Math 104 ANALYSE (première partie) Université Paris Sud Orsay

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Math 104 ANALYSE (première partie) Université Paris Sud Orsay"

Transcription

1 Math 104 ANALYSE (première partie) Université Paris Sud Orsay Notes de cours de José Montesinos préparées à partir du précédent Polycopié de Math 104 de Thierry Ramond

2 Table des matières 1 La propriété de la borne supérieure Introduction Majorant, minorant, maximum, minimum, borne supérieure, borne inférieure La propriété de la borne supérieure Caractérisation des intervalles Propriété d Archimède (Compléments) Développement décimal d un réel Q est dense dans R Annexe : Les règles de calcul dans R (Rappels) Somme et produit La relation d ordre Valeur absolue, distance Suites de nombres Premières notions Qu est-ce qu une suite de nombres? Sens de variation Suites majorées, minorées ou bornées Suites définies par récurrence Principe de la récurrence Représentation graphique Points fixes, intervalles stables, monotonie Convergence Limite d une suite

3 Limite et relation d ordre Calcul de limite Limites et opérations Le théorème des gendarmes Cas des suites définies par récurrence Critères de convergence Suites monotones Suites adjacentes Critère de Cauchy pour les suites

4 Chapitre 1 La propriété de la borne supérieure 1.1 Introduction Vous avez rencontré jusqu à présent différents types de nombres : d abord les entiers naturels, dès la petite enfance, puis au collège les entiers relatifs et les rationnels. Vous avez noté N l ensemble des entiers naturels, Z celui des entiers relatifs, et Q celui des rationnels. En identifiant les entiers naturels aux entiers relatifs positifs, vous avez écrit N Z, puis en identifiant les entiers relatifs aux fractions rationnelles dont le dénominateur est 1, vous avez aussi écrit N Z Q. Dans Q vous savez faire des additions et des soustractions, des multiplications et des divisions. Vous savez aussi comparer deux nombres rationnels quelconques. Vous savez situer ces nombres sur une droite : il suffit de choisir une origine (qui représentera le nombre 0 ), une unité de longueur et un sens de parcours (généralement de gauche à droite). On parle alors de la «droite numérique» : le nombre rationnel x est représenté par le point d abscisse x sur la droite. La question suivante se pose alors : tout point de la droite numérique a-t-il pour abscisse un nombre rationnel? La réponse est non : on peut construire un carré dont le côté a pour longueur 1 ; la diagonale de ce carré a une longueur l qui vérifie l 2 = = 2 (Th. de Pythagore). Il suffit de reporter cette longueur sur la droite pour déterminer un point d abscisse l. Or l / Q car : Proposition Il n existe pas de nombre rationnel dont le carré est 2. Démonstration : On raisonne par l absurde : supposons le contraire. Il existe une fraction irréductible p p2 q telle que 2 =. Mais alors p 2 = 2q 2, donc p 2 est pair. q 2 Puisque seuls les nombres pairs ont un carré pair, p est pair et s écrit p = 2k. Du coup 2q 2 = 4k 2 donc q 2 est pair, et q est pair. C est absurde puisque la fraction p/q est irréductible. On introduit alors intuitivement l ensemble des nombres réels (qu on note R) comme l ensemble des abscisses de tous les points de la droite numérique. Ainsi Q R. Les éléments de 4

5 CHAPITRE 1. LA PROPRIÉTÉ DE LA BORNE SUPÉRIEURE 5 R Q (comme l = 2, e ou π) s appellent les nombres irrationnels. L ensemble R s identifie à la droite numérique et l on dit indifféremment «point» ou «nombre réel». Dans R vous pouvez faire additions, soustractions, multiplications et divisions, et aussi comparer deux nombres réels quelconques. Cette représentation géométrique des nombres réelles est très utile, mais pour faire de l Analyse rigoureusement il est nécessaire de bien préciser les propriétés fondamentales de R. Nous présentons en Annexe dans la Section 1.6 les règles qui régissent l addition et la multiplication des réels, ainsi que la relation d ordre dans R (rien de nouveau par rapport à Q!). Le but de ce premier chapitre est de mettre l accent sur une propriété essentielle de R, qui n est pas vraie dans l ensemble Q des rationnels, et dont on va déduire dans ce cours les théorèmes fondamentales de l Analyse : la propriété de la borne supérieure. 1.2 Majorant, minorant, maximum, minimum, borne supérieure, borne inférieure Définition Soit A une partie non-vide de R, et m un nombre réel. On dit que 1. m est un majorant de A lorsque a m pour tout a A. 2. m est un minorant de A lorsque m a pour tout a A. Remarques, exemples. 1. Si m est un majorant de A, alors tout réel m m est aussi un majorant de A. Si m est un minorant de A, alors tout m m est aussi un minorant de A. 2. L ensemble A = [0, + [ n a pas de majorant, 0 est un minorant de A. Soit I = ]1, 2[ : 1 est un minorant de I, 2 est un majorant de I. 3. Il est sûrement clair pour vous que l ensemble N n a pas de majorant dans R... cela découle de la Propriété d Archimède (voir Section 1.5). Un minorant de N est, par exemple, 0. Définition Soit A une partie non-vide de R. 1. S il existe M majorant de A tel que M A, alors M est unique. On dit que M est le plus grand élément, ou le maximum, de A (on note M = max(a)). 2. S il existe m minorant de A tel que m A, alors m est unique. On dit que m est le plus petit élément, ou le minimum, de A (on note m = min(a)). Exemples. 1. max ([1, 2]) = 2 puisque 2 est un majorant de [1, 2] et 2 [1, 2]. De même, min ([1, 2]) = 1.

6 6 MATH 104 ANALYSE 2. L ensemble A = ]1, 3[ est majoré et minoré, mais n a pas de plus grand ni de plus petit élément : en effet, soit x 0 A, alors x 0 n est pas un majorant ni un minorant de A car 1 < 1 + x 0 2 < x 0 < x Soit A = { 1 n, n N }. On a max(a) = 1 : 1 est un majorant de A et 1 A. Bien que A soit minoré (par exemple par 0), il n admet pas de plus petit élément : fixons n 0 N 1 1, n 0 A n est pas minorant de A car n 0 +1 < 1 1 n 0 et n 0 +1 A. < 3 Définition Soit A une partie non-vide de R, et b un nombre réel. 1. S il existe un réel b vérifiant (a) b est un majorant de A. (b) Si m est un majorant de A, on a b m. alors b est unique, on dit que b est la borne supérieure de A (on note b = sup(a)). En résumé : sup(a) est le plus petit des majorants de A. 2. S il existe un réel b vérifiant (a) b est un minorant de A. (b) Si m est un minorant de A, on a m b. alors b est unique, on dit que b est la borne inférieure de A (on note b = inf(a)). En résumé : inf(a) est le plus grand des minorants de A. Remarques, exemples. 1. On montre facilement que Si max(a) existe, alors sup(a) existe et sup(a) = max(a). Si sup(a) existe et sup(a) A, alors max(a) existe et max(a) = sup(a). On a des résultats analogues pour min(a) et inf(a). 2. Soit A = ]1, 3[. On a sup(a) = 3 car 3 est un majorant de A et, comme nous avons vu précédemment, x 0 < 3 n est plus majorant de A. De même, inf(a) = 1. Proposition (Caractérisation de la borne supérieure) Soit A une partie non-vide de R, et b un réel. Les deux énoncés suivants sont équivalents 1. b est la borne supérieure de A. 2. b est un majorant de A et, pour tout ɛ > 0, il existe au moins un élément de A dans l intervalle [b ɛ, b]. Démonstration : Si b est la borne supérieure de A, c est un majorant de A, et pour tout ɛ > 0, b ɛ n est pas un majorant de A : il existe un élément x de A qui est supérieur à b ɛ. Puisque b est un majorant de A, on a aussi x b, donc x [b ɛ, b]. Réciproquement, si 2. est vraie, alors b est bien le plus petit des majorants de A.

