Rappels sur l intégrale de Lebesgue

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1 Rppels sur l intégrle de Lebesgue Renud Leplideur Année UBO Tble des mtières 1 Rppels sur l intégrle de Riemnn et les limites croissntes Trois spects de l intégrtion Pour quelles f peut-on définir f(x) dx u sens de Riemnn? Principux résultts pour l intégrle de Riemnn Méthodes de clculs : lien intégrtion-dérivtion Pssges à l limite Intégrles dépendnt d un prmètre Intégrles générlisées : le cs non compct Intégrles générlisées dépendnt d un prmètre Limites monotones. Vleurs d dhérences Définition de l intégrle de Lebesgue L méthode Cuchy Ensembles négligebles Fonctions en esclier à support compct et 2 lemmes essentiels Les fonctions sommbles L méthode des tribus Définition d un tribu et d une mesure Définition des fonctions étgées et des fonctions sommbles L mesure de Lebesgue Stbilité de l ensemble des fonctions mesurbles Principux théorèmes de pssge à l limite pour l intégrle de Lebesgue Théorème de convergence monotone Théorème de convergence dominée Un théorème sns interversion de limite Le Lemme de Ftou Exemples d ppliction des théorèmes précédents Appliction de l convergence monotone Appliction de l convergence dominée Appliction du lemme de Ftou : une églité pour l intégrle de l dérivée. 18

2 1. Rppels sur l intégrle de Riemnn et les limites croissntes 2 5 Espces L p Inéglités de convexité Espces L p, p Le cs prticulier p = L Inclusions Non-équivlence des normes Théorèmes de Fubini 23 7 Chngement de vribles Coordonnées polires Coordonnées cylindriques Coordonnées sphériques Théorie de l mesure L tribu borélienne et l mesure de Lebesgue à prtir de l méthode de Cuchy Les deux méthodes coïncident Mesures sur une tribu Quelques compléments sur les tribus Propriétés des mesures Exemples de mesures utres que Lebesgue Théorie plus générle de l intégrtion Deux pplictions Des exercices 33 1 Rppels sur l intégrle de Riemnn et les limites croissntes 1.1 Trois spects de l intégrtion Si f : R R est une fonction continue, et [, b] un intervlle de R, il y (u moins) trois fçons différentes de considérer l quntité f(x) dx : 1. L opértion est vue comme l opérteur inverse de l dérivtion f f. On prle lors de primitives, et on f(x) dx = F (b) F (), où F est une primitive de f, c est à dire qu elle vérifie F (x) = f(x). On s intéresse dns ce cs u clcul de primitives non triviles (pr exemple des frctions rtionnelles), les résultts principux seront pr exemple les formules de chngement de vrible ou d intégrtion pr prtie.

3 1. Rppels sur l intégrle de Riemnn et les limites croissntes 3 2. Si on définit I(f) := f(x) dx, I devient une forme linéire (I(λf + g) = λi(f) + I(g)) sur l espce vectoriel C ([, b]) des fonctions continues définies sur [, b]. On cherche à étudier si l opérteur I est continue (et pour quelle topologie), c est à dire qu on veut voir des résultts du type lim I(f n) = I(f) si lim f n = f. L question consiste à déterminer ce que lim f n = f signifie. 3. On s intéresse à l ensemble des fonctions f, ps nécessirement continues, pour lesquelles on peut définir f(x) dx, d une fçon qui étende l définition pour f continue. On sit ps exemple que si [c, d] est un intervlle dns [, b] on peut clculer 1I [c,d] (x) dx, où 1I [c,d] est l fonction indictrice de l intervlle [c, d], c est à dire qu elle vut 1 sur l intervlle et est nulle en dehors de [c, d]. Cet spect est souvent plus cché, mis il se voit pr exemple dns le vrie définition de l intégrle de Riemnn, qui est vlide pour les fonctions réglées (voir plus bs). Si le premier spect est souvent celui qu on retient le plus, ce n est ps celui que nous llons retenir dns ce cours. Ce serit une erreur de se focliser sur ce point de vue et de ne retenir et/ou voir l intégrtion que comme une opértion inverse de l dérivtion. Dns ce cours, nous llons définir une nouvelle intégrtion, dite u sens de Lebesgue. Bien sûr cette nouvelle intégrtion étend celle de Riemnn mis, le lien intégrle-primitive-dérivée est beucoup plus délict. Dns un premier temps, nous nous intéresserons plutôt u second spect, c est à dire l intégrtion comme forme linéire continue sur C ([, b]). L pluprt des résultts uront donc l forme lim I(f n) = I(f) si lim f n = f. Les limites que nous étudierons serons des limites monotones. Dns une seconde étpe, nous verrons que cette nouvelle intégrtion permet de définir un nouvel ensemble de fonctions f pour lesquelles on peut clculer f(x) dx. Ceci fer donc le lien vec le troisième spect de l intégrtion. Cet ensemble permettr de définir à son tour un ensemble de sous-ensembles prticuliers de R, les ensembles dits mesurbles. On verr lors que ce point de vue est le bon pour fire des probbilités. Le premier spect, c est à dire intégrle-primitives ser peu bordé, du fit de s complexité. 1.2 Pour quelles f peut-on définir f(x) dx u sens de Riemnn? On retiendr : L intégrle de Riemnn est bsée sur l convergence uniforme. A contrrio, l intégrle de Lebesgue est bsée sur les limites croissntes.

4 1. Rppels sur l intégrle de Riemnn et les limites croissntes 4 Si on considère une fonction continue f : [, b] R, l quntité f(t) dt représente l surfce (lgébrique) comprise entre le grphe et l xe des bscisses. Elle se clcul comme une limite d une somme de Drboux, c est à dire en obtennt l fonction f comme limite uniforme d une suite de fonctions constntes pr morceux. Bien que souvent construire uniquement pour les fonctions continues, cette théorie permet en fit de définir l intégrle d une fonction f pour un ensemble plus gros que celui des fonctions continues : l ensemble des fonctions réglées. On rppelle qu une fonction ψ : [, b] R est dite constnte pr morceux s il existe une subdivisions = < 1 < 2 <... < p = b, telle que sur chque ] i, i+1 [ ψ est constnte de vleur c i. L vleur de ψ ux points i n est ps importnte, on peut choisir l vleur c i, c i n 1 On note ensuite ψ(t) dt := c i ( i+1 i ). i= Définition 1.1. Une fonction f : [, b] R est dite réglée si elle est limite uniforme d une suite de fonctions constntes pr morceux. On dit qu une fonction f : [, b] R est intégrble u sens de Riemnn s il existe deux suites de fonctions constntes pr morceux, (ϕ n ) et (ψ n ) telles que t, f(t) ϕ n (t) ψ n (t), et lim ψ n (t) dt =. Enfin, on remrque que l définition s étend sns difficultés ux fonctions à vleurs dns R d en prennt ϕ n ussi à vleur dns R d. Exercice 1 Montrer que 1I Q n est ps réglée. 1.3 Principux résultts pour l intégrle de Riemnn Méthodes de clculs : lien intégrtion-dérivtion Le théorème fondmentl du clcul différentiel étblit un lien entre dérivtion et intégrtion : Théorème 1.2. Soit f une fonction continue sur [, b] à vleurs dns R. Soit F l fonction définie pr F (x) := x f(t) dt. Alors F est dérivble et pour tout t dns [, b], F (t) = f(t). Ce théorème permet de clculer des intégrles, soit pr l méthode de l intégrtion pr prtie : f(t)g(t) dt = G(b)f(b) G()f() f (t)g(t) dt,

