Nombres et calcul Les nombres entiers jusqu'au million (CE2), jusqu'au milliard (CM)

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1 Page 1 Nombres et calcul Les nombres entiers jusqu'au million (CE2), jusqu'au milliard (CM) Lire et écrire des grands nombres. 1 un 14 quatorze 2 deux 15 quinze 3 trois 16 seize 4 quatre 17 dix-sept 5 cinq 18 dix-huit 6 six 19 dix-neuf 7 sept 20 vingt 8 huit 30 trente 9 neuf 40 quarante 10 dix 50 cinquante 11 onze 60 soixante 12 douze 100 cent 13 treize mille million milliard mille est invariable : douze mille, trois mille six cent douze cent s accorde s il n'est suivi d aucun chiffre. vingt s écrit avec un «s» uniquement dans l écriture de 80, quatre-vingts (on comprend 4 x 20) 180 : cent quatre-vingts mais 183 : cent quatre-vingt-trois le tiret : s écrit seulement lorsque le nombre lu est inférieur à cent. 123 cent vingt-trois: je lis : 120 > 100 donc pas de tiret entre cent et vingt, mais 23 < 100 donc tiret. Chiffres et nombres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9 sont les chiffres. Ils servent à écrire les nombres. Dans un nombre, chaque chiffre a une signification....millions milles unités d u c d u c d u Ex: dans le nombre , 6 est le chiffre des centaines de milles, 5 dizaines de milles, mais 65 est le nombre des dizaines de milles,

2 Page 2 3 est le chiffre des centaines, mais est le nombre des centaines... remarque : on laisse un espace entre les classes pour faciliter la lecture. Un nombre peut s'écrire de plusieurs façons , c'est: 6 centaines de mille, 5 dizaines de mille, 3 centaines, 4 dizaines et 2 unités Six cent cinquante mille trois cent quarante-deux = = (6 x ) + (5 x ) + (3 x 100) + (4 x 10) : douze millions trois cent quatre-vingt mille :onze milliards trois cent vingt millions six cent mille million(s) et milliard(s) s'accordent toujours! Les chiffres romains En histoire, on utilise encore la numération romaine : Louis XIV, le XX ème siècle I 1 L 50 V 5 C 100 X 10 M Attention: Si un symbole est placé à droite d'un symbole plus grand, on l'ajoute. LX = 60 Si un symbole est placé à gauche d'un symbole plus grand, on l'enlève. XL = = = MCCXXXV 382 = = CCCLXXXII 999= = ( ) + (100-10) + (10-1) = CMXCIX Comparer, ranger des grands nombres Pour comparer des nombres entiers, on regarde celui qui a le plus de chiffres : est plus grand que > Si ils ont le même nombre de chiffres, on compare les chiffres un à un en commençant par la gauche > et > «Plus grand» s écrit : > Ranger dans l ordre croissant c est ranger du plus petit au plus grand. «Plus petit» s écrit : < Ranger dans l ordre décroissant, c est ranger du plus grand au plus petit. (descendre)

3 Page 3 Connaître quelques relations entre nombres Doubles et moitiés Pour trouver le double d un nombre je le multiplie par deux. Ex : Je cherche le double de 11, je calcule : 11 x 2 = 22 On dit que 22 est le double de 11. à connaître par cœur nombre double Attention 5 10 Certains nombres ne sont pas des doubles ; on les appelle des nombres impairs Les nombres impairs se terminent par 1, 3, 5, 7, moitié nombre La moitié de la moitié, c'est le quart: exemple 2 est le quart de 8 Fractions Utiliser, lire et écrire une fraction simple Pour trouver la moitié d un nombre, je partage ce nombre en deux «parties» égales. Ex : Je cherche la moitié de 24 24, c est 12 et encore 12, on dit que 12 est la moitié de 24. Quand on partage (divise) une unité ( 1 ) par un nombre entier (1, 2, 3, 4...), on obtient un nouveau nombre appelé : fraction. Un demi-litre, c'est un litre divisé par 2. On écrit : 1/2 Un quart d'heure, c'est une heure divisée par 4. On écrit : 1/4 Le tiers d'une feuille, c'est une feuille divisée par 3. On écrit : 1/3

