Séance 2 : Estimateurs convergents, non biaisés et exhaustifs.

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1 Exercice Séace 2 : Estimateurs covergets, o biaisés et exhaustifs. Soiet les variables aléatoires X i i =,..., i.i.d. Motrez que S 2 = X i X 2 est u estimateur o biaisé de σ 2, où σ 2 = V ar[x ]. O utilise ici le fait que, pour tout valeur de i, IE [X i ] = µ et Var X i = σ 2. Les calculs sot immédiats : O trouve IE [ X 2 ] i = Var X i + IE [X i ] 2 = σ 2 + µ 2 IE [ X2 ] = 2 IE X i X j = 2 IE [X i X j ] + 2 j= i j IE [ X 2 ] i IE [ XXi ] IE [ S 2] = = 2 µ2 + 2 σ2 + µ 2 = µ 2 + σ2 = IE [X j X i ] = µ2 + σ2 + µ 2 = µ 2 + σ2 = = σ 2 j= IE [ X 2 i 2 XX i + X 2 ] σ 2 + µ 2 2 µ 2 + σ2 + µ 2 + σ2 Remarquos que ce log développemet peut être cosidérablemet raccourci e voyat que Exercice 2 S 2 = Xi 2 X 2. Soiet s 2, s2 2,..., s2 k les k variaces-échatillos obteues à partir de k échatillos aléatoires simples idépedats de tailles respectives, 2,..., k.. U = s 2 + 2s ks 2 k k est-il u estimateur o biaisé de σ 2? 2. Si ce est pas le cas, commet le biais peut-il être elevé? Des calculs immédiats rappelez-vous que IE [ s 2] = σ 2 / pour u échatillo aléatoire simple de taille motret que IE [U] = σ2 + 2 σ k σ 2 k k k = σ 2 kσ k. Cet estimateur est clairemet biaisé. U estimateur o biaisé de σ 2 est doé par Ũ = U k k.

2 Exercice 3 Cosidéros ue populatio distribuée selo ue loi de Poisso de paramètre λ >. O extrait de cette populatio ue observatio X. Si otre but est d estimer e 3λ, que pouvez-vous dire de la statistique 2 X? Pour rappel, la loi de probabilité d ue variable aléatoire X Pλ est doé par, pour k aturel, Aisi, IE [ 2 X ] = λ λk IP [X = k] = e k!. 2 k IP [X = k] = k= k= λ 2λk e k! = e 3λ. Cet estimateur est doc sas biais. Malgré cette propriété agréable, il serait extrêmemet déraisoable de predre 2 X comme estimateur pour la simple et boe raiso que ce e est pas u. E effet, u estimateur est ue statistique à valeurs das l espace des paramètres ici, l esemble des valeurs de e 3λ, c est-à-dire IR +. Or, 2X peut predre des valeurs égatives. Ce est doc pas u estimateur, mais ue statistique sas biais. Exercice 4 Soiet les variables aléatoires idépedates et de Beroulli X,..., X. Nous avos doc, pour tout i =,...,, { P [Xi = ] = p P [Xi = ] = p;. Motrez, à partir de la défiitio d exhaustivité, que T = X i est ue statistique exhaustive pour le paramètre p. 2. Pour = 3, la statistique T = e X +X 2 +X 3 est-elle aussi exhaustive? Même questio pour S = X + 2X 2 + X 3. Par défiitio, ue statistique T X est exhaustive si IP [X = x,..., x T X = y ] est idépedat de la valeur du paramètre. Calculos doc IP [X = x T X = y ] = IP [X,..., X = x,..., x T X = y ] [ ] = IP X = x et X 2 = x 2 et... et X = x X i = y = IP [X = x et X 2 = x 2 et... et X = x et X i = y] IP [ X i = y] = IP [X 2 = x 2 et... et X = x et X = y x 2 x 3 x ] IP [ X i = y]