5 1. Rppels sur l intégrle de Riemnn et les limites croissntes 5 soit pr l méthode du chngement de vrible : Pssges à l limite f g(t)g (t) dt = g(b) g() f(u) du. On rppelle que est l norme infinie définie pr g := sup g(x). x [,b] Si g est continue, cette borne supérieure est tteinte. Cette norme s ppelle ussi l norme de l convergence uniforme puisque dire lim f ϕ n = signifie que l suite (ϕ n ) converge uniformément vers f : ε >, N tel que n N, t [, b], f(t) ϕ n (t) < ε. Théorème 1.3. Si (f n ) est une suite de fonctions continues (sur [, b]) qui converge uniformément vers f, lors f est continue et Ce résultt s écrit ussi : f(t) dt = lim f n(t) dt = lim lim f n (t) d(t). f n (t) d(t), ce qui signifie qu on peut inverser l limite uniforme et l intégrle Intégrles dépendnt d un prmètre On considère un intervlle I = [, b] vec < b. L lettre J désigner un utre intervlle de R. On considère l fonction continue f : I J R. Théorème 1.4 (continuité sous le signe somme). L quntité F (x) = sur J une fonction continue. f(t, x)dt définit Remrque 1. Le théorème 1.3 peut se voir comme un cs prticulier de ce théorème en considérnt x = n et une suite d ppliction u lieu d une fonction de 2 vribles. Théorème 1.5 (dérivtion sous le signe somme). Supposons que l intervlle J soit ouvert et que l fonction f existe et soit continue sur J. Alors l fonction définie pr F (x) = x f(t, x)dt est de clsse C 1 et F (x) = f (t, x)dt. x

6 1. Rppels sur l intégrle de Riemnn et les limites croissntes Intégrles générlisées : le cs non compct L intégrtion (u sens de Riemnn) ussi été étudiée sur des intervlles du type [, + [. Elle ussi été vue pour des fonctions présentnt des singulrités sur le compct 1 1 [, b] (pr exemple dx). On sit que ce dernier cs peut se rmener u cs précédent x pr un chngement de vrible (qui envoie l singulrité à l infini, dns notre exemple on fer u := 1). x Ainsi, nous pouvons nous limiter u cs + f(x) dx. Dns ce cs, il s git de clculer une ire reposnt sur un intervlle de longueur infinie. Les résultts évoquient l convergence de l intégrle ou son bsolue convergence. Ici réside une différence significtive entre l intégrle u sens de Riemnn et celle u sens de Lebesgue. Des fonctions continues peuvent voir une intégrle convergente u sens de Riemnn mis ps u sens de Lebesgue. L différence disprîtr lorsqu on s intéresser (ou se limiter) ux intégrles bsolument convergentes. Cette différence s explique pr le fit que l intégrle de Lebesgue que nous llons voir permet d unifier les résultts et les techniques de démonstrtions entre le cs compct ([, b]) et le cs non-compct ([, + [). Pour l intégrle de Riemnn on définit + f(x) dx à prtir de b +. Pour l intégrle de Lebesgue on définir directement permet de clculer continues ou réglées. + f(x) dx en fisnt f(x) dx et voir que cel f(x) dx pour des fonctions plus générles que les seules fonctions Intégrles générlisées dépendnt d un prmètre Théorème 1.6. Soient f : [, b[ J R une fonction continue où < b 1 et J est un intervlle de R. On suppose qu il existe une fonction continue g telle que 1. pour chque x, et pour chque t, f(t, x) g(t), 2. l intégrle Alors x J F (x) = g(t)dt converge. f(t, x)dt définit une fonction continue sur J. Théorème 1.7. Soit J un intervlle ouvert. Soit f : [, b[ J R une fonction continue, telle que f est ussi continue et il existe une fonction continue g vérifint x 1. pour chque x l intégrle f(t, x)dt converge. 2. pour chque x, et pour chque t, f (t, x) x g(t), 3. l intégrle g(t)dt converge. 1. Penser à b = +

7 1. Rppels sur l intégrle de Riemnn et les limites croissntes 7 Alors l fonction définie pr F (x) = F (x) = f(t, x)dt est de clsse C 1 et f (t, x)dt. x Nous insistons sur le point commun dns ces deux théorèmes. Dns les deux cs, il une hypothèse de domintion uniforme. C est typiquement le type d hypothèses que nous llons retrouver dns l théorie de l intégrtion selon Lebesgue. 1.5 Limites monotones. Vleurs d dhérences On rppelle le théorème issue de l propriété fondmentle de R : l existence d une borne supérieure pour tout ensemble non vide mjoré. On rppelle qu une suite (u n ) dns R est croissnte si pour tout n, u n u n+1. Théorème 1.8. Soit (u n ) une suite croissnte dns R. Si elle est mjorée, lors elle converge vers sup{u n, n N}, sinon elle diverge vers +. Dns les deux cs on peut écrire lim u n = sup{u k, k N}, en commettnt un bus de nottion sur le sup. Une suite réelle ne converge ps nécessirement. On rppelle qu une vleur d dhérence de l suite (u n ) est une limite d une suite extrite de (u n ). Théorème 1.9 (Stone-Weierstrss). Toute suite réelle bornée dmet une vleur d dhérence. Exercice 2 En commettnt l bus de lngge qui consiste à considérer qu une suite qui diverge vers ± en fit converge vers ± (dns l droite numérique chevée R), montrer que toute suite réelle possède u moins une vleur d dhérence dns R. Définition 1.1. Soit (u n ) une suite réelle. On note lim sup u n (resp. lim inf u n ) s plus grnde (resp. petite) vleur d dhérence dns R. Exercice 3 Soit une suite réelle (u n ). Montrer que (u n ) converge si et seulement si lim sup u n lim inf u n.

8 2. Définition de l intégrle de Lebesgue 8 2 Définition de l intégrle de Lebesgue 2.1 L méthode Cuchy Ensembles négligebles Définition 2.1. Un ensemble E R est dit négligeble (u sens de Lebesgue) s il peut être recouvert pr une fmille dénombrble d intervlles de longueur totle rbitrirement petite. Lemme 2.2. Un ensemble E R est négligeble si et seulement s il peut être recouvert pr un fmille dénombrble d intervlles de longueur totle finie et telle que chque point de E pprtient à une infinité d intérieurs de ces intervlles Fonctions en esclier à support compct et 2 lemmes essentiels Définition 2.3. Une fonction f définie sur I est dite en esclier à support borné (e.s.c.en brégé) si Il existe une fmille finie (éventuellement vide) de sous-intervlles disjoints (suf sur les bords) I k, chcun de longueur I k finie et telle que sur chque I k f est constnte de vleur c k, en dehors des I k f est nulle. On noter E l ensemble des fonctions e.s.c.(définies sur l intervlle I). Si l intervlle I est de longueur finie lors une fonction e.s.c.est une fonction constnte pr morceux. Si l intervlle I est de longueur infinie, pr exemple si =, lors une fonction e.s.c.est une fonction constnte pr morceux telle que le premier morceu soit de l forme ], 1 ] et l fonction est nulle sur cet intervlle. Définition 2.4. Soit f une fonction e.s.c.définie sur I, de vleur c k sur les sous-intervlles I k. On pose f(x) dx = k c k I k. Nous vons précisé qu une fonction e.s.c.est une fonction constnte pr morceux, vec éventuellement quelques contrintes sur les vleurs pour le premier et le dernier morceux si l intervlle est de longueur infinie. L définition de l intégrle est exctement l même que pour une fonction constnte pr morceux en respectnt cette contrinte. Lemme 2.5 (Lemme A). Soit (ϕ n ) une suite décroissnte de fonctions e.s.c.qui converge presque prtout vers. Alors l suite des intégrles ϕ n (x) dx décroît ussi vers. Lemme 2.6 (Lemme B). Soit (ϕ n ) une suite croissnte de fonctions e.s.c.sur I = (, b) telle que l suite des intégrles l suite (ϕ n (x)) converge (vers une vleur ϕ(x)). ϕ n (x) dx est mjorée. Alors pour presque tout x de I,

