PROPORTIONNALITES ET POURCENTAGES I-La proportionnalité

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1 PROPORTIONNALITES ET POURCENTAGES I-La proporionnalié -Acivié préparaoire n : Suies de nombres proporionnelles -l indicaion «0,88 /L» perme de calculer les pri manquans dans le ableau ci-dessous. Indiquer l opéraion à effecuer e compléer la ligne de pri. Il fau muliplier la première ligne par 0,88. 2-Quelles opéraions permeen de calculer les volumes manquans? Il fau diviser la seconde ligne par 0,88 ou muliplier par l inverse de 0,88 ( ). 3-Compléer la ligne des volumes. 4-Les deu suies de nombres obenus son proporionnelles. Quel es le coefficien muliplicaeur de la suie ( ère ligne) vers la suie 2 (2 ième ligne)? Le coefficien muliplicaeur de la suie ( ère ligne) vers la suie 2 (2 ième ligne) es 0,88. 5-Indiquer la valeur eace du coefficien muliplicaeur de la deuième suie vers la première. 0,88 = = = Quelle es la relaion enre les deu coefficiens muliplicaeurs définis à parir de deu suies de nombres proporionnelles? = 7-Les volumes en lires e les pri en euros son-ils des grandeurs proporionnelles? Jusifier. Oui, ces deu grandeurs son proporionnelles car : 0,88 = 2,76 = 3 2,64 = 5 4,4 = 6 5,28 = 0 8,8 =,4 ( à 0-2 près ) 2-Ceque je reiens. a-définiion. (, 2, 3, ) e ( y, y 2, y 3, ) son deu suies proporionnelles s il eise un nombre k non nul el que : y = y 2 = y 3 = = k 2 3 k es le coefficien de proporionnalié ( ou coefficien muliplicaeur ) de la première suie vers la seconde. es le coefficien de proporionnalié de la deuième suie vers la première. k

2 Les deu coefficiens son inverses l un de l aure : k k = On schémaise égalemen la siuaion de la manière suivane : k k b-j applique. Eercice n Les suies de nombres A = { 0,8 ; 0,93 ;,5 } e B = { 0,6 ; 3, ; 5 } son-elles proporionnelles? Calculs : Formulaion de la réponse : 0,8 0,6 = 0,3 Les rappors des ermes de la ère suie par les ermes de la 2 ième suie son ous égau ; 0,93 3, = 0,3 les deu suies son donc proporionnelles e,5 5 = 0,3 le coefficien de proporionnalié de la 2 ère suie vers la 2 ième suie es 0,3. Eercice n 2 Déerminer pour que les deu suies de nombres soien proporionnelles. X = { 2,2 ; 5 } e Y = { 0,33 ; } Calculs : Formulaion de la réponse : Eercice n 3 Compléer le ableau de proporionnalié suivan : 2, 3 6, je complèe seul(e) ; Je sais reconnaîre une ableau de proporionnalié Oui Non Je sais reconnaîre deu suies de nombres proporionnelles Oui Non A chaque siuaion de proporionnalié, je fais référence à la définiion. Oui Non Je sais uiliser la quarième proporionnelle Oui Non Je noe les mos que j ai reenu : 4- Effecuer un parage proporionnel. a- Eude d un eemple. 2

3 On désire parager une somme de 6000 enre rois personnes A, B e C proporionnellemen au nombres 2, 3 e 5. J appelle la par de la personne A, y celle de la personne B e z celle de C. Je raduis la siuaion dans un ableau : personnes A B C nombre Pars de chaque personne y z z + y + z Je raduis la proporionnalié : 2 = y 3 = z 5 Je déermine le coefficien de proporionnalié : 2 = y 3 = z 5 = + y + z avec + y + z = 6000 Je calcule chaque par : Par de la personne A : 2 = 6000 soi = y Par de la personne B : 3 = 6000 soi y = z Par de la personne C : 5 = 6000 soi z = Je vérifie mes résula : Par(A) + par(b) = par(c) = = 6000 Je formule la réponse : La personne A reçoi 200, la personne B reçoi 800 e e la personne C reçoi b- Définiion Parager un nombre S en pars proporionnelles au nombres a, b, c, revien à chercher les nombre, y, z,, de somme S e proporionnels au nombres a, b, c, Cela se radui par l égalié suivane : y z + y + z + a = b = c = a + b + c + avec S = + y + z + c- appliquer. On parage une prime enre quare employés, proporionnellemen à leur ancienneé, respecivemen de 6, 2, 4 e 8 ans. Le premier reçoi 4. Calculer la par des rois aures. Employés A B C D Toal Ancienneés Primes (en )

