Cours Thème III "Traitement analogique du signal" 3- SYSTÈME ANALOGIQUE LINÉAIRE APPLICATION À LA FONCTION FILTRAGE

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1 8 6 4,,4,6, ours hèm III "raimn analogiqu du signal" 3- SYSÈME ANALOGIQUE LINÉAIE APPLIAION À LA FONION FILAGE I- INODUION (Eud d'un xmpl) - Enrgisrmn d'un son (signal parasi) L'nrgisrmn d'un son consis à msurr ls variaions d prssion (propagaion du son dans l'air) n uilisan un microphon (capur). L microphon s rlié au préampliicaur par un câbl qui, d par sa longuur, pu êr l sièg d nsions parasis (prurbaions). Obsrvons l chronogramm l spcr rlai à la nsion n sori du micro ainsi qu l chronogramm l spcr d la nsion à l'nré du préampliicaur : nsion micro (m) mps (ms) nsion micro (m) réqunc (khz) ,,4,6, nsion ampli (m) mps (ms) nsion ampli (m) réqunc (khz) 5 5 La nsion à l'nré d l'ampli s "parasié" par un nsion d réqunc élvé. L spcr d c nsion conirm l'xisnc d'un nsion parasi d réqunc 8kHz. - Eliminaion du signal parasi Il audrai uilisr un circui (quadripôl) qui "laiss passr" ls réquncs inériurs à 5kHz qui élimin ou aénu ormn ls réquncs supériurs à 5kHz. circui qui modii l spcr du signal d'nré sra applé ilr. Un l ilr pu êr analogiqus (résisancs, condnsaurs...) ou numériqu. II- PÉSENAION GÉNÉALE DES FILES - Déiniion Un ilr s un circui quadripôl (nsion d'nré v nsion d sori v s ) qui réalis un modiicaion du spcr d l nsion d'nré : s () (). () On di aussi qu l ilr amplii (ou aénu) d açon diérn suivan la réqunc. marqu : L'ampliicaur d nsion éudié au chapir précédan pu êr considéré comm un cas pariculir d ilr. La méhod d'éud d'un ilr (gain, phas diagramm d Bod) sra donc idniqu à la méhod d'éud d'un ampliicaur. - Foncion d ranr d'un ilr (ransmianc) a- Déiniion La oncion d ransr d'un ilr déini par rlaion : s avc nsion d'nré s nsion d sori (régim sinusoïdal). nsion d'nré Filr s. s Modul :. A parir du modul, on pu déinir l gain (n décibls) Argumn : Arg () "phas d v s par rappor à v " b- présnaion graphiqu (diagramm d Bod) nsion d sori s G db log. Décads d résisancs : L'éud d la ransmianc s ai, n princip, sur un larg plag d réquncs. La réqunc s rprésné n absciss sur ls graphs. Prnons par xmpl un éud d ransmianc pour Hz < < khz. Avc un échll linéair, la réquncs "Hz" n's pas visibl car rop proch d "Hz". S IIS ( Physiqu Appliqué ) hrisian BISSIEES hp://cbisspro.r.r Pag sur 7 hèm III-3 : FONION FILAGE