9 2. Définition de l intégrle de Lebesgue Les fonctions sommbles Considérons une suite croissnte de fonctions e.s.c.comme dns le lemme B. On suppose que les intégrles ont un mjornt commun. Il existe donc une fonction ϕ définie seulement presque prtout telle que ϕ n ϕ (presque prtout). On note E 1 l ensemble des fonctions, définies presque prtout que l on peut obtenir de cette mnière. Pour une telle fonction ϕ, le lemme B nous incite à poser 2 ϕ(x) dx = lim ϕ n (x) dx. (1) Le Lemme A permet de montrer que cette définition ne dépend ps du choix de l suite (ϕ n ). Définition 2.7. Une fonction définie presque prtout sur (, b) ser dite sommble si elle s écrit sous l forme f = f 1 f 2, vec f 1 et f 2 dns E 1. On noter E 2 l ensemble des fonctions sommbles (sur (, b)). Pour une telle fonction on pose f(x) dx = f 1 (x) dx f 2 (x) dx. Proposition 2.8. Soient f une fonction sommble et g une fonction presque prtout égle à f. Alors g est sommble, de même intégrle que f. Proposition 2.9. Soit f une fonction sommble sur (, b). Alors f l est ussi. Démonstrtion. Posons f + (x) := mx(f(x), ) et f (x) := min(f(x), ). Alors f = f + f. Écrivons f = f 1 f 2 vec f i E 1. On montre que mx(f 1, f 2 ) et min(f 1, f 2 ) sont ussi dns E 1. Or, f + = mx(f 1, f 2 ) f 2 et f = min(f 1, f 2 ) f 2. Donc ce sont des fonctions dns E 2. Remrque 2. Au pssge on ussi montré que f + et f sont sommbles. Appliction : Proposition 2.1. Si f est une fonction continue sur le compct [, b], lors f est sommble et son intégrle de Lebesgue coïncide vec son intégrle de Riemnn. Démonstrtion. Il suffit de prendre une suite croissnte de subdivisions 3 de l intervlle [, b] dont le ps tend vers. À chque rng, on considère l fonction en esclier qui vut sur chque segment de l subdivision le minimum de f sur ce même segment. Cel forme une suite croissnte de fonctions en escliers, donc e.s.c., qui converge uniformément vers f, donc presque prtout! En d utres termes, une fonction continue sur un segment est dns E Remrquer que l croissnce des ϕ n entrine l croissnce de l suite des intégrles et donc s convergence cr l suite est mjorée. 3. C est à dire que l subdivision u rng n + 1 rffine celle du rng n

10 2. Définition de l intégrle de Lebesgue L méthode des tribus Définition d un tribu et d une mesure Définition Soit X un ensemble. On ppelle tribu 4 une collection T d ensembles qui vérifie T. Si A est dns T lors X \ A est ussi dns T. Si (A n ) est une suite d éléments de T lors A n est ussi dns T. Le doublet (X, T ) s ppelle un espce mesurble 5. On se donne deux espces mesurbles (X, B) et (Y, B ). Définition Une ppliction f : X Y est dite mesurble si et seulement si pour tout B B, f 1 (B) est dns B. Remrque 3. Lorsque X ou Y est R, on se limite souvent u cs de l tribu borélienne, c est à dire celle engendrée pr les ouverts. Définition Soit (X, T ) s ppelle un espce mesurble. On ppelle mesure sur T toute ppliction µ définie sur T à vleurs dns R + telle que 1. µ( ) = 2. µ( A n ) = n µ(a n). Si µ((, b)) = 1 on dit que µ est une mesure de probbilité Définition des fonctions étgées et des fonctions sommbles Définition Une fonction f : (, b) R est dite étgée s il existe un nombre fini d ensembles mesurbles A i, tous deux à deux disjoints tels que f = i c i 1I Ai. Si les A i sont tous de mesure finie on pose lors f dµ := i c i µ(a i ) Dns le cs de R, on constte qu une fonction e.s.c.est étgée. Il existe des fonctions étgées qui ne sont ps des fonctions e.s.c.. Définition Soit (X, B, µ) un espce mesuré. Une fonction mesurble est sommble (dns L 1 (µ)) si et seulement si { } f dµ =: sup ϕ dµ, ϕ f et ϕ étgée est fini. 4. prfois on prle de σ-lgèbre 5. ce qui signifie qu il est susceptible de recevoir une mesure

11 3. Principux théorèmes de pssge à l limite pour l intégrle de Lebesgue L mesure de Lebesgue Elle est définie pr λ(], b[) = b. Dns le cs R n il fut l définir sur les pvés, c est un peu plus délict, ou montrer que c est ussi l mesure produit (pour l tribu produit) Stbilité de l ensemble des fonctions mesurbles Proposition L ensemble des fonctions mesurbles est un R-espce vectoriel. Le produit, l enveloppe inférieure et l enveloppe supérieur de deux fonctions mesurbles est encore mesurble. L vleur bsolue d une fonction mesurble est mesurble. L inverse d une fonction mesurble non nulle presque prtout est ussi mesurble. D une fçon plus générle, toute opértion risonnble vec des fonctions mesurbles est encore mesurble. Voici mintennt un théorème qui montre l stbilité très forte de l espce des fonctions mesurbles : Théorème Soit (f n ) une suite de fonctions (à vleurs dns R) mesurbles qui converge presque prtout vers une fonction f. Alors f est mesurble. 3 Principux théorèmes de pssge à l limite pour l intégrle de Lebesgue 3.1 Théorème de convergence monotone Théorème 3.1 (Beppo Lévi). Soit (f n ) une suite de fonctions sommbles croissnte. Si l suite des intégrles vers une fonction f qui est sommble. De plus, f n (x) dx est mjorée, lors (f n (x)) converge presque prtout f(x) dx = lim f n (x) dx. Corollire 3.2. Soit (k n ) une suite de fonctions sommbles. On suppose que l série de terme générl k n (x) dx est convergente. Alors l série converge presque prtout et k n (x) dx = n n k n (x) dx. Démonstrtion. Appliquer le théorème de B. Levi à l série des prties positives et à l série des prties négtives des k n. Corollire 3.3. Soit f sommble. Si f(x) dx = lors f est nulle presque prtout.

