Math 104 ANALYSE (première partie) Université Paris Sud Orsay

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1 Math 104 ANALYSE (première partie) Université Paris Sud Orsay Notes de cours de José Montesinos préparées à partir du précédent Polycopié de Math 104 de Thierry Ramond

2 Table des matières 1 La propriété de la borne supérieure Introduction Majorant, minorant, maximum, minimum, borne supérieure, borne inférieure La propriété de la borne supérieure Caractérisation des intervalles Propriété d Archimède (Compléments) Développement décimal d un réel Q est dense dans R Annexe : Les règles de calcul dans R (Rappels) Somme et produit La relation d ordre Valeur absolue, distance Suites de nombres Premières notions Qu est-ce qu une suite de nombres? Sens de variation Suites majorées, minorées ou bornées Suites définies par récurrence Principe de la récurrence Représentation graphique Points fixes, intervalles stables, monotonie Convergence Limite d une suite

3 Limite et relation d ordre Calcul de limite Limites et opérations Le théorème des gendarmes Cas des suites définies par récurrence Critères de convergence Suites monotones Suites adjacentes Critère de Cauchy pour les suites

4 Chapitre 1 La propriété de la borne supérieure 1.1 Introduction Vous avez rencontré jusqu à présent différents types de nombres : d abord les entiers naturels, dès la petite enfance, puis au collège les entiers relatifs et les rationnels. Vous avez noté N l ensemble des entiers naturels, Z celui des entiers relatifs, et Q celui des rationnels. En identifiant les entiers naturels aux entiers relatifs positifs, vous avez écrit N Z, puis en identifiant les entiers relatifs aux fractions rationnelles dont le dénominateur est 1, vous avez aussi écrit N Z Q. Dans Q vous savez faire des additions et des soustractions, des multiplications et des divisions. Vous savez aussi comparer deux nombres rationnels quelconques. Vous savez situer ces nombres sur une droite : il suffit de choisir une origine (qui représentera le nombre 0 ), une unité de longueur et un sens de parcours (généralement de gauche à droite). On parle alors de la «droite numérique» : le nombre rationnel x est représenté par le point d abscisse x sur la droite. La question suivante se pose alors : tout point de la droite numérique a-t-il pour abscisse un nombre rationnel? La réponse est non : on peut construire un carré dont le côté a pour longueur 1 ; la diagonale de ce carré a une longueur l qui vérifie l 2 = = 2 (Th. de Pythagore). Il suffit de reporter cette longueur sur la droite pour déterminer un point d abscisse l. Or l / Q car : Proposition Il n existe pas de nombre rationnel dont le carré est 2. Démonstration : On raisonne par l absurde : supposons le contraire. Il existe une fraction irréductible p p2 q telle que 2 =. Mais alors p 2 = 2q 2, donc p 2 est pair. q 2 Puisque seuls les nombres pairs ont un carré pair, p est pair et s écrit p = 2k. Du coup 2q 2 = 4k 2 donc q 2 est pair, et q est pair. C est absurde puisque la fraction p/q est irréductible. On introduit alors intuitivement l ensemble des nombres réels (qu on note R) comme l ensemble des abscisses de tous les points de la droite numérique. Ainsi Q R. Les éléments de 4

5 CHAPITRE 1. LA PROPRIÉTÉ DE LA BORNE SUPÉRIEURE 5 R Q (comme l = 2, e ou π) s appellent les nombres irrationnels. L ensemble R s identifie à la droite numérique et l on dit indifféremment «point» ou «nombre réel». Dans R vous pouvez faire additions, soustractions, multiplications et divisions, et aussi comparer deux nombres réels quelconques. Cette représentation géométrique des nombres réelles est très utile, mais pour faire de l Analyse rigoureusement il est nécessaire de bien préciser les propriétés fondamentales de R. Nous présentons en Annexe dans la Section 1.6 les règles qui régissent l addition et la multiplication des réels, ainsi que la relation d ordre dans R (rien de nouveau par rapport à Q!). Le but de ce premier chapitre est de mettre l accent sur une propriété essentielle de R, qui n est pas vraie dans l ensemble Q des rationnels, et dont on va déduire dans ce cours les théorèmes fondamentales de l Analyse : la propriété de la borne supérieure. 1.2 Majorant, minorant, maximum, minimum, borne supérieure, borne inférieure Définition Soit A une partie non-vide de R, et m un nombre réel. On dit que 1. m est un majorant de A lorsque a m pour tout a A. 2. m est un minorant de A lorsque m a pour tout a A. Remarques, exemples. 1. Si m est un majorant de A, alors tout réel m m est aussi un majorant de A. Si m est un minorant de A, alors tout m m est aussi un minorant de A. 2. L ensemble A = [0, + [ n a pas de majorant, 0 est un minorant de A. Soit I = ]1, 2[ : 1 est un minorant de I, 2 est un majorant de I. 3. Il est sûrement clair pour vous que l ensemble N n a pas de majorant dans R... cela découle de la Propriété d Archimède (voir Section 1.5). Un minorant de N est, par exemple, 0. Définition Soit A une partie non-vide de R. 1. S il existe M majorant de A tel que M A, alors M est unique. On dit que M est le plus grand élément, ou le maximum, de A (on note M = max(a)). 2. S il existe m minorant de A tel que m A, alors m est unique. On dit que m est le plus petit élément, ou le minimum, de A (on note m = min(a)). Exemples. 1. max ([1, 2]) = 2 puisque 2 est un majorant de [1, 2] et 2 [1, 2]. De même, min ([1, 2]) = 1.