7 CHAPITRE 1. LA PROPRIÉTÉ DE LA BORNE SUPÉRIEURE 7 Exemple. Proposition (Caractérisation de la borne inférieure) Soit A une partie non-vide de R, et b un réel. Les deux énoncés suivants sont équivalents 1. b est la borne inférieure de A. 2. b est un minorant de A et, pour tout ɛ > 0, il existe au moins un élément de A dans l intervalle [b, b + ɛ]. Soit A = { 1 n, n N }. Utilisons la caractérisation de la borne inférieure pour montrer que inf(a) = 0 : 0 est un minorant de A. Fixons ɛ > 0 et montrons qu il existe au moins un élément de A dans l intervalle [0, 0 + ɛ] : Soit n 0 N tel que n 0 1 ɛ (l existence de n 0 est conséquence de la Propriété d Archimède : voir Section 1.5), on a bien 1 n 0 [0, ɛ]. 1.3 La propriété de la borne supérieure Bien entendu, si A R n admet pas de majorant, A n a pas non plus de borne supérieure : c est le seul cas où une partie (non-vide) de R n a pas de borne supérieure, comme l affirme le résultat fondamental suivant : Théorème (La propriété de la borne supérieure) Soit A une partie non-vide de R. 1. Si A est majorée, alors A admet une borne supérieure. 2. Si A est minorée, alors A admet une borne inférieure. Nous admettrons ce Théorème, dont la démonstration utilise la construction rigoureuse des nombres réels à partir des rationnels. La propriété de la borne supérieure marque la différence essentielle entre Q et R car elle n est pas vraie dans Q : Une partie non vide et majorée de Q n admet pas, en général, une borne supérieure dans Q. En effet, considérons A = {x Q, x 2 2} A n est pas vide (1 A par exemple). A est majorée : 2 est un majorant de A (si x > 2, alors x 2 > 4 et x / A). Montrons par l absurde que A n a pas de borne supérieure dans Q. On suppose donc que b = sup(a) Q et on va arriver à une contradiction. Remarquons que b > 0 car 1 A. Supposons que b 2 < 2. Considérons pour n N le nombre rationnel b n = b(1 + 1 n ). On a (b n ) 2 = b 2 (1 + 2 n + 1 n 2 ) b2 (1 + 3 n )

8 8 MATH 104 ANALYSE Il est facile de vérifier (exercice) que b 2 (1 + 3/n) < 2 n > 3b 2 /(2 b 2 ) (on utilise ici que 2 b 2 > 0). Soit alors n 0 N tel que n 0 > 3b 2 /(2 b 2 ). On a (b n0 ) 2 < 2 et b n0 Q, par conséquent b n0 A, ce qui est absurde car, comme tous les b n, b n0 > b et b est un majorant de A. De la même manière, on ne peut pas avoir b 2 > 2 (exercice). Ainsi, b est un rationnel tel que b 2 = 2, ce qui là encore est absurde : A n a pas de borne supérieure dans Q. Bien entendu, d après la propriété de la borne supérieure, A admet une borne supérieure s R (et on peut adapter les considérations précédentes pour montrer que s 2 = 2). 1.4 Caractérisation des intervalles Voici une première conséquence importante de la propriété de la borne supérieure : Proposition Soit A une partie non-vide de R. Les énoncés suivants sont équivalents : 1. A est un intervalle. 2. Pour tous α β, α, β A, l intervalle [α, β] est inclus dans A. Démonstration : L implication 1 2 est évidente. Montrons que 2 1. Supposons d abord A majoré et minoré. On sait alors que a = inf(a) et b = sup(a) existent. On a A [a, b]. De plus, ]a, b[ A. En effet, si a < x < b, il existe un élément β A dans l intervalle [x, b] (car x n est pas un majorant de A). De même, il existe α A dans [a, x] (puisque x n est pas un minorant de A). Par conséquent, x [α, β] A d après l hypothèse 2. Comme A [a, b] et ]a, b[ A, A est l un des 4 intervalles de bornes a et b. Le lecteur complétera la démonstration si A n est pas majoré ou minoré. 1.5 Propriété d Archimède (Compléments) Il est sûrement clair pour vous que Pour tout nombre réel x, on peut trouver un entier naturel n tel que x < n Cette propriété porte le nom de Propriété d Archimède. Il est très facile de montrer que Q vérifie cette propriété. En effet, soit r Q, si r 0, alors n = 1 convient. Si r > 0, alors il s écrit r = l m, avec l, m N et n = l + 1 convient.

9 CHAPITRE 1. LA PROPRIÉTÉ DE LA BORNE SUPÉRIEURE 9 Nous allons montrer, à partir de la propriété de la borne supérieure, que R vérifie aussi la Propriété d Archimède : Proposition Pour tout x R, il existe n N tel que x < n. Démonstration : Par l absurde. Supposons qu il existe x R tel que n x pour tout n N. Ainsi N est une partie non vide et majorée (par x) de R et elle admet donc une borne supérieure s = sup(n). En particulier n + 1 s, pour tout n N, d où n s 1 pour tout n N. Absurde : s 1 est un majorant de N strictement inférieur à s = sup(n) Développement décimal d un réel Une application immédiate de la Propriété d Archimède est de permettre de définir la partie entière d un réel. Proposition Pour tout réel x, il existe un unique entier relatif m tel que m x < m + 1. On le note m = E(x) : c est la partie entière du réel x. Démonstration : Soit x R +, et A la partie de R définie par A = {p N, x p}. A n est pas vide puisque 0 A. De plus, grâce à la propriété d Archimède, il existe un entier n tel que x < n : tous les éléments de A sont donc inférieurs à n : A est un ensemble fini, donc admet un élément maximum m. Par définition de A on a alors m x < m + 1 puisque m + 1 / A. Pour x < 0, on applique ce qui précède à x : au total, on a alors montré que pour tout x R, il existe un entier m tel que m x < m + 1. Il reste à voir qu il ne peut pas y en avoir un second : supposons que l on ait aussi m x < m + 1. On aurait m 1 < x m et donc m m 1 < 0 < m m + 1, ce qui, pour des entiers, entraîne m m = 0. On peut être bien plus précis : Proposition Soit x un réel. Pour tout n N il existe un unique entier q n tel que q n 10 n x < q n n. q n 10 n (respectivement, q n Le rationnel décimal ) est appelé valeur décimale approchée n à 10 n près par défaut (respectivement, par excès) du réel x. Démonstration : L entier q n = E(10 n x) convient, et c est le seul.

10 10 MATH 104 ANALYSE Q est dense dans R On a bien compris maintenant que Q R. Cependant, grâce à la propriété d Archimède, on montre que ces deux ensembles ne sont pas très différents : Proposition Q est dense dans R : tout intervalle ]a, b[ non-vide de R contient au moins un rationnel. Démonstration : Puisque b a > 0, la propriété d Archimède permet d affirmer qu il existe n N tel que n > 1/(b a). Posons alors m = E(na) : on a m na < m + 1, donc m n a < m + 1 m n n + 1 < a + (b a) = b. n Le nombre rationnel (m + 1)/n appartient donc a ]a, b[. 1.6 Annexe : Les règles de calcul dans R (Rappels) On admet l existence d un ensemble R, qu on appelle ensemble des nombres réels, qui contient Q Somme et produit On admet qu on peut définir sur R une opération : l addition (notée «+»), dont la restriction à Q est l addition usuelle de rationnels, vérifiant Proposition (Propriétés de l addition) A.1 a + b = b + a pour tous réels a et b. A.2 a + (b + c) = (a + b) + c pour tous réels a, b et c. A.3 a + 0 = a pour tout réel a. A.4 Pour tout a R, il existe un unique réel, noté a, qui vérifie a + ( a) = 0. On résume ces quatre propriétés en disant que (R, +) (lire : R muni de l addition) est un groupe commutatif. On admet qu on peut définir sur R une opération : la multiplication (notée ), dont la restriction à Q est la multiplication usuelle de rationnels, vérifiant Proposition (Propriétés de la multiplication) M.1 a b = b a pour tous réels a et b. M.2 a (b c) = (a b) c pour tous réels a, b et c. M.3 a 1 = a pour tout réel a. M.4 Pour tout a R = R 0, il existe un unique réel, noté 1 a, qui vérifie a 1 a = 1