12 3. Principux théorèmes de pssge à l limite pour l intégrle de Lebesgue 12 Démonstrtion. Si l fonction est nulle presque prtout, lors son intégrle est nulle (d près Prop 2.8). Réciproquement, supposons que l intégrle est nulle. On rppelle qu une fonction mesurble est finie presque prtout (puisque c est une différence de fonctions de E 1 et chque élément de E 1 est fini presque prtout). On pplique lors le corollire précédent à k n (x) = f(x). Chque somme prtielle (finie) son intégrle nulle et donc l série est supposée converger presque prtout. Si pour x, f(x), l somme prtielle en x vut n.f(x) qui diverge. Ainsi, f est nulle presque prtout. Exemple d ppliction clssique + k=1 1 n 2. Nous llons montrer l églité + On commence pr remrquer que pour tout x >, e x est dns [, 1[, donc x e x 1 = 1 + xe x = xe x e nx. 1 e x k= Ensuite on pose k n (x) := xe (n+1)x. Une intégrtion pr prtie montre + k n (x) = 1 (n + 1) 2, x e x 1 dx = et l série 1 n converge. Ainsi 2 n k n(x) converge presque prtout (en fit, on svit n 1 déjà qu elle converge prtout sur ], + [) et + + x e x 1 dx = 1 n. 2 n=1 3.2 Théorème de convergence dominée Théorème 3.4 (Lebesgue). Soit (f n ) une suite de fonctions sommbles sur (, b). On suppose que 1. Il existe une fonction sommble g telle que pour tout n, f n g. 2. L suite (f n ) converge (presque prtout) vers une fonction f. Alors f est sommble et f(x) dx = lim f n(x) dx. Exemple. On considère l suite de fonctions définies sur [, 1] pr { } e nx2 f n (x) := min, n. x

13 3. Principux théorèmes de pssge à l limite pour l intégrle de Lebesgue 13 Chque f n est continue sur (, 1). L suite converge presque prtout vers l fonction nulle (en fit il y convergence simple). On remrque ussi que l on f n = n, donc l convergence n est ps uniforme. En revnche, pour tout x ], 1], f n (x) = f n (x) g(x) := 1 x. L fonction g est sommble sur (, 1). On en déduit donc 1 lim f n (x) dx =. Contre-exemple. Ce théorème ne permet ps de conclure dns tous les cs puisqu il est prfois impossible de trouver une fonction sommble dominnte. L exemple clssique est celui de l bosse glissnte. On considère une fonction continue, nulle en dehors de l intervlle [, 1], positive et d intégrle non nulle (donc l fonction n est ps identiquement nulle!). On pose f n (x) := f(x + n), ce qui signifie qu on propge l bosse en l tténunt d un prmètre 1 n n sur chque intervlle [n, n + 1]. L suite de fonction converge simplement vers puisque pour tout x, à prtir d un certin rng f n (x) =. L convergence donc lieu presque prtout. Cependnt il n existe ps d ppliction dominnte et sommble. En effet, une telle ppliction g devrit vérifier g(x) = sup f n (x) = n f(x [x]), [x] et son intégrle sur R serit donc R g(x) dx = n 1 n 1 f(y) dy = Un théorème sns interversion de limite Théorème 3.5. Soit (f n ) une suite de fonctions sommbles qui converge presque prtout vers f. S il existe une fonction sommble g telle que pour presque tout x, lors f est sommble. Remrque 4. On ne dit ps lim f(x) g(x), f n (t) dt = lim f n(t) dt.

14 3. Principux théorèmes de pssge à l limite pour l intégrle de Lebesgue 14 Démonstrtion. On pplique le théorème de convergence dominée à l suite de fonctions définies pr g n (x) := min{g(x), mx{f n (x), g(x)}}. Cette suite converge vers f. En effet, notons que g est positive. Si n est grnd, pour x tel que f n (x) converge vers f(x), lors on presque f n (x) f(x). L inéglité f g, signifie g f g, donc mx{f(x), g(x)} = f(x) et min{g(x), mx{f(x), g(x)}} = f(x). Il suffit ensuite de vérifier que pour tout n, g n g. Exemple d ppliction : Théorème 3.6. Toute fonction mesurble bornée pr une fonction sommble est ellemême sommble. Démonstrtion. On fit l preuve dn sel cs d une fonction positive. C est une simple conséquence du théorème 3.5. On considère pour f n une suite de fonction étgées qui croît vers l fonction mesurble étudiée f. Une telle suite se construit pr exemple en prennt les ensembles A k,n := f 1 ([k/2 n, (k + 1)/2 n [) et B n := f 1 ([n, + [). Si on veut des ensembles de mesure finie, on peut les tronquer à [ N, N] (on rjoute donc un prmètre N). L fonction f n est lors définie pr f n k2 n 1I Ak,n + n1i Bn. Pour g on prend l fonction sommble qui mjore f. 3.4 Le Lemme de Ftou k Théorème 3.7 (Lemme de Ftou). Soit (f n ) une suite de fonctions positives et sommbles qui converge presque prtout vers f. S il existe A tel que pour tout n, f n (x) dx A, lors f est sommble et f(x) dx A. Appliction : une mjortion de l intégrle de l dérivée. On se donne une fonction croissnte continue sur [, 1]. On dmet que ceci implique que f est presque prtout dérivble. Nous llons démontrer que l dérivée est sommble et qu elle vérifie l inéglité suivnte : 1 f (x)dx f(1) f(). (2) Pour cel on considère l suite d pplictions définies pr { n(f(x + 1 n f n (x) := ) f(x)) si x 1 1 n si x > 1 1. n

15 4. Exemples d ppliction des théorèmes précédents 15 Les pplictions f n sont toutes positives cr f est croissnte et l suite converge presque prtout vers f (x). x Clculons 1 f n (x) dx. Pour cel on introduit l primitive F de f définie pr F (x) := f(t) dt (ici on prle d intégrle de Riemnn cr f est continue) n f n (x) dx = n = n 1 1 n f(x n )dx n n 1 1 n f(x)dx n f(x)dx f(x)dx = nf (1) nf ( 1 n ) nf (1 1 ) + nf () n = n(f (1) F (1 1 n )) n(f ( 1 n ) F ()) F (1) F () = f(1) f(). Pour utiliser l version du Lemme de Ftou que nous vons, il fut être un peu plus précis. Pour ε > fixé, il existe donc N tel que pour tout n N, 1 f n (x) dx f(1) f() + ε. On pplique lors le lemme de Ftou, qui montre d une prt que f est sommble et d utre prt qu elle vérifie l inéglité 1 f (x) dx f(1) f() + ε. Celle-ci est vrie pour tout ε, on fit donc ε. CQFD 4 Exemples d ppliction des théorèmes précédents 4.1 Appliction de l convergence monotone Théorème 4.1. Si l intégrle de Riemnn f(x) dx est convergente sur l intervlle (, b) lors f est sommble (u sens de Lebesgue) et les deux intégrles coïncident. Démonstrtion. Considérons le cs = et b = + et f continue (éventuellement juste pr morceux). On pose f n (x) := f(x).1i [,n] (x). L suite est croissnte et chque f n est sommble comme fonction continue définie sur un compct. De plus l intégrle coincide vec n f(x) dx. L limite existe, pr hypothèse, donc l suite des intégrles est bornée. Ainsi f n converge presque prtout vers une fonction f qui est sommble d intégrle l