6 6 MATH 104 ANALYSE 2. L ensemble A = ]1, 3[ est majoré et minoré, mais n a pas de plus grand ni de plus petit élément : en effet, soit x 0 A, alors x 0 n est pas un majorant ni un minorant de A car 1 < 1 + x 0 2 < x 0 < x Soit A = { 1 n, n N }. On a max(a) = 1 : 1 est un majorant de A et 1 A. Bien que A soit minoré (par exemple par 0), il n admet pas de plus petit élément : fixons n 0 N 1 1, n 0 A n est pas minorant de A car n 0 +1 < 1 1 n 0 et n 0 +1 A. < 3 Définition Soit A une partie non-vide de R, et b un nombre réel. 1. S il existe un réel b vérifiant (a) b est un majorant de A. (b) Si m est un majorant de A, on a b m. alors b est unique, on dit que b est la borne supérieure de A (on note b = sup(a)). En résumé : sup(a) est le plus petit des majorants de A. 2. S il existe un réel b vérifiant (a) b est un minorant de A. (b) Si m est un minorant de A, on a m b. alors b est unique, on dit que b est la borne inférieure de A (on note b = inf(a)). En résumé : inf(a) est le plus grand des minorants de A. Remarques, exemples. 1. On montre facilement que Si max(a) existe, alors sup(a) existe et sup(a) = max(a). Si sup(a) existe et sup(a) A, alors max(a) existe et max(a) = sup(a). On a des résultats analogues pour min(a) et inf(a). 2. Soit A = ]1, 3[. On a sup(a) = 3 car 3 est un majorant de A et, comme nous avons vu précédemment, x 0 < 3 n est plus majorant de A. De même, inf(a) = 1. Proposition (Caractérisation de la borne supérieure) Soit A une partie non-vide de R, et b un réel. Les deux énoncés suivants sont équivalents 1. b est la borne supérieure de A. 2. b est un majorant de A et, pour tout ɛ > 0, il existe au moins un élément de A dans l intervalle [b ɛ, b]. Démonstration : Si b est la borne supérieure de A, c est un majorant de A, et pour tout ɛ > 0, b ɛ n est pas un majorant de A : il existe un élément x de A qui est supérieur à b ɛ. Puisque b est un majorant de A, on a aussi x b, donc x [b ɛ, b]. Réciproquement, si 2. est vraie, alors b est bien le plus petit des majorants de A.

7 CHAPITRE 1. LA PROPRIÉTÉ DE LA BORNE SUPÉRIEURE 7 Exemple. Proposition (Caractérisation de la borne inférieure) Soit A une partie non-vide de R, et b un réel. Les deux énoncés suivants sont équivalents 1. b est la borne inférieure de A. 2. b est un minorant de A et, pour tout ɛ > 0, il existe au moins un élément de A dans l intervalle [b, b + ɛ]. Soit A = { 1 n, n N }. Utilisons la caractérisation de la borne inférieure pour montrer que inf(a) = 0 : 0 est un minorant de A. Fixons ɛ > 0 et montrons qu il existe au moins un élément de A dans l intervalle [0, 0 + ɛ] : Soit n 0 N tel que n 0 1 ɛ (l existence de n 0 est conséquence de la Propriété d Archimède : voir Section 1.5), on a bien 1 n 0 [0, ɛ]. 1.3 La propriété de la borne supérieure Bien entendu, si A R n admet pas de majorant, A n a pas non plus de borne supérieure : c est le seul cas où une partie (non-vide) de R n a pas de borne supérieure, comme l affirme le résultat fondamental suivant : Théorème (La propriété de la borne supérieure) Soit A une partie non-vide de R. 1. Si A est majorée, alors A admet une borne supérieure. 2. Si A est minorée, alors A admet une borne inférieure. Nous admettrons ce Théorème, dont la démonstration utilise la construction rigoureuse des nombres réels à partir des rationnels. La propriété de la borne supérieure marque la différence essentielle entre Q et R car elle n est pas vraie dans Q : Une partie non vide et majorée de Q n admet pas, en général, une borne supérieure dans Q. En effet, considérons A = {x Q, x 2 2} A n est pas vide (1 A par exemple). A est majorée : 2 est un majorant de A (si x > 2, alors x 2 > 4 et x / A). Montrons par l absurde que A n a pas de borne supérieure dans Q. On suppose donc que b = sup(a) Q et on va arriver à une contradiction. Remarquons que b > 0 car 1 A. Supposons que b 2 < 2. Considérons pour n N le nombre rationnel b n = b(1 + 1 n ). On a (b n ) 2 = b 2 (1 + 2 n + 1 n 2 ) b2 (1 + 3 n )

8 8 MATH 104 ANALYSE Il est facile de vérifier (exercice) que b 2 (1 + 3/n) < 2 n > 3b 2 /(2 b 2 ) (on utilise ici que 2 b 2 > 0). Soit alors n 0 N tel que n 0 > 3b 2 /(2 b 2 ). On a (b n0 ) 2 < 2 et b n0 Q, par conséquent b n0 A, ce qui est absurde car, comme tous les b n, b n0 > b et b est un majorant de A. De la même manière, on ne peut pas avoir b 2 > 2 (exercice). Ainsi, b est un rationnel tel que b 2 = 2, ce qui là encore est absurde : A n a pas de borne supérieure dans Q. Bien entendu, d après la propriété de la borne supérieure, A admet une borne supérieure s R (et on peut adapter les considérations précédentes pour montrer que s 2 = 2). 1.4 Caractérisation des intervalles Voici une première conséquence importante de la propriété de la borne supérieure : Proposition Soit A une partie non-vide de R. Les énoncés suivants sont équivalents : 1. A est un intervalle. 2. Pour tous α β, α, β A, l intervalle [α, β] est inclus dans A. Démonstration : L implication 1 2 est évidente. Montrons que 2 1. Supposons d abord A majoré et minoré. On sait alors que a = inf(a) et b = sup(a) existent. On a A [a, b]. De plus, ]a, b[ A. En effet, si a < x < b, il existe un élément β A dans l intervalle [x, b] (car x n est pas un majorant de A). De même, il existe α A dans [a, x] (puisque x n est pas un minorant de A). Par conséquent, x [α, β] A d après l hypothèse 2. Comme A [a, b] et ]a, b[ A, A est l un des 4 intervalles de bornes a et b. Le lecteur complétera la démonstration si A n est pas majoré ou minoré. 1.5 Propriété d Archimède (Compléments) Il est sûrement clair pour vous que Pour tout nombre réel x, on peut trouver un entier naturel n tel que x < n Cette propriété porte le nom de Propriété d Archimède. Il est très facile de montrer que Q vérifie cette propriété. En effet, soit r Q, si r 0, alors n = 1 convient. Si r > 0, alors il s écrit r = l m, avec l, m N et n = l + 1 convient.

