier et costruire ( Γ ) = { M P / f ( M ) = 4} b) Détermier et costruire ( Γ ) = { M P / f ( M ) = 8} c) Quelle est la ature de l esemble (A) des poits M du pla tels que : 8 f ( M ) 4 9) Calculer l aire A du polygoe ABCD Devoir 5 SET- MTI - MTGC Adama Traoré Professeur Lycée Techique

6 **DEVOIR N 6** EXERCICE: ( poits) C désige l esemble des ombres complees Soit f la foctio de C das C défiie par f(z)= z 3 (+i)z +(+i)z i ) Calculer f(i) et e déduire ue factorisatio de f(z) ) a) Résoudre das, l équatio f(z)= ; b) Calculer le module et l argumet de chaque solutio de l équatio 3) O désige z ; z et z 3 les solutios de l équatio f(z)= ; z état π celle d argumet Vérifier que : Z Z 3 = Z EXERCICE: ( poits) ) Liéariser : si 6 + cos 6 ) Soit z et Z les ombres complees défiies par : z = + + i et Z = z 4 Détermier les racies quatrième de Z sous forme trigoométrique puis sous forme algébrique π π E déduire cos et si 8 8 Devoir 6 SET- MTI - MTGC Adama Traoré Professeur Lycée Techique

7 **DEVOIR N 7** EXERCICE : (5 poits) 7π 7π Soit le ombre complee z= 4(cos + i si ) 4 4 ) Ecrire z sous forme algébrique 7π 7π ) a-/ L écriture z = 4(cos + i si ) est-elle ue forme 4 4 trigoométrique? justifier votre répose b-/ Doer la forme trigoométrique de z utilisat l argumet pricipal EXERCICE : (5 poits) Soit f l applicatio de C-{ 5} das C défiie par : z + + i f ( z) = z + 5 O désige par A, B et M les poits d affies respectives 5 ; i ; z - Doer ue iterprétatio géométrique d u argumet de f(z) - Détermier et costruire : a) L esemble (E ) des poits M tels que f(z) = ; b) L esemble (E ) des poits M tels que f(z) soit u réel ; c) L esemble (E 3 ) des poits M tels que f(z) soit u imagiaire pur EXERCICE 3: (5 poits) Détermier les solutios das de l équatio : z 4 = ( i) 4 Costruire les images das le pla complee EXERCICE 4: (5 poits) - Liéariser l epressio : cos ( θ ) si ( θ ) cos3θ 3 - Détermier le module et u argumet du ombre complee z tel que : z = (+ cos + cos) + i(si + si) 3 Devoir 7 SET- MTI - MTGC Adama Traoré Professeur Lycée Techique

8 ** DEVOIR N 8 ** EXERCICE : (5 poits) - Calculer le module et l argumet du ombre (o discutera suivat les valeurs de θ) U = + itgθ - Liéariser : si 3 (θ) cos (θ) EXERCICE : (5 poits) π π Pour chaque réel α ε ] ; [, o défii l applicatio f α de C das C par : f α (z)= z cos α zcosα ++si α Das le pla affie euclidie mui d u repère orthoormé ( O ; i ; j ) O désige par E l esemble des poits M d affie z telle qu il eiste π π α ε ] ; [, vérifiat f α (z)= ) a- Résoudre das C l équatio f α (z)= b- Si le poits M(z) appartiet à E, que peut-o dire du poit M d affie z? ) Pour fié, o pose : Z= i ( z' + z" ) cosα, où z et z sot les solutios de l équatio f α (z)= Détermier les racies quatrièmes de Z et représeter les poits images des solutios sur le cercle trigoométrique EXERCICE 3: (5 poits) Das le pla affie euclidie mui d u repère orthoormé ( O ; i ; j ), soit M le poit d affie z, o pose z = +iy, ( ;y)ε R Soit A le poit d affie 3i et M d affie z avec z =+3iy ) Quelle coditio doit vérifier z pour que l o ait M A et M B? ) Cette coditio état vérifiée, démotrer que : z i AM IR+ z' + 3i [( ) // ( BM ') ] E déduire l esemble(e) des poits M tels que (AM)//(BM ) 3) Détermier l esemble (F) des poits M tels B, M et le poit d affie iz soiet aligés Devoir 8 SET- MTI - MTGC Page Adama Traoré Professeur Lycée Techique

9 EXERCICE 4: (5 poits) Soit le pla affie euclidie mui d u repère orthoormé ( O ; i ; j ) O doe les poits A( ;5) ; B( ;3) et C(4 ;4) ) Détermier le barycetre G α des poits A, B, C affectés respectivemet des coefficiets : ; + α ; 3 α, avec α εr ) Détermier α pour que G α soit le poit D( ;3) 3) Détermier l esemble des poits G α quad α décrit R 4) O pred α =5 Détermier l esemble des poits M du pla vérifiat : MA + 6MB MC = 4 Représeter cet esemble EXERCICE 5: (5 poits) Soit ABCD u carré Détermier u triplet de ombres réels (α ;β ;γ) tel que A soit le barycetre du système (B, β) ; (C, α) ; (D, γ) Détermier esuite l esemble des poits M du pla tels que : MB MC + MC MD MC = Devoir 8 SET- MTI - MTGC Pa ge Adama Traoré Professeur Lycée Techique

10 **DEVOIR N 9** EXERCICE : (5 poits) A/- Soit le polyôme f()= 3 5 ) Calculer f(7) et e déduire que :f()=( 7)(a +b+c) où a, b, c sot trois réels à détermier ) Résoudre das R, l équatio f()= B/- U etier aturel N, s écrit : 553 das le système de umératio de base et 3676 e base (+) Calculer et doer l écriture de N das le système décimal EXERCICE : (5 poits) Soit A ;B ;C trois poit du pla P tels que AB=AC=5 et BC=6 ) Costruire le triagle ABC et calculer AB AC ; ) Soit G barycetre de (A,) ; (B,3) ; (C,3) costruire G et calculer GA 3) Soit f : P R M f ( M ) = ( MB MC ) + ( MC MA ) + ( MA MB ) a) Eprimer f(m) e foctio de f(g) et MG b) Caculer f(a) et f(g) c) Détermier et costruire l esemble (E) des poits M tels que : f(m)=f(a) Problème : ( poits) Soit le polyôme P de la variable complee z défii par : P(z)=z 3 (7+9i)z + (39i 4)z +5 ) Motrer P(z)= admet ue racie z imagiaire pure ) Résoudre l équatio P(z)= O otera z la racie o imagiaire pure ayat la plus petite partie réelle ; et z la troisième racie 3) Das le pla affie euclidie rapporté au repère orthoormé ( ; u; v) o cosidère les poits A, B, C d affies respectives z ; z ; z Détermier l esemble des poits M du pla tels que : MA MB +MC =4 O, Devoir 9 SET- MTI - MTGC Adama Traoré Professeur Lycée Techique

