Intégrale dépendant d un paramètre

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1 Iégrale dépeda d u paramère Eercice. Calcul de limie cos l( + Chercher lim = si sh Eercice. Calcul de limie, Esi P 9 3 Calculer les limies : lim Eercice 3. Calcul de limie Chercher lim + =3 + Eercice 4. Calcul de limie Chercher lim e d + = si l. d. a d e lim 3 si d 3 + l(l. 3 d. + e Eercice 5. Série d iégrales, Esem 9 Éablir la covergece e calculer la somme de = ( + d ( + 3. Eercice 6. si(/( + Prouver l eisece pour > de I( = si + d. Déermier lim + I(. Eercice 7. Calcul de limie f( Soi f : [, ] R coiue. Chercher lim + + d. Eercice 8. Calcul d équivale, Mies 999 Doer u équivale pour + de si + d. Eercice 9. Calcul de limie Soi a >. Doer le DL e = à l ordre 3 de f( = a l =a/ a + d. Eercice. ( f / Soi f : [a, b] R + coiue. O pose ϕ( = Morer que ϕ( + ma(f. ( b =a (f( d /. O suppose f > e b a =. Morer que ϕ( + ep ( b =a l(f( d. Eercice. f( Soi I = l( + d. Morer que I. Eercice. f( Soi f : [, ] R coiue. Morer que f( d = f( + o(. Eercice 3. f( Soi f : [, ] R coiue. Morer que f( d f(. Chercher u équivale pour de d +. 3 Chercher u équivale pour de + + d. i-param.e samedi 6 aoû 6

2 Eercice 4. f( Doer les deu premiers ermes du DL pour de I = d +. Eercice 5. f( Doer les deu premiers ermes du DL pour de I = + d. Eercice 6. f( Chercher u équivale pour de +/ = + d. Eercice 7. Calcul de limie π/ Déermier lim si + d. Eercice 8. Calcul de limie Soi f : [, ] R coiue. Déermier lim f(e d. Eercice 9. ( /, Esi PSI 998 Soi [, ]. Morer que ( / e. E déduire lim ( / d. Eercice. Équaio iégrale, Esi P 9 Déermier les focios f C (R, R elles que : R, f( + ( f( d =. Eercice. a, Esi Physique P 94 O pose I = π/4 a d. Morer que I. Calculer I e focio de. 3 Que peu-o e déduire? Eercice. Calcul de limie, École de l Air 94 Chercher lim d. Eercice 3. Approimaio de la mesure de Dirac Soi f : [a, b] R + coiue aeiga so maimum e u uique ( poi c / ]a, b[. b Soi µ > el que [c µ, c + µ] [a, b]. Chercher lim =a f c+µ ( d =c µ f ( d. ( / Soi g : [a, b] R + b coiue. Chercher lim =a f b (g( d =a f ( d. Eercice 4. Équaio iégrale Soi f : [, + [ R + coiue elle que f( f ( d l. + e +. Eercice 5. Covoluio Soie f, g : R R coiues e a, b R. O pose ϕ( = b f(g( d. =a Morer que ϕ es coiue e que si g es de classe C k, alors ϕ l es aussi. Morer que si f es de classe C (e g es coiue, alors ϕ es aussi de classe C. Trouver u équivale de f Eercice 6. Covoluio (Mies MP 3 Soie f, g C([, + [, R. O pose h( = f( g( d. Eisece e coiuié de h. Peu-o iverser f e g? 3 O suppose f iégrable sur [, + [ e g borée. Morer que h es borée. 4 O pred f( = si e g( = cos(α avec α. h es-elle borée (o pourra éudier les cas α = e α =? i-param.e page