11 CHAPITRE 1. LA PROPRIÉTÉ DE LA BORNE SUPÉRIEURE 11 On remarque que la multiplication dans R vérifie les mêmes quatre propriétés que l addition dans R : (R, ) est aussi un groupe commutatif. Voilà une dernière propriété, reliant l addition et la multiplication, que vous connaissez sous le nom de distributivité : Proposition Pour tous a, b et c dans R, on a a (b + c) = (a b) + (a c) On résume les neuf propriétés qui précèdent en disant que (R, +, ) est un corps commutatif. Il faut noter qu à ce stade, R et Q ont exactement les mêmes propriétés : (Q, +, ) est aussi un corps commutatif. Remarques. 1. On note simplement ab à la place de a b. De même, on écrit a b à la place de a + ( b) et a b à la place de a 1 b. 2. On peut montrer à partir des deux propositions précédentes les résultats suivants (exercice) : 1. Pour tous a, c R, l équation a + x = c possède une unique solution x = c a. 2. Pour tout a R, on a ( a) = a. 3. Pour tout a R, a0 = Pour tous a, b R, on a a( b) = (ab). 5. Pour tousa, c R, a 0, l équation ax = c possède une unique solution x = c a La relation d ordre On admet aussi qu on peut définir sur R une relation d ordre :, dont la restriction à Q est l ordre usuel des rationnels. Les deux propositions suivantes affirment que les propriétés de la relation sur Q se généralisent à R. Dire que est une relation d ordre sur R signifie qu elle vérifie les propriétés réflexive, antisymétrique et transitive. On sait aussi comparer deux réels quelconques : Proposition Quels que soient les réels a, b, c, on a Remarques. 1. Propriété réflexive : a a 2. Propriété antisymétrique : si a b et b a, alors a = b 3. Propriété transitive : si a b et b c, alors a c 4. L ordre est total : on a a b ou b a 1. Si a b et a b, on notera a < b. 2. Pour tous a, b dans R, exactement une seule des relations suivantes est valable : a < b, a = b, b < a.

12 12 MATH 104 ANALYSE En particulier, tout réel x est ou bien strictement positif (0 < x), ou bien strictement négatif (x < 0), ou bien 0. La relation d ordre est compatible avec l addition et la multiplication, dans le sens où l on a les deux propriétés suivantes : Proposition Si a b, alors a + c b + c pour tous réels a, b et c. 2. Si 0 a et 0 b, alors 0 ab, pour tous réels a et b. Remarques. Certaines des conséquences des propositions précédentes doivent être soulignés : 1. On a a b si et seulement si a b Si a b et c d, alors a + c b + d : on peut ajouter membre à membre des inégalités. 3. Si a b et 0 c, alors ac bc. Si a b et c 0, alors bc ac. 4. Si 0 a b et 0 c d, alors 0 ac bd. Attention au signe! 5. Si 0 < a b, alors 0 < 1 b 1. Attention au signe! a Les propriétés décrites dans les Propositions à (vraies aussi dans Q), ainsi que la Propriété de la borne supérieure (fausse dans Q) sont le socle qui permet d établir toutes les autres propriétés des réels Valeur absolue, distance Définition La valeur absolue d un nombre réel a est le nombre, noté a, défini par { a si a 0 a = a si a 0 Voici quelques propriétés qu on peut montrer facilement en discutant sur le signe des réels a et b de façon a déterminer les valeurs absolues : Proposition Soient a, b R. On a : 1) a = a 2) a = 0 a = 0 3) a 0 a > 0 4) a = b a = b ou a = b 5) a = a 2 6) a 2 = a 2 7) ab = a b 8) a = a, (b 0) b b

13 CHAPITRE 1. LA PROPRIÉTÉ DE LA BORNE SUPÉRIEURE 13 Définition On définit la distance entre les nombres réels a et b (notée d(a, b)) par d(a, b) = a b Comme vous savez, il est commode de se représenter l ensemble des réels comme étant l ensemble des points d une droite. Cette analogie ne suffit pas à comprendre toutes les propriétés des nombres réels, mais elle est tout de même parfois utile pour guider son raisonnement. Dans ce contexte, d(a, b) est la longueur du segment de la droite numérique déterminé par les points d abscisses a et b. Voici la traduction en termes d intervalles des inégalités portant sur la valeur absolue (traduction géométriquement facile à partir de la signification intuitive de la notion de distance) : Proposition Soit a un réel positif. On a 1. x a d(x, 0) a a x a x [ a, a] 2. x a d(x, 0) a x a ou x a x ], a] [a, + [ Plus généralement : Proposition Soient c, r R, r > 0. On a x c r d(x, c) r x [c r, c + r] Rappelons, pour terminer, les inégalités triangulaires Proposition Soient a et b deux réels. On a a b a + b a + b

14 Chapitre 2 Suites de nombres 2.1 Premières notions Qu est-ce qu une suite de nombres? Une suite numérique est une liste infinie de nombres. De manière plus précise Définition Une suite numérique réelle est une fonction à valeurs réelles définie sur une partie infinie de N. Si u : N R est une suite, on notera u n le n-ième élément de la liste, c est-à-dire le nombre u(n) image de n par u. On notera aussi (u n ) n N, ou même simplement (u n ), la suite u. Attention aux notations : u n est un nombre, le terme général de la suite (u n ). Il ne faut pas non plus confondre la donnée de la suite (u n ) (la liste infinie...) et l image dans R de l application u, c est à dire l ensemble {u(n), n N} (les nombres réels qui figurent dans la liste). Par exemple, pour u n = ( 1) n, cette image est le sous-ensemble { 1, 1} de R : il y a beaucoup de suites distinctes ayant cet ensemble comme image Sens de variation Définition Une suite numérique (u n ) est croissante si et seulement si pour tout n, u n u n+1. Elle est décroissante si et seulement si u n u n+1 pour tout n. Remarques, exemples. 1. Pour étudier la monotonie d une suite, on s intéresse au signe de la différence u n+1 u n. 14

15 CHAPITRE 2. SUITES DE NOMBRES 15 Par exemple, la suite (u n ) n N définie par u n = 2 n n, est croissante car u n+1 u n = 2 n+1 (n + 1) (2 n n) = 2 n+1 2 n 1 = 2 n (2 1) 1 = 2 n 1 0 pour tout n Pour étudier la monotonie d une suite dont les termes sont tous strictement positifs, on peut comparer à 1 le quotient u n+1 u n. Considérons par exemple la suite (u n ) n 0 de terme général u n = 3n n!. On a u n+1 = 3n+1 u n (n + 1)! n! 3 n = 3 n si n 2 et la suite est décroissante à partir de cet indice. 3. Si f : [0, + [ R est une fonction croissante (resp. décroissante), alors la suite (f(n)) n 0 est croissante (resp. décroissante). 4. Il existe bien sûr des suites qui ne sont ni croissantes ni décroissantes : c est le cas par exemple de (( 1) n ) n Suites majorées, minorées ou bornées. Définition On dit qu une suite (u n ) n 0 est majorée s il existe un réel M supérieur à tous les termes de la suite : pour tout n N, on a u n M La suite (u n ) n 0 est dite minorée s il existe un réel m inférieur à tous les termes de la suite : pour tout n N, on a m u n Lorsqu une suite est majorée et minorée on dit qu elle est bornée. Remarques, exemples. 1. On notera qu une suite n est pas majorée (resp. pas minorée), lorsque, pour tout réel A donné, il existe au moins un terme de la suite plus grand (resp. plus petit) que A. Par exemple, la suite (u n ) n N définie par u n = n 2 est minorée (par 0) mais pas majorée : En effet, soit A > 0 donné, alors A est bien défini et il existe n 0 N tel que n 0 > A, d où (n 0 ) 2 > A : nous avons trouvé un terme de la suite plus grand que A. 2. La suite (( 1) n ) est bornée.