11 **DEVOIR N ** EXERCICE : (4 poits) /- Démotrer que ε R cos 5 = ( cos5 + 5cos3 + cos ) 6 /- Résoudre das R cos si + = EXERCICE : (8 poits) O cosidère l applicatio de C das C défiie par : f(z) = z (9+i)z +6 /- Résoudre das C l équatio f(z)= O otera z la solutio de f(z)= qui a la plus grade partie réelle et z l autre racie /- Soit A et B les poits d affies respectives z et z Détermier l esemble (E) des poits M du pla tels que : = 3/- O pose z=+iy Détermier l esemble des poits M du pla complee tels que f(z) soit u réel Préciser sa ature EXERCICE 3: (8 poits) Das le pla affie euclidie rapporté au repère orthoormé ( O ; u; v), o cosidère les poits A, B, C d affies respectifs : z A = 3i ; z B =+ 3i ; z C =8 /- Ecrire z A ; z B ; z C sous la forme trigoométrique Placer les poits A, B et C /- Détermier les coordoées du barycetre G du système de poits podérés {(A, z A ) ;(B, z B ) ; ;(C, z C )} puis placer G 3/- Détermier et costruire l esemble (Γ) des poits M du pla tels que : MA + MB + MC = MA + MB MC MA MB Devoir SET- MTI - MTGC Adama Traoré Professeur Lycée Techique

12 **DEVOIR N ** EXERCICE : (4 poits) Démotrer par récurrece que : - ε N, est divisible par - ε N*, ( + 3) = ( + )( + ) 4( + )( + ) EXERCICE : (4 poits) / Détermier le ombre etier du système décimal qui s écrit : abc 7 et cba / Résoudre das ( Z / 7Z ) le système suivat : EXERCICE 3: (4 poits) 9 3& + & 3& y = 3& & + y = 5& / E utilisat l algorithme d Euclide détermier : 354 5, et trouver deu etiers relatifs k et l tels que : 354k + 5l = / Résoudre das (N*) : ( y) 9( y) = 3 EXERCICE 4 : (4 poits) / Détermier l esemble des couples ( ;y) d etiers aturels o uls tels que : y = 7 y = 84 / a) Trouver l esemble des etiers aturels qui diviset 76 b) Trouver les paires d etiers aturels dot le plus grad commu diviseur d et le plus petit commu multiple m vérifiet : m + 3d = 76 p d p 3 EXERCICE 5: (4 poits) /- Détermier selo les valeurs de l etier, le reste de la divisio euclidiee par 9 de 4 /- E déduire que pour tout etier aturel supérieur ou égal à, le ombre N= est divisible par 9 Devoir SET- MTI - MTGC Adama Traoré Professeur Lycée Techique

13 **DEVOIR N ** EXERCICE : (5 poits) -/ Démotrer par récurrece que pour tout etier aturel o ul ( + )( + ) ( + ) = 3 -/ Le Directeur du Lycée Techique de Bamako dispose 5 cahiers et 5 bics A l aide de ces fouritures, il veut faire des lots idetiques pour récompeser les plus méritats de ses élèves a) Quel est le ombre maimum de lots qu il peut former? b) O suppose qu il peut former 5 lots et qu il a e tout 4 objets (bics et cahiers) Le ombre de cahiers état iférieur au ombre de bic, détermier le ombre de cahiers et de bics EXERCICE : (5 poits) ( 9 ) /- Trouver l etier N du système décimal qui s écrit : ab et a /- a) Détermier l esemble des diviseurs de 4 b) Détermier l esemble des couples ( ;y) de (N*) tels que : d = y et m = y vérifiet la relatio EXERCICE 3: (5 poits) m 4d = 4 3p d p 5 7 7b Soit N u etier aturel tel que e umératio décimale, N s écrive abcd, et que l etier qui s écrit bcda soit divisible par 7 -/ Motrer que si a=7 alors bcda N soit divisible par 7 E déduire que pour cette valeur de a, N est divisible par 7 -/ Motrer que N 3a est multiple de 7 E déduire que si N est divisible par 7, alors a=7 EXERCICE 4: (5 poits) La lettre a désige u ombre réel strictemet positif, o cosidère u triagle ABC tel que AB=3a ; AC=4a ; BC=5a ) Détermier le barycetre G des poits (B,4) ;(C,3) ;(A, 5) ) Détermier l esemble des poits M du pla tels que l o ait : 4MB +3MC 5MA =a (8 ) Devoir SET- MTI - MTGC Adama Traoré Professeur Lycée Techique

14 **DEVOIR N 3** Démotrer par récurrece que : EXERCICE : (5 poits) ) ε N* : (+) = (+) ) ε N : A = est divisible par 7 EXERCICE : (5 poits) ) Résoudre das l aeau Z /5Z l équatio : = ) Résoudre das l aeau Z /7Z le système suivat 3 + y = + 5 y = 6 EXERCICE 3: (5 poits) Trouver le reste de la divisio par 3 du ombre N= EXERCICE 4: (5 poits) ) Trouver l écriture décimale des ombres suivats : 6 A ; FF 6 ; ; ) Résoudre das Z /8Z les équatios suivates 3 = 4 ; += ; 3 =

15 Devoir 3 SET- MTI - MTGC Adama Traoré Professeur Lycée Techique **DEVOIR N 4** EXERCICE : ( poits) ) Démotrer que pour tout etier aturel, l etier ( ) est divisible ) a) Etudier les restes de la divisio par 7 des ombres et 3 εn b) Détermier t, etier positif tel que : t + 3 t [7] 3) a) Motrer que ε R = ( + ) Mettre le polyôme P()= , sous la forme d u produit de facteurs du secod degré b) Déduire de ce qui précède que si la base du système de umératio est supérieure ou égale à ciq, le ombre 34 est divisible La base état sept, eprimer le quotiet de la divisio de 34 par EXERCICE : (5 poits) Soit (a ;b ;c) u triplet d etiers aturels tels que : ( ) ( ) a = ; b = 4 ; c = 354 ( ) a) Sachat que c=ab, détermier la base puis les écritures des ombres a, b, c das le système décimal b) Vérifier, e utilisat l algorithme d Euclide que a et b sot étragers c) E déduire les solutios das Z de l équatio a + by = d) Résoudre ε Z /4Z : + + = ( ;y)ε (Z /4Z ) ; y = 3 + y = EXERCICE 3: (5 poits) Soit (a,b) ε N, o pose : µ = a b et δ =a b Détermier tous les couples (a ;b) d etiers aturels tels que : a) µ 9δ = 3 b) a + b = 96 µ = 8 Devoir 4 SET- MTI - MTGC Adama Traoré Professeur Lycée Techique