16 4. Exemples d ppliction des théorèmes précédents 16 limite des intégrles des f n. L convergence presque prtout des f n montre qu en fit f = f (presque prtout) et l limite des intégrles donne + f(x)dx = Cel montre que f est sommble. n lim f(x) dx = + f(x) dx. Exercice 4 On se propose de clculer l intégrle de Guss R e x2 dx. 1/ Soit x dns R. Montrer que l suite définie pr (1 x2 n )n converge vers e x2 et est croissnte à prtir d un certin rng. Pour étblir l croissnce, on pourr fire le développement limité du logrithme du rpport de deux termes successifs de l suite. 2/ On considère l suite de fonctions définies pr f n (x) = (1 x2 n )n 1I [, n] (x). Montrer que l suite est croissnte et converge presque prtout vers x e x2 sur R +. 3/ En déduire l églité e x2 dx = lim f n (x) dx. R + R + 4/ On rppelle que les intégrles de Wllis, définies pr I m = π 2 cos m θ dθ π vérifient I m lorsque m tend vers +. Conclure à l ide d un chngement de 2m vrible dns le clcul de f n (x) dx. R Appliction de l convergence dominée Exercice 5 Donner une bosse glissnte qui dmet une ppliction dominnte sommble. Exercice 6 Revenir sur l exercice de l intégrle de Guss sns voir besoin de prouver l croissnce. Proposition 4.2. Soit f une fonction continue sur [, + [ telle que mis f(x) dx diverge (u sens des intégrles de Riemnn). Alors f n est ps sommble. + + f(x) dx converge

17 4. Exemples d ppliction des théorèmes précédents 17 Démonstrtion. Fisons une démonstrtion pr l bsurde. Supposons que f est sommble. Alors, l proposition 2.9 montre que f est sommble. Considérons f n (x) := 1I [,n] (x)f(x). On évidemment f n f. Le théorème de Lebesgue ssure que ( f n ) converge vers une fonction sommble et que l intégrle de cette fonction est l limite des intégrles. Mis l suite ( f n ) converge vers f simplement (donc prtout) et l limite des intégrles diverge. Le même rgument (tronquer) permet de montrer que 1I [,+ [ n est ps sommble. Ce résultt complète le théorème 4.1. Pour un intervlle infini et une fonction continue (pr morceux) l sommbilité u sens de Lebesgue est équivlente à l bsolue convergence u sens de Riemnn. Régulrité sous le signe somme : Théorème 4.3. Soit f : I (, b) R une fonction de deux vribles. On suppose que 1. pour tout t I l fonction d une vrible x f(t, x) est sommble sur (, b) ; 2. pour presque tout x, l fonction t f(t, x) est continue ; 3. il existe une fonction x g(x)sommble telle que pour tout t, f(t, x) g(x). Alors l fonction t F (t) := f(t, x) dx est continue. Démonstrtion. L continuité de F en t est équivlente à : Pour toute suite (ε n ) qui tend vers, lim F (t + ε n ) = F (t ). Fixons t et une suite (ε n ) tendnt vers. On pose Il fut lors démontrer f n (x) := f(t + ε n, x) et f(x) := f(t, x). lim f n (x) dx = f(x) dx. Les deux dernières hypothèses permettent d ppliquer le théorème de convergence dominée de Lebesgue. Le même genre d stuce permet de démontrer le théorème de dérivtion sous le signe somme : Théorème 4.4. Soit f : I (, b) R une fonction de deux vribles. On suppose que 1. pour tout t I l fonction d une vrible x f(t, x) est sommble sur (, b) ; 2. pour presque tout x, l fonction t f(t, x) est de clsse C 1 ; 3. il existe une fonction x g(x)sommble telle que pour tout t, f(t, x) t g(x). Alors l fonction t F (t) := f(t, x) dx est dérivble et F (t) = f (t, x) dx. t

18 4. Exemples d ppliction des théorèmes précédents 18 On considère une fonction som- Une utre ppliction : une presque primitive. mble f sur (, b). Pour c (, b) on pose F (x) := x c c x f(t) dt si x c, f(t) dt si x c. Alors l fonction F est continue. Pour le voir, on utilise l formule de Chsles, ce qui permet de supposer c =. L fonction F devient lors F (x) = x f(t) dt = 1I (,x) (t)f(t) dt. L fonction de deux vribles g(x, t) = 1I (,x) (t)f(t) stisfit les hypothèses du théorème de continuité sous les signe (Th 4.3). 4.3 Appliction du lemme de Ftou : une églité pour l intégrle de l dérivée Soit f une ppliction continue dérivble sur [, 1] de dérivée bornée. Alors f est sommble et 1 f (x) dx = f(1) f(). (3) Notez que l on ne dit rien sur l continuité de f, donc sur le fit qu elle soit Riemnnintégrble ou non. L preuve utilise le théorème de convergence dominée. On reprend l même suite de fonctions (f n ) que précédemment 6. Le théorème des ccroissements finis montre qu il existe M tel que pour tout n, f n (x) M. Le théorème de convergence monotone s pplique et on donc 1 f (x) dx = 1 lim f n (x) dx = f(1) f(). Remrque 5. L hypothèse ici est que l fonction est dérivble prtout, ce qui permet d utiliser le théorème des ccroissements finis. On n donc ps besoin de l croissnce de f pour obtenir l positivité de f n, c est l domintion qui est utilisée. Toutefois, le résultt est fux si on suppose juste que f est dérivble presque prtout et s dérivée bornée (presque prtout). L esclier du dible est un contre-exemple clssique. 6. pour obtenir l inéglité 2.

19 5. Espces L p 19 5 Espces L p 5.1 Inéglités de convexité Proposition 5.1. Soit α ], 1[. On pose β := 1 α. Soient f et g deux fonctions sommbles sur (, b). Alors f α g β est sommble et ( f(x) α g(x) β dx ) α ( β f(x) dx g(x) dx). Démonstrtion. C est une ppliction clssique de l convexité, lissée en exercice et/ou dmise. À prtir de cette inéglité, nous pouvons définir des nouveux espces. Définition 5.2. Soit p un réel strictement positif. On note L p l ensemble des pplictions f définies (presque prtout) sur (, b) telle que f p soit sommble. Pour p > 1, on ppelle conjugué le réel q > 1 tel que 1 p + 1 q = 1. Remrque 6. On noter que L 1 est exctement l ensemble des fonctions sommbles. Il y une reltion nturelle entre L p et L q. Elle découle de l inéglité de Hölder. Proposition 5.3. Soient p > 1 et q son conjugué Soient f et g respectivement dns L p et L q. Alors fg est sommble et ( f(x)g(x) dx f(x) p ) 1 p ( g(x) q ) 1 q. (4) Démonstrtion. On utilise l proposition 5.1 vec α = 1 et de bonnes fonctions intermédiires : on pose ϕ = f p et ψ = g q, α = 1 et β = 1. ϕ et ψ sont sommbles p p q et ϕ α ψ β = fg. L inéglité (4) s ppelle l inéglité de Hölder. Dns le cs prticulier où p = 2, lors q = p = 2 et elle s ppelle l inéglité de Cuchy-Schwrz. À prtir de l inéglité de Hölder, on en obtient une utre très importnte : Proposition 5.4 (Inéglité de Minkowski). Soient f et g deux fonctions dns L p (p 1). Alors f + g est dns L p et ( ) 1 f(x) + g(x) p p dx ( ) 1 ( f(x) p p b ) 1 dx + g(x) p p dx. (5)