9 CHAPITRE 1. LA PROPRIÉTÉ DE LA BORNE SUPÉRIEURE 9 Nous allons montrer, à partir de la propriété de la borne supérieure, que R vérifie aussi la Propriété d Archimède : Proposition Pour tout x R, il existe n N tel que x < n. Démonstration : Par l absurde. Supposons qu il existe x R tel que n x pour tout n N. Ainsi N est une partie non vide et majorée (par x) de R et elle admet donc une borne supérieure s = sup(n). En particulier n + 1 s, pour tout n N, d où n s 1 pour tout n N. Absurde : s 1 est un majorant de N strictement inférieur à s = sup(n) Développement décimal d un réel Une application immédiate de la Propriété d Archimède est de permettre de définir la partie entière d un réel. Proposition Pour tout réel x, il existe un unique entier relatif m tel que m x < m + 1. On le note m = E(x) : c est la partie entière du réel x. Démonstration : Soit x R +, et A la partie de R définie par A = {p N, x p}. A n est pas vide puisque 0 A. De plus, grâce à la propriété d Archimède, il existe un entier n tel que x < n : tous les éléments de A sont donc inférieurs à n : A est un ensemble fini, donc admet un élément maximum m. Par définition de A on a alors m x < m + 1 puisque m + 1 / A. Pour x < 0, on applique ce qui précède à x : au total, on a alors montré que pour tout x R, il existe un entier m tel que m x < m + 1. Il reste à voir qu il ne peut pas y en avoir un second : supposons que l on ait aussi m x < m + 1. On aurait m 1 < x m et donc m m 1 < 0 < m m + 1, ce qui, pour des entiers, entraîne m m = 0. On peut être bien plus précis : Proposition Soit x un réel. Pour tout n N il existe un unique entier q n tel que q n 10 n x < q n n. q n 10 n (respectivement, q n Le rationnel décimal ) est appelé valeur décimale approchée n à 10 n près par défaut (respectivement, par excès) du réel x. Démonstration : L entier q n = E(10 n x) convient, et c est le seul.

10 10 MATH 104 ANALYSE Q est dense dans R On a bien compris maintenant que Q R. Cependant, grâce à la propriété d Archimède, on montre que ces deux ensembles ne sont pas très différents : Proposition Q est dense dans R : tout intervalle ]a, b[ non-vide de R contient au moins un rationnel. Démonstration : Puisque b a > 0, la propriété d Archimède permet d affirmer qu il existe n N tel que n > 1/(b a). Posons alors m = E(na) : on a m na < m + 1, donc m n a < m + 1 m n n + 1 < a + (b a) = b. n Le nombre rationnel (m + 1)/n appartient donc a ]a, b[. 1.6 Annexe : Les règles de calcul dans R (Rappels) On admet l existence d un ensemble R, qu on appelle ensemble des nombres réels, qui contient Q Somme et produit On admet qu on peut définir sur R une opération : l addition (notée «+»), dont la restriction à Q est l addition usuelle de rationnels, vérifiant Proposition (Propriétés de l addition) A.1 a + b = b + a pour tous réels a et b. A.2 a + (b + c) = (a + b) + c pour tous réels a, b et c. A.3 a + 0 = a pour tout réel a. A.4 Pour tout a R, il existe un unique réel, noté a, qui vérifie a + ( a) = 0. On résume ces quatre propriétés en disant que (R, +) (lire : R muni de l addition) est un groupe commutatif. On admet qu on peut définir sur R une opération : la multiplication (notée ), dont la restriction à Q est la multiplication usuelle de rationnels, vérifiant Proposition (Propriétés de la multiplication) M.1 a b = b a pour tous réels a et b. M.2 a (b c) = (a b) c pour tous réels a, b et c. M.3 a 1 = a pour tout réel a. M.4 Pour tout a R = R 0, il existe un unique réel, noté 1 a, qui vérifie a 1 a = 1

11 CHAPITRE 1. LA PROPRIÉTÉ DE LA BORNE SUPÉRIEURE 11 On remarque que la multiplication dans R vérifie les mêmes quatre propriétés que l addition dans R : (R, ) est aussi un groupe commutatif. Voilà une dernière propriété, reliant l addition et la multiplication, que vous connaissez sous le nom de distributivité : Proposition Pour tous a, b et c dans R, on a a (b + c) = (a b) + (a c) On résume les neuf propriétés qui précèdent en disant que (R, +, ) est un corps commutatif. Il faut noter qu à ce stade, R et Q ont exactement les mêmes propriétés : (Q, +, ) est aussi un corps commutatif. Remarques. 1. On note simplement ab à la place de a b. De même, on écrit a b à la place de a + ( b) et a b à la place de a 1 b. 2. On peut montrer à partir des deux propositions précédentes les résultats suivants (exercice) : 1. Pour tous a, c R, l équation a + x = c possède une unique solution x = c a. 2. Pour tout a R, on a ( a) = a. 3. Pour tout a R, a0 = Pour tous a, b R, on a a( b) = (ab). 5. Pour tousa, c R, a 0, l équation ax = c possède une unique solution x = c a La relation d ordre On admet aussi qu on peut définir sur R une relation d ordre :, dont la restriction à Q est l ordre usuel des rationnels. Les deux propositions suivantes affirment que les propriétés de la relation sur Q se généralisent à R. Dire que est une relation d ordre sur R signifie qu elle vérifie les propriétés réflexive, antisymétrique et transitive. On sait aussi comparer deux réels quelconques : Proposition Quels que soient les réels a, b, c, on a Remarques. 1. Propriété réflexive : a a 2. Propriété antisymétrique : si a b et b a, alors a = b 3. Propriété transitive : si a b et b c, alors a c 4. L ordre est total : on a a b ou b a 1. Si a b et a b, on notera a < b. 2. Pour tous a, b dans R, exactement une seule des relations suivantes est valable : a < b, a = b, b < a.

12 12 MATH 104 ANALYSE En particulier, tout réel x est ou bien strictement positif (0 < x), ou bien strictement négatif (x < 0), ou bien 0. La relation d ordre est compatible avec l addition et la multiplication, dans le sens où l on a les deux propriétés suivantes : Proposition Si a b, alors a + c b + c pour tous réels a, b et c. 2. Si 0 a et 0 b, alors 0 ab, pour tous réels a et b. Remarques. Certaines des conséquences des propositions précédentes doivent être soulignés : 1. On a a b si et seulement si a b Si a b et c d, alors a + c b + d : on peut ajouter membre à membre des inégalités. 3. Si a b et 0 c, alors ac bc. Si a b et c 0, alors bc ac. 4. Si 0 a b et 0 c d, alors 0 ac bd. Attention au signe! 5. Si 0 < a b, alors 0 < 1 b 1. Attention au signe! a Les propriétés décrites dans les Propositions à (vraies aussi dans Q), ainsi que la Propriété de la borne supérieure (fausse dans Q) sont le socle qui permet d établir toutes les autres propriétés des réels Valeur absolue, distance Définition La valeur absolue d un nombre réel a est le nombre, noté a, défini par { a si a 0 a = a si a 0 Voici quelques propriétés qu on peut montrer facilement en discutant sur le signe des réels a et b de façon a déterminer les valeurs absolues : Proposition Soient a, b R. On a : 1) a = a 2) a = 0 a = 0 3) a 0 a > 0 4) a = b a = b ou a = b 5) a = a 2 6) a 2 = a 2 7) ab = a b 8) a = a, (b 0) b b