4 Page 4 Dans la fraction 3/4, 4 est appelé le dénominateur, il indique qu'on a partagé l'unité en 4 parts égales 3 est appelé le numérateur, il indique qu'on a reporté 3 fois une part A part 1/2 (un demi), 1/3 (un tiers), 1/4(un quart), toutes les fractions se lisent en commençant par le numérateur suivi du dénominateur auquel on ajoute la terminaison "...ième"(s). 3/8 : trois huitièmes 2/10: deux dixièmes Les fractions décimales Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est 10, 100,1000, Si on partage l'unité en 10: 10 dixièmes = 1 unité ou 10/10=1 Si on partage l'unité en 100: 100 centièmes = 1 unité ou 100/100=1 Si on partage l'unité en 1000: 1000 millièmes = 1 unité ou 1000/1000= = = Transformer une fraction décimale en nombre décimal soit 2 unités et 5 dixièmes= 2,5 = = Égalité entre les fractions soit 1 unité, 2 dixièmes, 8 centièmes = 1,28 1/2= 2/4= 4/8 1/3= 2/6 Comparaison de fractions avec l'unité Si le numérateur est égal au dénominateur, alors la fraction est égale à 1: 3/3 =1 Si le numérateur est plus petit que le dénominateur, alors la fraction est plus petite que 1: 2/3<1 Si le numérateur est plus grand que le dénominateur, alors la fraction est plus grande que 1: 3/2>1

5 Page 5 Trouver la partie entière d'une fraction Il faut chercher combien de fois l'unité est contenue dans la fraction. Exemple: dans 17 tiers (17/3), il y a 5 fois 3 tiers et encore 2 tiers: 17/3= 15/3 + 2/3+ (5 x 3/3) + 2/3 1 unité 17/3 3/3 3/3 3/3 3/3 3/3 2/3 Donc, on peut écrire: 17/3 = 5 + 2/3 5 est la partie entière. De la même façon: 358/100= 300/100+50/100+8/100= 3 + 5/10+8/100 3 est la partie entière. 508/1000= 500/1000+8/1000=5/10+8/ est la partie entière. Encadrer par des entiers une fraction simple Cherche la partie entière de la fraction (regarde juste au-dessus pour savoir comment on fait): exemples:? < 17/3 <?, or 17/3 = 5 + 2/3, donc 5 < 17/3 < 6? < 358/100 <?, or 358/100= 3+58/100 donc 3 < 358/100 <4? < 508/1000 <?, or 508/1000 = /1000, donc 0 < 508/1000 < 1 Ajouter deux fractions (simples ou de même dénominateur) Situation n 1 Pour ajouter deux fractions qui ont le même dénominateur, il faut additionner les numérateurs et garder le dénominateur. ¼ + ¼ = 2/4 3/8 + 2/8 = 5/8 Situation n 2 Pour additionner des fractions décimales, je convertis toutes les fractions pour qu'elles aient le même dénominateur:

6 Page 6 Nombres décimaux Connaître la valeur des chiffres de la partie décimale Il faut regarder la place qu'il occupe:... milliers centaines dizaines unités dixièmes centième s millièmes ,1 0,01 0, ? 1 4, Dans 62,14 (soixante-deux unités et quatorze centièmes): 6 est le chiffre des dizaines 2 est le chiffre des unités 1 est le chiffre des dixièmes 4 est le chiffre des centièmes 62 est la partie entière 14 est la partie décimale. La partie décimale est toujours plus petite que 1. Pour lire un nombre décimal Deux méthodes: 24, 035 vingt-quatre unités trente-cinq millièmes 24, 035 vingt-quatre unités trois centièmes cinq millièmes Repérer et placer un nombre décimal sur une ligne graduée Il faut choisir si tu travailles en dixièmes, ou en centièmes ou en millièmes... Avec une ligne graduée en dixième, on peut placer 0,4 ; 1,7 ; 1, ,4 1 1,7 1,8 2 Pour placer des nombres entre 1,7 et 1,8 il faut graduer la partie entre 1,7 et 1,8 1,7 1,74 1,77 1,8 Comparer, ranger, encadrer et donner une valeur approchée des nombres décimaux Pour comparer des nombres décimaux S'ils n'ont pas la même partie entière, le nombre le plus petit est celui qui a la plus petite partie entière: 14, 658< 17, 2 S'ils ont la même partie entière, il faut comparer les chiffres de la partie décimale en partant de la gauche: 3,534< 3,58

7 Page 7 Pour encadrer un nombre décimal et donner une valeur approchée Il faut choisir la précision de l'encadrement: Encadrement de 25,507 Au centième près Au dixième près À l'unité près À la dizaine près (à 1/100 près) (à 1/10 près) (à 1 près) (à 10 près) 25,5 < 25,507 < 25,51 25,5 < 25,507 < 25,6 25 < 25,507 < < 25,507 < 30 Passer d'une écriture fractionnaire à une écriture décimale Il faut transformer le dénominateur en 10, 100, Exemple : 5/2=? Il est indispensable de multiplier le numérateur et le dénominateur par le même nombre. Je multiplie le dénominateur par 5 pour obtenir une fraction décimale Donc je multiplie le numérateur par 5 Je peux donc écrire : 5 5 x 5 25 = = = 2,5 2 2 x 5 10 Décomposer un nombre décimal On peut le décomposer de trois façons: /1000 = /100+5/ ,035 = ,03 +0, (35 x 0,001)= (7 x 10)+ (2+3x0,01)+ (5x 0,001)