16 **DEVOIR N 5** EXERCICE : (6 poits) ) a) Détermier suivat les valeurs de l etier aturel, le reste de la divisio par 7 de 4 et de A = b) U ombre B du système de umératio de base 4 s écrit : B= 3 Détermier das le système décimal le reste de la divisio de B par 7 ) a) Trouver tous les couples (a, b) d etiers aturels tels que : p gcd ( a, b) = 4 ppmc ( a, b) = 68 b) Détermier l esemble des etiers relatifs tel que 8 7[ 5 ] c) Résoudre das l équatio y = 94 EXERCICE : (4 poits) O cosidère la famille de foctios umériques f m défiie par : ( m ) ( ) = + f m où m est u paramètre réel Das le pla mui d u repère orthoormé ( O i ; j ) ; o désige par (C m ) la courbe de f m ) Détermier l esemble de défiitio D m de f m ) Discuter suivat les valeurs de m, les limites de f m au bores de D m 3) Motrer que toutes les courbes (C m ) de f m passet par u poit fie A dot o précisera les coordoées Problème : ( poits) A] Soit f l applicatio de C das C défiie par :f(z)=z 3 (+i)z 4 +4i ) Vérifier que l équatio f(z)= admet ue solutio réelle z et u solutio imagiaire pure z que l o détermiera ) a) Résoudre das C l équatio f(z)= ; b) Calculer le module et l argumet pricipal des trois solutios de l équatio f(z)= O désigera par z 3 la troisième solutio 4) Das le pla complee rapporté à u repère orthoormé, o désige par M ; M ; M 3 les poits d affies z ; z ; z 3 Placer ces poits Préciser la ature du triagle M M M 3 Devoir 5 SET- MTI - MTGC Page Adama Traoré Professeur Lycée Techique

17 B] O cosidère das C, l équatio : mz (m +4)z + 4m = () où m est u paramètre complee ) Résoudre l équatio () pour m=+i E désigat par z et z les solutios obteues ; motrer que : Pouvait-o prévoir ce résultat? 4 z = z ) Doer la forme géérale des solutios de l équatio () das C 3) O se place das le cas où les deu solutios de l équatio () sot des ombres complees cojugués Détermier leur module 4) Motrer que si l équatio z Sz+4 = admet deu solutios cojuguées, alors S est u réel vérifiat ; 4 S 4 5) Calculer les solutios z et Z lorsque S= Doer leur forme trigoométrique Représeter les solutios das le pla complee mui d u repère orthoormé ( O u ; v ) 6) Calculer z 5 et ; Z Z Z puis motrer que : Z et = Z 6 = 6 Devoir 5 SET- MTI - MTGC Pa ge Adama Traoré Professeur Lycée Techique

18 **DEVOIR N 6** EXERCICE : ( poits) Soiet A ; B ; C trois poits du pla P tels que AB=AC=5 ; BC=6 ) Costruire le triagle ABC et calculer AB AC ) Soit G le barycetre de (A,) ; (B,3) ;(C,3) Costruire G et calculer GA 3) Soit f l applicatio de P R M f(m)= MB MC + MC MA + MA MB a) Eprimer f(m) e foctio de f(g) et MG b) Calculer f(a) et f(g) c) Détermier et costruire l esemble E des poits tels que f(m)=f(a) EXERCICE : ( poits) ) Vérifier que pour tout réel : E déduire π 3 cos A = d si ( ) O doe : f ) = e + l E remarquat que f=hk + kh calculer ( )( + ) 3 = 4 ) f ( d 3) Calculer π e si 3 d π 4) Soiet = I e cos d et J = a) Calculer I+J = 4 b) Soit f ( ) e (cos + si ) π e si d Calculer f () E déduire I J Calculer I et J Devoir 6 SET- MTI - MTGC Adama Traoré Professeur Lycée Techique

19 **DEVOIR N 7** EXERCICE : (5 poits) Liéariser si 5, puis calculer 6 π si 5 d EXERCICE : (5 poits) Soit le polyôme complee P tel que : P(z)= 6 (z 4 +) (+i)(z 3 z) 6 z Calculer P() et P( ) puis résoudre das C l équatio P(z)= EXERCICE 3: ( poits) Soit la foctio umérique f de la variable réelle défiie par : f ( ) = ) a) Quel est l esemble de défiitio de f? b) Etudier la variatio de f Calculer f() et f(4) c) Quelle est la limite de g()= f() +3 quad ted vers + ; quad ted vers E déduire que la courbe représetative (C f ) de f admet la droite (D) d équatio y= 3 pour asymptote ) a) Quelles sot les coordoées des poits d itersectio de (C f ) avec les aes de coordoées? Détermier ue équatio de la tagete à (C f ) e chacu de ces poits Costruire ces tagetes das le pla mui d u repère orthoormé b) Costruire la courbe représetative (C f ) de f das le même repère Devoir 7 SET- MTI - MTGC Adama Traoré Professeur Lycée Techique

20 **DEVOIR N 8 ** EXERCICE : (5 poits) Soit f la foctio défiie par f() = - + ) Détermier l esemble de défiitio D f de f ) Ecrire f() sas valeur absolue 3 ) Détermier les limites de f au bores de D f 4 ) La foctio f est-elle cotiue au poit? 5 ) La foctio f est-elle dérivable au poit? Que peut-o dire? EXERCICE : (5 poits) Soit f ue foctio dot le tableau de variatio est le suivat + f () + + f () + + La foctio f est de la forme c ( ) = a + b + + f où a ;b et c sot des réels ) Calculer f () ; ) Trouver les coefficiets a, b, c e utilisat les doés ci-dessus Devoir 8 SET- MTI - MTGC Page Adama Traoré Professeur Lycée Techique