16 16 MATH 104 ANALYSE 2.2 Suites définies par récurrence Principe de la récurrence Nous rencontrerons deux manières différentes de définir une suite, qu il importe de reconnaître : la conduite de l étude d une suite diffère en effet sensiblement suivant que leur définition est d un type ou de l autre. Une suite peut-être définie de manière explicite, le terme général u n de la suite étant donné comme une fonction de n : par exemple u n = 2n, u n = ( 1) n ou encore u n = n!. Une suite peut également être définie par une expression récurrente. Le terme général u n est alors donné comme une fonction de u n 1 ou de plusieurs des termes qui le précédent : u n = f(u n 1, u n 2,..., u n k ) avec k fixé. Par exemple on peut définir la suite (v n ) des nombres impairs par récurrence : v n = v n Il est alors indispensable de fixer les conditions initiales : il faut préciser ici v 0 = 1. Si l on avait pris v 0 = 0, on aurait obtenu la suite des nombres pairs. Est-ce que l on définit bien ainsi une suite de nombres?... Pour répondre à cette question, il faut en général utiliser le Théorème (Principe de récurrence) Soit P (n) une propriété dont l énoncé dépend de l entier naturel n. Supposons que 1. Initialisation : Il existe un naturel n 0 tel que P (n 0 ) est vraie. 2. Hérédité : Pour tout naturel n n 0, on peut montrer l implication P (n) P (n + 1) Alors la propriété P (n) est vraie pour tout entier naturel n n 0. On peut parfois trouver une expression explicite pour une suite définie par récurrence. Ce peut même être très simple, mais une démonstration par récurrence est toujours nécessaire. On montre ainsi (exercice) les résultats suivants : 1. Soit r un réel. La suite (u n ) n 0 définie par la relation de récurrence u n+1 = ru n pour tout n N, et u 0 donné, s écrit u n = r n u 0, pour tout n N (il s agit donc de la suite géométrique de premier terme u 0 et raison r). 2. Soit r un réel. La suite (v n ) n 0 définie par la relation de récurrence v n+1 = v n + r pour tout n N, et v 0 donné, s écrit v n = v 0 + nr, pour tout n N (il s agit donc de la suite arithmétique de premier terme v 0 et raison r).

17 CHAPITRE 2. SUITES DE NOMBRES Représentation graphique La représentation graphique d une suite réelle définie explicitement (à partir d une fonction réelle de variable réelle f) par u n = f(n) est très simple : il suffit de tracer la courbe représentative de la fonction f, et d indiquer l image des entiers. Par contre celle d une suite définie par récurrence est un peu plus délicate. On a tracé ci-dessous la représentation graphique de la suite (u n ) donnée par : u 0 = 1, u n = u n 1, n 1. Ici, u n = f(u n 1 ) avec f(x) = x de y = x et de y = f(x)... et on doit commencer par tracer ensemble les graphes 3 y y=x 2 y=1+2/x 1 u 0 u u u u u 3 5 x Figure 2.1 Représentation graphique d une suite récurrente La représentation semble indiquer que la suite (u n ) converge vers 2 (la solution positive de l équation f(x) = x). Exercice. Tracer ensemble les graphes de x x et x x. Donner la représentation graphique de la suite (u n ) définie par : u 0 = 4, u n+1 = u n, n 0 Formuler une conjecture sur sa monotonie et sa limite. Mêmes questions si u 0 = 1 4.

18 18 MATH 104 ANALYSE Points fixes, intervalles stables, monotonie Soit f une fonction réelle de variable réelle donnée. Considérons la suite (u n ) n N définie par la relation de récurrence pour tout n 0 et u 0 donné. u n+1 = f(u n ) 1. Un intervalle I est dit stable par f s il est contenu dans l ensemble de définition de f et f (I) I. Si u 0 I, intervalle stable par f, on montre facilement par récurrence que u n est bien défini et u n I pour tout n Si, de plus, f(x) x pour tout x I, alors la suite (u n ) est croissante puisque u n+1 = f(u n ) u n De même, si f(x) x sur I, la suite (u n ) est décroissante. 3. Si u 0 est un point fixe de f (f(u 0 ) = u 0 ), alors la suite (u n ) est constante. Exemple. Considérons la fonction f : [0, + [ R définie par f(x) = x. Comme f est croissante, on a Si 0 x 1, alors f(0) f(x) f(1), c est-à dire 0 x 1 : l intervalle [0, 1] est stable par f. De même, 1 x implique f(1) f(x) : on a alors 1 x et l intervalle [1, + [ est stable par f. Remarquons que, comme f est strictement croissante, les intervalles ]0, 1[ et ]1, + [ sont aussi stables par f. Considérons maintenant la suite (u n ) n N définie par u n+1 = f(u n ) = u n pour tout n 0 et u 0 donné. L étude de la fonction x f(x) x et les remarques précédentes montrent que Si u 0 = 0 ou u 0 = 1 (points fixes de f), la suite (u n ) est constante. L intervalle ]0, 1[ est stable par f et f(x) > x si x ]0, 1[ : si u 0 ]0, 1[, alors la suite (u n ) est bien définie, strictement croissante et 0 < u n < 1 pour tout n N. L intervalle ]1, + [ est stable par f et f(x) < x sur cet intervalle : si u 0 > 1, la suite (u n ) est strictement décroissante et u n > 1 pour tout n N.

19 CHAPITRE 2. SUITES DE NOMBRES Convergence Limite d une suite Définition On dit qu une suite (u n ) de nombres réels a pour limite un réel l donné, ou tend vers l, ou encore converge vers l lorsque pour tout ε > 0, il existe N ε N tel que n N ε u n l ε On note alors : lim n u n = l Remarques. 1. La condition u n l ε signifie que u n [ l ε, l + ε ]. 2. On a lim u n = l n lim (u n l) = 0 n En effet, il suffit d appliquer la définition en écrivant lim u n l = 0 n u n l = (u n l) 0 = u n l 0 3. On notera que la modification d un nombre fini de termes d une suite ne change rien pour ce qui est de sa limite éventuelle. Proposition Une suite ne peut avoir deux limites distinctes. Démonstration : Supposons qu une suite (u n ) admette deux limites distinctes l et l. On peut choisir un ε > 0 suffisamment petit pour que les intervalles I = [l ε, l + ε] et I = [l ε, l + ε] soient disjoints (ε = l l /3 convient). Or d après la définition de la limite il n y a qu un nombre fini de termes de la suite en dehors de I, donc à fortiori qu un nombre fini de termes de la suite dans I, ce qui est absurde. Définition Lorsqu une suite (u n ) tend vers un certain réel l, on dit que cette suite est convergente. Dans le cas contraire on dit qu elle est divergente. Parmi les suites divergentes, on distingue celles qui tendent vers l infini : Définition On dit que la suite (u n ) tend vers + lorsque pour tout A R, il existe N A N tel que n N A u n A On note alors : lim n u n = +

20 20 MATH 104 ANALYSE La définition de suite qui tend vers est analogue. Remarques. 1. On notera (exercice) le lien entre la limite d une suite et les limites des suites extraites d indice pair et impair : lim u n = l n lim u 2k = l et k lim u 2k+1 = l k (résultat analogue avec + ou à la place de l). En particulier, si lim u 2k lim u 2k+1, alors la limite de (u n ) n existe pas (c est le cas par k k exemple de la suite u n = ( 1) n ). 2. Soit f une fonction réelle définie sur un voisinage de + et considérons la suite de terme général u n = f(n). On montre facilement que si lim f(x) = l ( resp. +, ) alors lim x u n = l ( resp. +, ) n Limite et relation d ordre Les inégalités larges sont conservées par passage à la limite : Proposition Soit (u n ) et (v n ) deux suites numériques, l et l deux nombres réels. Supposons que (u n ) tend vers l et que (v n ) tend vers l. S il existe n 0 tel que, pour tout n n 0, on a u n v n, alors l l. Démonstration : Par l absurde. Supposons que l > l, et posons ε = l l 3. Puisque (u n ) tend vers l, il existe N ε N tel que pour tout n N ε, on ait u n l ε. En particulier u n l ε pour tout n N ε. De la même manière, il existe N ε tel que, pour tout n N ε, v n l + ε. Posant n 1 = max{n 0, N ε, N ε}, on a donc ce qui est absurde. u n1 l ε > l + ε v n1 Remarques. 1. En général, les inégalités strictes ne sont pas conservées par passage à la limite : on a par exemple 1 n 2 < 1 n pour tout n N, mais les deux suites tendent vers Si u n < v n pour tout n n 0, (u n ) tend vers l et v n tend vers l, alors on pourra dire en général que l l. Proposition Toute suite convergente est bornée. Démonstration : Soit (u n ) une suite convergente, et l R sa limite. Pour ɛ = 1, il existe N 1 N tel que u n l 1 pour tout n N 1, ou encore l 1 u n l+1