3 Par idépedace, o obtiet alors e se rappelat que la somme de v.a. de Berouilli est ue biomiale de paramètres, p, pour x = y x 2 x le cas x... vaut trivialemet, IP [X = x T X = y ] = IP [X 2 = x 2 ] IP [X 3 = x 3 ]... IP [X = x ] IP [X = y x 2 x 3 x ] IP [ X i = y] = px 2 p x 2... p x p x p y x 2 x p y x 2 x p y y p y = y Cette quatité es clairemet idépedate de p. La statistique T X est doc exhaustive. Remarquos que le calcul effectué ci-dessus reviet exactemet à calculer la vraisemblace coditioelle et à vérifier que celle-ci e déped de p que via ue foctio de y apparaissat das la coditio. Pour = 3, la statistique T est e bijectio avec T. Elle est doc exhaustive. Ce est pas le cas de S. Exercice 5 Soiet les variables aléatoires X,..., X i.i.d. Pλ. Motrez, à partir de la défiitio d exhaustivité, que T = X i est ue statistique exhaustive pour le paramètre λ. O applique ici la même costructio qu à l exercice précédet...et o obtiet la somme de v.a. de Poisso de paramètre λ est ue v.a. de Poisso de paramètre λ : IP [X = x T X = y ] = IP [X 2 = x 2 ] IP [X 3 = x 3 ]... IP [X = x ] IP [X = y x 2 x 3 x ] IP [ X i = y] = e λ λ x 2 x 2!... e λ λ x x! e λ λ y x 2 x y x 2 x! e λ λy y! = x 2!... x! y x 2 x! y y! qui est idépedat de la valeur de λ. La statistique est bie exhaustive. Exercice 6 Soit ue populatio N µ, σ 2. O extrait de cette populatio u échatillo aléatoire simple X,..., X. Costruisez à partir de cet échatillo ue statistique exhaustive. pour µ, σ 2 état cou. 2. pour σ 2, µ état cou. 3. pour θ = µ, σ 2 T. O utilise ici le critère de factorisatio. La vraisemblace s écrit L µ, σ 2 = σ 2π exp xi µ 2 2 σ = σ 2π exp 2σ 2 x i µ 2

4 Il est immédiat qu il est possible de réecrire cette vraisemblace sous les formes suivates : L µ, σ 2 = σ 2π exp x 2 2σ 2 i exp 2σ 2 µ x i exp 2σ 2 µ2, }{{}}{{} hx g µt x où T X = X i, où T 2 X = X i µ 2, L µ, σ 2 = 2π }{{ } hx L µ, σ 2 = 2π }{{ } hx σ exp 2σ 2 }{{} g σ 2 T 2 x x i µ 2, σ exp 2σ 2 x 2 i 2µ }{{} g µ, σ 2 T 3 x x i + µ 2, où T 3 X = X, m 2 T, où l o a posé m 2 = X 2 i. Aisi, T est ue statistique exhaustive pour l estimatio de µ, T 2 est ue statistique exhaustive pour l estimatio de σ 2 et T 3 est ue statistique exhaustive pour le vecteur µ, σ 2 T. Exercice 7 Les élémets d ue populatio possèdet u caractère X qui suit ue loi de probabilité dot la desité est { 4x 3 si < x < θ f θ x = θ 4 sio. Ue suite de expérieces idépedates a doé les valeurs x,..., x. Proposer u estimateur o biaisé T X du paramètre θ lié simplemet à la moyee X = X i de l échatillo. Nous cherchos u estimateur o biaisé basé sur la moyee. Afi de détermier la trasformatio à appliquer à celle-ci, il faut commecer par calculer so biais : IE [ X] = IE [X] = θ 4x 4 θ 4 dx = [ 4x 5 5θ 4 ] θ = 4θ 5. Aisi, IE [ X] est ue foctio liéaire de θ et l o peut trouver u estimateur sas biais e iversat cette relatio : θ = 5 4 IE [ X] [ ] 5 X = IE. 4 L estimateur coveat ici est doc 5 4 X. Exercice 8 Les élémets d ue populatio possèdet u caractère X qui suit ue loi de probabilité dot la desité est { x θ f θ x = si < x < a θa /θ sio où a et θ sot deux costates strictemet positives. Ue suite de expérieces idépedates a doé les valeurs x,..., x. Supposos que la valeur du paramètre θ soit coue. Proposer u estimateur o biaisé T X du paramètre a.