21 Problème: ( poits) ( + ) = ( + ) Soit f la foctio de R vers R défiie par : f ( ) et soit (Cf) sa courbe das le pla mui d u repère orthoormé ( O i ; j ) ; ) a/ Détermier l esemble de défiitio D f de f b/ Calculer les limites de la foctio f au bores de D f E déduire les asymptotes à la courbe (Cf) ) Etudier les variatios de f 3) Quelles sot les coordoées du poit d itersectio A de la courbe (Cf) avec la droite d équatio y= 4) Détermier ue équatio de la tagete (T) à la courbe (Cf) au poit d abscisse = Détermier la positio de (Cf) par rapport à la droite (T) 5) Tracer la courbe (Cf) et la droite (T) + = 6) Soit g la foctio de R vers R défiie par : g ( ) et (C ) sa courbe représetative das le repère ( O i ; j ) ; a/- Ecrire g() sas valeur absolue b/- Sas étudier g(), tracer sa courbe (C ) ( + ) 7) Soit h la foctio de R vers R défiie par : h( ) = f ( ) h( ) = + a si si p a/- Pour quelle valeur de a h est-elle cotiue au poit? b/- Pour cette valeur de a, étudier la dérivabilité de h au poit Devoir 8 SET- MTI - MTGC Page Adama Traoré Professeur Lycée Techique

22 **DEVOIR N 9** EXERCICE : (5 poits) Calculer les limites au bores du domaie de défiitio de chacue des foctios suivates défiies ci-dessous : Calculer les limites suivates : + f ( ) = ; g( ) = + 3 EXERCICE : (5 poits) a/- cos lim 3si ; b/- si lim + cos 4 4 π ; c/- lim + si Problème: ( poits) Soit f m la famille de foctios défiie par f m m ( ) = où m est u m paramètre réel O désige par (Cm) la courbe de f m das le pla rapporté à u repère orthoormé ( O i ; j ) ; / a- Doer, selo les valeurs de m, le domaie de défiitio de f m b- Motrer que, pour toutes valeurs de m, f m est paire c- Préciser selo les valeurs de m, sur quel esemble f m est dérivable Calculer '( ) pour élémet de cet esemble Pour quelles valeurs f m de m, f mest-elle costate sur so domaie de défiitio? / Pour m, calculer f ( m ) ; e déduire qu il eiste deu poits apparteat à toutes les courbes (Cm) sauf (C ) 3/ Tracer (C ) 4/ Etudier les variatios de f et tracer (C - ) 5/ Faire l étude complète de f 4 et tracer sa courbe représetative das u repère orthoormé distict du précédet Devoir 9 SET- MTI - MTGC Adama Traoré Professeur Lycée Techique

23 **DEVOIR N ** EXERCICE : (4 poits) Soit la foctio umérique f de la variable réelle défiie de ];+ [ sur R par : 7 9 f ( ) = ) Motrer que f admet ue réciproque f, que l o défiira ) Tracer les courbes de f et de f das u même repère orthoormé EXERCICE : (6 poits) Das le pla affie euclidie E, o cosidère trois poits A, B et C tels que : AB=4 ; AC=3 ; BC=5 (e cm) ) Trouver l esemble des poits M de E vérifiat : MA + MB MC = v ( v état u vecteur doé du pla vectoriel associé à E) ) Le système S = {( A,);( B,);( C, 3) } a-t-il u barycetre? si oui trouver le puis le costruire 3) Détermier alors l esemble (H) des poits M de E vérifiat : MA +MB 3MC =5 puis costruire (H) EXERCICE 3: (6 poits) O ; i ; j ; k O cosidère Soit E u espace affie rapporté au repère ( ) l applicatio f de E das E défiie par : M( ;y ;z), f(m)=m ( ;y ;z ) avec ' = 3 4z 6 y' = y z 4 z' = 3z 6 ) Motrer que f est ue applicatio affie ) Quelle est la ature de f? E déduire ses élémets caractéristiques 3) Trouver l image du pla P d équatio : +y z+3= par f EXERCICE 4: (4 poits) Soit f ue foctio dot le tableau de variatio est le suivat : f () f () Tracer la courbe (C f ) de f sachat que la droite d équatio y= 3 + est ue asymptote à (C f ) Devoir SET- MTI - MTGC Adama Traoré Professeur Lycée Techique

24 ) Calculer I ) Soit J = π = e l d π si d **DEVOIR N ** EXERCICES: (8 poits) a-/ E itégrat par parties, motrer que b-/ E déduire que J π 3) a-/ Soit la foctio umérique f : Calculer π cos J = π d ; π f :] ; + [ IR qui à a f ( ) = ( ) F( ) = f ( t) dt pour > b-/ Soit la foctio umérique g : g :] ; + [ IR qui à a g( ) = ( ) a b c g ( ) = G( ) = g( t) dt pour > Trouver les réels a ; b ; c tels que : Calculer c-/ Calculer H = t l t ) dt ( t ) ( pour > d-/ Détermier lim H ( ), (o pourra écrire que pour > : + l( )=l+l( ) ) Problème: ( poits) ) Soit f la foctio défiie par f()=l pour > et f()= Démotrer que f est cotiue sur R+ Etudier f et tracer sa courbe représetative (C f ) das u repère orthoormé d uité cm ) Soit g la foctio défiie par g( ) = l pour > et g()=a Quelle valeur faut-il doer à a pour que g soit cotiue e =? a-/ Etudier la dérivabilité de g e = b-/ Etudier g et tracer sa courbe (C g ) das le même repère que (C f ) 3) Détermier e cm, l aire du domaie limité par l ae des abscisses, la courbe (C f ) et les droites d équatios : = et =e 4) Après avoir dérivé la foctio h défiie par h()= 3 l, détermier ue primitive de g et l aire A(α) du domaie : D α ={ M( ;y)/ α e e et y g()} où α est u paramètre réel positif iférieur à e e Détermier s il eiste lim A( α) α Devoir SET- MTI - MTGC Adama Traoré Professeur Lycée Techique

25 **DEVOIR N ** EXERCICE : ( poits) Soit la foctio umérique de la variable réelle défiie par f ( ) = ( + 3) ) Détermier les réels a ; b ; c ; d tels que pour tout de l esemble d ( + 3) de défiitio D f de f : f ( ) = a + b + c + ) Etudier les variatios de la foctio f ; 3) Motrer que la parabole (P) d équatio y= +6 5 est asymptote à la courbe (C f ) de f 4) Etudier la positio de (C f ) par rapport à (P) 5) Tracer (P) et (C f ) 6) Trouver ue primitive de f sur D f 7) Calculer = f ( ) d Soit f défiie par A f ( ) EXERCICE : (8 poits) + pla mui d u repère orthoormé ) Etudier la foctio f ; = et soit (C f ) sa courbe représetative das le ) Etudier la positio de (C f ) par rapport à so asymptote oblique ( ) 3) Motrer que ε [,] o a f () 4 3 4) E déduire qu e appliquat l iégalité des accroissemets fiis à [,] o a : f() 5) Motrer que la restrictio g de f à [, + [ réalise ue bijectio de [,+ [ sur u itervalle de R que l o précisera Devoir SET- MTI - MTGC Adama Traoré Professeur Lycée Techique