4 5-Reconnaîre la proporionnalié de deu grandeurs graphiquemen. a- acivié préparaoire n 2. Soi le repère orhogonal du plan. On veu placer les poins don les coordonnées son les couples de valeurs (V ; P) du ableau précéden de l acivié préparaoire n (I) -Indiquer les grandeurs à porer sur les aes. Les grandeurs à porer sur les aes son le volume V en Lires sur l ae des abscisses e le pris P en euros sur l ae des ordonnées. 2-Placer les poins. 3-Commen les poins semblen-ils siués?effecuer un racé en poinillés. Les poins son ous alignés sur une droie passan par l origine du repère. 4-Eablir la relaion enre P e V. P = 0,88 V 5-Soi la foncion f définie sur [ 0 ; 0 ] par f(v) = 0,88 V. Quelle es la naure de cee foncion? Quelle es sa représenaion graphique dans le repère? La foncion es de la forme a. C es donc une foncion linéaire. Sa représenaion graphique es une droie qui passe par l origine du repère. 6-Peu-on confirmer l hypohèse graphique de la quesion 3? Oui, car P = 0,88 V. C es l epression de la foncion linéaire qui à V associe 0,88 V. Sa représenaion graphique es une droie qui passe par l origine du repère. 0 Pri ( ) Volume (L) b-méhode Dans un repère, on place les poins de coordonnées ( ; y ). Ils doiven êre alignés avec l origine du repère.

5 II- Foncion Linéaire e Proporionnalié -définiion. Ean donné un nombre a, on appelle foncion linéaire la foncion f qui à ou nombre fai correspondre le nombre a. (a ) 2-Eemple. Considérons la foncion f définie f() = -3. Compléer le ableau de valeurs suivan : f() a = -3 4-conclusion Les valeurs de y = f() son proporionnelles au valeurs de. Ainsi, les foncions linéaires son les foncions associées au siuaions de proporionnalié. 5-Courbe représenaive. o j O o i Théorème : La courbe représenaive d une foncion linéaire es une droie passan par l origine du repère. Si la courbe représenaive d une foncion f (définie sur R) es une droie passan par l origine, alors la foncion f es linéaire. III-Applicaion au pourcenages -Mise en siuaion. Le 20 juin 997, fêe de la musique la FNAC annonce : «Un au de TVA à 5,5% sur oue la musique» e précise que cela correspond à une remise de 2,52%. Eudions cee siuaion dans deu cas, colonne e 2, compe enu du fai que le au de TVA praiqué habiuellemen es de 20,6%. Le pri hors ae d un CD es : Colonne Colonne 2 5,24 (F) -Calculer le monan normal de la TVA. 5,24 20,6 00 3,4 20,6 00 = 0,206 2-Calculer le pri du disque TVA comprise : 5,24 + 3,4 8,38 + 0,206 =,206 3-Calculer le monan de la TVA le jour de la fêe de la musique. 5,24 5,5 0,84 5, = 0,055 4-Calculer le pri du disque TVA comprise le jour de la fêe de la musique. 5,24 + 0,84 6,08 + 0,055 =,055

6 5-Calculer le monan de la remise effecuée à la caisse. 8,38 6,08 = 2,3,206 -,055 = 0,5 6-Calculer le au de remise par rappor au pri normal du CD, TVA incluse. 2,3 0,5 00 = 2,5 % 00 = 2,52 % 8,38,206 7-Quel que soi le pri du disque CD, l'opéraion promoionnelle correspond à un au de : Il eise rois siuaions de base : 2,52 % 2-Définiions. Siuaion Coefficien correspondan Foncion linéaire associée Prendre % d'un nombre C'es muliplier par 00 Augmener de % C'es muliplier par ( + Diminuer de % C'es muliplier par ( Eemples : 2% de, c es 0,2 Si augmene de 2%, devien,2. Si diminue de 2%, devien 0, ) ( + 00 ) 00 ) ( 00 )

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