3 Eercice 7. Calcul d iégrale Calculer ϕ(a = d + a. E déduire la valeur de d ( + a. Eercice 8. Focio défiie par ue iégrale O pose ϕ( = e / d. Morer que ϕ es de classe C sur R +. Vérifier que ϕ ( = e. Eercice 9. Focio défiie par ue iégrale, Mies 999 Soi I(α = α + d. Morer que I(α eise e défii ue focio de classe C sur ], [. Écrire I(α comme somme d ue série. Eercice 3. Focio défiie par ue iégrale O pose pour : f( = l( + + d. Calculer eplicieme f ( e e déduire f( (o calculera f( à l aide du chageme de variable u = /. Eercice 3. Focio défiie par ue iégrale O pose I( = π/ l(cos + si d. Morer que I es de classe C sur R +. Calculer I ( e e déduire I(. Eercice 3. Iégrale de Gauss ( O cosidère les focios défiies par : f( = d e g( = e (+ e + d. Morer que f e g so dérivables e calculer f e g. Morer que f( + g( = π 4 pour ou R+. 3 E déduire la valeur de d. e Eercice 33. Iégrale de Gauss, Esi PC 999 O doe : e d = π. Eisece e valeur de e ( +a / d. Eercice 34. Focio défiie par ue iégrale Soi I( = cos( d. Prouver que I es de classe C sur R. e Chercher ue relaio simple ere I e I. 3 E déduire la valeur de I( (o adme que I( = π. Eercice 35. Focios défiies par des iégrales O pose, pour réel, F ( = cos d e G( = cos + d. Morer que les iégrales F ( e G( coverge absolume pour ou réel e que F ( = F (. Morer que la focio F G es de classe C sur R. E déduire que G es C sur R e es pas dérivable e. Eercice 36. Théorème de divisio des focios C Soi f : R R de classe C f( f( e g( = si, g( = f (. Vérifier que g( = f ( d. E déduire que g es de classe C. ( Morer de même que la focio g k : k f( f( f (... k (k! f (k ( se prologe e ue focio de classe C e. i-param.e page 3

4 Eercice 37. y + y = f Soi f : R R coiue. O pose g( = f( si( d. Morer que g es l uique soluio de l équaio différeielle : y + y = f( elle que y( = y ( =. Eercice 38. Focio défiie par ue iégrale Soi f : R R coiue. O défii pour R e y R : g(, y = y f( d. = Morer que g peu êre prologée e ue focio coiue sur R. O suppose de plus f dérivable e. Morer que g es de classe C. Eercice 39. Focios défiies par des iégrales Cosruire les courbes représeaives des focios suivaes : f( = π/ + si d. = π/ f( = d = l. 3 f( = d = 4 f( = e d +. 5 f( = ( π/ ep si 6 f( = d. l( + + d. Eercice 4. Focio défiie par ue iégrale Morer qu il eise u uique réel [, π] el que π θ= cos( si θ θ. =. Calculer ue valeur approchée de à près. Eercice 4. Développeme e série, Esam PSI 998, Mies MP 999 Soi I(α = si α e d. Jusifier l eisece de I(α. Déermier les réels a e b els que : I(α = = 3 Doer u équivale de I(α quad α +. a b +. Eercice 4. Formule de Sirlig Morer que Γ ( + e π pour réel eda vers +. Eercice 43. Développeme e série, Mies 999 Soi θ ], π[. Morer que d e iθ = ep(iθ =. Eercice 44. Focio défiie par ue iégrale, X 999 Calculer f(a = cos(a d. e Soi g(a = si(a d ; calculer lim e a + g(a. Eercice 45. Développeme asympoique Soie J( = π/ d si + cos e K( = π/ cos d si + cos. Calculer lim +(J( K( e morer que J( = l + l + o +(. Eercice 46. Trasformée de Laplace Soi f : [, + [ R coiue elle que f( d coverge. O pose ϕ(a = e a f( d. Morer que ϕ es de classe C sur ], + [. Morer que ϕ es coiue e. i-param.e page 4