26 **DEVOIR N 3** I) Soit f la foctio défiie par f()= et f()= ++l ) Détermier l esemble de défiitio D f de la foctio f ) Etudier la cotiuité et la dérivabilité de f au poit 3) a) Calculer f () si b) Etudier les variatios de f et la limite de f e + 4) Quel est le ombre de solutios de l équatio f()=? 5) Etudier f ( ) lim + courbe représetative de f Déduisez-e le comportemet asymptotique de la II) A)-O cosidère la foctio umérique g défiie par g()=e +-5 ) Etudier le ses de variatio de g (o e demade pas de détermier les limites de g, i de costruire sa courbe représetative) ) Calculer g() et g() Démotrer que l équatio g()= admet ue solutio uique α sur R et ue seule 3) Justifier l ecadremet 3< α <3 B)-Soit la foctio umérique f défiie sur],5[ par f()=l(5-) ) Etudier le ses de variatio de f Préciser les limites de f e - et e 5 ) Vérifier l égalité f (α)=α 3) Motrer que, pour tout réel de [,3] o a : f () E déduire que pour tout réel de [,3] o : f() α α 4) a-/ Motrer que si 3 alors f() 3 b -/ O cosidère la suite (U ) d élémets de [,3] e posat : U = et U + =f(u ) pour tout etier aturel Motrer que pour tout etier aturel o a U + α U α E déduire que U α U α et que U α c-/ Détermier u etier aturel tel que : Pour o a U α 3 + Devoir 3 SET- MTI - MTGC Adama Traoré Professeur Lycée Techique

27 ** DEVOIR N 4 ** EXERCICE : (5 poits) Démotrer que pour tout ombre réel, o a la relatio Cos 3 = (cos3+3cos) 4 Trouver ue primitive sur R de la foctio f défiie par f()=cos 3 EXERCICE : (5 poits) Soit la foctio f qui, à tout ombre réel fait correspodre f()=( 3) Costruire das u repère orthoormé la courbe de f Problème : ( poits) O cosidère das C, l équatio : z 3 + (4+i)z +(8+6i)z+4 +8i = -/ Motrer que cette équatio admet ue solutio imagiaire pure z que l o précisera -/ Trouver les ombres complees α et β tels que l équatio puisse s écrire : (z z )( z + α z +β)= Déduisez-e les autres solutios z et z de cette équatio (o désigera par z la solutio dot la partie réelle est égative et z la troisième solutio) 3-/ O cosidère u pla P rapporté à u repère orthoormé O désige par A, B, C les poits de P d affies respectives z, z, z Placer les poits A, B, C et déduire la ature triagle ABC 4-/ Détermier et costruire l esemble (E) des poits M( ;y) du pla P tels que ; MA + MB MC = 3 Devoir 4 SET- MTI - MTGC Adama Traoré Professeur Lycée Techique

28 **DEVOIR N 5** EXERCICE : (4 poits) Après avoir détermier les esembles de défiitio et de dérivabilité des foctios ci-dessous, calculer les foctios dérivées -/ 3 ( ) = 3 3( + ) f ;-/ f ( ) = ;3-/ f ( ) = + + ;4-/ f ( ) cos EXERCICE : (4 poits) + 3 f = ( ) Soit f la foctio défiie par ( ) 3 = -/ Détermier l esemble de défiitio D f de f et trouver les réels a et b a b f ( ) ( ) tels que pour tout de D f : ( ) = + 3 -/ Dresser le tableau de variatio de f Problème : ( poits) Pour tout etier strictemet positif o défiit l applicatio f de R das R qui à tout, associe : f ( ) = O désige par (C ) la courbe de f + -/ a) Calculer la foctio dérivée de f ; e déduire que pour tout, f est strictemet croissate sur R+ b) Dresser le tableau de variatio de f suivat la parité de c) Démotrer que toutes les courbes (C ) passet par deu poits fies dot o détermiera les coordoées -/ Etudier et tracer la courbe de f Devoir 5 SET- MTI - MTGC Adama Traoré Professeur Lycée Techique

29 **DEVOIR N 6** EXERCICE : (5 poits) Trouver sept termes d ue suite géométrique : u ; u ; ; u 7 tels que u + u + u3 = u5 + u6 + u7 = 5 O motrera d abord que : u u = u u + u + u + u + u EXERCICE : (5 poits) -/ Résoudre l équatio différetielle :3y +48y= -/ Détermier la solutio f de cette équatio sachat que : f( 8 π )= et f ( 8 π )= 3 EXERCICE 3: (5 poits) Soit la foctio f :t t pour t ε [ ;+] ; > -/ Motrer que pour tout ε N, o a: + + -/ O cosidère la suite de terme gééral : U = l, Motrer que (U ) est mootoe, à termes positifs ; coclure ² EXERCICE 4: (5 poits) Soit la foctio f de la variable réelle défiie par : f ( ) = e si f () = -/ Détermier le domaie de défiitio D f de f et étudier les limites de f au bores de D f Etudier la cotiuité de f au poit = -/ Etudier les variatios de f Représeter graphiquemet f das le pla rapporté à u repère orthoormé ( O i ; j ) ; dt t Devoir 6 SET- MTI - MTGC Adama Traoré Professeur Lycée Techique

30 **DEVOIR N 7** EXERCICE : (5 poits) -/ Démotrer que, quelque soit l etier aturel, o a : [7] -/ Résoudre das Z /7Z, l équatio : = 3-/ Résoudre le système (a ;b)ε (N*) a EXERCICE : (5 poits) b = 45 avec m=a b 3m = a L objet de l eercice est d étudier la suite de terme gééral U = f ( ) d où f ( ) = ( o coviet que + -/ Calculer u et u -/ Comparer à + lorsque ε [ ;] E déduire que la suite (U ) est décroissate + 3-/ E observat que u - +u = d, établir que u - +u < 4-/ A l aide des résultats précédets, établir que : E déduire la limite de u lorsque ted vers + Problème : ( poits) = ) U ( + ) -/ Soit la foctio g défiie sur] ;+ [ par g()= + l a/ Etudier les variatios de g Préciser les limites de g e et + b/ Détermier le sige de g() suivat les valeurs de Calculer g() -/ Soit la foctio f défiie sur] ;+ [ par : l f ( ) = + + a/ Etudier les variatios de f, puis dresser so tableau de variatio b/ Démotrer que f()= admet deu solutios α et β, (α < β) c/ o désige par ( ) la droite d équatio : y= + et (Cf ) la courbe représetative de f Etudier le sige de d()= f() ( +) et e déduire la positio de (C f ) par rapport à ( ) d/ Démotrer que ( ) est asymptote à la courbe (C f )Tracer ( )et (C f ) Devoir 7 SET- MTI - MTGC Adama Traoré Professeur Lycée Techique