21 CHAPITRE 2. SUITES DE NOMBRES 21 pour tout n N 1. Posant M = max{u 0, u 1,..., u N1, l + 1} et m = min{u 0, u 1,..., u N1, l 1}, on a bien m u n M pour tout n N. On remarquera que la réciproque est fausse : la suite (u n ) définie par u n = ( 1) n est bornée mais pas convergente. 2.4 Calcul de limite Les définitions ci-dessus sont assez difficiles à manipuler. Nous regroupons ici quelques théorèmes qui permettent de montrer qu une suite converge vers un réel l Limites et opérations Nous résumons dans le tableau qui suit les principaux résultats concernant la limite de la somme, du produit et du quotient de deux suites. Ils permettent de déterminer assez facilement la limite éventuelle de certaines suites. Soit donc (u n ) et (v n ) deux suites numériques. si alors {}}{{}}{ lim(u n ) lim(v n ) lim(u n + v n ) lim(u n v n ) l R l R l + l ll + l R + + si l > 0 si l < 0? si l = ? si l > 0 l R + si l < 0? si l = 0 + { si }} { { alors }} { lim(u n ) lim( 1 ) u n l R, l 0 1/l 0? 0, avec u n > 0 pour tout n + 0, avec u n < 0 pour tout n Table 2.1 Limite d une somme, d un produit et d un quotient Attention! dans ces tableaux, la présence d un? signale qu il n y a pas de résultat général possible, et qu il faut étudier chacune de ces formes indéterminées en utilisant d autres méthodes. Par exemple si u n = n 2 et v n = n 3, on voit que lim(u n ) =, et que lim(v n ) = +. Le tableau précédent ne permet donc pas directement de connaître la limite éventuelle de la suite

22 22 MATH 104 ANALYSE (w n ) donnée par w n = u n + v n. Pourtant il suffit de remarquer que w n = n 2 (n 1) et de conclure grâce à la huitième ligne. (On dit que l on a levé l indétermination, sport que vous avez sûrement déjà pratiqué.) On se contente de donner la preuve du résultat concernant la limite d une somme : le lecteur pourra s en inspirer pour démontrer les autres. Proposition Soit (a n ) et (b n ) deux suites numériques. Soit (c n ) la suite somme de (a n ) et (b n ), c est-à-dire la suite de terme général c n = a n +b n. Si (a n ) tend vers le réel l et (b n ) tend vers le réel l, alors (c n ) tend vers l + l. Démonstration : Soit ε un réel positif. Il existe un entier M ε/2 tel que, pour tout n M ε/2, on a a n l ε/2. De même, il existe un entier M ε/2 tel que, pour tout n M ε/2, on a b n l ε/2. Soit alors N ε = max{m ε/2, M ε/2 }. Pour tout n N ε on a : c n (l + l ) a n l + b n l < ε. Résumons : pour tout ε > 0, on a trouvé un entier N ε tel que c n (l + l ) ε pour tout n N ε : la suite (c n ) converge vers l + l Le théorème des gendarmes Proposition Si à partir d un certain rang n 0 et a n c n b n lim a n = lim b n = l R n + n + alors lim c n = l. n + Démonstration : Soit ɛ > 0 donné. Il existe N ɛ N tel que, pour tout n N ɛ, a n [ l ɛ, l + ɛ ] De même, il existe N ɛ N tel que, pour tout n N ɛ, b n [ l ɛ, l + ɛ ] Donc pour tout n max (N ɛ, N ɛ, n 0 ), on a c n [ a n, b n ] [ l ɛ, l + ɛ ] c est-à-dire que c n l ɛ.

23 CHAPITRE 2. SUITES DE NOMBRES 23 Exemple. La suite de terme général c n = 2 + ( 1)n n 2 Voici une conséquence du théorème lim n + tend vers 0 car 1 n 2 c n 3 si n 1 et n2 1 n 2 = lim n + 3 n 2 = 0 Proposition Soit (u n ) une suite numérique. S il existe une suite (v n ) qui tend vers 0 et telle que, pour tout n (où même à partir d un certain rang) : alors (u n ) tend vers l. u n l v n Démonstration : A partir d un certain rang et le Th. des gendarmes implique 0 u n l v n lim u n l = 0, ce qui équivaut à lim u n = l. n + n + Autrement dit pour montrer qu une suite converge vers l R il suffit de majorer sa distance à l par une suite positive dont on sait qu elle tend vers 0. Pour pouvoir utiliser ce résultat, il est nécessaire de disposer de suites de référence, en voici trois : Proposition Soit α et a deux réels. 1. La suite (n α ) tend vers zéro si α < 0 et vers + si α > La suite (a n ) tend vers zéro si a < 1, et vers + si a > La suite (n α a n ) tend vers zéro si a < 1 pour n importe quel α. Démonstration : Montrons par exemple 3. Il suffit de prouver que la suite n α a n = n α a n tend vers 0. Considérons alors la fonction f définie sur ]0, + [ par f(x) = x α a x. En écrivant ( [ f(x) = exp (α ln x) exp (x ln a ) = exp (α ln x + x ln a ) = exp x α ln x ] ) + ln a x on voit que lim f(x) = 0 (remarquer que ln a < 0) d où lim f(n) = lim x n n nα a n = 0. Voici un critère du même genre pour les limites infinies dont la démonstration est laissée en exercice : Proposition Supposons que a n b n à partir d un certain rang. 1. Si lim a n = +, alors lim b n = +. n n 2. Si lim b n =, alors lim a n = n n

24 24 MATH 104 ANALYSE Exemples. 1. On montre que lim n+cos n = + en remarquant que n+cos n n 1 et lim n 1 = +. n n 2. On a lim n(sin n 3) = à partir de l inégalité n(sin n 3) 2n. n Cas des suites définies par récurrence Proposition Soit (u n ) une suite numérique qui converge vers un réel l. Si f est une fonction continue au point l, alors la suite (f(u n )) converge vers f(l). Démonstration : Soit ɛ > 0. Comme f est continue en l, il existe α(ɛ) > 0 tel que x l α(ɛ) = f(x) f(l) ɛ. Puisque (u n ) converge vers l, il existe un entier N α(ɛ) tel que n N α(ɛ) = u n l α. Donc, notant N ɛ = N α(ɛ), pour tout n N ɛ on a f(u n ) f(l) ɛ. Remarques. 1. De manière un peu rapide, on écrit souvent cette proposition sous la forme lim f(u n) = f( lim u n). n + n + 2. Si, par exemple, f est continue à droite en l et lim u n = l +, alors on a aussi lim f(u n) = n + n + f(l). Cette proposition est souvent utilisée pour trouver les valeurs possibles de la limite d une suite définie par récurrence : Proposition Supposons que 1. I est un intervalle fermé (c est-à-dire que I est de la forme [a, b], [a, + [, ], b] ou ], + [). 2. f est une fonction continue sur I (si, par exemple, I = [a, b], ceci signifie que f est continue à droite en a, continue à gauche en b, et continue en tout x ]a, b[ ). 3. L intervalle I est stable par f (f(i) I). Considérons la suite (u n ) n 0 définie par la relation de récurrence u n+1 = f (u n ), pour tout n 0, et u 0 I donné. Alors a) La suite est bien définie et tous ses termes sont dans l intervalle I. b) Si (u n ) converge, sa limite l est un point fixe de f dans I ( f(l) = l, l I). Démonstration : a) est immédiate, car I est stable par f et u 0 I. Montrons b) : Puisque I est fermé et que (u n ) converge, on a lim n u n = l I (en effet : si

25 CHAPITRE 2. SUITES DE NOMBRES 25 par exemple I = [a, b], alors a u n b pour tout n 0, implique par passage à la limite que a l b ). La continuité de f sur I donne alors l = d après la proposition précédente. lim u n+1 = lim f(u n) = f( lim u n) = f(l). n + n + n Critères de convergence On donne maintenant des résultats plus difficiles, qui permettent de déterminer si une suite converge sans avoir d idée à priori sur sa limite. Ces énoncés peuvent tous être vus comme des conséquences de l axiome de la borne supérieure Suites monotones Théorème a) Si (u n ) est une suite croissante et majorée alors elle converge, et sa limite est la borne supérieure de l ensemble {u n, n N}. b) Si (u n ) est une suite croissante et non majorée, alors lim n + u n = +. De même : a ) Si (u n ) est une suite décroissante et minorée alors elle converge, et sa limite est la borne inférieure de l ensemble {u n, n N}. b ) Si (u n ) est une suite décroissante et non minorée, alors lim u n =. n + Démonstration : a) : L ensemble {u n, n N} n est pas vide, et il est majoré par hypothèse : il admet donc une borne supérieure b. Soit ɛ > 0. D après la caractérisation de la borne supérieure, il existe au moins un terme de la suite dans l intervalle [b ɛ, b]. Notons n 0 le rang de ce terme. Puisque la suite est croissante, on a b ɛ u n0 u n pour tout n n 0. On a bien sûr aussi u n b pour tout n, donc finalement n n 0 = u n b ɛ. Ce raisonnement étant valable pour tout ɛ > 0, on a bien montré que lim u n = b. n + b) : Soit A > 0. Comme la suite (u n ) n est pas majorée, il existe N A N tel que u NA A. Puisque la suite (u n ) est croissante, n N A implique u n A. Ce raisonnement étant valable pour tout A > 0, on a bien lim u n = +. n +