5 Eercice 47. O pose pour : v = (v? + d. Morer que la suie (v coverge. Naure de la série Eercice 48. O pose pour, u = + d. Morer que la suie (u coverge, puis que la série (u coverge égaleme. Eercice 49. Cerale MP Domaie de défiiio de I(α = l ( + α d. Calculer I( e I(3. Déermier la limie de I(α e +. Eercice 5. Cerale MP O cosidère f( = d ( +. Domaie de défiiio, moooie, coveié de f (sas dériver f. Coiuié, dérivabilié, calcul de f (k (. 3 Doer u équivale de f( e e e. 4 Calculer f(/ pour N,. Eercice 5. Esae MP Soi α R. Trouver la limie de u = si(kα k= + k. Eercice 5. Polyechique MP Eisece e coiuié de f( = = e + cos( + ( + d. Morer que f es iégrable. Eercice 53. Cerale MP Développer, pour ou >, s( = si e d e série de fracios raioelles. Morer qu e +, s( es équivalee à π. Eercice 54. X MP Éudier e + d. Eercice 55. Esi MP 4 Soi f( = e + d. Trouver le domaie de défiiio de f. Morer que f es dérivable sur R +. 3 Calculer f f. 4 Doer u équivale simple de f ( pour +. ( π 5 Morer que f( = π 4 + o. 6 Tracer la courbe de f. Eercice 56. Esea MP 4 Soi α >. Morer que f : e α π θ= cos( si θ θ. es iégrable sur R +. Calculer I = f( d. Idicaio : écrire I = lim a a + f( d. Eercice 57. X MP Éudier la limie e + de I( = e cos e d. i-param.e page 5

6 Eercice 58. ζ e Γ Morer, pour > : ζ(γ ( = e d. Eercice 59. Cerale MP Soi f : d moooie. Calculer = d + + Déermier so domaie de défiiio ; éudier sa coiuié e sa e e déduire des équivales e les limies de f e e e +. Eercice 6. Polyechique MP Soi α ], π [ e λ R. Chercher u équivale pour de I = α si( ep(λ si ( d. Eercice 6. Cerale MP 4 Soi (a N la suie défiie par a = e a = (... ( d.! Quel es le rayo de covergece de la série eière = a? Doer u équivale de a. Eercice 6. si( =, Mies-Pos MP 4 Soi u ( le erme gééral d ue série : u ( = si( avec < < π. Éudier la covergece de la série. Calculer p= u p( = S (. Mere S ( sous la forme P ( avec Q( > α, α >. Q( 3 Calculer lim S ( e lim 4 E déduire = si(. S ( d. Eercice 63. Lemme de Lebesgue, Cerale MP 4 Soi f coiue par morceau défiie sur R, à valeurs das C. Soie a, b R. Morer que b f( cos( d =a. O suppose que f es iégrable sur ], + [. Soi u = π si (f( d. Morer que (u N adme ue limie quad e la préciser. Eercice 64. Suie d iégrales, Cerale MP 4 ( Soi (f N ue suie de focios défiie par : N, [, ], f ( = +. Morer que (f coverge simpleme vers ue focio ϕ. a La covergece es-elle uiforme? b La covergece es-elle moooe? 3 Soi, pour N, J = f ( d. Morer que J. Eercice 65. Mies-Pos MP 4 Soi f( = l d. Éudier le domaie de défiiio de f, sa dérivabilié, puis calculer f(. Eercice 66. Mies-Pos MP 4 Soi I(a = sh e a d. Quel es le domaie de défiiio de I? Éudier la coiuié e la dérivabilié de I. 3 Calculer I(a. i-param.e page 6