13 CHAPITRE 1. LA PROPRIÉTÉ DE LA BORNE SUPÉRIEURE 13 Définition On définit la distance entre les nombres réels a et b (notée d(a, b)) par d(a, b) = a b Comme vous savez, il est commode de se représenter l ensemble des réels comme étant l ensemble des points d une droite. Cette analogie ne suffit pas à comprendre toutes les propriétés des nombres réels, mais elle est tout de même parfois utile pour guider son raisonnement. Dans ce contexte, d(a, b) est la longueur du segment de la droite numérique déterminé par les points d abscisses a et b. Voici la traduction en termes d intervalles des inégalités portant sur la valeur absolue (traduction géométriquement facile à partir de la signification intuitive de la notion de distance) : Proposition Soit a un réel positif. On a 1. x a d(x, 0) a a x a x [ a, a] 2. x a d(x, 0) a x a ou x a x ], a] [a, + [ Plus généralement : Proposition Soient c, r R, r > 0. On a x c r d(x, c) r x [c r, c + r] Rappelons, pour terminer, les inégalités triangulaires Proposition Soient a et b deux réels. On a a b a + b a + b

14 Chapitre 2 Suites de nombres 2.1 Premières notions Qu est-ce qu une suite de nombres? Une suite numérique est une liste infinie de nombres. De manière plus précise Définition Une suite numérique réelle est une fonction à valeurs réelles définie sur une partie infinie de N. Si u : N R est une suite, on notera u n le n-ième élément de la liste, c est-à-dire le nombre u(n) image de n par u. On notera aussi (u n ) n N, ou même simplement (u n ), la suite u. Attention aux notations : u n est un nombre, le terme général de la suite (u n ). Il ne faut pas non plus confondre la donnée de la suite (u n ) (la liste infinie...) et l image dans R de l application u, c est à dire l ensemble {u(n), n N} (les nombres réels qui figurent dans la liste). Par exemple, pour u n = ( 1) n, cette image est le sous-ensemble { 1, 1} de R : il y a beaucoup de suites distinctes ayant cet ensemble comme image Sens de variation Définition Une suite numérique (u n ) est croissante si et seulement si pour tout n, u n u n+1. Elle est décroissante si et seulement si u n u n+1 pour tout n. Remarques, exemples. 1. Pour étudier la monotonie d une suite, on s intéresse au signe de la différence u n+1 u n. 14

15 CHAPITRE 2. SUITES DE NOMBRES 15 Par exemple, la suite (u n ) n N définie par u n = 2 n n, est croissante car u n+1 u n = 2 n+1 (n + 1) (2 n n) = 2 n+1 2 n 1 = 2 n (2 1) 1 = 2 n 1 0 pour tout n Pour étudier la monotonie d une suite dont les termes sont tous strictement positifs, on peut comparer à 1 le quotient u n+1 u n. Considérons par exemple la suite (u n ) n 0 de terme général u n = 3n n!. On a u n+1 = 3n+1 u n (n + 1)! n! 3 n = 3 n si n 2 et la suite est décroissante à partir de cet indice. 3. Si f : [0, + [ R est une fonction croissante (resp. décroissante), alors la suite (f(n)) n 0 est croissante (resp. décroissante). 4. Il existe bien sûr des suites qui ne sont ni croissantes ni décroissantes : c est le cas par exemple de (( 1) n ) n Suites majorées, minorées ou bornées. Définition On dit qu une suite (u n ) n 0 est majorée s il existe un réel M supérieur à tous les termes de la suite : pour tout n N, on a u n M La suite (u n ) n 0 est dite minorée s il existe un réel m inférieur à tous les termes de la suite : pour tout n N, on a m u n Lorsqu une suite est majorée et minorée on dit qu elle est bornée. Remarques, exemples. 1. On notera qu une suite n est pas majorée (resp. pas minorée), lorsque, pour tout réel A donné, il existe au moins un terme de la suite plus grand (resp. plus petit) que A. Par exemple, la suite (u n ) n N définie par u n = n 2 est minorée (par 0) mais pas majorée : En effet, soit A > 0 donné, alors A est bien défini et il existe n 0 N tel que n 0 > A, d où (n 0 ) 2 > A : nous avons trouvé un terme de la suite plus grand que A. 2. La suite (( 1) n ) est bornée.

16 16 MATH 104 ANALYSE 2.2 Suites définies par récurrence Principe de la récurrence Nous rencontrerons deux manières différentes de définir une suite, qu il importe de reconnaître : la conduite de l étude d une suite diffère en effet sensiblement suivant que leur définition est d un type ou de l autre. Une suite peut-être définie de manière explicite, le terme général u n de la suite étant donné comme une fonction de n : par exemple u n = 2n, u n = ( 1) n ou encore u n = n!. Une suite peut également être définie par une expression récurrente. Le terme général u n est alors donné comme une fonction de u n 1 ou de plusieurs des termes qui le précédent : u n = f(u n 1, u n 2,..., u n k ) avec k fixé. Par exemple on peut définir la suite (v n ) des nombres impairs par récurrence : v n = v n Il est alors indispensable de fixer les conditions initiales : il faut préciser ici v 0 = 1. Si l on avait pris v 0 = 0, on aurait obtenu la suite des nombres pairs. Est-ce que l on définit bien ainsi une suite de nombres?... Pour répondre à cette question, il faut en général utiliser le Théorème (Principe de récurrence) Soit P (n) une propriété dont l énoncé dépend de l entier naturel n. Supposons que 1. Initialisation : Il existe un naturel n 0 tel que P (n 0 ) est vraie. 2. Hérédité : Pour tout naturel n n 0, on peut montrer l implication P (n) P (n + 1) Alors la propriété P (n) est vraie pour tout entier naturel n n 0. On peut parfois trouver une expression explicite pour une suite définie par récurrence. Ce peut même être très simple, mais une démonstration par récurrence est toujours nécessaire. On montre ainsi (exercice) les résultats suivants : 1. Soit r un réel. La suite (u n ) n 0 définie par la relation de récurrence u n+1 = ru n pour tout n N, et u 0 donné, s écrit u n = r n u 0, pour tout n N (il s agit donc de la suite géométrique de premier terme u 0 et raison r). 2. Soit r un réel. La suite (v n ) n 0 définie par la relation de récurrence v n+1 = v n + r pour tout n N, et v 0 donné, s écrit v n = v 0 + nr, pour tout n N (il s agit donc de la suite arithmétique de premier terme v 0 et raison r).