20 5. Espces L p Espces L p, p 1 On considère p 1. Proposition 5.5. L ensemble L p est un R-espce vectoriel. Démonstrtion. Lissée en exercice et/ou dmise. L principle difficulté est de démontrer l stbilité pr combinison linéire. Ceci résulte de l inéglité de Minkowski. Pour f dns L p on pose Proposition 5.6. L ppliction les trois propriétés suivntes : ( f p := 1. f p = si et seulement si f. 2. λ.f p = λ. f p pour tout f L p et λ R ) 1 f(x) p p dx. 3. f + g p f p + g p (inéglité tringulire). p est une norme sur L p. C est à dire qu elle vérifie Démonstrtion. L dernière propriété est une ppliction directe de l inéglité de Minkowski. L première découle du corollire 3.3. L deuxième de l linérité de l intégrle. Voici pèle-mêle et sns démonstrtions les principles propriétés de l espce L p. 1. L p muni de l norme p est complet : toute suite de Cuchy converge. 2. Les compcts de L p (pour l norme p ) ne sont ps tous les fermés bornés. En prticulier l boule unité n est ps compcte. 3. L p (toujours muni de l norme p ) est séprble, c est à dire qu il existe une suite dense Toutes les normes ne sont ps équivlentes dns L p. 5.3 Le cs prticulier p = 2 Le cs p = 2 est prticulier prce que, dns ce cs, l norme sclire : Si f et g sont dns L 2 on note 2 découle d un produit < f g >:= f(x)g(x) dx. L ppliction < > est un produit sclire sur L 2, c est à dire qu elle est 1. bilinéire : < λ.f + g h >= λ. < f h > + < g h > et < f λ.g + h >= λ. < f g > + < f h > ; 2. symétrique : < f g >=< g f > ; 7. On rppelle que dense signifie que toute boule de ryon > contient u moins un élément de l suite considérée.

21 5. Espces L p positive : < f f > ; 4. définie : < f f >= si et seulement si f. Dns ce cs, l norme 2 vérifie : f 2 = < f f >. Définition 5.7. On dit que deux fonctions f et g de L 2 sont orthogonles si < f g >=. Si V est un sous-espce vectoriel de L 2, on dit que f est orthogonle à V si f est orthogonle à tout élément g V. Une fmille (f n ) dns L 2 est dire orthonormée si pour tout n et m, Le produit sclire permet d voir < f n f m >= δ n,m. Théorème 5.8 (Pythgore). Si f et g sont orthogonles lors f + g 2 2 = f g 2 2. Pr illeurs, on rppelle que dns un espce-vectoriel, une fmille est une bse (vectorielle) si tout élément de l espce est une unique combinison linéire finie d éléments de l bse. Étnt donnée une fmille (libre), l espce vectoriel engendré pr cette fmille est lors l ensemble des combinisons linéires finies des éléments de l fmille. Ainsi, l principle propriété de L 2 c est qu il existe des fmilles libres orthonormées telles que les espces qu elles engendrent sont denses. On prle lors de bse hilbertienne 8 : Théorème 5.9 (et définition). Dns L 2 une bse hilbertienne est une fmille (ϕ n ) orthonormle telle que l espce vectoriel engendré pr les ϕ n est dense pour l norme 2. Dns ce cs, pour tout f dns L 2 on ur l églité f = + n= De plus l suite définie pr c n :=< f ϕ n > vérifie < f ϕ n > ϕ n. (6) + n= c n 2 < +. Réciproquement, étnt donnée une suite de sclires (c n ) vérifint c n ϕ n est bien défini et est une fonction de L 2. n + n= c n 2 < +, Remrque 7. Depuis le début nous considérons priori un R-espce vectoriel. on urit pu considérer un C-espce vectoriel et le produit hermitien < f g >= f(x)ḡ(x) dx. Dns ce cs il fut prendre les modules des c n qui sont des nombres complexes. L églité (6) doit se comprendre dns L 2. l élément de droite est une série infinie, c est à dire une limite. L églité signifie donc n lim f k= < f ϕ k > ϕ k 2 =, 8. Attention, une bse hilbertienne n est ps une bse vectorielle.

22 5. Espces L p 22 soit encore lim f(x) n < f ϕ k > ϕ k (x) 2 dx =. k= le reste du théorème signifie donc, qu étnt donnée une bse hilbertienne, un élément de L 2 s obtient juste sous forme d une série des vecteurs de l bse. On obtient ussi une utre églité : f 2 2 = + n= < f ϕ n > 2. (7) Exemple : séries de Fourier Si (, b) = (, 2π), on peut prendre comme fmille soit les fonctions du type x cos nx et les fonctions du type x sin nx (le cs réel 9 en clculnt l intégrle de leur crré), soit les fonctions du type x e inx (le cs complexe). On sit, pr exemple que des fonctions continues pr morceux sont sommbles. Le crré d une fonction continue pr morceux est encore continue pr morceux donc est dns L 2. Ainsi, on retrouve une version différente du théorème de Dirichlet sur l églité d une fonction un peu régulière vec s série de Fourier (églité (6)). L églité (7) n est rien d utre que l églité de Prsevl. Le bon cdre pour fire les séries de Fourier c est le cdre L 2 (et certinement ps les fonctions continues prt morceux). Appliction : exemples de fonctions dns L 2 mis ps continue (ou réglées). Il suffit de choisir n importe quelle suite (c n ) telle que n c n 2 converge mis ps n c n. Pr exemple f(x) := e inx n, n Z n est ps continue mis dns L 2 (, 2π). 5.4 L Nous vons vu l inéglité de Hölder, qui n est vlide que si p et q sont plus grnd que 1. Il existe toutefois une version pour p = 1. Pour cel nous devons introduire un utre espce normé. Définition 5.1. On ppelle L l ensemble des pplictions qui sont (presque prtout) bornée, c est à dire les pplictions f telles qu il existe un ensemble E négligeble et un réel C tel que pour tout x (, b) \ E, f(x) C. On note lors f := sup{ f(x), x (, b) \ E}. Lemme L ppliction : L R + est une norme. L proposition 5.3 s étend u cs p = 1 et q = : Proposition Soient f dns L 1 et g dns L. Alors fg est sommble et 9. il fut renormliser ces fonctions f(x)g(x) dx g f(x) dx.

23 6. Théorèmes de Fubini Inclusions On peut se demnder quelles sont les reltions entre les espces L p. Lorsque (, b) est infinie il n y en ucune. En effet, prenons (, b) =], 1[. L fonction x 1 est dns x + 1 L 2 mis ps dns L 1. Inversement, x 1 est dns L 1 mis ps dns L 2. x Lorsque (, b) est de longueur finie, lors les choses chngent : Proposition Si (, b) est de longueur finie lors L p L m si p m. Démonstrtion. Utiliser l inéglité de Hölder vec f et 1I (,b). 5.6 Non-équivlence des normes Considérons l suite de fonction sur [, 1], f n définie pr n si x [, 1 ] n f n (x) = si x 2 n continue ffine entre les 2. Cette suite converge presque prtout vers l fonction nulle. On 1 f n (x) dx = 3 n 2n. Cel montre, en fonction du choix de n que (f n ) peut converger ou non vers l fonction nulle dns L 1. Théorème Si (f n ) est une suite qui converge dns L p vers f, lors il existe une suite extrite (f nk ) qui converge presque prtout vers f. 6 Théorèmes de Fubini Théorème 6.1 (Fubini-Tonelli). Soient (X, B, µ) et (Y, V, ν) deux espces mesurés, f une ppliction mesurble pour l tribu produit B V à vleurs dns [, + ]. Alors 1. Les fonctions x f(x, y) dν(y) et y f(x, y) dµ(x) sont mesurbles (respectivement pr rpport à B et V). 2. Il y les églités dns [, + ] f(x, y) dµ ν = f(x, y) dν(y) dµ(x) = f(x, y) dµ(x) dν(y). X Y X Y Y X Exemple. Soient ( n,m ) des réels positifs. Alors n,m = n m m n,m. n