7 Eercice 67. ENS Lyo MP 4 Soi f : [a, b] R de classe C e F ( = b =a f(e i d avec a < < b. Morer que F (. + Morer que F ( = f(ae ia f(be ib + o(/. i 3 Morer la covergece de l iégrale I = / = e i d. 4 Soi g( = b / =a f(e i d. Morer que g( = I.f( + o(. Eercice 68. Thm de d Alember-Gauss Soi P C[X] de degré. Le bu de ce eercice es de prouver que P adme ue racie das C. O suppose au coraire que P e s aule pas e o cosidère pour r, θ [, π] : f(r, θ = r e iθ P (re iθ e F (r = π f(r, θ dθ. θ= Morer que F es de classe C sur [, + [. Vérifier que ir f/ r = f/ θ. E déduire que F es cosae. 3 Obeir ue coradicio. Eercice 69. Éude d iégrales, Mies-Pos 5 Soie f( = cos d e g( = cos d. Morer que f e g so de classe C sur R. Doer f ( e g (. Morer que f adme e + ue limie l fiie. O admera das la suie que l = π/. 3 Morer que g(. + 4 Morer qu il eise ue suie (a de réels posiifs elle que pour ou, f(a = +. Déermier la moooie de (a e rouver u équivale de a lorsque. 5 Morer qu il eise ue suie (b de réels posiifs elle que b = e b + cos =b d = +. Eercice 7. Trasformée de Laplace, ENS 4 Soi ϕ coiue par morceau borée sur R + à valeurs réelles, e F défiie par F (λ = ϕ(e λ d. O suppose que ϕ chage fois de sige. Morer que F chage au plus fois de sige. Eercice 7. Mies MP Déermier la limie pour de / ( + / d. i-param.e page 7

8 soluios Eercice. = ( = o( d l. Eercice. a = + ϕ( avec ϕ prologeable par coiuié e, doc lim + e 3 = + o( doc lim 3 + e 3 d = 3. Eercice 3. Formule de la moyee sur [3, ] e [, + ] lim =. Eercice 4. l. Eercice 5. = ( d ( + 3 = + ( ( d ( N 3 d + 3 = π5/ Eercice 6. I( = si( d = cos si d si cos d = = =. + Eercice 7. π f(. Eercice 8. = u puis iégraio par paries. Eercice 9. f ( = l a( + f( + h = a (h h 3 + o(h 3. a d = l 3. Eercice. Soi ε > : Pour assez pei, f( l(f( ε car l f es boré sur [a, b]. Doc b =a f( d ( b l =a l(f( d b ε, e =a f( d b =a l(f( d ε. Eercice 3. TCD [ ] l( + = l( + d l. 3 d = + l(. + + Eercice 4. l + o(. Eercice 5. + d + o( + + = + + l( + o(. Eercice 6. u = e + u du. u= u Eercice 8. f(. i-param.e page 8

9 Eercice 9. Soi f ( = ( / si e f ( = si >. Alors f ( simpl e e il y a covergece domiée. Eercice. f( = cos. Eercice. I + I + = +. I k = k k ( k + ( k π 4, I k+ = k k ( k ( k l = π 4 e = l. Eercice. d = l. Eercice 3.. g(c. Eercice 4. Φ( = f ( d Φ Φ l Φ 3 3l f = Φ 3 l/(3. Eercice 6. 4 Pour α = o a h( = si d, quaié borée car l iégrale coverge e +. Pour α = o a h( = cos cos si d+si si d, quaié o borée car la deuième iégrale diverge e +. Pour < α <, développer le cos( puis liéariser les produis obeus. O obie quare iégrales covergees, doc h es borée. Eercice 7. l( + a. a = ϕ (a = l( + a a a( + a. Eercice 3. f ( = π, f( = π l( +. + Eercice 3. ( I ( = π, I( = π l +. + Eercice 3. g ( = ( e (+ d = e f( = f (. Eercice 33. u = a I = di da I = π e a. Eercice 34. I ( = I(. 3 I( = π e. i-param.e page 9