26 26 MATH 104 ANALYSE Exemples. 1. Soit pour n 1, u n = n p=1 1 p 2. 1 La suite (u n ) est croissante, puisque u n+1 u n = (n + 1) 2 > 0. 1 Elle est aussi majorée puisque, pour p 2, 1 p 2 p(p 1) = 1 p 1 1 p et donc ( u n ) ( ) ( ) ( n 1 1 ) = 2 1 n n 2. Cette suite est donc convergente. Attention! la suite est majorée par 2, donc sa limite est inférieure ou égale à 2, mais on ne peut pas en déduire que la suite tend vers 2 : on peut montrer qu elle tend vers π Considérons la fonction f : [0, + [ R définie par f(x) = x et la suite (u n ) n N définie par u n+1 = f(u n ) = u n pour tout n 0 et u 0 donné. Terminons l étude commencée dans la section : 1. Les points fixes de f sont 0 et 1 : si u 0 = 0 ou u 0 = 1, la suite (u n ) est constante. 2. Soit I 1 = [1, + [ et u 0 I 1 fixé. Comme I 1 est stable par f et f(x) x pour tout x I 1, on sait que la suite (u n ) est bien définie, que tous ses termes sont dans I 1 et qu elle est décroissante. Par conséquent (u n ) converge (suite décroissante et minorée). Soit l sa limite. Puisque f est continue sur l intervalle fermé I 1, la Prop nous dit que l est un point fixe de f dans I 1 : l = Soit maintenant I 2 = [0, 1] et u 0 I 2 donné L intervalle I 2 est stable par f et f(x) x si x I 2 : la suite (u n ) est bien définie, croissante et 0 u n 1 pour tout n 0. Ainsi, (u n ) converge (suite croissante et majorée). Soit l sa limite. Comme f est continue sur l intervalle fermé I 2, l est un point fixe de f dans I 2 : l = 0 ou l = 1. Si u 0 = 0, alors l = 0 (suite constante). Soit 0 < u 0 1, on a 0 < u 0 u n 1 pour tout n 0, et par passage à la limite on obtient 0 < u 0 l 1 et donc finalement l = Suites adjacentes Définition On dit que deux suites (a n ) n 0 et (b n ) n 0 sont adjacentes si 1. La suite (a n ) est croissante. 2. La suite (b n ) est décroissante. 3. lim n + (a n b n ) = 0

27 CHAPITRE 2. SUITES DE NOMBRES 27 Proposition Les propriétés 1, 2 et 3 de la Définition impliquent pour tout n N. a n b n Démonstration : Puisque la suite (a n ) est croissante, la suite ( a n ) est décroissante. Ainsi (b n a n ) est une suite décroissante (somme de deux suites décroissantes). Montrons que b n a n 0 pour tout n N. Par l absurde : Supposons qu il existe p N tel que b p a p < 0. Alors, si n p on a b n a n b p a p et Absurde! 0 = lim n + (a n b n ) b p a p < 0 Remarque. Dans les notations de la Définition, et compte tenu de la Proposition, nous avons a n a n+1 b n+1 b n pour tout n N. Voici donc l interprétation géométrique de la notion de suites adjacentes : Si les suites (a n ) n 0 et (b n ) n 0 sont adjacentes (dans les notations de la Définition), alors les segments I n = [ a n, b n ] sont emboîtés les uns dans les autres : et sa longueur tend vers zéro. I n+1 I n I 2 I 1 I 0 On ne sera pas surpris du résultat suivant Proposition Deux suites adjacentes convergent vers la même limite. Démonstration : Soient (a n ) et (b n ) deux suites adjacentes (dans les notations de la Définition). Puisque a n b n b 0, pour tout n N, la suite croissante (a n ) est majorée : elle converge. Soit l = lim a n. n + Comme lim (a n b n ) = 0, on a lim b n = l aussi (écrire b n = a n + (b n a n )). n + n +

28 28 MATH 104 ANALYSE Remarques. 1. La troisième condition de la Définition (à elle seule) ne suffit pas en général à assurer la convergence des suites (a n ) et (b n ) : Prendre par exemple a n = n + 1 et b n = n, on a bien a n b n = n + 1 n = (n + 1) n = n n si n +, alors que le suites (a n ) et (b n ) tendent vers Toujours dans les notations de la Définition : 1 n n 0 Les suites adjacentes (a n ) n 0 et (b n ) n 0 fournissent un encadrement de leur limite commune l : a n l b n pour tout n N et b n a n majore l erreur de l approximation : pour tout n N. 0 l a n b n a n et 0 b n l b n a n En effet : Fixons n 0 N. Si n n 0, on a a n0 a n et par passage à la limite (en n) on obtient a n0 l. On montre de la même manière que l b n0. 3. On peut énoncer la proposition en termes de segments emboîtés : Soit une suite de segments emboîtés [ a n+1, b n+1 ] [ a n, b n ] [ a 1, b 1 ] [ a 0, b 0 ] dont la longueur tend vers zéro. Alors il existe un et un seul réel l appartenant à l intersection de tous les segments + n=0 [ a n, b n ] = { l } Exemple. Soient (a n ) n 2 et (b n ) n 2 les suites définies, pour tout n 2, par n 1 1 a n = (k 1) 2 k 2 = (n 1) 2 n 2 et b n = a n + 1 n 2 k=2 Montrons que les suites (a n ) et (b n ) sont adjacentes : La suite (a n ) est croissante car, pour tout n 2 La suite (b n ) est décroissante : b n+1 b n = a n+1 a n = 1 n 2 (n + 1) 2 > 0 1 n 2 (n + 1) (n + 1) 2 1 n 2 = 1 ( 1 + n 2 n 2 (n + 1) 2 (n + 1) 2) = 2n n 2 (n + 1) 2 < 0

29 CHAPITRE 2. SUITES DE NOMBRES 29 Enfin, lim (b n a n ) = n + lim n + 1 n 2 = 0. Soit l leur limite commune. Puisque a n l b n et b n a n = 1 pour tout n 2, on obtient : n2 a n est une valeur approchée par défaut à 1 - près de l. n 2 b n est une valeur approchée par excès à 1 n 2 - près de l Critère de Cauchy pour les suites. Définition On dit qu une suite (u n ) vérifie le critère de Cauchy ou que (u n ) est une suite de Cauchy lorsque pour tout ε > 0, il existe N ε N, tel que n > N ε, m > N ε u n u m < ε Autrement dit (u n ) est une suite de Cauchy lorsque la distance entre deux termes quelconques est aussi petite que l on veut, quitte à ne considérer que les termes de rang suffisamment grand. Voici d un coup un grand nombre d exemples de suites de Cauchy! Proposition Toute suite convergente est une suite de Cauchy. Démonstration : Soit l la limite de la suite (u n ), et ɛ > 0. Il existe N ɛ N tel que si n N ɛ, alors u n l ɛ/2. Du coup si n, m N ɛ, on a u n u m u n l + u m l ɛ. Proposition Toute suite de Cauchy est bornée. Démonstration : Il existe N 1 N tel que si n, m N 1, alors u n u m 1. En particulier pour tout n N 1, on a u N1 1 u n u N La suite (u n ) est bornée à partir du rang N 1, donc elle est bornée. Voici encore une conséquence de la propriété de la borne supérieure (nous verrons qu elle est fausse dans Q) : Proposition Toute suite de Cauchy est convergente dans R. Démonstration : Soit (u n ) une suite de Cauchy. Pour tout n, l ensemble {u m, m n} est inclus dans {u m, m 0}, donc est minoré (car la suite (u n ) est bornée).

