Electronique pour la transmission de l'information
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- Alfred Crevier
- il y a 7 ans
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1 Electronique pour la transmission de l'information Examen du 6 janvier 2006 Durée : 3 heures. Documents et calculatrices (ou tout autre appareil électronique) autres que celles fournies ne sont pas autorisés. Nous vous prions de bien vouloir reporter le numéro d'une question sur votre copie avant d'y répondre... On va s intéresser dans ce texte à quelques fonctions et circuits utilisés pour la réception d un signal sonore x(t) transmis dans l air par modulation d amplitude (AM) ou de fréquence (FM). Le signal modulé s(t) occupe alors une bande de fréquence située dans le domaine des "radio-fréquences" (RF). Le schéma fonctionnel simplifié du récepteur étudié est donné ci-dessous, il s agit d un schéma de type "super-hétérodyne". L'antenne large bande reçoit tout signal RF inclus dans une bande de largeur totale B, plus importante que celle occupée par le signal s(t). PA est un bloc pré-amplificateur ayant également B pour bande passante. OL est un oscillateur local délivrant un signal sinusoïdal du type A OL cos(2πf OL t). Le bloc est un mélangeur, délivrant en sortie le produit ku(t)p OL (t) noté v(t) (k est une constante en V -1 ). A FI et A BF sont des amplificateurs fonctionnant, respectivement, dans des domaines de fréquences intermédiaires (FI) et de basses fréquences (BF). A FI inclut une fonction de filtrage passe-bande dans le domaine FI. Antenne Démodulateur w(t) y(t) s(t) PA u(t) k v(t) A FI A BF Haut-parleur de sortie p OL (t) OL Ce texte comporte 5 parties largement indépendantes les unes des autres. Dans la partie C., les questions 13 à 15 peuvent en outre être résolues indépendamment des précédentes (1 à 12). A. Principe du changement de fréquence Supposons dans un premier temps que s(t) se réduise à la porteuse et qu'en sortie de PA on ait u(t) = A 1 cos(2πf 0 t). On note de plus F i = f 0 f OL. Cette fréquence F i est une constante fixée, égale numériquement à 455 khz en AM et 10,7 MHz en FM. C'est également le centre de la bande passante de A FI. 1. Exprimer le signal v(t) en fonction, entre autres, de f 0 et f OL. 2. Représenter le spectre unilatéral de v(t). 3. Quelles sont les deux expressions possibles de f OL en fonction de f 0 et F i? 4. Montrer inversement qu'à une valeur donnée f OL de la fréquence délivrée par l'oscillateur local correspondent deux valeurs possibles (positives) de fréquence porteuse, f 0 et f 0 ', cette dernière étant appelée la fréquence image de f
2 On se place désormais dans le cas d'une modulation AM d'un signal informatif x(t) dont le spectre (d'allure triangulaire par exemple) couvre le domaine [F min ;F max ] (pour f > 0), avec F max << f 0 et F max << B. 5. Quelle doit être la bande passante F de l'amplificateur A FI pour que sa sortie w(t) contienne l'information correspondant à x(t)? 6. Représenter l'allure du spectre unilatéral de w(t) pour une réception d'un signal émis en AM à double bande latérale et à porteuse conservée. 7. Quelle condition doit exister entre F i et B pour qu'aucun signal modulé autour de la fréquence porteuse f 0 ' n'apparaisse en w(t)? On se place dans le cas de la bande B des grandes ondes (GO) soit B = B GO = [150 khz;255 khz]. On prend de plus F min = 30 Hz et F max = 4,5 khz. 8. Combien de signaux du même type que s(t) (ou "canaux") peuvent être transmis dans la bande B GO sans que leurs spectres ne se chevauchent? 