5 Nous utilisos ici le même raisoemet qu à l exercice précédet. O trouve : IE [ X] [ ] a x a θ + = IE [X] = θa /θ x/θ dx = + θa /θ = a + θ. La valeur de θ état supposée coue, ue simple trasformatio liéaire ous permet à ouveau d obteir u estimateur sas biais : IE [ + θ X ] = a. L estimateur à predre est doc + θ X. Exercice 9 Soit X,..., X u échatillo aléatoire simple issu d ue populatio de desité { θx θ si < x < f θ x = sio où θ >. Détermiez ue statistique exhaustive pour le paramètre θ. La méthode la plus simple pour calculer ue statistique exhaustive passe par la coditio écessaire et suffisate. Il faut pour cela calculer la vraisemblace : L θ x = f θ x i = θ θx θ i I [<xi <] = θ x i Celle-ci peut s écrire g θ T xhx pour la statistique exhaustive doc Exercice T X = X i. I [<xi <]. Soiet les variables aléatoires X,..., X iid U[, θ]. Détermiez ue statistique exhaustive pour le paramètre θ. Pour rappel, la foctio de desité d ue variable aléatoire uiforme [, θ] est La vraisemblace est doée par L θ x = f θ x i = f θ x = θ I [ x θ]. θ I [ x i θ] = θ I [x θ] I [ x ]. Ue statistique exhaustive est obteue via le CNS d exhaustivité et est doée par T X = X.

6 Exercice Soiet les variables aléatoires X,..., X iid U[θ 2, θ + 2 ]. Détermiez ue statistique exhaustive pour le paramètre θ. La foctio de desité de chacue de os variables aléatoires est doée par La vraisemblace est L θ x = f θ x i = Ue statistique exhaustive est doée par Exercice 2 f θ x = θ I [θ 2 x θ+ 2]. θ I [θ 2 x i θ+ = 2] θ I [x θ 2] I [x θ+. 2] T X = X, X. Soit X,..., X u échatillo aléatoire simple issu d ue populatio de desité { θe x+θ si x > θ f θ x = sio où θ >. Détermiez ue statistique exhaustive pour le paramètre θ. La vraisemblace est doée par L θ x = f θ x i = θ Ue statistique exhaustive est doc doée par Exercice 3 e xi+θ I [xi θ] = exp x i θ exp θ I [x θ]. }{{}}{{} g θ T x hx T X = X. Soit X,..., X u échatillo aléatoire simple issu d ue populatio de desité f θ x = θe θx I [, [ x. Détermiez ue statistique exhaustive pour le paramètre θ. Il est immédiat que T X = X i est ue statistique exhaustive toujours par le même critère. Exercice 4 Soiet les variables aléatoires X,..., X iid telles que E[X i ] = µ et V ar[x i ] = σ 2 pour tout i =,...,. Motrer que X = X i est u estimateur coverget de µ. Nous allos motrer pour cela comme très souvet que IE [ X] = µ et Var X. Le premier résultat est immédiat. De plus, o a Var X = σ 2 /. Ceci a été motré idirectemet à l exercice, puisque Var X = IE [ X2 ] IE [ X] 2.

7 Exercice 5 Soiet les variables aléatoires X,..., X iid Bi, p. Cosidéros les estimateurs du paramètre p suivats : Sot-ils biaisés, covergets, exhaustifs? ˆp = X i, ˆp 2 = /2 X 2i, ˆp 3 = /2 X i. Nous avos vu exercice 4 que l estimateur T X = X i est ue estimateur exhaustif du paramètre p. Par bijectio, o coclut immédiatemet que ˆp est exhaustif, au cotraire de ˆp 2 et ˆp 3, qui e sot pas e bijectio avec T. Des calculs rapides mettet e évidece que IE [Xi ] IE [ˆp ] = = p = p. /2 IE [X 2i ] IE [ˆp 2 ] = = p. /2 IE [ˆp 3 ] = IE [X i] = p. Var ˆp = Var i X i Var ˆp 2 = Var ˆp 3 = = 2 id. = /2 X 2i /2 p p /2 2 = /2 2. p p. i Var X i p p 2 = 2. O coclut que ˆp est ue estimateur biaisé mais asymptotiquemet o biaisé. Sa variace tedat vers zéro, il est coverget. Les deux autres estimateurs ˆp 2 et ˆp 3 sot o biasés. ˆp 2 est coverget. La variace de ˆp 3 e covergeat pas vers, cet estimateur est pas coverget. Exercice 6 Soiet les variables aléatoires X i i = ; 2 i.i.d. de moyee µ et de variace σ 2. Lequel des deux estimateurs de µ o biaisés suivats coseilleriez-vous : où a, b IR? O trouve rapidemet que M = X + X 2 2 ou M 2 = ax + bx 2, a + b Var M = σ2 2 et Var M 2 = a2 + b 2 a + b 2 σ2. La questio qui se pose alors est de savoir quel estimateur dispose de la plus petite variace ous avos alors deux estimateurs o biaisés, celui possédat la plus petite variace sera cosidéré comme meilleur. Il est facile de voir que a 2 + b 2 a + b 2 2,

