Rappel sur les fonctions intégrables

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1 CHAPTER 2. RAPPEL SUR LES FONCTIONS INTÉGRABLES Chapter 2 Rappel sur les fonctions intégrables Dans ce chapitre sont rappelés les principaux résultats du cours Calcul Intégral qui sont importants pour le cours Analyse Réelle. 2.1 Rappel sur l intégrale de Lebesgue On considère un espace mesurable (,T,µ). Définition Une fonction f : C est intégrable (pour la mesure µ) si elle est mesurable et si f(x) dµ(x) <. On écrira aussi fdµ ou f pour f(x)dµ(x) (lorsqu il n y a aucune ambiguïté). Rappel Une fonction à valeurs complexes est mesurable si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont mesurables. Une fonction f : R est mesurable si les ensembles f 1 (],a]) = {x : f(x) a} sont mesurables. On définit l intégrale d une fonction étagée n i=1 a i1 Ai, a i R + {+ }, A i mesurable par n n a i 1 Ai dµ = a i µ(a i ) i=1 et celui d une fonction f : R + {+ } mesurable par fdµ = i=1 sup gdµ. f g, étagée sourcefile 11 Rev: revision, March 9, 2011

2 12 CHAPTER 2. RAPPEL SUR LES FONCTIONS INTÉGRABLES Pour une fonction f : C on décompose f = f 1 f 2 +i(f 3 f 4 ) avec f i : R + et on pose f = f 1 f 2 +i f 3 i f 4. Lemme a les propriétés importantes suivantes : (i) est linéaire : si f,g sont intégrables et λ,ν C alors (λf +νg) = λ f +ν g. (ii) préserve l ordre : si f,g : R sont intégrables, f g µ-p.p. 1 alors f g. En particulier, si f et g coïncident sur le complément d un ensemble de mesure nulle alors f = g. (iii) Si f et intégrable alors f f. 2.2 Trois résultats fondamentaux d intégration à connaître Soit (f n ) n une suite croissante de fonctions f n : R intégrables : f n f n+1, µ- presque partout. Alors on peut définir pour presque tout x, f(x) = limf n (x) = supf n (x) R {+ }. n n Théorème (Beppo Levi (convergence monotone)). Soit(f n ) n une suite croissante de fonctions f n : R intégrables. On suppose que sup f n <. n Alors f(x) = lim n f n (x) = sup n f n (x) existe et est finie µ-p.p.. De plus f est intégrable et fn f n 0. En particulier f = sup f n. n Théorème (Lemme de Fatou). Soit (f n ) n une suite de fonctions f n : R mesurables qui sont µ-p.p. positives. Alors f(x) = liminf n f n (x) existe, est mesurable, à valeurs µ-p.p. dans [0, ]. De plus f liminf f n. n En particulier, si sup n fn < alors f est intégrable. 1 Une propriété est vraie µ-p.p. (ou µ-p.t. x) si elle est vraie sur le complément d un ensemble de mesure nulle.

3 2.3. INTÉGRALES DOUBLES 13 Théorème (Lebesgue-convergence dominée-). Soit (f n ) n une suite des fonctions f n : C intégrables. On suppose que (i) f n (x) n f(x) pour µ-p.t. x, (ii) il existe une fonction g : R + intégrable telle que f n (x) g(x) pour tout n et µ-p.t. x. Alors f est intégrable et f n f n 0. En particulier f = lim n f n. 2.3 Intégrales doubles ( 1,µ 1 ) et ( 2,µ 2 ) sont deux espaces mesurés. Théorème (Fubini). Soit f : 1 2 C une fonction intégrable par rapport à la mesure produit µ 1 µ 2. Alors : (i) pour presque tout x 1, la fonctiony f(x,y) est intégrable sur 2 et la fonction (définie presque partout) x 2 f(x,y)dµ 2 (y) est intégrable sur 1, (ii) pour presque tout y 2, la fonction x f(x,y) est intégrable sur 1 et la fonction (définie p.p.) y 1 f(x,y)dµ 1 (x) est intégrable sur 2, (iii) 1 2 f(x,y)d(µ 1 µ 2 )(x,y) = = ( ) f(x,y)dµ 2 (y) dµ 1 (x) 1 ( 2 ) f(x,y)dµ 1 (x) dµ 2 (y). 1 2 Théorème (Tonelli). Soit f : 1 2 C une fonction mesurable. On suppose que la fonction y f(x,y) est intégrable sur 2 pour presque tout x 1 et que ( ) 1 2 f(x,y) dµ 2 (y) dµ 1 (x) <. Alors f : 1 2 C est intégrable par rapport à la mesure produit µ 1 µ 2. En particulier le théorème de Fubini s applique à f.

4 14 CHAPTER 2. RAPPEL SUR LES FONCTIONS INTÉGRABLES 2.4 Changement de variables Soient U et V deux ouverts de R n et φ : U V un difféomorphisme de classe C 1. Le déterminant de la matrice de Jacobi est J ij (x) = φ j x i (x), avec φ(x) = (φ 1 (x),,φ n (x)) et φ i : U R pour i {1,,n}. Théorème Soient U et V deux ouverts de R n et φ : U V un difféomorphisme de classe C 1. Soit f : V C une fonction. Alors f est intégrable sur V si et seulement si f(φ(x)) detj(x) est intégrable sur U et sous ces conditions f(y)dy = f(φ(x)) det J(x) dx. V 2.5 Intégrales dépendant d un paramètre U Soit (,µ) un espace mesuré et Λ un espace metrique. On considère une fonction f : Λ C et on suppose que, pour tout paramètre λ Λ, la fonction f λ : C, f λ (x) = f(x,λ) est intégrable. On peut alors considerer la fonction F : Λ C, F(λ) = f λ (x)dµ(x), qui est définie par une intégrale dépendant d un paramètre. Théorème (Continuité sous le signe ). Dans le cadre ci-dessus supposons que λ 0 Λ et (i) pour presque tout x, la fonction λ f(x,λ) est continue en λ 0, (ii) il existe un voisinage V Λ de λ 0 est une fonction intégrable g : R telle que f(x,λ) g(x) pour tout λ V et presque tout x. Alors F(λ) est continue en λ 0. Théorème (Différentiation sous le signe ). Dans le cadre ci-dessus supposons que Λ est un ouvert de R n et que

5 2.5. INTÉGRALES DÉPENDANT D UN PARAMÈTRE 15 (i) pour presque toutx, la fonctionλ f(x,λ) admet des dérivées partielles f(x,λ) continues par rapport à λ, (ii) il existe des fonctions intégrables h j : R t.q. f(x,λ) hj (x) pour tout λ Λ et presque tout x. Alors F(λ) admet des dérivées partielles F(λ) F(λ) = continues par rapport à λ et on a f(x,λ) dµ(x).