I Stabilité, Commandabilité et Observabilité Introduction Un exemple emprunté à la robotique Le plan Problème...

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1 TABLE DES MATIÈRES 5 Table des matières I Stabilité, Commandabilité et Observabilité 11 1 Introduction Un exemple emprunté à la robotique Le plan Problème Étude de cas Le bio-réacteur Étude à D > 0 fixé Stabilisation (globale) par feedback (borné) L avion à décollage vertical Modèle de simulation Modèle de commande Commande linéaire Commande non-linéaire Pendule inversé sur un rail Moteur électrique à courant continu Stabilité en boucle ouverte Estimation de la vitesse et de la charge Le contrôleur L observateur-contrôleur Robustesse par rapport à la dynamique rapide du courant Boucle rapide et contrainte de courant Systèmes dynamiques explicites Espace d état, champ de vecteurs et flot Un modèle élémentaire de population Existence, unicité, flot Remarque sur l espace d état Résolution numérique Comportements asymptotiques L étude qualitative ou le contenu des modèles

2 6 TABLE DES MATIÈRES 3.2 Points d équilibre Stabilité et fonction de Lyapounov Les systèmes linéaires Lien avec le linéaire tangent Systèmes dynamiques discrets Point fixe et stabilité Les systèmes linéaires discrets Stabilité structurelle et robustesse Théorie des perturbations Les perturbations singulières Moyennisation Problèmes Commandabilité et observabilité Commandabilité non linéaire Définition Intégrale première Commandabilité linéaire Matrice de commandabilité Invariance Un exemple Critère de Kalman et forme de Brunovsky Planification et suivi de trajectoires Linéarisation par bouclage Observabilité non linéaire Définition Critère Observateur, estimation, moindre carré Observabilité linéaire Le critère de Kalman Observateurs asymptotiques Observateur réduit de Luenberger Observateur-contrôleur linéaire Problèmes Systèmes semi-implicites et inversion Systèmes semi-implicites Un exemple Le cas général Linéaire tangent Résolution numérique Inversion et découplage Un exemple Le cas général

3 TABLE DES MATIÈRES 7 II Analyse Fréquentielle Représentation fréquentielle Système dynamique linéaire Transformations de Laplace et de Fourier Calcul symbolique Réalisation en variables d état d un système Systèmes mono-entrée, mono-sortie Systèmes à déphasage minimal Diagramme de Bode Systèmes du second ordre Stabilisation des systèmes bouclés Bouclage sur la sortie. Système équivalent Stabilité du système bouclé Critère de Nyquist Aspects pratiques du calcul Analyse basée sur l abaque de Black Synthèse P.I.D., avance et retard de phase Loop shaping Systèmes positifs réels Positivité de l opérateur d entrée-sortie Caractérisations de la positivité Coercivité de la fonction potentiel Critère de Popov et critère du cercle III Méthodes Numériques en Commande Optimale Temps minimal : systèmes linéaires Introduction Un problème d alunissage Existence de solutions Position du problème Résultats d existence Conditions d optimalité Séparation de l ensemble accessible de la cible Critère linéaire sur l état final Etat adjoint et principe du minimum Exemples et classes particulières Contraintes de bornes sur la commande Cas de l oscillateur harmonique Stabilisation d un pendule inversé

4 8 TABLE DES MATIÈRES Cibles épaisses Temps minimal : systèmes non linéaires Présentation du problème Un exemple Spécification du problème Existence de solutions Conditions d optimalité Un résultat général Arc singulier Applications Pendule Avion à trajectoire horizontale Démonstration du résultat principal Notes Commande optimale : l approche HJB Cadre Valeur fonction de l état Principe de programmation dynamique Equation de Hamilton-Jacobi-Bellman Continuité uniforme de la valeur Commande optimale Solution de viscosité Notion de solutions de viscosité Théorème de comparaison Temps d arrêt et commande impulsionnelle Problèmes avec temps d arrêt Commande impulsionnelle Notes Résolution numérique de l équation HJB Motivation : problème continu Schémas décentrés et extensions Dimension d espace n = Forme de point fixe contractant Dimension d espace quelconque Discrétisation par triangulation Convergence des schémas et essais numériques Un argument élémentaire de convergence Estimation d erreur Equation eikonale Problème d alunissage Notes

5 TABLE DES MATIÈRES 9 5 Commande optimale stochastique Chaînes de Markov commandées Quelques exemples Chaînes de Markov et valeurs associées Quelques lemmes Principe de Programmation dynamique Problèmes à horizon infini Algorithmes numériques Problèmes de temps de sortie Problèmes avec décision d arrêt Un algorithme implémentable Problèmes en temps et espace continus Position du problème Problème discrétisé en temps Schémas monotones : dimension Différences finies classiques Différences finies généralisées Analyse de la condition de consistance forte Notes

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