17 CHAPITRE 2. SUITES DE NOMBRES Représentation graphique La représentation graphique d une suite réelle définie explicitement (à partir d une fonction réelle de variable réelle f) par u n = f(n) est très simple : il suffit de tracer la courbe représentative de la fonction f, et d indiquer l image des entiers. Par contre celle d une suite définie par récurrence est un peu plus délicate. On a tracé ci-dessous la représentation graphique de la suite (u n ) donnée par : u 0 = 1, u n = u n 1, n 1. Ici, u n = f(u n 1 ) avec f(x) = x de y = x et de y = f(x)... et on doit commencer par tracer ensemble les graphes 3 y y=x 2 y=1+2/x 1 u 0 u u u u u 3 5 x Figure 2.1 Représentation graphique d une suite récurrente La représentation semble indiquer que la suite (u n ) converge vers 2 (la solution positive de l équation f(x) = x). Exercice. Tracer ensemble les graphes de x x et x x. Donner la représentation graphique de la suite (u n ) définie par : u 0 = 4, u n+1 = u n, n 0 Formuler une conjecture sur sa monotonie et sa limite. Mêmes questions si u 0 = 1 4.

18 18 MATH 104 ANALYSE Points fixes, intervalles stables, monotonie Soit f une fonction réelle de variable réelle donnée. Considérons la suite (u n ) n N définie par la relation de récurrence pour tout n 0 et u 0 donné. u n+1 = f(u n ) 1. Un intervalle I est dit stable par f s il est contenu dans l ensemble de définition de f et f (I) I. Si u 0 I, intervalle stable par f, on montre facilement par récurrence que u n est bien défini et u n I pour tout n Si, de plus, f(x) x pour tout x I, alors la suite (u n ) est croissante puisque u n+1 = f(u n ) u n De même, si f(x) x sur I, la suite (u n ) est décroissante. 3. Si u 0 est un point fixe de f (f(u 0 ) = u 0 ), alors la suite (u n ) est constante. Exemple. Considérons la fonction f : [0, + [ R définie par f(x) = x. Comme f est croissante, on a Si 0 x 1, alors f(0) f(x) f(1), c est-à dire 0 x 1 : l intervalle [0, 1] est stable par f. De même, 1 x implique f(1) f(x) : on a alors 1 x et l intervalle [1, + [ est stable par f. Remarquons que, comme f est strictement croissante, les intervalles ]0, 1[ et ]1, + [ sont aussi stables par f. Considérons maintenant la suite (u n ) n N définie par u n+1 = f(u n ) = u n pour tout n 0 et u 0 donné. L étude de la fonction x f(x) x et les remarques précédentes montrent que Si u 0 = 0 ou u 0 = 1 (points fixes de f), la suite (u n ) est constante. L intervalle ]0, 1[ est stable par f et f(x) > x si x ]0, 1[ : si u 0 ]0, 1[, alors la suite (u n ) est bien définie, strictement croissante et 0 < u n < 1 pour tout n N. L intervalle ]1, + [ est stable par f et f(x) < x sur cet intervalle : si u 0 > 1, la suite (u n ) est strictement décroissante et u n > 1 pour tout n N.

19 CHAPITRE 2. SUITES DE NOMBRES Convergence Limite d une suite Définition On dit qu une suite (u n ) de nombres réels a pour limite un réel l donné, ou tend vers l, ou encore converge vers l lorsque pour tout ε > 0, il existe N ε N tel que n N ε u n l ε On note alors : lim n u n = l Remarques. 1. La condition u n l ε signifie que u n [ l ε, l + ε ]. 2. On a lim u n = l n lim (u n l) = 0 n En effet, il suffit d appliquer la définition en écrivant lim u n l = 0 n u n l = (u n l) 0 = u n l 0 3. On notera que la modification d un nombre fini de termes d une suite ne change rien pour ce qui est de sa limite éventuelle. Proposition Une suite ne peut avoir deux limites distinctes. Démonstration : Supposons qu une suite (u n ) admette deux limites distinctes l et l. On peut choisir un ε > 0 suffisamment petit pour que les intervalles I = [l ε, l + ε] et I = [l ε, l + ε] soient disjoints (ε = l l /3 convient). Or d après la définition de la limite il n y a qu un nombre fini de termes de la suite en dehors de I, donc à fortiori qu un nombre fini de termes de la suite dans I, ce qui est absurde. Définition Lorsqu une suite (u n ) tend vers un certain réel l, on dit que cette suite est convergente. Dans le cas contraire on dit qu elle est divergente. Parmi les suites divergentes, on distingue celles qui tendent vers l infini : Définition On dit que la suite (u n ) tend vers + lorsque pour tout A R, il existe N A N tel que n N A u n A On note alors : lim n u n = +

20 20 MATH 104 ANALYSE La définition de suite qui tend vers est analogue. Remarques. 1. On notera (exercice) le lien entre la limite d une suite et les limites des suites extraites d indice pair et impair : lim u n = l n lim u 2k = l et k lim u 2k+1 = l k (résultat analogue avec + ou à la place de l). En particulier, si lim u 2k lim u 2k+1, alors la limite de (u n ) n existe pas (c est le cas par k k exemple de la suite u n = ( 1) n ). 2. Soit f une fonction réelle définie sur un voisinage de + et considérons la suite de terme général u n = f(n). On montre facilement que si lim f(x) = l ( resp. +, ) alors lim x u n = l ( resp. +, ) n Limite et relation d ordre Les inégalités larges sont conservées par passage à la limite : Proposition Soit (u n ) et (v n ) deux suites numériques, l et l deux nombres réels. Supposons que (u n ) tend vers l et que (v n ) tend vers l. S il existe n 0 tel que, pour tout n n 0, on a u n v n, alors l l. Démonstration : Par l absurde. Supposons que l > l, et posons ε = l l 3. Puisque (u n ) tend vers l, il existe N ε N tel que pour tout n N ε, on ait u n l ε. En particulier u n l ε pour tout n N ε. De la même manière, il existe N ε tel que, pour tout n N ε, v n l + ε. Posant n 1 = max{n 0, N ε, N ε}, on a donc ce qui est absurde. u n1 l ε > l + ε v n1 Remarques. 1. En général, les inégalités strictes ne sont pas conservées par passage à la limite : on a par exemple 1 n 2 < 1 n pour tout n N, mais les deux suites tendent vers Si u n < v n pour tout n n 0, (u n ) tend vers l et v n tend vers l, alors on pourra dire en général que l l. Proposition Toute suite convergente est bornée. Démonstration : Soit (u n ) une suite convergente, et l R sa limite. Pour ɛ = 1, il existe N 1 N tel que u n l 1 pour tout n N 1, ou encore l 1 u n l+1