9. Y a-t-il possibilité de recevoir dans la bande GO une fréquence porteuse et sa fréquence image? Pourquoi? 10. Reprendre les deux dernières questions dans le cas de la bande des petites ondes PO avec B PO = [500kHz;1600 khz], F min = 30 Hz et F max = 6,45 khz. Enfin, on étudie le cas d'une modulation FM dans la bande B FM = [88 MHz;108 MHz]. On prend F min = 30 Hz et F max = 16,6 khz. L'indice de modulation β n est de plus égal à Quel est l'encombrement en fréquence utile B u du signal modulé en FM s(t)? Expliquer quel critère est employé pour obtenir ce résultat. 12. En déduire le nombre de canaux disponibles dans B FM. 13. Y a-t-il possibilité de recevoir dans la bande FM une fréquence porteuse et sa fréquence image? Pourquoi? 14. Que peut-on faire au niveau de PA dans le cas où la condition énoncée à la question 7 n'est pas respectée? B. Circuit mélangeur Supposons que le circuit mélangeur soit basé sur la cellule de Gilbert dont le schéma est rappelé ci-dessous. V CC R C v s R C v 1 T 3 T 4 T 5 T 6 T 1 T 2 v 2 I
3 On considère ici que tous les transistors sont identiques et que leur gain en courant statique β i est très grand devant 1. On note V T = k B T/q = 26 mv à T = 300 K où k B = 1, J/K est la constante de Boltzmann et q = 1, C la charge élémentaire. On rappelle que pour un transistor bipolaire NPN de gain β i >> 1 polarisé en direct, les courants statiques de collecteur I C et d'émetteur I E sont quasiment identiques et donnés par l'expression : I S exp(v BE /V T ) où V BE est la tension appliquée entre base et émetteur et I S une constante caractéristique des transistors. Enfin, on prend R C = 10 kω et I 0 = 2,5 µa. 1. Exprimer I C3, I C5, I C4, I C6, I C1, I C2 en fonction de v 1, v 2, I 0 et V T. 2. En déduire que I a I b = I 0 th(v 1 /(2V T )) th(v 2 /(2V T )), où les courants I a et I b traversent les résistances R C connectées aux collecteurs respectifs de T 3 et T 6 (sens des courants en convention récepteur par rapport à l'alimentation V CC ). 3. Quelle expression approchée obtient-on au 1 er ordre si v 1 << 2V T et v 2 << 2V T? 4. Montrer alors que v s peut s'écrire sous la forme kv 1 v 2, en donnant l'expression de k en fonction de R C, I 0 et V T. 5. Calculer la valeur numérique de k. C. Démodulation d amplitude On se place dans le cas d'une modulation AM à double bande latérale et porteuse conservée. Le signal informatif x(t) est du même type que celui décrit avant la question A Donner le schéma bloc du circuit utilisé à l'émission pour produire une telle modulation. On définira le taux de modulation m. Le schéma bloc du démodulateur permettant de retrouver x(t) à partir de w(t) à la réception est donné sur la figure suivante : w(t) k z(t) y(t) p r (t) 2. Expliquer à l'aide de spectres le fonctionnement de ce démodulateur, sachant que w(t) est centré sur la porteuse F i et en supposant que p r (t) = A r cos(2πf i t). On précisera en particulier quelle doit être la fréquence de coupure du filtre passe-bas utilisé (supposé idéal). On se place désormais dans le cas où p r (t) = A r cos(2πf i t+ϕ) et x(t) = A x cos(2πft). On a alors w(t) = A w (1 + m cos(2πft)) cos(2πf i t). Le déphasage ϕ, difficilement contrôlable si on ne prend pas de précaution par ailleurs, peut prendre toute valeur entre 0 et 2π. 3. Exprimer z(t) puis en déduire y(t). 4. A-t-on restitué en y(t) le signal x(t) seul? 5. Quelles sont les pires et meilleures conditions sur ϕ pour récupérer x(t)? 6. Pourquoi appelle-t-on souvent ce démodulateur "détecteur synchrone"? 7. Que se passe-t-il si ϕ = 0 et que la fréquence instantanée de p r (t) n'est pas rigoureusement égale à la porteuse F i?