8 Page 8 Calcul sur les nombres entiers Calculer mentalement Tables d'addition et de multiplication La table d'addition Les compléments à = = = = = = = = = = = = = 100 Des résultats qui servent souvent: 2,5+2,5= 5 0,5+0,5= 1 2,5+7,5= 10 0,25+0,25= 0,5 0,05+0,05= 0,1 0,25+0,75= 1

9 Page 9 La table de Pythagore Pour trouver le complément à 100 d un nombre qui ne se termine pas par 0 ou 5 : 74 +? = 100 Tu sais que = 100 Dans ce cas si tu ajoutes 30 à 74, tu vas dépasser 100. Tu obtiendras : 104 Il faut donc prendre moins de 30, (retirer 4) c'est-à-dire «dans les 20» = = = 100 Multiplier un nombre entier ou décimal par 10, 100 ou 1000 Quand on multiplie un nombre par 10, par 100, chaque chiffre de ce nombre prend une valeur 10 fois, 100 fois... plus grande:... milliers centaines dizaines unités dixièmes centièmes millièmes x 10 = ,458 x 100 = 245, ,

10 Page 10 Estimer un ordre de grandeur du résultat Remplace les nombres des opérations par des nombres (puissances de 10): exemple 1: pour trouver le résultat approché de tu peux remplacer: par par par Donc, (= ) exemple 2: ( = ) exemple 3: 365 x ( = 365 x 100) exemple 4: 465: ( = ) Diviser un nombre entier ou décimal par 10, 100 ou 1000 Quand on divise un nombre par 10, par 100, chaque chiffre de ce nombre prend une valeur 10 fois, 100 fois... plus petite:... milliers centaines dizaines unités dixièmes centièmes millièmes : 10 = 450 2,8 : 100 = 0, , Calcul sur les nombres entiers Effectuer un calcul posé Addition Avec les nombres entiers Il faut ALIGNER les UNITES Avec les nombres décimaux Il faut ALIGNER les UNITES , , ,

11 Page 11 Soustraction Avec les nombres entiers Il faut ALIGNER les UNITES Avec les nombres décimaux Il faut ALIGNER les UNITES , , , On commence par les unités: 4 pour aller à 2, on ne peut pas, donc 4 pour aller à 12 et on pose les retenues. J'écris 8 comme résultat et je continue par les dizaines: 8+1=9, 9 pour aller à 7, on ne peut pas, donc 9 pour aller à 17. Je pose les retenues et j'écris 8 comme résultat. Et on continue... On commence par la colonne de chiffre la plus à droite, ici les millièmes: 6 pour aller à 0, on ne peut pas, donc 6 pour aller à 10, on pose les retenues. J'écris 4 comme résultat et je continue par les centièmes: 8+1=9, 9 pour aller à 5, on ne peut pas, donc 9 pour aller à 15. Je pose les retenues et j'écris 6 comme résultat. Et on continue... Multiplication de nombres entiers ou décimaux Je multiplie un nombre par un nombre à UN chiffre fois 7 = 35, j'écris 5 et je retiens 3. x 5 5 fois 3 = 15, de retenue = 18, j'écris 8 et je retiens 1. 5 fois 4 = 20, de retenue = 21, j'écris Je multiplie un nombre par un nombre à PLUSIEURS chiffres x x x 437 JE ME DECALE DE DEUX COLONNES (DEUX ZEROS), car je multiplie par J'additionne les résultats des deux multiplications.

12 Page 12 Je multiplie un nombre par un nombre à DECIMAL 4, 3 7 4, 3 7 x x 3 0, x x x x , , Je fais comme s'il n'y avait pas de virgule. Quand j'ai trouvé le résultat, je compte le nombre de chiffres qui sont dans la ou les parties décimales et je place ma virgule dans le résultat pour avoir le même nombre de chiffres dans la partie décimale du résultat. Division de nombres entiers Je commence TOUJOURS par la DROITE. Dans 4 centaines, combien de fois 12? 0. Je n'écris pas 0 car ce serait un zéro non significatif pour le quotient. Le quotient n'aura donc pas de chiffre des centaines. Dans 45 dizaines, combien de fois 12? 3 fois. 3x12 = 36. J'écris 3 comme chiffre des dizaines au quotient. Je pose la soustraction, pour voir ce qu'il me reste à partager = 9. 9 dizaines qu'il me reste et 8 unités font 98 unités qu'il faut partager. Dans 98 unités, combien de fois 12? 8 fois. 8 x12 = 96. J'écris 8 comme chiffre des unités au quotient. Je pose la soustraction, pour voir ce qu'il me reste à partager. (ou je la fais de tête, et j'écris tout de suite le résultat) 98-96= 2. Donc le quotient est 38 et le reste est 2. VERIFICATION: (38 x 12)+2=458 (quotient x diviseur) + reste = dividende On doit toujours avoir un reste inférieur au diviseur.