24 6. Théorèmes de Fubini 24 Théorème 6.2 (Fubini-Lebesgue). Soient (X, B, µ) et (Y, V, ν) deux espces mesurés, f une ppliction dns L 1 (µ ν). Alors 1. Pour µ presque tout x, y f(x, y) est dns L 1 (ν). 2. Pour ν presque tout y, x f(x, y) est dns L 1 (µ). 3. x f(x, y) dν(y) et y f(x, y) dµ(x) sont respectivement dns L 1 (µ) et L 1 (ν). 4. Il y les églités dns R f(x, y) dµ ν = X Y X Y f(x, y) dν(y) dµ(x) = Y X f(x, y) dµ(x) dν(y). Un contre-exemple. Voici un exemple pour illustrer l différence entre les deux théorèmes et, en prticulier l importnce de l hypothèse que f soit dns L 1 (µ ν). Soit f l fonction définie sur R + [, 1] pr f(x, y) = 2e 2xy e xy. L fonction est continue donc mesurble pr rpport à l tribu borélienne. D utre prt, pour tout y >, f(x, y) dx = 1 [ e xy e 2xy] + =, R + y et pour tout x >, f(x, y) dy = 1 [ e xy e 2xy] 1 [,1] x = e x e 2x. x Ces deux églités ont ussi lieu λ-presque prtout respectivement dns [, 1] et dns R +. L fonction x e x e 2x se prolonge pr continuité en (de vleur 1) et est donc x intégrble. Elle est ussi strictement positive. Pr illeurs on f(x, y) dxdy = [,1] R + + e x e 2x et f(x, y) dydx = dx > x R + [,1] Exercice 7 + e x e 2x 1/ Clculer dx. x 2/ Le contre exemple montre que f ne peut ps être dns L 1 (λ λ). Le montrer directement à l min.

25 6. Théorèmes de Fubini 25 Exemple d ppliction : intégrtion pr prties Soient f et g deux pplictions dns L 1 (λ). On pose F (x) = f(t) dt si x, [,x] F (x) = f(t) dt si x, [x,] G(x) = g(t) dt si x, [,x] G(x) = f(t) dt si x. Alors x [x,] f(t)g(t) dt = F (x)g(x) x F (t)g(t) dt. Nous llons fire l preuve dns le cs x plus simple à mnipuler. Il fut dpter les signes pour le cs x. On utilise le théorème 6.2 pour l fonction φ(t, s) := 1I { s t x} f(t)g(s) définie sur [, 1] 2. L fonction est mesurble comme produit direct de fonction mesurbles. Elle est sommble cr φ(t, s) f(t) g(s), et f et g sont dns 1 L 1 (λ). On pplique lors le Théorème de Fubini-Tonelli (Th. 6.1) à f(t) g(s) qui est un produit de fonctions sommbles. On peut donc ppliquer le théorème de Fubini-Lebesgue qui permet d voir l églité φ(t, s) dtds = φ(t, s) dsdt. [,x] L intégrle de droite vut [,x] [,x] [,x] φ(t, s) dsdt = = [,x] [,x] [,x] [,x] f(t) g(s) dsdt [,t] f(t)g(t) dt. Pour celle de guche, on se souvient que l mesure de Lebesgue ne chrge ps les points. Donc x φ(t, s) dtds = g(s) f(t) dtds [,x] [,x] [,x] s = (1I [,x] (t) 1I [,s] (t))f(t) dtds [,x] [,x] s = g(s) f(t) dtds g(s) f(t) dtds [,x] = G(x)F (x) [,x] x g(s)f (s) ds. 1. On urit en fit pu seulement supposer que f et g sont loclement intégrbles, c est à dire intégrble sur tout segment de R [,x]

26 7. Chngement de vribles 26 7 Chngement de vribles Nous énonçons les résultts en dimension 2, mis donnerons ussi des exemples en dimension 3. Ils s étendent à l dimension supérieure. Définition 7.1. Soit φ un difféomorphisme ( locl ) d un domine U de R 2 dns un domine V de R 2 φ1 (x, y). On note donc φ(x, y) =. L mtrice J φ 2 (x, y) φ (x, y) définie pr J φ (x, y = φ 1 x φ 2 x φ 1 y φ 2 y s ppelle l mtrice jcobienne de φ en (x, y). L quntité φ 1 φ 2 x y φ 1 φ 2 s ppelle le y x Jcobien de φ en (x, y). C est ussi le déterminnt de l mtrice jcobienne. Théorème 7.2. Soit φ un difféomorphisme locl d un domine U de R 2 dns un domine V de R 2. Soit f une fonction définie sur V. Alors pour tout f sommble f(x, y)dxdy = f φ(ξ, ζ) detj φ (ξ, ζ) dξdζ, V où detj φ (ξ, ζ) est le déterminnt de l mtrice jcobienne Coordonnées polires U Un point de coordonnées crtésiennes (x, y) peut ussi être vu vec les coordonnées polires (ρ, θ), définies pr l reltion x = ρ cos θ, y = ρ sin θ. Posons F (ρ, θ) = f(ρ cos θ, ρ sin θ) et est le domine décrit pr les coordonnées polires lorsque le point (x, y) décrit D. En écrivnt les coordonnées crtésiennes comme fonctions des coordonnées polires on trouve x x = cos θ, ρ y y = sin θ, ρ = ρ sin θ, θ = ρ cos θ. θ Le Jcobien x y ρ θ y x vut ρ. ρ θ 1 Exemple. On veut clculer I = vec D le qurt de disque x 1, D 1 + x 2 + y2 y 1 et x 2 + y 2 1. Le chngement en polires donne comme domine l ensemble [, π ] [, 1]. On donc 2 1 I = 1 + ρ ρdθdρ, 2 qui se clcule fcilement.