21 CHAPITRE 2. SUITES DE NOMBRES 21 pour tout n N 1. Posant M = max{u 0, u 1,..., u N1, l + 1} et m = min{u 0, u 1,..., u N1, l 1}, on a bien m u n M pour tout n N. On remarquera que la réciproque est fausse : la suite (u n ) définie par u n = ( 1) n est bornée mais pas convergente. 2.4 Calcul de limite Les définitions ci-dessus sont assez difficiles à manipuler. Nous regroupons ici quelques théorèmes qui permettent de montrer qu une suite converge vers un réel l Limites et opérations Nous résumons dans le tableau qui suit les principaux résultats concernant la limite de la somme, du produit et du quotient de deux suites. Ils permettent de déterminer assez facilement la limite éventuelle de certaines suites. Soit donc (u n ) et (v n ) deux suites numériques. si alors {}}{{}}{ lim(u n ) lim(v n ) lim(u n + v n ) lim(u n v n ) l R l R l + l ll + l R + + si l > 0 si l < 0? si l = ? si l > 0 l R + si l < 0? si l = 0 + { si }} { { alors }} { lim(u n ) lim( 1 ) u n l R, l 0 1/l 0? 0, avec u n > 0 pour tout n + 0, avec u n < 0 pour tout n Table 2.1 Limite d une somme, d un produit et d un quotient Attention! dans ces tableaux, la présence d un? signale qu il n y a pas de résultat général possible, et qu il faut étudier chacune de ces formes indéterminées en utilisant d autres méthodes. Par exemple si u n = n 2 et v n = n 3, on voit que lim(u n ) =, et que lim(v n ) = +. Le tableau précédent ne permet donc pas directement de connaître la limite éventuelle de la suite

22 22 MATH 104 ANALYSE (w n ) donnée par w n = u n + v n. Pourtant il suffit de remarquer que w n = n 2 (n 1) et de conclure grâce à la huitième ligne. (On dit que l on a levé l indétermination, sport que vous avez sûrement déjà pratiqué.) On se contente de donner la preuve du résultat concernant la limite d une somme : le lecteur pourra s en inspirer pour démontrer les autres. Proposition Soit (a n ) et (b n ) deux suites numériques. Soit (c n ) la suite somme de (a n ) et (b n ), c est-à-dire la suite de terme général c n = a n +b n. Si (a n ) tend vers le réel l et (b n ) tend vers le réel l, alors (c n ) tend vers l + l. Démonstration : Soit ε un réel positif. Il existe un entier M ε/2 tel que, pour tout n M ε/2, on a a n l ε/2. De même, il existe un entier M ε/2 tel que, pour tout n M ε/2, on a b n l ε/2. Soit alors N ε = max{m ε/2, M ε/2 }. Pour tout n N ε on a : c n (l + l ) a n l + b n l < ε. Résumons : pour tout ε > 0, on a trouvé un entier N ε tel que c n (l + l ) ε pour tout n N ε : la suite (c n ) converge vers l + l Le théorème des gendarmes Proposition Si à partir d un certain rang n 0 et a n c n b n lim a n = lim b n = l R n + n + alors lim c n = l. n + Démonstration : Soit ɛ > 0 donné. Il existe N ɛ N tel que, pour tout n N ɛ, a n [ l ɛ, l + ɛ ] De même, il existe N ɛ N tel que, pour tout n N ɛ, b n [ l ɛ, l + ɛ ] Donc pour tout n max (N ɛ, N ɛ, n 0 ), on a c n [ a n, b n ] [ l ɛ, l + ɛ ] c est-à-dire que c n l ɛ.

23 CHAPITRE 2. SUITES DE NOMBRES 23 Exemple. La suite de terme général c n = 2 + ( 1)n n 2 Voici une conséquence du théorème lim n + tend vers 0 car 1 n 2 c n 3 si n 1 et n2 1 n 2 = lim n + 3 n 2 = 0 Proposition Soit (u n ) une suite numérique. S il existe une suite (v n ) qui tend vers 0 et telle que, pour tout n (où même à partir d un certain rang) : alors (u n ) tend vers l. u n l v n Démonstration : A partir d un certain rang et le Th. des gendarmes implique 0 u n l v n lim u n l = 0, ce qui équivaut à lim u n = l. n + n + Autrement dit pour montrer qu une suite converge vers l R il suffit de majorer sa distance à l par une suite positive dont on sait qu elle tend vers 0. Pour pouvoir utiliser ce résultat, il est nécessaire de disposer de suites de référence, en voici trois : Proposition Soit α et a deux réels. 1. La suite (n α ) tend vers zéro si α < 0 et vers + si α > La suite (a n ) tend vers zéro si a < 1, et vers + si a > La suite (n α a n ) tend vers zéro si a < 1 pour n importe quel α. Démonstration : Montrons par exemple 3. Il suffit de prouver que la suite n α a n = n α a n tend vers 0. Considérons alors la fonction f définie sur ]0, + [ par f(x) = x α a x. En écrivant ( [ f(x) = exp (α ln x) exp (x ln a ) = exp (α ln x + x ln a ) = exp x α ln x ] ) + ln a x on voit que lim f(x) = 0 (remarquer que ln a < 0) d où lim f(n) = lim x n n nα a n = 0. Voici un critère du même genre pour les limites infinies dont la démonstration est laissée en exercice : Proposition Supposons que a n b n à partir d un certain rang. 1. Si lim a n = +, alors lim b n = +. n n 2. Si lim b n =, alors lim a n = n n

24 24 MATH 104 ANALYSE Exemples. 1. On montre que lim n+cos n = + en remarquant que n+cos n n 1 et lim n 1 = +. n n 2. On a lim n(sin n 3) = à partir de l inégalité n(sin n 3) 2n. n Cas des suites définies par récurrence Proposition Soit (u n ) une suite numérique qui converge vers un réel l. Si f est une fonction continue au point l, alors la suite (f(u n )) converge vers f(l). Démonstration : Soit ɛ > 0. Comme f est continue en l, il existe α(ɛ) > 0 tel que x l α(ɛ) = f(x) f(l) ɛ. Puisque (u n ) converge vers l, il existe un entier N α(ɛ) tel que n N α(ɛ) = u n l α. Donc, notant N ɛ = N α(ɛ), pour tout n N ɛ on a f(u n ) f(l) ɛ. Remarques. 1. De manière un peu rapide, on écrit souvent cette proposition sous la forme lim f(u n) = f( lim u n). n + n + 2. Si, par exemple, f est continue à droite en l et lim u n = l +, alors on a aussi lim f(u n) = n + n + f(l). Cette proposition est souvent utilisée pour trouver les valeurs possibles de la limite d une suite définie par récurrence : Proposition Supposons que 1. I est un intervalle fermé (c est-à-dire que I est de la forme [a, b], [a, + [, ], b] ou ], + [). 2. f est une fonction continue sur I (si, par exemple, I = [a, b], ceci signifie que f est continue à droite en a, continue à gauche en b, et continue en tout x ]a, b[ ). 3. L intervalle I est stable par f (f(i) I). Considérons la suite (u n ) n 0 définie par la relation de récurrence u n+1 = f (u n ), pour tout n 0, et u 0 I donné. Alors a) La suite est bien définie et tous ses termes sont dans l intervalle I. b) Si (u n ) converge, sa limite l est un point fixe de f dans I ( f(l) = l, l I). Démonstration : a) est immédiate, car I est stable par f et u 0 I. Montrons b) : Puisque I est fermé et que (u n ) converge, on a lim n u n = l I (en effet : si