2 Il xis un échll di "logarihmiqu" qui "éir" ls basss réquncs "conrac" ls haus réquncs. Il s'agi d'un logarihm d bas, d'où l nom d décads d réquncs. Dans nor xmpl, l'ax ds abscisss aura l'allur rprésné ci-dssous : c- Band passan Un ilr sélcionn un plag donné d réquncs applé "band passan". Pour éablir c band passan, on déini la (ou ls) réqunc(s) d coupur(s) : Déiniion : Un réqunc d coupur s déini chaqu ois qu l modul A d On rmarqu qu "Hz" "Hz" son à la mêm disanc qu "khz" "khz". ourb d Gain : On rac dircmn G db n oncion d la réqunc avc un échll logarihmiqu pour. ourb d Phas : On rac Arg () sur la mêm échll d réqunc qu pour la courb d Gain. L'nsmbl "courb d Gain" + "courb d Phas" consiu l diagramm d Bod d l'ampliicaur (xmpl sur l schéma suivan): (Hz) -4 +π/ +π/3 +π/6 GdB log n décibls Arg(A) n radians o l'ampliicaion s égal à. Un réqunc d coupur corrspond aussi à Filr pass-bas idéal GdB -37dB (Hz) -3 GodB GdB log A n décibls c56hz G db G 3dB. Démonsraion : log log( ) log G 3, Dans nor xmpl, on déini dux réquncs d coupur à G - 3dB -3 7dB : oupur bass : c 56Hz. oupur hau : c 56kHz. Il s'agi d'un ilr qui n "laiss passr" qu ls réquncs voisins d khz (ilr pass-band). III- FILES IDÉAUX - Filr pass-bas idéal c56khz Un ilr pass-bas idéal doi "laissr passr" uniqumn ls composans d réqunc inériur à un réqunc donné c (réqunc d coupur). Ls courbs d ransr d gain G log() d c ilr pass-bas idéal d réqunc d coupur c s rprésné ci-dssous : Filr pass-bas idéal π/6 π/3 s / GdB log() -π/ (Hz) c/ c c c/ c c S IIS ( Physiqu Appliqué ) hrisian BISSIEES hp://cbisspro.r.r Pag sur 7 hèm III-3 : FONION FILAGE

3 Pour < c : l ilr "laiss passr" donc s G log() db. Pour c : l ilr "élimin" donc s G log() -. - Filr pass-hau idéal Un ilr pass-hau idéal doi "laissr passr" uniqumn ls composans d réqunc supériur à un réqunc donné c (réqunc d coupur). Ls courbs d ransr d gain G log() d c ilr pass-hau idéal d réqunc d coupur c s rprésné ci-dssous : I- FILES ÉELS - Filr pass-bas rél a- Filr pass-bas du ordr Foncion d ransr : Un ilr pass-bas rél du ordr s caracérisé par la oncion d ransr suivan : o Filr pass-hau idéal s / GodB Filr pass-hau idéal GdB log() ( ) + + Arg () Arg( ) an. c/ Pour c : l ilr "élimin" donc s G log() -. Pour > c : l ilr "laiss passr" donc s G log() db. 3- Filr pass-band idéal c c Un ilr pass-band idéal doi "laissr passr" uniqumn composans d réqunc compris nr dux réquncs donnés c c (réquncs d coupur hau bass). Ls courbs d ransr d gain G log() d c ilr pass-hau idéal d réqunc d coupur c s rprésné ci-dssous : c/ c c Exprimons la oncion d ransr pour (pulsaion d coupur) : ( ) G db log - log G - 3dB. + Arg( ) Arg( ) -an - () Arg( ) -π/4. Exprimons la oncion d ransr pour ls valurs limis d (éud asympoiqu) : () Arg() Arg( ). + ( ). arg() Arg( ) - Arg( ) Arg( ) -π/ rad. o Filr pass-band idéal GodB Filr pass-band idéal Lorsqu s muliplié par, l gain "baiss" d log(/) -db d'où un pn d -db / décad pour ls grands valurs d. s / GdB log() Diagramm d Bod (avc diagramm asympoiqu) Arg(o) c c c c Go Go - 3dB GdB log() Arg(o)-π /4 Arg( ) n rad Pour c : l ilr "élimin" donc s G log() -. Pour c < < c : l ilr "laiss passr" donc s G log() db. Pour c : l ilr "élimin" donc s G log() -. S IIS ( Physiqu Appliqué ) hrisian BISSIEES hp://cbisspro.r.r Pag 3 sur 7 hèm III-3 : FONION FILAGE c/ c -db / décad c Arg(o)-π / c/ c c