30 30 MATH 104 ANALYSE Puisqu il n est pas vide, il admet une borne inférieure qu on note a n = inf{u m, m n}. La suite (a n ) est croissante, majorée puisque la suite (u n ) l est, et l on note s sa borne supérieure ; on va montrer que (u n ) converge vers s. Soit donc ɛ > 0. Par définition de la borne supérieure, il existe N ɛ N tel que a n s ɛ/3 pour tout n N ɛ. Puisque (u n ) est une suite de Cauchy, il existe M ɛ N tel que si n, m M ɛ, alors u n u m ɛ/3. Soit donc n max{n ɛ, M ɛ }. Par définition de la borne inférieure, il existe m 0 n tel que a n u m0 a n + ɛ/3. Or u n s u n u m0 + u m0 a n + a n s donc pour n max{n ɛ, M ɛ }, on a bien u n s ɛ. Remarques, exemples. 1. En résumé Une suite réelle (u n ) est convergente si et seulement si elle est une suite de Cauchy. En particulier, si (u n ) n est pas une suite de Cauchy, alors elle diverge : Soit (u n ) la suite donnée par Pour tout n 1, on a u n = n u 2n u n = 1 n n n + n n 1 2n = 1 2 Cette inégalité montre que (u n ) n est pas une suite de Cauchy (prendre ɛ = 1 4 ) et que, par conséquent, cette suite est divergente. Comme (u n ) est croissante, elle n est pas majorée (dans ce cas elle serait convergente!) : elle tend donc vers On donne maintenant un exemple de suite de nombres rationnels vérifiant le critère de Cauchy, mais dont la limite (qui existe dans R d après la proposition précédente!) n est pas un nombre rationnel. Autrement dit, il y a des suites de nombres rationnels qui vérifient le critère de Cauchy mais qui ne sont pas convergentes dans Q : Soit (u n ) la suite donnée par u 0 = 1 et u n+1 = 1 2 (u n + 2 u n ). 1. On vérifie (par récurrence) que tous les termes de cette suite sont rationnels. Ensuite, en étudiant les variations de la fonction ]0, + [ x 1 2 (x + 1 x ) sur R+, on vérifie que u n 2 pour n En remarquant que u n+1 u n = 2 u2 n 2u n, on démontre ensuite que cette suite est décroissante, et, par conséquent, converge (dans R!). Elle vérifie donc le critère de Cauchy.

31 CHAPITRE 2. SUITES DE NOMBRES On montre ensuite que sa limite est 2. On sait déjà que cette limite existe et qu elle est supérieure ou égale à 2. Mieux : on obtient par passage à la limite : l = 1 2 (l + 2 l ), et donc l = 2 : la limite de la suite (u n ) n est pas un rationnel.

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n

Plus en détail

Continuité en un point

Continuité en un point DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat

Plus en détail

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer

Plus en détail

Suites numériques 4. 1 Autres recettes pour calculer les limites

Suites numériques 4. 1 Autres recettes pour calculer les limites Suites numériques 4 1 Autres recettes pour calculer les limites La propriété suivante permet de calculer certaines limites comme on verra dans les exemples qui suivent. Propriété 1. Si u n l et fx) est

Plus en détail

Commun à tous les candidats

Commun à tous les candidats EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle

Plus en détail

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

Rappels sur les suites - Algorithme

Rappels sur les suites - Algorithme DERNIÈRE IMPRESSION LE 14 septembre 2015 à 12:36 Rappels sur les suites - Algorithme Table des matières 1 Suite : généralités 2 1.1 Déition................................. 2 1.2 Exemples de suites............................

Plus en détail

Continuité d une fonction de plusieurs variables

Continuité d une fonction de plusieurs variables Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs

Plus en détail

Leçon 01 Exercices d'entraînement

Leçon 01 Exercices d'entraînement Leçon 01 Exercices d'entraînement Exercice 1 Etudier la convergence des suites ci-dessous définies par leur terme général: 1)u n = 2n3-5n + 1 n 2 + 3 2)u n = 2n2-7n - 5 -n 5-1 4)u n = lnn2 n+1 5)u n =

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur

Plus en détail

Continuité et dérivabilité d une fonction

Continuité et dérivabilité d une fonction DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité

Plus en détail

Raisonnement par récurrence Suites numériques

Raisonnement par récurrence Suites numériques Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.

Plus en détail

Cours Fonctions de deux variables

Cours Fonctions de deux variables Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté

Plus en détail

Sur certaines séries entières particulières

Sur certaines séries entières particulières ACTA ARITHMETICA XCII. 2) Sur certaines séries entières particulières par Hubert Delange Orsay). Introduction. Dans un exposé à la Conférence Internationale de Théorie des Nombres organisée à Zakopane

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction

Plus en détail

Correction de l examen de la première session

Correction de l examen de la première session de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

Exo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs

Exo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur

Plus en détail

Développement décimal d un réel

Développement décimal d un réel 4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce

Plus en détail

Développements limités, équivalents et calculs de limites

Développements limités, équivalents et calculs de limites Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

Moments des variables aléatoires réelles

Moments des variables aléatoires réelles Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................

Plus en détail

Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies

Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention

Plus en détail

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10 PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?

Plus en détail

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte

Plus en détail

Problème 1 : applications du plan affine

Problème 1 : applications du plan affine Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées

Plus en détail

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette

Plus en détail

Relation d ordre. Manipulation des relations d ordre. Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 Feuille d exercices

Relation d ordre. Manipulation des relations d ordre. Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 Feuille d exercices Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 MPSI 1 Feuille d exercices Manipulation des relations d ordre. Relation d ordre Exercice 1. Soit E un ensemble fixé contenant au moins deux éléments. On considère la relation

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Logique. Plan du chapitre

Logique. Plan du chapitre Logique Ce chapitre est assez abstrait en première lecture, mais est (avec le chapitre suivant «Ensembles») probablement le plus important de l année car il est à la base de tous les raisonnements usuels

Plus en détail

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. 1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le

Plus en détail

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P

Plus en détail

n N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t

n N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t 3.La méthode de Dirichlet 99 11 Le théorème de Dirichlet 3.La méthode de Dirichlet Lorsque Dirichlet, au début des années 180, découvre les travaux de Fourier, il cherche à les justifier par des méthodes

Plus en détail

I. Ensemble de définition d'une fonction

I. Ensemble de définition d'une fonction Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux

Plus en détail

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

Optimisation des fonctions de plusieurs variables

Optimisation des fonctions de plusieurs variables Optimisation des fonctions de plusieurs variables Hervé Hocquard Université de Bordeaux, France 8 avril 2013 Extrema locaux et globaux Définition On étudie le comportement d une fonction de plusieurs variables

Plus en détail

Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2

Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Albert Cohen Dans ce cours, on s intéresse à l approximation numérique d équations aux dérivées partielles linéaires qui admettent une formulation

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

III- Raisonnement par récurrence

III- Raisonnement par récurrence III- Raisonnement par récurrence Les raisonnements en mathématiques se font en général par une suite de déductions, du style : si alors, ou mieux encore si c est possible, par une suite d équivalences,

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 août 2015 Enoncés 1 Proailités sur un univers fini Evènements et langage ensemliste A quelle condition sur (a,, c, d) ]0, 1[ 4 existe-t-il une proailité P sur

Plus en détail

Résolution d équations non linéaires

Résolution d équations non linéaires Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique

Plus en détail

avec des nombres entiers

avec des nombres entiers Calculer avec des nombres entiers Effectuez les calculs suivants.. + 9 + 9. Calculez. 9 9 Calculez le quotient et le rest. : : : : 0 :. : : 9 : : 9 0 : 0. 9 9 0 9. Calculez. 9 0 9. : : 0 : 9 : :. : : 0

Plus en détail

Développements limités. Notion de développement limité

Développements limités. Notion de développement limité MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un

Plus en détail

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante

Plus en détail

Frédéric Laroche 2009

Frédéric Laroche 2009 Frédéric Laroche 2009 Les Entiers Caractériser les nombres : peut-être avec des figures géométriques? En triangle * * * * * * * * * * --------------- Une formule 1 3 6 10 --- En carré * * * * * * * * *

Plus en détail

3. Conditionnement P (B)

3. Conditionnement P (B) Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte

Plus en détail

Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.

Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. 14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,

Plus en détail

Fonctions homographiques

Fonctions homographiques Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie

Plus en détail

AC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x =

AC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x = LE NOMBRE D OR Présentation et calcul du nombre d or Euclide avait trouvé un moyen de partager en deu un segment selon en «etrême et moyenne raison» Soit un segment [AB]. Le partage d Euclide consiste

Plus en détail

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite

Plus en détail

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin. Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).