8 pour tout a et b avec égalité a = b. Il est relativemet aisé de gééraliser ce résultat au cas de v.a. i.i.d. e cosidérat les deux estimateurs que sot la moyee classique et la moyee podérée de coefficiets a,..., a. O peut doc coclure que le meilleur estimateur e terme de variace critère d efficacité, voir tp suivat das la classe des estimateurs sous la forme de moyee podérée est la moyee classique. Exercice 7 Soiet les variables aléatoires X,..., X idépedates idetiquemet distribuées de loi U[, θ]. L estimateur ˆθ = + X est-il exhaustif? o biaisé? coverget? Nous avos vu à l exercice que T X = X est ue statistique exhaustive pour le paramètre θ. Ce est pas le cas de otre estimateur ˆθX, celui-ci état pas e bijectio avec T X. Nous allos maiteat étudier de deux maières différetes la covergece. Das u premier temps, ous allos utiliser uiquemet la défiitio : Pour rappel, la foctio de répartitio de ˆθ = X est doée par F X x := IP θ [ X x ] = IP θ [X > x] = O trouve immédiatemet que la foctio de desité est Regardos la covergece faible : f X x := F X x = θ x θ I [<x<θ]. x θ I [<x<θ] + I [x θ]. [ IP θ + X θ > ɛ ] [ = IP θ ɛ < + X θ < ɛ ] [ θ ɛ = IP θ + < X < θ + ɛ ] + θ + ɛ θ ɛ = F X F X + + = θ + ɛ + θ θ ɛ + θ exp θ + ɛ θ + exp θ ɛ. θ L estimateur est aisi pas faiblemet coverget. O coclut immédiatemet qu il est pas fortemet coverget. Ue autre méthode passe par le calcul de l espérace et de la variace de otre estimateur réglat au passage la questio du biais. Disposat de la foctio de desité, o trouve [ X ] = IR xf X dx = L estimateur est doc sas biais puisque θ x x θ θ dx = = θ +. ] [ ] θ [ˆθ = + X = + + = θ.

9 La variace est doée par Aisi, Var X = IEθ [X 2 ] θ = = θ Var ˆθ = Var + X = + 2 Var θ 2 X = + 2. O coclut à ouveau à la o-covergece faible. Exercice 8 Les élémets d ue populatio possèdet u caractère X qui suit ue loi de probabilité dot la desité est { 2θxe θx 2 si < x < θ f θ x = sio où θ >. Ue suite de expérieces idépedates a doé les valeurs x,..., x.. Motrez que l estimateur ˆθ = P de θ est ue statistique exhaustive pour ce paramètre. X2 i 2. Cet estimateur est-il biaisé? Coverget? Aide : commecez par détermier la loi de probabilité de Y = θx 2, puis celle de Z = Y i, où les Y i sot des variables aléatoires mutuellemet idépedates et de même loi que Y.. Le support de la distributio e dépedat pas du paramètre icou θ, ous supposeros que tous les X i sot strictemet positifs. Ecrivos la vraisemblace du modèle : L θ X = 2 Π X i θ e θ P X2 i Le critère de factorisatio ous dit alors que X2 i est ue statistique exhaustive pour θ. Par ailleurs, la foctio x /x est ue foctio bijective sur IR +, et X2 i est toujours das IR +. Etat e bijectio avec ue statistique exhaustive, la statistique ˆθ proposée comme estimateur est égalemet exhaustive. 2. O effectue tout d abord le chagemet de variable y = θx 2, ce qui implique dy = 2θxdx, et doc e réécrivat la foctio de répartitio : P Y u = si u et, P Y u = P X u θ = u θ 2θxe θx2 = u e y dy si u. O costate aisi que la desité de Y est f θ y = { e y si y > sio, soit la desité d ue loi Γ,. Puisque les X i sot idépedats, les Y i le sot aussi et grâce aux propriétés de la loi gamma ous savos doc que Z = Y i Γ,.