10 Eercice 38. g(, y = y g = ( u= f(u du. yf(y f( y u= f(u du y f (. Eercice 39. de à π, si de π à π, de π à +. Eercice 4..4 < <.4. Eercice 4. a = α, b = α. π 3 comparaiso série-iégrale I(α α +. Eercice 4. l Γ es covee, ecadrer l Γ ( par les cordes passa par (, l Γ (. Eercice 44. f (a = a f(a f(a = π ep( a /4. g π (a = f(a g(a a +. Eercice 46. Leibiz. Soi F ( = = f( d. O a ϕ(a = F ( a e a F ( d = F ( e u F (u/a du. Comme F es coiue e F (, la derière iégrale ed vers zéro quad a + par + covergece domiée. Eercice 47. v par covergece domiée. v = diverge. Eercice 48. u par covergece domiée. u = ( + + d = u / + u (u / du. ( O a u / = ep l(u l(u ( ep l(u d où u u 3/ ( ( l u du = O + u. Eercice 49. I(α es défiie pour ou α >. I( = ( = e u = u= ue u ( + e u du = u= I(3 = ue u u= (e u + e u 3 du = u(e u e u = + d = u / du l + u u (e u + e u du = (parié. [ ] + (e u + e u 3 du = u (e u + e u e u [ ] + du ( + e u = 4( + e u = 8. I(α par covergece domiée. α + doc la série du (e u + e u i-param.e page

11 Eercice 5. D f = ], [. f es covee sur ], [ par iégraio de l iégalié de coveié pour e f( + par covergece moooe doc f décroî puis recroî., 3 E : ( + = + + ( + doc f( = E : ( + = + 4 f(/ = ( = u = coue... Eercice 5. Si α πz ( alors u = pour ou. Sio, ( u = I k= +k e ikα d = I Eercice 5. I a = a = a f( d a = a = O a a = a e + d = doc I a a d ( + + =a doc f( = u du u( + u = (v = /u = v= d ( + + = d + ( +. + d + d = ( +. dv + v = π si(π/ (formule bie e iα e i(+α e iα d par covergece domiée. e + ( + d d = = a = a { e a ch si < a e sh a si a, e + ( + d d. 4e sh a ( + a a d = 4 arca( a + 4e a sh a ( + a cse. a Eercice 53. s( = k= si(e k d. O a si(e k e k e e k d = k doc k= légiime l ierversio iégrale-série. D où s( = k= Sacha (? que si d = π, o obie : s( π ( si = e si d ( = e u ( u si du u [ ( = e u ( u + cos + u ] }{{} u + = (quaié borée +. si(e k d coverge ce qui si(e k d = k= u + k +. ( e u (e u + ( u u cos du }{{} Eercice 54. Focio de de classe C sur ], + [, décroissae de limie π/ e + e e +. Demi-agee vericale e +, Équivalee à / e + (par IPP. Équaio différeielle : f( + f ( = /. Eercice 55. [, + [. 3 f( f ( = e d = (u = = 4 f ( = u e u du = + u π. u e u + u du / u e u du = π 4. i-param.e page

12 Eercice 56. Thm de Fubii : f( d = π θ= Re(e( α+i si θ d θ. = π θ= (couper e θ = π/ e poser u = a θ. Eercice 57. I ( = (cos e e d = + ( + doc I( = l + ( + cse =. Alors I( +. α θ. α + si θ = π + α + cse e I( + d où Eercice 59. D f = ], + [. Il y a domiaio locale, doc f es coiue. De même, pour > o a f ( = l( + ( d. E coupa l iégrale e e e posa u = / das l iégrale sur [, + [ il vie : f ( = ( l(+ ( ( d < car l( < e + < si ], [. Doc f es sriceme décroissae sur ], + [. = d + + = f( = = k= + = + l doc f( = l + O +(. ( k (k++ d = (domiaio du rese avec le CSA = d d = ( + + ( Pour +, o a avec le TCM séparéme sur [, ] e sur [, + [ : f( + Eercice 6. Pour λ : I = λ J λ avec J [ ep(λ si ( λ cos( ] α k= d + + = ( k (k + = l. d ( + = d = l. + α si( λ cos ( ep(λ si ( d = ep(λ si (α λ cos(α I cos (α. Doc I ep(λ si (α λ cos(α si λ > e I λ si λ <. i-param.e page