31 **DEVOIR N 8-ESS-4** EXERCICE : (7 poits) O cosidère la suite (U ) de ombres réels défiie par : U = et pour tout etier aturel, l (U + ) = + l (U ) -/ Calculer u ; u ; u 3 U -/ Motrer que = e U + 3-/ Eprimer U e foctio de 4-/ Préciser le ses de variatio de la suite (U ) EXERCICE : (7 poits) -/ a/ Calculer le module et l argumet du ombre complee : z =(+i ), ε N b/ Pour quelles valeurs de, z est-il u ombre réel? -/ Das le pla complee, o désige par A le poit d affie z a/ Détermier les ombres réels α et β tels que le barycetre des poits A, A, A 3 et A 4 affectés des coefficiets α, β, et soit le poit d affie ulle b/ état u ombre réel, calculer e foctio de le module du complee z=e + ie EXERCICE 3: (6 poits) -/ Résoudre das Z Z l équatio: 6 3y=5 -/ Ue variable aléatoire e pred que les valeurs : ; et avec les probabilités respectives 3 8y 5y A = ; B = ; C = a/ Motrer qu il eiste u couple uique ( ;y) d etiers tel que ces doées soiet acceptables b/ Calculer alors l espérace et la variace de Devoir 8 SET- MTI - MTGC Adama Traoré Professeur Lycée Techique

32 **DEVOIR N 9** EXERCICE : ( poits) O cosidère la suite (I ) : 4 π cos d Motrer que pour tout etier aturel, o a : I E déduire que (I ) coverge π 4 + EXERCICE : (6 poits) O cosidère la suite (U) de premier terme U = et défiie pour tout etier positif par la relatio de récurrece : U + = -/ a/ Motrer que pour tout ; U +U b/ Etudier le ses de variatio de la suite (U) et e déduire que la suite est covergete c/ Détermier la limite l de la suite (U) -/ a/ Motrer que pour tout ombre réel de [ ; π] o a : + cos = cos( ) b/ Motrer alors que pour tout etier aturel : U =cos π + c/ Retrouver aisi la limite l de la suite (U) Devoir 9 SET- MTI - MTGC Pa ge Adama Traoré Professeur Lycée Techique

33 Problème : ( poits) A] Soit (E) l équatio différetielle du secod ordre : y 3y +y= -/ a/ Quelles sot les solutios de (E) b/ Quelle est la solutio de, dot la courbe représetative (C) admet au poit d abscisse, la même tagete que la courbe (C ) représetative de y=e 3? O dit que (C) et (C ) sot tagetes -/ Représeter das u même repère orthoormé les courbes (C) et (C ) dot o précisera les positios relatives 3-/ α état u ombre réel strictemet positif, soit h α les foctios telles que : hα ( ) = α e + α e a/ Motrer h α est solutio de (E) b/ Soit (C α ) la courbe représetative de h α Après avoir calculé e foctio de α les coordoées du poit commu à (C α ) et (C ), motrer que ces courbes sot tagetes e ce poit c/ Préciser les positios relatives de (C α ) et (C ) B] Soit (E ) l équatio différetielle du secod ordre : y 3y +y= ++ -/ Trouver trois ombres réels a ; b ; c pour que la foctio polyôme t : a + b + c solutio de (E ) -/ O pose : f()=g() Motrer que f est solutio de (E ) si et seulemet si g est solutio de (E) E déduire l esemble des foctios f, solutio de (E ) 3-/ Détermier la solutio de (E ) dot la courbe représetative passe par le poit de coordoées (;) et admet e ce poit ue tagete de coefficiet directeur Devoir 9 SET- MTI - MTGC P age Adama Traoré Professeur Lycée Techique

34 **DEVOIR N 3** EXERCICE : ( poits) O cosidère le ombre complee X + i 3 = -/ Mettre sous la forme trigoométrique -/ z état u ombre complee doé, o cosidère la suite (U ) défiie par : U =z et U = U pour a/ Calculer U ; U ; U 3 sachat que : U U U 3 = ( i) o predra arg(z)ε[ ; π ] b/ Motrer que U, U, U 3 formet ue progressio géométrique dot o détermiera la raiso c/ Motrer que les argumets de U, U, U 3 forme u progressio arithmétique dot o détermiera la raiso EXERCICE : ( poits) Soit la foctio umérique de la variable réelle défiie par f ( ) = + + l + -/ Etudier les limites de cette foctio au bores de so domaie de défiitio O appelle (C f ) la courbe représetative de f das le pla rapporté à u repère orthoormé ( O i ; j ) ; Préciser les asymptotes de (C f ) e particulier, o établira l eistece d ue asymptote oblique (D) -/ Etudier le ses de variatio de f et idiquer pour tout de so domaie de défiitio la positio de (C f ) par rapport à (D) 3-/ Costruire la courbe (C f ) Devoir 3 SET- MTI - MTGC Adama Traoré Professeur Lycée Techique

35 **DEVOIR N 3** EXERCICE : (8 poits) Résoudre das R les équatios et système d équatios suivats -/ = ; / (l) 7l+6= 3/ l( 3)+l( )=3l ; 4/ l 3l y = 9 l + 5l y = EXERCICE : ( poits) O cosidère la foctio f défiie par :f()=( + )e -/ Etudier la foctio f -/ Costruire la courbe (C f ) de f das le pla mui d u repère orthormé (uité graphique=cm) 3-/ O cosidère la foctio F défiie par : F()= (a +b+c)e a/ Détermier les réels a,b, c pour que F soit ue primitive de f b/ E déduire l aire A, e cm de la partie du pla limitée par des abscisses, la courbe (C f ) et les droites d équatios : = et =3 NB : O predra e 3 = ; e 3 = e = 3 ; e =7 Devoir 3 SET- MTI - MTGC Adama Traoré Professeur Lycée Techique