4 marqu : On rnconr souvn l cas où >. qui nraîn Arg( ). b- Filr pass-bas du ordr Foncion d ransr : Un ilr pass-bas rél du ordr s caracérisé par la oncion d ransr suivan : ( ) Arg () Arg( ) an. + + On considèrra l cas où >. Exprimons la oncion d ransr pour (pulsaion d coupur) : () G db log - log G - 3dB. + Arg( ) π/ -an - () π/ -π/4 π/. Exprimons la oncion d ransr pour ls valurs limis d (éud asympoiqu) : π () (G db - ) Arg() +. Lorsqu s muliplié par, l gain "augmn" d log() +db d'où un pn d +db / décad pour ls aibls valurs d. L'éud d la oncion d ransr s ai d la mêm manièr qu pour l ordr donn ls résulas suivans : Pour on a G G - 6dB Arg(( )) - π/. La pn d l'asympo obliqu s d -4 db / décad. La phas vari d rad à - π rad. Diagramm d Bod (avc diagramm asympoiqu) Go Go - 6dB GdB log() -π / Arg( ) n rad G G - 3dB + ( ) (G db ) Arg(). Diagramm d Bod (avc diagramm asympoiqu) : +db / décad c/ c GdB log() c +π / +π /4 c/ c Arg( ) n rad c -4dB / décad 3- Filr pass-band du ordr c/ c c -π c/ c c Foncion d ransr : - Filr pass-hau rél du ordr Foncion d ransr : Un ilr pass-hau rél du ordr s caracérisé par la oncion d ransr suivan (on considèrra > ) : π () Arg () an. + + Un ilr pass-band du ordr s caracérisé par un oncion d ransr don il au d'abord déinir qulqus consans : : pulsaion cnral du ilr; : modul d la oncion d ransr pour (on considèrra l cas > ) ; Q : acur d qualié du ilr déini par la band passan / Q (plus Q s grand, plus la band passan s éroi plus l ilr s "sélci"). La oncion d ransr s'écri donc : () + Q S IIS ( Physiqu Appliqué ) hrisian BISSIEES hp://cbisspro.r.r Pag 4 sur 7 hèm III-3 : FONION FILAGE

5 G + Q GdB log n décibls Q,5 Q Q Q5,, Arg () an Q. Exprimons la oncion d ransr pour (pulsaion cnral) : ( ) + Q( ) G db log. Arg( ). Exprimons la oncion d ransr pour ls valurs limis d (éud asympoiqu) : Q () (G db - ) + Q + Q π Arg() +. L ilr s compor donc comm un "pass-hau" aux réquncs pis dvan. π + () (G db - ) Arg(). + Q L ilr s compor donc comm un "pass-bas" aux réquncs grands dvan. Diagramm d Bod : / o +π / +π /4 -π /4 Q,5 Arg() n rad Q Q Q5 / o -π /,, marqu : L'ax ds absciss s gradué n "réquncs normalisés / ". Pour rrouvr la valur d, il sui d air : "valur lu". Exmpl : pour / on a. S IIS ( Physiqu Appliqué ) hrisian BISSIEES hp://cbisspro.r.r Pag 5 sur 7 hèm III-3 : FONION FILAGE - DÉEMINAION DU SPEE DU SIGNAL DE SOIE - Méhod On pu dérminr l spcr du signal d sori du ilr connaissan l spcr du signal d'nré la oncion d ransr du ilr. La méhod s la suivan : alculr l modul d la oncion d ransr pour chaqu valur d réquncs (harmoniqus) du signal d'nré. Muliplir chaqu harmoniqu du signal d'nré par l modul corrspondan à c réqunc. L résula donn l'ampliud d l'harmoniqu du signal d sori pour c mêm réqunc. - Exmpl Dérminons un pari du spcr du signal u s d sori d'un ilr pass-bas pour un signal d'nré u d yp "carré" avc composan coninu. L signal d'nré u s rprésné ci-dssous (chronogramm spcr) : u() n vol,5,5 (ms),5,5 (khz) u() () us()u()*(),5,73,894,38,77 3,44,555,35 4,447 5,55,37,95 6,36 7,8,75,5,5 8,43 9,4,7,3,96,6,79, u() n ol o o,7,4 us() n ol,4,6 o / khz,8,4 3o 5o 7o 9o o Foncion d ransr du ilr ( khz) : ( ) +,4 + o / khz 3o 5o 7o 9o o, ( / ) 95m 5m 3m m n Hz L ablau l spcr ci-dssous résumn la méhod pour calculr l'ampliud ds prmièrs rais d la nsion d sori : n Hz