13 Eercice 6. Pour o a ( (! (... (! d où 6 a e R =. ( a = ( ( /... ( / d. Pour o a l( + (éude de focio doc pour k e : e /k /k /k e /k d où : b = ( e (H K d ( a avec H = + / / e K = / /. Équivale du majora : Équivale du miora : b = c = ( + H e H H ( ( K e (H d H. e H d = c e (H d ( + ( K e (H d e (H d ( + 4 K e (H d H e H (H ( + 4 K (H + e H (H 3 H. Fialeme, a ( H ( l. Eercice 6. u ( coverge pour <. P ( = + si( si((++si(, Q( = cos(+ = ( cos +si si. 3 Pour < o a S ( si e il y a covergece domiée vu la mioraio de Q doc l iégrale Q( sui : S ( d si d cos + = ( cos = u si = a(/ du u= co u + = π. 4 si( = u ( d d où = si( = π. Eercice 63. si ( = cos(, doc il suffi d éudier I = π cos(f( d. Posos I,p = mi(,pπ cos(f( d : o a I I,p f( d, quaié idépedae de =pπ e eda vers quad p doc le héorème d ierversio des limies s applique : lim I = lim lim p I,p = lim p lim I,p =. O e dédui u f( d. Eercice 64. { f ( si < e f ( = doc f ( si =. a No, la coiuié es pas coservée. b Oui, il y a décroissace évidee. ( 3 Chageme de variable u = + : J = ( l iégrale ed vers quad par covergece domiée. u=/ (u / /( u / du e i-param.e page 3

14 Eercice 65. Il y a covergece si e seuleme si >. f ( = ( d = + ( +, doc f( = l + + Eercice 66. ], + [. 3 I (a = sh e a d = ( a a + doc la cosae es ulle. Eercice 67. Iégrer par paries. Iégrer deu fois par paries. 3 Pour < u < v : v =u e i / d = [ e i / i =u Aisi / =u e i d coverge e de même pour u / = e i d. 4 O pose f( = f( + ϕ( avec ϕ de classe C. Il vie : ] v + C e f( d où C =. +. D où I(a = ( l a + cse e I(a a + a + v e i / =u i d e iu / e i / v + iu =u i d. g( b = f( e iu / du [ u=a i e iu / ϕ(u/ ] b u=a + b e iu / ϕ (u/ du i u=a f(.i + Eercice 69. Les iégrales so covergees par limie fiie e u poi fii. O a f ( =, g ( =. cos ma(, doc cos d coverge. 3 ((k+π =kπ cos d ((k+π =kπ cos (k + π d = k +. La série éa divergee, cos diverge. 4 f défii ue bijecio coiue sriceme croissae de ], + [ sur ] l, l[. La focio réciproque es elle aussi sriceme croissae coiue. Aisi a eise es uique e la suie (a es sriceme décroissae de limie ulle. 5 b = g ( /. Eercice 7. L iégrale défiissa F coverge absolume car ϕ es borée. O remarque qu il suffirai e fai que ϕ soi domiée par ue focio polyomiale e o predra cela comme hypohèse das la récurrece ci-dessous. Si ϕ es de sige cosa, F a ce même sige cosa. Si ϕ chage de sige e a ], + [ alors F (λ + af (λ = ϕ((a e λ d es de sige cosa, doc λ e aλ F (λ es moooe e chage au plus ue fois de sige. Pour quelcoque, o procède par récurrece sur : si a u poi de chageme de sige pour f alors d(e aλ F (λ/dλ chage au plus fois de sige doc avec le héorème de Rolle, e aλ F (λ chage au plus fois de sige. Eercice 7. L iégrade ed simpleme vers e ; il rese à domier. Pour o a ( + ( = + + (! + ( 3 3! +... Cee epressio es ue focio croissae de à fié. Aisi, ( + / ( + /3 3 pour 3, puis / ( + / ma(, ( + /3 3, quaié iégrable. La limie demadée es doc e d =. d i-param.e page 4