13 Page 13 Division décimale de deux nombres entiers On a parfois besoin de continue la division jusqu'à ce qu'il ne reste plus rien. On peut continuer la division après les unités..., on aura un quotient décimal ( à virgule) Je veux partager 99 en 12 parts. Le début est le même que pour les autres divisions. Dans 9 dizaines, combien de fois 12? Ce n'est pas possible, je n'aurais donc pas de chiffre des dizaines au quotient. 9 dizaines et 9 unités dont 99 unités. Dans 99 unités, combien de fois 12? 8 fois car 8 x 12 = 96. J'écris 8 comme chiffre des unités du quotient et je pose la soustraction (où je la fais de tête). Il me reste 3 et je continue... Je mets une virgule au quotient, je sais que 3 unités valent 30 dixièmes, je rajoute un zéro dans la colonne des dixièmes. Dans 30 dixièmes combien de fois 12? 2 fois, car 2 x 12= 24 J'écris 2 dans la colonne des dixièmes du quotient. Je pose la soustraction (où je la fais de tête). Il me reste 6 dixièmes. 6 dixièmes valent 60 centièmes. Dans 60 centièmes combien de fois 12? 5 fois, car 5 x 12= 60 J'écris 5 dans la colonne des centièmes du quotient. Je pose la soustraction (où je la fais de tête). Il me reste 0!

14 Page 14 Division d'un nombre décimal par un nombre entier Ce n'est pas si différent... Calcul sur les nombres entiers Problèmes Résoudre des problèmes Pour rédiger la solution d'un problème: 1 Je lis l énoncé en ENTIER. 2 AU BROUILLON, je peux faire un dessin, poser la ou les opérations. Voir leçon suivante 3 AU PROPRE, j écris la phrase question. 4 Je fais l opération. 5 J écris la phrase réponse. Exemple: Combien a-t-il d'iris? 21 x = 194 Il a 194 iris en tout.

15 Page 15 Résoudre des problèmes relevant des quatre opérations Pour reconnaître un problème d ADDITION Dans un problème d'addition, on ajoute quelque chose que l'on connaît à quelque chose que l'on connaît aussi. On obtient un nombre plus grand que celui du départ. Une dame achète 10 pommes. Elle en avait déjà 7 à la maison. Combien a t-elle de pommes maintenant? 7 10? = 17 Elle a 17 pommes maintenant.

16 Page 16 Pour reconnaître un problème de SOUSTRACTION Situation 1: on enlève quelque chose que l'on connaît à quelque chose que l'on connaît aussi. On obtient un nombre plus petit que celui du départ. Un marchand a 732 pommes, quelqu un lui en achète 129. Combien lui reste-t-il de pommes? ? Il lui reste 603 pommes. Situation 2: on sait ce que l'on a au départ et on sait combien on a à la fin. Un marchand a 732 pommes, quelqu un lui en achète. Il lui en reste 603. Combien lui a-t-on acheté de pommes? ? On lui a acheté 129 pommes.

17 Page 17 Pour reconnaître un problème de MULTIPLICATION Dans un problème de multiplication, il y a quelque chose qui se répète. Exemple: J ai six chattes. Chacune d elles a fait 8 chatons. Combien ai-je de chatons? 8 8 8? X = 8 x 6 = J'ai 48 chatons.

18 Page 18 C'est un problème de partage Pour reconnaître un problème de DIVISION Situation 1: On connait la taille d'une part et on cherche combien on peut faire de part dans une valeur que l'on connait. Un marchand a 732 pommes, il les vend dans des barquettes de 6. Combien peut-il faire de barquettes? = ( 6 x?) +? 732 = ( 6 x 122) + 0 Il peut faire 122 barquettes de 6 pommes. Situation 2: On connait le nombre de part et on cherche combien vaut chaque part dans une valeur que l'on connait. Un fleuriste a fait 124 bouquets de roses. Il avait 622 roses au départ et il lui en reste 2. Combien a-t-il de mis de roses dans chaque bouquet? 622????????...????????? 622 = (? x 120) = ( 5 x 124) + 2 Il a mis 5 roses dans chacun de ses bouquets.? 120