27 7. Chngement de vribles Coordonnées cylindriques Le point de coordonnées crtésiennes (x, y, z) est représenté pr les coordonnées cylindriques (ρ, θ, z) données pr L mtrice jcobienne est x = ρ cos θ, y = ρ sin θ, z = z. cos θ sin θ ρ sin θ ρ cos θ 1 dont le déterminnt vut ρ. On donc f(x, y, z) dxdydz = φ( ) 7..3 Coordonnées sphériques f(ρ cos θ, ρ sin θ, z)ρ dρdθdz. Contrirement à l hbitude, ce sont les coordonnées les plus nturelles, puisque ce sont celles qui sont vues pr les yeux! Un point de coordonnées crtésiennes (x, y, z) est représenté pr les coordonnées (ρ, θ, ϕ) telles que ρ 2 = x 2 + y 2 + z 2, z = ρ cos θ, x = ρ sin θ cos ϕ, y = ρ sin θ sin ϕ. L mtrice jcobienne est donnée pr cos ϕ sin θ sin ϕ sin θ cos θ ρ sin ϕ sin θ ρ cos ϕ sin θ ρ cos ϕ cos θ ρ sin ϕ cos θ ρ sin θ dont le déterminnt vut ρ 2 sin θ. On donc f(x, y, z) dxdydz = f(ρ cos ϕ sin θ, ρ sin ϕ sin θ, ρ cos θ)ρ 2 sin θ dρdθdϕ. φ( ) Exemple. On veut clculer I = K xyz dxdydz où K est l ensemble des points de l sphère unité dont les 3 coordonnées (crtésiennes) sont positives. En coordonnées sphérique, cet ensemble représente l ensemble des points dont ρ vrie entre et 1, et les 2 ngles θ et ϕ entre et π. On donc 2 I = xyz dxdydz = = 1 K π 2 π 2 ( 1 ρ 5 dρ = ρ 3 sin 2 θ cos ϕ sin ϕ cos θρ 2 sin θ dρdθdϕ ) ( ) ( π π ) 2 sin 3 2 θ cos θ dθ cos ϕ sin ϕ dϕ

28 8. Théorie de l mesure 28 Un clcul en remplçnt z pr 1 x 2 y 2 donnerit I = 1 1 x 2 1 x 2 y 2 y x z dz dx dy, plus difficile. Un clcul en cylindrique donnerit ( π ) ( 2 1 ) 1 ρ 2 I = sin θ cos θ dθ ρ 3.z dz dρ. Appliction Loi de l somme de deux vribles létoires à densité et indépendntes. 8 Théorie de l mesure 8.1 L tribu borélienne et l mesure de Lebesgue à prtir de l méthode de Cuchy Définition 8.1. Une fonction est mesurble (u sens de Lebesgue) si elle est limite presque prtout d une suite de fonction e.s.c.. Remrque 8. Les fonctions sommbles sont donc mesurbles! Définition 8.2. Un ensemble E (, b) est dit mesurble (u sens de Lebesgue) si s fonction indictrice 1I E est mesurble (u sens de Lebesgue). S mesure est lors l quntité 1I E(x) dx si elle est finie, et + sinon. On l noter λ(e). Comme 1I E F = 1I E + 1I F 1I E 1I F, et 1I E F = 1I E 1I F, l union et l intersection de deux ensembles mesurbles est encore un ensemble mesurble. Pr récurrence c est ussi vrie pour une union finie ou une intersection finie. Lemme 8.3. Soit E n une collection dénombrble d ensembles mesurbles deux à deux disjoints. Alors n E n est mesurble et λ( n E n ) = n λ(e n ) Les deux méthodes coïncident Proposition 8.4. Soit f une fonction. Alors { } { sup ϕdλ, ϕ étgée et ϕ f = sup } ϕdλ, ϕ e.s.c.et ϕ f Démonstrtion. Il suffit de montrer que pour tout ϕ étgée, on peut trouver une fonction ψ e.s.c.telle que ψ ϕ et ψ dλ ussi proche que voulu de ϕ dλ. On dmet que c est possible.

29 8. Théorie de l mesure Mesures sur une tribu Quelques compléments sur les tribus 1. L tribu grossière est composée de deux éléments, et X. 2. Au contrire l tribu trivile est P(X) l ensemble des prties de X. c est bien souvent une tribu trop grosse. 3. Étnt donné un ensemble A, l ensemble {, X, A, X \ A} est une tribu. 4. D une fçon générl, étnt donné une prtition X = X i, l ensemble des éléments de l forme j J I X j est une tribu. Exercice 8 Montrer que l intersection de deux tribus est encore une tribu. D une fçon générle montrer qu une intersection de tribus est encore une tribu. À prtir de cet exercice on peut définir l plus petite tribu contennt une fmille d ensembles : c est l intersection de toutes les tribus qui contiennent tous ces ensemble. Une telle tribu existe cr P(X) est une tribu et contient, pr définition, tous les sousensembles de X. Définition 8.5. Si X = R, l tribu des boréliens est l plus petite tribu qui contient tous les ouverts. Proposition 8.6. Si X = R, les ensembles Lebesgues mesurbles vus à l définition 8.2 sont exctement les ensembles de l tribu de Borel Propriétés des mesures Les principles propriétés d une mesures sont les suivntes : Lemme 8.7. Une mesure est croissnte pour l inclusion : 1. Si A B lors µ(a) µ(b). 2. Si µ(a) < +, lors µ(b \ A) = µ(b) µ(a). 3. Si µ(a) = +, on ne peut rien dire sur µ(b \ A). Démonstrtion. Utiliser B = B \ A A. Lemme 8.8. Une mesure est fortement dditive : µ(a B) + µ(a B) = µ(a) + µ(b). Lemme 8.9. Si (A n ) est une suite croissnte 11 d ensembles mesurbles, lors µ( A n ) = lim µ(a n). Si (B n ) est une suite décroissnte d ensembles mesurbles, lors 11. pour tout n, A n A n+1 µ( B n ) = lim µ(b n).

30 8. Théorie de l mesure 3 Lemme 8.1. Une mesure est sous-dditive : µ( A n ) µ(a n ). On dmettr une propriété qui crctérise l mesure de Lebesgue dns R : Pour tout ensemble mesurble A, λ(x + A) = λ(a) Exemples de mesures utres que Lebesgue L mesure de Dirc en x définie pr { 1 si x A Elle se note δ x. sinon. Cntor Tridic On construit une fonction, ppelée esclier du dible à l ide d une suite de fonctions continues. L fonction f est l fonction identité. L fonction f 1 est obtenue en prennt l fonction constnte égle à 1 sur l intervlle [ 1, 2]. Sur [, 1] et [ 2, 1] elle est ffine et vérifie f () = et f 1 (1) = 1. L fonction f n+1 se construit à prtir de l fonction f n de l mnière suivnte (voir 1). L fonction f n est constnte sur des intervlles de l forme [ j, j+1 ] (vec p n) et ffine 3 p 3 p pr morceux. Sur un morceux oblique de tille horizontle 1 et verticle 1, on coupe 3 n 2 n l intervlle en 3 tiers, l fonction est constnte sur le tiers du milieu de vleur l moitié des 2 vleurs extrémles de f n puis on l rend continue ffine pr morceux (sns chnger les vleurs extrémles sur l intervlle). On vérifie que f n+1 est bien constnte globlement ffine pr morceux, sur des morceux de l forme [ j, j+1 ] (vec p n+1) et strictement 3 p 3 1 p 1 croissntes sur des intervlles de tille vec des vritions de tille. 3 n+1 2 n+1 L différence entre f n et f n+1 est inférieure à 1 donc l suite est de Cuchy et converge 2 n uniformément vers une fonction continue. Il s git d une fonction continue, vlnt en et 1 en 1 mis presque prtout de dérivée nulle. Cette fonction F permet de définir une intégrle (de Stieltjes), qui définit une mesure portée pr le Cntor tridic : L intégrle d une fonction e.s.c.vut α n (F ( n+1 ) F ( n )), n où les intervlles sont les [ n, n+1 [ et sur cet intervlle l fonction vut α n. Cette nouvelle définition donne un nouvel ensemble de fonctions sommbles et un nouvel ensemble E 2. Avec cette intégrle, on définit une mesure qui vérifier : µ([ n, n+1 [) = F ( n+1 ) F ( n ). Cette mesure ne chrge ucun des intervlles plteux de F.