36 **DEVOIR N 3** EXERCICE : (6 poits) -/ Détermier deu ombres réels a et b tels que, pour tout réel t (tεr { ;}) o ait : Calculer alors : t (t + dt ) l( + t) a b = + t( t + ) t t + -/ Calculer : dt et t ( + 3-/ Calculer : π π 3 cos si d l t t) dt Problème : (4 poits) Etat doé u réel m, o cosidère l applicatio f m : R R qui à associe f m ()= ( m)e + -/ Suivat les valeurs de m, dresser le tableau de variatio de f m -/ Soit g la foctio umérique de la variable réelle défiie par : g()= ( )e + O désige par (Cg) la courbe de g das le pla mui d u repère orthoormé ( O i ; j ) ; a/dresser le tableau de variatio de g ; b/ecrire l équatio de la tagete (T) à (Cg) e so poit = c/ Détermier la foctio dérivée secode g de g et étudier le sige de g () d/ Costruire (T) et (Cg) das le même repère 3-/ a/ E utilisat ue itégratio par parties, détermier sur R la primitive de g, qui s aule pour = b/ Calculer e cm l aire du domaie pla limité par (Cg), l ae des abscisses et les droites d équatios respectives = et =,5 4-/ Soit h la restrictio de g à l itervalle I=] ;+ [ a/ Motrer que h est ue bijectio de I sur u itervalle J que l o précisera b/ O ote h l applicatio réciproque de h Calculer le ombre dérivée de h au poit = 5-/ Les coordoées d u poit mobile M sot, à la date t et das u repère orthoormé ( O i ; j ) ;, = +lt et y=( lt)t, avec t [ ;+ [ a/ Détermier la trajectoire de M b/ Détermier les coordoées du vecteur vitesse de M à la date t Devoir 3 SET- MTI - MTGC Adama Traoré Professeur Lycée Techique

37 **DEVOIR N 33** Soit f : [ ;] R e f ( ) = + EXERCICE : (7 poits) -/ Détermier les foctios f et f -/ Doez le tableau de variatio de f 3-/ Démotrer que pour tout de [ ;], f () 3 4-/ Etablir que, l équatio f()= admet ue solutio uique αε[ ;] 5-/ Démotrer e utilisat l iégalité des accroissemets fiis que : ε[ ;] ; f() α 3 - α Problème : (3 poits) Soit f la foctio défiie sur [ ;+ [ par f()= +e +e O appelle (C f ) la courbe de f das le pla mui d u repère orthoormé ( O ; i ; j ) d uité graphique cm -/ Calculer la foctio f dérivée de f Dresser le tableau de variatio de f sur [ ;+ [ E déduire le sige de f sur [ ;+ [ -/ Dresser le tableau des variatios de f sur [ ;+ [ 3-/ Motrer que (C f ) admet ue asymptote oblique (D) que l o détermiera Etudier la positio de (C f ) par rapport à (D) 4-/ Calculer le coefficiet directeur de la tagete (T) à (C f ) e = 5-/ Etablir que l équatio f()= admet sur [ ;+ [ ue solutio uique l que l o ecadrera par deu etiers aturels cosécutifs 6-/ Costruire (D); (T) et (C f ) sur u même graphique 7-/ Calculer e cm l aire A du domaie limité par (C f ) et les droites d équatios : y= ; = et = Devoir 33 SET- MTI - MTGC Adama Traoré Professeur Lycée Techique

38 ** DEVOIR N 34 ** EXERCICE : (5 poits) L objectif est d étudier la suite (U ) défiie pour tout etier par : U = + d et, pour, U = d + -/ a/ Soit f la foctio umérique défiie sur [ ;] par : ( + ) f ( ) = l + Calculer f de f E déduire U b/ Calculer U -/ a/ Prouver que la suite (U ) est décroissate (o e cherchera pas à calculer U ) b/ Motrer que pour tout ombre réel ε [ ;] o a : + E déduire que pour tout etier, o a : U ( + ) + Détermier la limite de (U ) EXERCICE : (5 poits) 3 -/ a/ Démotrer que εn, divisible par + 3+ b/ Détermier l esemble des etiers a tels que 3 + a 4 soit divisible par pour tout etier -/ a/ Chercher le PGCD de 5366 et 988 ; b/ Soit l équatio( ;y)εz (E) : y=8 Vérifier que le couple (3 ; 4) est solutio de (E) c/ Doer trois solutios particulières de (E) 3-/ a/ Résoudre das N l équatio 7 4y=4 y b/ U etier aturel a s écrit et ; y U etier aturel b s écrit 3 et 5 E utilisat les solutios de a/, détermier et y puis a et b Problème : ( poits) + A] Résolutio de l équatio différetielle (E) :y y= -/ Détermier la solutio de l équatio y y= qui pred la valeur e -/ Soit f ue foctio dérivable sur R, telle que f()=l, et soit g la foctio défiie par l égalité : f()=e g() a/ Calculer g() ; b/ Calculer f () e foctio de g () et de g() c/ Motrer que f est solutio de (E) si, et seulemet si : g' ( ) e e = + e d/ E déduire l epressio de g(), puis celle de f() de telle sorte que f soit solutio de (E) Devoir 34 SET- MTI - MTGC Page Adama Traoré Professeur Lycée Techique

39 B] Etude sur R de la foctio f défiie par : f()=e l(+e ) -/ O pose h ( ) = l( + e ) e + a/ Etudier la limite de h e + b/ Etudier le ses de variatio de h c/ E déduire le sige de h(), pour tout réel -/ Calculer f () et motrer que f () est du sige de h() 3-/ Etudier la limite de f e + Motrer que f()= e [ +l(+e )] E déduire la limite de f e e admettat que lim = e 4-/ Dresser le tableau de variatio de f 5-/ Préciser la tagete au poit d abscisse = Représeter graphiquemet la courbe de f das u repère orthoormal d uité 5cm C] Calcul d aire e -/ E remarquat que =, détermier ue primitive de la + e + e foctio + e -/Calculer, à l aide d ue itégratio par parties, l aire e cm de la portio de pla comprise etre l ae des abscisses, la courbe de la foctio f défiie das la partie B et les droites d équatios = et = O doera la valeur eacte de cette aire aisi qu ue valeur approchée à 3 près D] Etude d ue suite O défiit la suite ( U ) par u = et U + =f(u ) pour tout (où f est la foctio défiie das la partie B]) -/ Motrer que f([;]) [;] et e déduire par récurrece que, pour tout, que o a U ε [;] -/ Motrer, que par récurrece, que la suite (U ) est croissate E déduire qu elle coverge 3-/ Soit α sa limite Motrer que f(α)=α et α ε [;] 4-/ Grâce à la représetatio graphique de f, doer ue valeur approchée α de Devoir 34 SET- MTI - MTGC Page Adama Traoré Professeur Lycée Techique