4 8. Décrire comment on peut s'affranchir des problèmes obtenus précédemment à l'aide d'un montage incluant une boucle à verrouillage de phase (on ne rentrera pas dans le détails des calculs associés). On étudie enfin le cas où on a toujours x(t) = A x cos(2πft) et p r (t) = A r cos(2πf i t+ϕ) mais avec désormais le montage suivant utilisé à l'émission pour produire s(t) : x(t) s 1 (t) -π/2 p(t) π/2 + ± s(t) s 2 (t) 9. Dans le cas où p(t) = A 0 cos(2πf i t), exprimer s(t) en fonction, entre autres, de F i et F. 10. De quelle modulation d'amplitude particulière s'agit-il? 11. Reprendre le calcul de y(t) dans le cas où w(t) a la même expression que celle trouvée à la question C Sachant que l'oreille humaine est essentiellement sensible à l'amplitude du signal émis par le haut-parleur de sortie, le déphasage ϕ risque-t-il d'affecter la réception? Pourquoi? Intéressons nous enfin plus en détail au filtre passe-bas du démodulateur. Son schéma, de type Sallen Key, est donné ci-dessous. Les dipôles Y i correspondent à des admittances. On suppose de plus que K est un amplificateur de tension parfait de gain K > 0. Y 2 Y 1 Y 3 K e Y 4 s 13. Comment réaliser l amplificateur de gain K? S(p) 14. Calculer la fonction de transfert H S (p) =. E(p) On prend Y = 2 = 1/ R, Y = 1/ R, Y = C p, Y C p. 15. Montrer que dans ce cas, la fonction de transfert H S (p) se met sous la forme : On identifiera A, m et ω 0. 1 H S(p) = A m p ( ω ) + ( p ω )
5 D. Démodulation de fréquence Dans le cas d'une modulation FM, on peut utiliser un démodulateur dit "à coïncidence" décrit ci-dessous. w(t) Déphaseur w d (t) k z(t) y(t) w(t) C w d (t) L R 1. Exprimer le gain du déphaseur sous la forme canonique (on donnera les expressions de ω c0 et Q en fonction des éléments du circuit) : jq( ω ωc0 ) ( ω ω ω ω) T (jω) =. 1+ jq On suppose que l'on donne à Q la valeur 20 et que les fréquences d'utilisation du déphaseur se situent dans un domaine très proche de f c0 = ω c0 /(2π). On pourra donc poser ω = ω c0 (1 + ε) avec ε << Montrer que l'on peut dans ces conditions obtenir les expressions approchées suivantes pour le module et l'argument de T(jω) : T(jω) = Q et Arg(T(jω)) = π/2 2Qε. Le filtre passe-bas qui suit le multiplieur est supposé idéal avec une fréquence de coupure f c très petite devant f c0. On considère de plus dans un premier temps que w(t) = A w cos(2πft) avec f très proche de f c0. 3. Exprimer alors z(t). 4. Montrer que la sortie y(t) du filtre passe-bas peut s'écrire sous la forme : y(t) = αq 2 ε. Préciser l'expression de α. Le signal w(t) est désormais un signal FM, d'amplitude instantanée A w constante, de fréquence porteuse F i = f c0 et tel que la déviation en fréquence s'écrive K f x(t). On supposera que l'excursion en fréquence est très faible devant F i. 5. Exprimer w(t). 6. Que représente ε dans ce cas? 7. Montrer enfin que y(t) est proportionnel à x(t) en indiquant l'expression du coefficient de proportionnalité. c0 c
6 E. Quelques petites questions sur le bruit 1. Rappeler la définition du facteur de bruit d'un quadripôle. 2. Rappeler la formule donnant le facteur de bruit total de deux quadripôles Q 1 et Q 2 connectés en série (Q 2 après Q 1 ). Le facteur de bruit de chacun d'un quadripôle sera noté F Qi et son gain en tension A Qi, avec i égal à 1 ou En déduire le rôle du pré-amplificateur PA placé en début de la chaîne de réception. 4. Si T a est la température équivalente de bruit de l'antenne d'impédance Z C, quelle est l'expression de la densité spectrale de puissance de bruit (en V 2 /Hz) disponible en entrée du PA, dont l'impédance d'entrée est égale à Z C?
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