6 I- EXEMPLES DE ÉALISAIONS DE FILES - Inroducion Ls ilrs analogiqus puvn êr classés n dux amills : Ls ilrs passis réalisés à l'aid d dipôls passis (résisancs, condnsaurs inducancs). Ls ilrs acis réalisés à l'aid d circuis acis (ADI, ransisors n régim linéair...) d dipôls passis. La dérminaion d la oncion d ransr complx s ai à parir d l'impédanc (ou admianc) complx ds dipôls passis consiuan l ilr. appls sur ls impédancs complxs (dipôls n convnion récpur): ésisanc : Z Y Inducanc L : Z L L ondnsaur : - Filr pass-bas passi du ordr Z Y. Y L L L ilr pass-bas passi réqumn rnconré s la ilr " pass-bas" don l monag s indiqué ci-dssous : 3- Filr pass-hau passi du ordr omm pour l ilr pass-bas, un condnsaur un résisanc suisn pour réalisr un ilr pass-hau (schéma ci-dssous): ( + s ) + avc. 4- Filr pass-band aci du ordr + Un ilr pass-band aci du ordr pu êr réalisé à l'aid d'un ADI, d'un inducanc, d'un condnsaur d'un résisanc (schéma ci-dssous): L monag rssmbl à clui d l'ampliicaur invrsur. Uilisons sa rlaion "nré sori" pour dérminr la oncion d ransr du ilr : onsidérons d'abord l'impédanc Z consiué d, L n parallèl. Applons nsui Z l'impédanc d la résisanc. v v L v s v s La oncion d ransr s dérmin à l'aid d la rlaion rlaiv au divisur d nsion : ( ) s avc v v s On a donc : () + s Z Z Z Y L L + Q L L L S IIS ( Physiqu Appliqué ) hrisian BISSIEES hp://cbisspro.r.r Pag 6 sur 7 hèm III-3 : FONION FILAGE

7 avc ; L Q. L Méhod d réglag : La réqunc cnral s'aus à l'aid d L. L gain G log (réqunc cnral) s règl avc l rappor /. La sélcivié du ilr s d'auan plus grand qu s élvé. marqu : ilr s "invrsur", il inrodui un changmn d sign. - Eliminaion d la composan coninu Avan d la ransmission d'un signal, il s souvn souhaiabl d'éliminr sa composan coninu (valur moynn) qui n conin pas d'inormaion. La valur moynn rprésn la composan d réqunc null. Il audra donc cur un ilrag pass-hau pour éliminr c valur moynn. Ls chronogramms ci-dssous illusrn l'éliminaion d la composan coninu : II- EXEMPLES D'UILISAIONS DE FILES Signal compl Signal avc valur moynn supprimé - Lissag d nsion n sori d'un NA La nsion d sori d'un convrissur numériqu analogiqu s présn ds "marchs d'scalir" on di qu l signal s "échanillonné bloqué" avc périod d'échanillonnag (schéma ci-dssous): Filrag pass-hau nsion d sori du NA 3- écpur radioréquncs 3 Un annn rçoi un muliud d'onds radio d diérns réquncs. Pour rcvoir la saion désiré, il au sélcionnr la band d réquncs rlaiv à c saion. Un ilr pass-band à réqunc cnral réglabl prmra d rcvoir l signal émis par la saion d'éliminr ls aurs signaux. Ls variaions rapids du signal dus aux"marchs d'scalir" induisn ds composans haus réquncs qui son souvan indésirabls. L'acion d'un l ilr s acilmn mis n évidnc n considéran l spcr ds signaux : Il audra donc appliqur un ilrag pass-bas au signal ainsi réalisr un lissag (shémaci-dssous): nsion (m) nsion (m) nsion d sori du NA après lissag 4 Un pari du spcr (signal rçu par l'annn) 4 Spcr après ilrag (sélcion d la saion ) ,6 MHz 99,3 MHz 99,7 MHz Fréqunc 98,6 MHz 99,3 MHz 99,7 MHz Fréqunc Saion Saion Saion 3 Saion Saion Saion 3 S IIS ( Physiqu Appliqué ) hrisian BISSIEES hp://cbisspro.r.r Pag 7 sur 7 hèm III-3 : FONION FILAGE