25 CHAPITRE 2. SUITES DE NOMBRES 25 par exemple I = [a, b], alors a u n b pour tout n 0, implique par passage à la limite que a l b ). La continuité de f sur I donne alors l = d après la proposition précédente. lim u n+1 = lim f(u n) = f( lim u n) = f(l). n + n + n Critères de convergence On donne maintenant des résultats plus difficiles, qui permettent de déterminer si une suite converge sans avoir d idée à priori sur sa limite. Ces énoncés peuvent tous être vus comme des conséquences de l axiome de la borne supérieure Suites monotones Théorème a) Si (u n ) est une suite croissante et majorée alors elle converge, et sa limite est la borne supérieure de l ensemble {u n, n N}. b) Si (u n ) est une suite croissante et non majorée, alors lim n + u n = +. De même : a ) Si (u n ) est une suite décroissante et minorée alors elle converge, et sa limite est la borne inférieure de l ensemble {u n, n N}. b ) Si (u n ) est une suite décroissante et non minorée, alors lim u n =. n + Démonstration : a) : L ensemble {u n, n N} n est pas vide, et il est majoré par hypothèse : il admet donc une borne supérieure b. Soit ɛ > 0. D après la caractérisation de la borne supérieure, il existe au moins un terme de la suite dans l intervalle [b ɛ, b]. Notons n 0 le rang de ce terme. Puisque la suite est croissante, on a b ɛ u n0 u n pour tout n n 0. On a bien sûr aussi u n b pour tout n, donc finalement n n 0 = u n b ɛ. Ce raisonnement étant valable pour tout ɛ > 0, on a bien montré que lim u n = b. n + b) : Soit A > 0. Comme la suite (u n ) n est pas majorée, il existe N A N tel que u NA A. Puisque la suite (u n ) est croissante, n N A implique u n A. Ce raisonnement étant valable pour tout A > 0, on a bien lim u n = +. n +

26 26 MATH 104 ANALYSE Exemples. 1. Soit pour n 1, u n = n p=1 1 p 2. 1 La suite (u n ) est croissante, puisque u n+1 u n = (n + 1) 2 > 0. 1 Elle est aussi majorée puisque, pour p 2, 1 p 2 p(p 1) = 1 p 1 1 p et donc ( u n ) ( ) ( ) ( n 1 1 ) = 2 1 n n 2. Cette suite est donc convergente. Attention! la suite est majorée par 2, donc sa limite est inférieure ou égale à 2, mais on ne peut pas en déduire que la suite tend vers 2 : on peut montrer qu elle tend vers π Considérons la fonction f : [0, + [ R définie par f(x) = x et la suite (u n ) n N définie par u n+1 = f(u n ) = u n pour tout n 0 et u 0 donné. Terminons l étude commencée dans la section : 1. Les points fixes de f sont 0 et 1 : si u 0 = 0 ou u 0 = 1, la suite (u n ) est constante. 2. Soit I 1 = [1, + [ et u 0 I 1 fixé. Comme I 1 est stable par f et f(x) x pour tout x I 1, on sait que la suite (u n ) est bien définie, que tous ses termes sont dans I 1 et qu elle est décroissante. Par conséquent (u n ) converge (suite décroissante et minorée). Soit l sa limite. Puisque f est continue sur l intervalle fermé I 1, la Prop nous dit que l est un point fixe de f dans I 1 : l = Soit maintenant I 2 = [0, 1] et u 0 I 2 donné L intervalle I 2 est stable par f et f(x) x si x I 2 : la suite (u n ) est bien définie, croissante et 0 u n 1 pour tout n 0. Ainsi, (u n ) converge (suite croissante et majorée). Soit l sa limite. Comme f est continue sur l intervalle fermé I 2, l est un point fixe de f dans I 2 : l = 0 ou l = 1. Si u 0 = 0, alors l = 0 (suite constante). Soit 0 < u 0 1, on a 0 < u 0 u n 1 pour tout n 0, et par passage à la limite on obtient 0 < u 0 l 1 et donc finalement l = Suites adjacentes Définition On dit que deux suites (a n ) n 0 et (b n ) n 0 sont adjacentes si 1. La suite (a n ) est croissante. 2. La suite (b n ) est décroissante. 3. lim n + (a n b n ) = 0

27 CHAPITRE 2. SUITES DE NOMBRES 27 Proposition Les propriétés 1, 2 et 3 de la Définition impliquent pour tout n N. a n b n Démonstration : Puisque la suite (a n ) est croissante, la suite ( a n ) est décroissante. Ainsi (b n a n ) est une suite décroissante (somme de deux suites décroissantes). Montrons que b n a n 0 pour tout n N. Par l absurde : Supposons qu il existe p N tel que b p a p < 0. Alors, si n p on a b n a n b p a p et Absurde! 0 = lim n + (a n b n ) b p a p < 0 Remarque. Dans les notations de la Définition, et compte tenu de la Proposition, nous avons a n a n+1 b n+1 b n pour tout n N. Voici donc l interprétation géométrique de la notion de suites adjacentes : Si les suites (a n ) n 0 et (b n ) n 0 sont adjacentes (dans les notations de la Définition), alors les segments I n = [ a n, b n ] sont emboîtés les uns dans les autres : et sa longueur tend vers zéro. I n+1 I n I 2 I 1 I 0 On ne sera pas surpris du résultat suivant Proposition Deux suites adjacentes convergent vers la même limite. Démonstration : Soient (a n ) et (b n ) deux suites adjacentes (dans les notations de la Définition). Puisque a n b n b 0, pour tout n N, la suite croissante (a n ) est majorée : elle converge. Soit l = lim a n. n + Comme lim (a n b n ) = 0, on a lim b n = l aussi (écrire b n = a n + (b n a n )). n + n +