10 Ceci ous permet de calculer le biais de ˆθ. ] [ ] θ θ [ˆθ = IE = Z IR z fzdz avec i.e. fz = { Γ z e z z > z ] θ [ˆθ = Γ z 2 e z dz. La présece de z 2 das l expressio de l itégrade, par ailleurs fort proche de la desité d ue loi gamma, ous suggère de faire apparaître la desité d ue Γ,. E utilisat les propriétés de la foctio Γ : ] [ˆθ = θ Γ z 2 e z dz l itégrale ci dessus état simplemet l itégrale d ue desité Γ, sur so domaie, elle vaut exactemet et par coséquet ] [ˆθ = θ. L estimateur est doc biaisé, mais asymptotiquemet sas biais. Pour étudier la covergece de ˆθ il faut ecore calculer la variace de cet estimateur : si celle-ci tet vers lorsque ted vers l ifii, o aura démotré sa covergece. O a [ˆθ2 ] = 2 θ 2 z 2 fzdz Le raisoemet est le même que pour l espérace, mais cette fois la puissace de z das l itégrale est abaissée de deux uités, et l o fait doc apparaître la desité d ue loi Γ, 2 [ˆθ2 ] = 2 θ 2 2 Γ 2 z 3 e z dz = 2 θ 2 2 θ2 ce qui implique Var θ ˆθ 2 = 2 θ 2 2 θ2 θ 2 = 2 θ cette quatité ted bie vers, aisi l estimateur proposé est coverget. Exercice 9 Les élémets d ue populatio possèdet u caractère X qui suit ue loi de probabilité dot la desité est { x θ f θ x = si < x < a θa /θ sio où a et θ sot deux costates strictemet positives. de θ est ue statistique exhaustive pour ce pa-. Motrez que l estimateur ˆθ = log X i a ramètre.

11 2. Cet estimateur est il biaisé? Coverget? Aide : commecez par détermier la loi de probabilité de Y = θ log X a, puis celle de Z = Y i, où les Y i sot des variables aléatoires mutuellemet idépedates et de même loi que Y.. Ecrivos la vraisemblace du modèle L θ X = θa /θ e /θ P log X i Ceci implique que la somme log X i aisi que toute foctio bijective de cette derière statistique est ue statistique exhaustive pour θ. E particulier l estimateur proposé. 2. Effectuos le chagemet de variable proposé La desité de Y est alors doée par Y = gx = θ log X a. f Y y = f X g y g g y. ceci est la formule du chagemet de variables das les itégrales ; comme quoi le cours de cdi peut servir à quelque chose. Ici o a g y = ae θy et g x = θx et doc f Y y = θa e θy θae θy = e y pour y positif et x, a. O recoaît doc la desité d ue loi Γ,. Comme précédemmet, la loi de Z = Y i est doc ue Γ,. Par ailleurs, l estimateur ˆθ peut s écrire ˆθ = θ Z et o calcule doc l espérace de cet estimateur grace à la formule doée pour l espérace de Z : ] [ˆθ = θ EZ = θ et l estimateur est sas biais. La formule ous permettat de calculer le momet d ordre deux égalemet, o e déduit la variace de otre estimateur Var θ ˆθ = θ2 2 Cette quatité ted vers zéro lorsque ted vers l ifii, aisi, l estimateur ˆθ est coverget.

12 Exercice 2 Prouvez la propriété : Si ˆθ X est ue estimateur asymptotiquemet sas biais et tel que ˆθ Var X, alors ˆθ X est faiblemet coverget. Aide : Utilisez pour cela l iégalité de Chebychev : Si X est ue variable aléatoire de moyee µ et de variace σ 2, alors, pour tout α positif, IP [ X µ > α] σ2 α 2. Il ous faut motrer ici que, pour tout ɛ, [ ] IP ˆθ θ > ɛ ted vers pour tedat vers l ifii. O est très teté d appliquer Chebychev...mais pour cela ous avos besoi de l espérace de otre variable aléatoire ˆθ. O écrit doc [ ] [ IP ˆθ [ˆθ ] [ˆθ ] ] θ > ɛ = IP ˆθ + θ > ɛ. Or, [ˆθ ] [ˆθ ] ˆθ + θ ˆθ [ˆθ ] [ˆθ ] IEθ + θ. Aisi, l évéemet implique l évéemet A = ˆθ [ˆθ ] [ˆθ ] + θ > ɛ B = ˆθ [ˆθ ] [ˆθ ] IEθ + θ > ɛ. De plus, ˆθ état asymptotiquemet sas biais, o sait qu il existe N tel que N, [ˆθ ] θ < ɛ 2. D où, si est suffisamet grad, [ ] [ IP ˆθ [ˆθ ] θ > ɛ IP ˆθ [ˆθ ] IEθ > ɛ θ > ɛ ] 2 Var ˆθ ɛ/2 2 par Chebychev. ɛ état fixé et la variace tedat vers zéro par hypothèse, o a bie le résultat.

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