40 **DEVOIR N 35** Partie A] O cosidère la foctio f de R R et défiie par foctio f pour ε N* est défiie par f ( ) = + f ( et la ) = + -/ Etat doé u réel, o cosidère la somme S () des premiers termes de la suite géométrique de raiso ( ) et de premier terme a/ Motrer que pour tout, o a : S ()= f() ( ) f () b/ Motrer que si <, S () admet ue limite lorsque ted vers l ifii E est-il de même pour =? -/ Soit u réel positif ou ul O pose σ ()= ( ) 3 4 a/ Motrer, sas calculer l itégrale f ( t) dt que : σ ()+ ( ) f ( t) dt l(+) est ue costate E déduire que pour tout réel positif ou ul : l(+)= σ ()+ ( ) f ( t) dt b/ Motrer que : si est pair, o a σ () l(+) si est impair, o a σ () l(+) c/ Doer e foctio de et, u majorat de la valeur absolue de l erreur commise e remplaçat l(+) par σ () (o utilisera le fait + que si ) d/ Calculer ue valeur approchée à 5 près par défaut de l Devoir 35 SET- MTI - MTGC Page Adama Traoré Professeur Lycée Techique

41 Partie B] O cosidère que =3 -/ a/ Etudier les variatios de la foctio f 3 b/ Motrer que la courbe de f 3 admet u poit d ifleio que l o précisera -/ Soit g la restrictio de f 3 à l itervalle ],+ [ Motrer que g est ue bijectio de ],+ [ sur u itervalle que l o précisera Dresser le tableau de variatio de la bijectio réciproque g 3-/ a/ Trouver les coordoées des poits d itersectio de la courbe (Cg) de g avec la droite d équatio y= b/ Tracer das le pla mui d u repère orthoormé la courbe représetative de g puis celle de sa bijectio réciproque g c/ Trouver les équatios des tagetes à la courbe de g au poits d abscisses et 4-/ a/ Calculer g t) dt ( b/ Pour courbes 5 + 5, détermier l aire comprise etre les deu Partie C] Soit P le polyôme tel que, pour tout z complee P(z)= z 3 (7+9i)z (4 39i)z + 5 -/ Motrer que l équatio P(z)=, admet ue solutio imagiaire pure z que l o calculera -/ Résoudre alors P(z)=, o ote z la solutio o imagiaire pure ayat la plus petite partie réelle ; z la troisième solutio 3-/ Soit A, B, C les poits du pla euclidie d affies respectives z ; z ; z Détermier et costruire l esemble des poits M du pla tels que : MA MB +MC =4 Devoir 35 SET- MTI - MTGC Page Adama Traoré Professeur Lycée Techique

42 **DEVOIR N 36** EXERCICE : (5 poits) U d -/ Pour tout etier aturel, o pose : + = ( + ) e a/ à l aide d ue itégratio par parties, calculer U e foctio de b/ Etudier la covergece de la suite (U ) -/ Pour tout etier aturel, o pose : = S U i a/ Calculer S e foctio de et trouver S i= lim + b/ Calculer ue valeur approchée de S Problème : (5 poits) Soit f la foctio défiie sur];+ [par : f + 4 ) = l ( O désige par (C f ) la courbe représetative de f das le pla mui d u repère orthoormé ( O ; i ; j ) d uité graphique cm Partie A : -/ Etudier le ses de variatio de la foctio g défiie sur ];+ [ par g()= 8l+ +4 (les limites de f e sot pas demadées) -/ Motrer que g passe par u miimum dot o calculera la valeur E déduire le sige de g() 3-/ Etudier le ses de variatio de f 4-/ Calculer les limites de f au bores de so esemble de défiitio Eiste-t-il ue asymptote à la courbe (C f ) parallèle à u ae de coordoées? Partie B : O ; i ; j précédet Soit (F) la courbe de la foctio l das le repère ( ) Soit h la foctio défiie sur ];+ [ par h()=f() l -/ Formuler eplicitemet h() et étudier so sige Qu e déduire pour les courbes (C f ) et (F)? -/ Quelle est la limite de h e +? Qu e déduire pour les courbes (C f ) et (F)? 3-/ Costruire les courbes (C f ) et (F) das le repère ( O i ; j ) Partie C : ; -/ Soit α u réel strictemet supérieur à Calculer, à l aide d ue itégratio par parties : I ( α) = α h( ) d -/ Motrer que, l aire A(α) e cm de la portio du pla limitée par les courbes (C f ) ;(F) et les droites d équatios : = et =α est égale à A(α)=4α Calculer la limite de A(α) quad α ted vers + Devoir 36 SET- MTI - MTGC Adama Traoré Professeur Lycée Techique

43 **DEVOIR N 37** Partie A) O cosidère la foctio polyôme p défiie par p()= ( ) (7 ) ) Calculer p () ) Résoudre IR ; p() = 3) E déduire les solutios de chacue des équatios suivates : a) e 3 e 4e + 4 = b) l +l( ) = l + l (7 ) 3 (l ) + 4 c) = l + 4 l B) Pour tout etier aturel,, o pose I = ( ) d ) Calculer I ) A l aide d ue itégratio par parties, détermier I 3) Etablir ue relatio de récurrece etre I + et I C) ) Détermier ue foctio paire u et ue foctio impaire v telles que : IR ; u() + v() = e ) Motrer que u² v² est ue foctio costate E déduire que Soit g la foctio défiie sur ],+ [ ) dresser le tableau de variatio de g Partie par g() = (3 + l ) u v' = v u' ) démotrer que l équatio g() = admet ue solutio uique θ [,45 ;,46] E déduire le sige de g() sur ] ;+ [ 3) Soit f la foctio défiie sur ] ;+ [ le pla rapporté à u repère orthoormé ( ) a) Etudier les limites de f au bores de ] ;+ [ b) Motrer que ] ; + [ f () = e g() c) Dresser le tableau de variatio de f d) préciser les asymptotes θ e) Motrer que f (θ ) = θ e par f() = e (3 + l) O ote C la courbe de f das r r, i ; j d uité graphique : 4cm r r ;,, e) Tracer la courbe C de f das mui d u repère orthoormal ( O i j ) 4) a) Calculer = θ I (3 + l ) d e foctio de θ 4 b) Que représete I? Devoir 37 SET- MTI - MTGC Adama Traoré Professeur Lycée Techique