Plus en détail

Cours d arithmétique Première partie

Cours d arithmétique Première partie Cours d arithmétique Première partie Pierre Bornsztein Xavier Caruso Pierre Nolin Mehdi Tibouchi Décembre 2004 Ce document est la première partie d un cours d arithmétique écrit pour les élèves préparant

Plus en détail

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au

Plus en détail

CORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!»

CORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!» Corrigé Cours de Mr JULES v3.3 Classe de Quatrième Contrat 1 Page 1 sur 13 CORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!» «Correction en rouge et italique.» I. Les nombres décimaux relatifs.

Plus en détail

Cours de mathématiques

Cours de mathématiques DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................

Plus en détail

1 Définition et premières propriétés des congruences

1 Définition et premières propriétés des congruences Université Paris 13, Institut Galilée Département de Mathématiques Licence 2ème année Informatique 2013-2014 Cours de Mathématiques pour l Informatique Des nombres aux structures Sylviane R. Schwer Leçon

Plus en détail

La mesure de Lebesgue sur la droite réelle

La mesure de Lebesgue sur la droite réelle Chapitre 1 La mesure de Lebesgue sur la droite réelle 1.1 Ensemble mesurable au sens de Lebesgue 1.1.1 Mesure extérieure Définition 1.1.1. Un intervalle est une partie convexe de R. L ensemble vide et

Plus en détail

Capes 2002 - Première épreuve

Capes 2002 - Première épreuve Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série

Plus en détail

Cours d Analyse I et II

Cours d Analyse I et II ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE Cours d Analyse I et II Sections Microtechnique & Science et génie des matériaux Dr. Philippe Chabloz avril 23 Table des matières Sur les nombres. Les nombres

Plus en détail

Chapitre 2. Matrices

Chapitre 2. Matrices Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce

Plus en détail

Chapitre 1 : Évolution COURS

Chapitre 1 : Évolution COURS Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir

Plus en détail

Chapitre 2. Eléments pour comprendre un énoncé

Chapitre 2. Eléments pour comprendre un énoncé Chapitre 2 Eléments pour comprendre un énoncé Ce chapitre est consacré à la compréhension d un énoncé. Pour démontrer un énoncé donné, il faut se reporter au chapitre suivant. Les tables de vérité données

Plus en détail

Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.

Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère

Plus en détail

Date : 18.11.2013 Tangram en carré page

Date : 18.11.2013 Tangram en carré page Date : 18.11.2013 Tangram en carré page Titre : Tangram en carré Numéro de la dernière page : 14 Degrés : 1 e 4 e du Collège Durée : 90 minutes Résumé : Le jeu de Tangram (appelé en chinois les sept planches

Plus en détail

Théorie de la mesure. S. Nicolay

Théorie de la mesure. S. Nicolay Théorie de la mesure S. Nicolay Année académique 2011 2012 ii Table des matières Introduction v 1 Mesures 1 1.1 Sigma-algèbres................................. 1 1.2 Mesures.....................................

Plus en détail

Le produit semi-direct

Le produit semi-direct Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.

Plus en détail

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue

Plus en détail

Problèmes de Mathématiques Filtres et ultrafiltres

Problèmes de Mathématiques Filtres et ultrafiltres Énoncé Soit E un ensemble non vide. On dit qu un sous-ensemble F de P(E) est un filtre sur E si (P 0 ) F. (P 1 ) (X, Y ) F 2, X Y F. (P 2 ) X F, Y P(E) : X Y Y F. (P 3 ) / F. Première Partie 1. Que dire

Plus en détail

O, i, ) ln x. (ln x)2

O, i, ) ln x. (ln x)2 EXERCICE 5 points Commun à tous les candidats Le plan complee est muni d un repère orthonormal O, i, j Étude d une fonction f On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0; + [ par : f = ln On

Plus en détail

6. Les différents types de démonstrations

6. Les différents types de démonstrations LES DIFFÉRENTS TYPES DE DÉMONSTRATIONS 33 6. Les différents types de démonstrations 6.1. Un peu de logique En mathématiques, une démonstration est un raisonnement qui permet, à partir de certains axiomes,

Plus en détail

Définition 0,752 = 0,7 + 0,05 + 0,002 SYSTÈMES DE NUMÉRATION POSITIONNELS = 7 10 1 + 5 10 2 + 2 10 3

Définition 0,752 = 0,7 + 0,05 + 0,002 SYSTÈMES DE NUMÉRATION POSITIONNELS = 7 10 1 + 5 10 2 + 2 10 3 8 Systèmes de numération INTRODUCTION SYSTÈMES DE NUMÉRATION POSITIONNELS Dans un système positionnel, le nombre de symboles est fixe On représente par un symbole chaque chiffre inférieur à la base, incluant

Plus en détail

TOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET

TOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par

Plus en détail

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015 Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k

Plus en détail

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette

Plus en détail

IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations

IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations 1- Equation à une inconnue Une équation est une égalité contenant un nombre inconnu noté en général x et qui est appelé l inconnue. Résoudre l équation

Plus en détail

TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1

TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1 TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité I Loi uniforme sur ab ; ) Introduction Dans cette activité, on s intéresse à la modélisation du tirage au hasard d un nombre réel de l intervalle [0 ;], chacun

Plus en détail

PRIME D UNE OPTION D ACHAT OU DE VENTE

PRIME D UNE OPTION D ACHAT OU DE VENTE Université Paris VII - Agrégation de Mathématiques François Delarue) PRIME D UNE OPTION D ACHAT OU DE VENTE Ce texte vise à modéliser de façon simple l évolution d un actif financier à risque, et à introduire,

Plus en détail

8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2

8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2 Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R

Plus en détail

Calcul différentiel sur R n Première partie

Calcul différentiel sur R n Première partie Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité

Plus en détail

Complément d information concernant la fiche de concordance

Complément d information concernant la fiche de concordance Sommaire SAMEDI 0 DÉCEMBRE 20 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 2 Un rappel de cours

Plus en détail

Le théorème de Thalès et sa réciproque

Le théorème de Thalès et sa réciproque Le théorème de Thalès et sa réciproque I) Agrandissement et Réduction d une figure 1) Définition : Lorsque toutes les longueurs d une figure F sont multipliées par un même nombre k on obtient une autre

Plus en détail

Exo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2.

Exo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2. Eo7 Calculs de déterminants Fiche corrigée par Arnaud Bodin Eercice Calculer les déterminants des matrices suivantes : Correction Vidéo ( ) 0 6 7 3 4 5 8 4 5 6 0 3 4 5 5 6 7 0 3 5 4 3 0 3 0 0 3 0 0 0 3

Plus en détail

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et

Plus en détail

Texte Agrégation limitée par diffusion interne

Texte Agrégation limitée par diffusion interne Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse

Plus en détail

Carl-Louis-Ferdinand von Lindemann (1852-1939)

Carl-Louis-Ferdinand von Lindemann (1852-1939) Par Boris Gourévitch "L'univers de Pi" http://go.to/pi314 sai1042@ensai.fr Alors ça, c'est fort... Tranches de vie Autour de Carl-Louis-Ferdinand von Lindemann (1852-1939) est transcendant!!! Carl Louis

Plus en détail

Examen optimisation Centrale Marseille (2008) et SupGalilee (2008)

Examen optimisation Centrale Marseille (2008) et SupGalilee (2008) Examen optimisation Centrale Marseille (28) et SupGalilee (28) Olivier Latte, Jean-Michel Innocent, Isabelle Terrasse, Emmanuel Audusse, Francois Cuvelier duree 4 h Tout resultat enonce dans le texte peut

Plus en détail

Fibonacci et les paquerettes

Fibonacci et les paquerettes Fibonacci et les paquerettes JOLY Romain & RIVOAL Tanguy Introduction Quand on entend dire que l on peut trouver le nombre d or et la suite de Fibonacci dans les fleurs et les pommes de pin, on est au

Plus en détail

Structures algébriques

Structures algébriques Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe

Plus en détail

Baccalauréat ES/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé

Baccalauréat ES/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé Baccalauréat S/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé A. P. M.. P. XRCIC 1 Commun à tous les candidats Partie A 1. L arbre de probabilité correspondant aux données du problème est : 0,3 0,6 H

Plus en détail