28 28 MATH 104 ANALYSE Remarques. 1. La troisième condition de la Définition (à elle seule) ne suffit pas en général à assurer la convergence des suites (a n ) et (b n ) : Prendre par exemple a n = n + 1 et b n = n, on a bien a n b n = n + 1 n = (n + 1) n = n n si n +, alors que le suites (a n ) et (b n ) tendent vers Toujours dans les notations de la Définition : 1 n n 0 Les suites adjacentes (a n ) n 0 et (b n ) n 0 fournissent un encadrement de leur limite commune l : a n l b n pour tout n N et b n a n majore l erreur de l approximation : pour tout n N. 0 l a n b n a n et 0 b n l b n a n En effet : Fixons n 0 N. Si n n 0, on a a n0 a n et par passage à la limite (en n) on obtient a n0 l. On montre de la même manière que l b n0. 3. On peut énoncer la proposition en termes de segments emboîtés : Soit une suite de segments emboîtés [ a n+1, b n+1 ] [ a n, b n ] [ a 1, b 1 ] [ a 0, b 0 ] dont la longueur tend vers zéro. Alors il existe un et un seul réel l appartenant à l intersection de tous les segments + n=0 [ a n, b n ] = { l } Exemple. Soient (a n ) n 2 et (b n ) n 2 les suites définies, pour tout n 2, par n 1 1 a n = (k 1) 2 k 2 = (n 1) 2 n 2 et b n = a n + 1 n 2 k=2 Montrons que les suites (a n ) et (b n ) sont adjacentes : La suite (a n ) est croissante car, pour tout n 2 La suite (b n ) est décroissante : b n+1 b n = a n+1 a n = 1 n 2 (n + 1) 2 > 0 1 n 2 (n + 1) (n + 1) 2 1 n 2 = 1 ( 1 + n 2 n 2 (n + 1) 2 (n + 1) 2) = 2n n 2 (n + 1) 2 < 0

29 CHAPITRE 2. SUITES DE NOMBRES 29 Enfin, lim (b n a n ) = n + lim n + 1 n 2 = 0. Soit l leur limite commune. Puisque a n l b n et b n a n = 1 pour tout n 2, on obtient : n2 a n est une valeur approchée par défaut à 1 - près de l. n 2 b n est une valeur approchée par excès à 1 n 2 - près de l Critère de Cauchy pour les suites. Définition On dit qu une suite (u n ) vérifie le critère de Cauchy ou que (u n ) est une suite de Cauchy lorsque pour tout ε > 0, il existe N ε N, tel que n > N ε, m > N ε u n u m < ε Autrement dit (u n ) est une suite de Cauchy lorsque la distance entre deux termes quelconques est aussi petite que l on veut, quitte à ne considérer que les termes de rang suffisamment grand. Voici d un coup un grand nombre d exemples de suites de Cauchy! Proposition Toute suite convergente est une suite de Cauchy. Démonstration : Soit l la limite de la suite (u n ), et ɛ > 0. Il existe N ɛ N tel que si n N ɛ, alors u n l ɛ/2. Du coup si n, m N ɛ, on a u n u m u n l + u m l ɛ. Proposition Toute suite de Cauchy est bornée. Démonstration : Il existe N 1 N tel que si n, m N 1, alors u n u m 1. En particulier pour tout n N 1, on a u N1 1 u n u N La suite (u n ) est bornée à partir du rang N 1, donc elle est bornée. Voici encore une conséquence de la propriété de la borne supérieure (nous verrons qu elle est fausse dans Q) : Proposition Toute suite de Cauchy est convergente dans R. Démonstration : Soit (u n ) une suite de Cauchy. Pour tout n, l ensemble {u m, m n} est inclus dans {u m, m 0}, donc est minoré (car la suite (u n ) est bornée).

30 30 MATH 104 ANALYSE Puisqu il n est pas vide, il admet une borne inférieure qu on note a n = inf{u m, m n}. La suite (a n ) est croissante, majorée puisque la suite (u n ) l est, et l on note s sa borne supérieure ; on va montrer que (u n ) converge vers s. Soit donc ɛ > 0. Par définition de la borne supérieure, il existe N ɛ N tel que a n s ɛ/3 pour tout n N ɛ. Puisque (u n ) est une suite de Cauchy, il existe M ɛ N tel que si n, m M ɛ, alors u n u m ɛ/3. Soit donc n max{n ɛ, M ɛ }. Par définition de la borne inférieure, il existe m 0 n tel que a n u m0 a n + ɛ/3. Or u n s u n u m0 + u m0 a n + a n s donc pour n max{n ɛ, M ɛ }, on a bien u n s ɛ. Remarques, exemples. 1. En résumé Une suite réelle (u n ) est convergente si et seulement si elle est une suite de Cauchy. En particulier, si (u n ) n est pas une suite de Cauchy, alors elle diverge : Soit (u n ) la suite donnée par Pour tout n 1, on a u n = n u 2n u n = 1 n n n + n n 1 2n = 1 2 Cette inégalité montre que (u n ) n est pas une suite de Cauchy (prendre ɛ = 1 4 ) et que, par conséquent, cette suite est divergente. Comme (u n ) est croissante, elle n est pas majorée (dans ce cas elle serait convergente!) : elle tend donc vers On donne maintenant un exemple de suite de nombres rationnels vérifiant le critère de Cauchy, mais dont la limite (qui existe dans R d après la proposition précédente!) n est pas un nombre rationnel. Autrement dit, il y a des suites de nombres rationnels qui vérifient le critère de Cauchy mais qui ne sont pas convergentes dans Q : Soit (u n ) la suite donnée par u 0 = 1 et u n+1 = 1 2 (u n + 2 u n ). 1. On vérifie (par récurrence) que tous les termes de cette suite sont rationnels. Ensuite, en étudiant les variations de la fonction ]0, + [ x 1 2 (x + 1 x ) sur R+, on vérifie que u n 2 pour n En remarquant que u n+1 u n = 2 u2 n 2u n, on démontre ensuite que cette suite est décroissante, et, par conséquent, converge (dans R!). Elle vérifie donc le critère de Cauchy.

31 CHAPITRE 2. SUITES DE NOMBRES On montre ensuite que sa limite est 2. On sait déjà que cette limite existe et qu elle est supérieure ou égale à 2. Mieux : on obtient par passage à la limite : l = 1 2 (l + 2 l ), et donc l = 2 : la limite de la suite (u n ) n est pas un rationnel.

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