ECRICOME 2016 S. Éléments de correction. Premier exercice x = 1 x + x2 + o(x 2 ). n + 1 = 1 1. = 1 2n 2 + o ( n + o ( 1.

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1 ECRICOME 6 S Élémes de correcio ECS Lycée La Bruyère, Versailles Aée 5/6 a O a, pour x, b Il vie : Premier exercice l + x x x + ox e w + w + + l + o + x x + x + ox + + o l + + o c Par comparaiso à la série de Riema covergee, do les ermes so ous égaifs, la série w + w es covergee Par héorème, la covergece de cee série élescopique équivau à celle de la suie w La focio ϕ es de classe C sur ], + [ avec : ], + [, ϕ l O e dédui ses variaios, résumées das le ableau ci-dessous : ϕ e + 3 a E uilisa la décroissace de ϕ sur [3, + [, il vie : e, S + S ϕ + ϕ +, ce qui me e évidece la décroissace de la suie S O morerai de même la croissace de la suie S + Efi, l + S S + + Les deux suies S e S + so doc adjacees b Les suies S e S + éa adjacees, elles coverge vers ue limie commue Il e va doc de même des deux suies exraies pricipales S e S +, ce qui eraîe la covergece de la suie complèe S La série u, do la suie S des sommes parielles coverge comme o vie de le voir, es doc elle-même covergee Cepeda elle es pas absolume covergee car u l + si bie que o u, ce qui jusifie la divergece de la série u par comparaiso à la série harmoique, divergee 4 a Pour 3 doé, la décroissace de la focio ϕ sur l iervalle [, + ] [e, + [ eraîe : l + + b E observa que : 3, ˆ + ˆ + l ϕ + d [ l d ˆ + ] + ϕ d ˆ + l + Qui «recouvre» la suie complèe, au ses où {} { + } N O peu sas doue uiliser ce héorème, bie qu il e soi pas explicieme au programme l d l,

2 ECS Lycée La Bruyère, Versailles ECRICOME 6 S l iégalié de la quesio a doe : 3, v + v l + + l + + l l + + ˆ + l d, ce qui me e évidece la décroissace de la suie v 3 Celle-ci es égaleme miorée car le même argume qu e a doe : ˆ l + 3, l d d où : 3, v l l ˆ ˆ + l d l l d Décroissae e miorée, la suie v 3 es doc covergee 5 Il vie, pour : où : si bie que : S pair S l l Z, + l j + l lj j ˆ + l l 3 { si es impair si es pair l l l l après chageme d idice j das la première somme Puis : S l + l l l + l l v + v + l + v v l + l l l + v l v l l 6 D après 5, l, S l w + v v d où, e passa à la limie lorsque, sacha la série u covergee d après 3b e la suie v covergee d après 4b, aisi doc que sa suie exraie v vers la même limie, l l γ l d m l Deuxième exercice a Pour P R [X], deg P deg P e degxp deg X + deg P deg P si bie que ϕp apparie à l espace vecoriel R [X] La liéarié de ϕ es coséquece de celle de la dérivaio L applicaio ϕ es doc u edomorphisme de R [X]

3 ECS Lycée La Bruyère, Versailles ECRICOME 6 S 3 b Il vie ϕ, ϕx 4X puis ϕx j 4jX j jj X j pour j La marice A représeaive de ϕ e base caoique, carrée d ordre +, a doc pour coefficie géérique 4j si i j a i,j jj si i j, i, j sio Elle s écri e exesio : 4 6 A 8 M + R 4 c Le calcul doe immédiaeme ϕ3x 4X 3 3X 4X 3 Le polyôme 3X 4X 3 es doc veceur propre de ϕ pour la valeur propre d Les valeurs propres de ϕ so celles de sa marice représeaive A, c es-à-dire ses coefficies diagoaux puisque celle-ci es riagulaire : il s agi de, 4, 8,, 4 ie des réels de la forme 4, L edomorphisme ϕ admea aisi + dim R [X] valeurs propres, il es diagoalisable e ses sous-espaces propres so de dimesio a La focio f es de classe C sur l ouver D par opéraios sur les focios C Elle adme doc des dérivées parielles doées par : x, y D, f x, y x x y, f x, y y y x b Pour x, y D, f x, y { x xy y yx { 4x y x Parmi les deux soluios, e, du sysème précéde, seule B, apparie à D, c es doc l uique poi criique de la focio f c La focio f adme pour marice hessiee : + x, y D, yx f x, y yx + yx yx e e pariculier au poi B : f B 3 3 Les valeurs propres de cee marice so les réels λ pour lesquels la marice 3 λ f B λi 3 λ es pas iversible, ie do le déermia 3 λ λ4 λ es ul : il s agi doc de e 4, oues deux sriceme posiives La focio f présee doc au poi criique B u miimum local 3 a O obie :,, f x,, x x i< + x x i <j x j x x i x x i b C es ue coséquece immédiae de la défiiio de poi criique e de l expressio obeue e a

4 ECS Lycée La Bruyère, Versailles ECRICOME 6 S 4 c Soi, Para de SX X x Q X, il vie : S X X x Q X + Q X e S X Q X + X x Q X e e pariculier S x Q x e S x Q x d Le résula s obie e appliqua la formule P,, P R[X], P j j i P j P j P i j i que l o jusifie par récurrece sur la première formule es ue égalié polyomiale, la secode ue égalié ere focios raioelles e dehors des racies des polyômes P,, P e Pour,, la formule de la quesio d es valable e x e more que : x 4x Q i x x x Q x i puisque Q x i x x i sacha que x,, x so deux-à-deux disics Vu les quesios b e c, il e ressor que u es poi criique de f si, e seuleme si, 4x S x S x pour ou, f D après la quesio e, le poi u es criique pour f si, e seuleme si, le polyôme S 4XS s aule e x,, x ie es muliple de S X x puisque x,, x so deux-à-deux disics E compara les degrés, o peu doc éocer que u es poi criique de f si, e seuleme si, il exise λ R el que S 4XS λs Puisque S es uiaire de degré, la seule coribuio e X das le polyôme S 4XS provie de 4XS e es égale à 4 E ideifia les coefficies de degré das la relaio précédee, o observe doc que le réel λ, s il exise, es écessaireme égal à 4, d où le résula 4 a D après la quesio 3f, u poi u x,, x D es criique pour f si, e seuleme si, le polyôme S X x, uiaire ie de coefficie domia égal à de degré, vérifie ϕs 4S ie es propre pour ϕ associé à la valeur propre 4 Or, d après d, le sous-espace propre de ϕ pour la valeur propre 4 es ue droie e e coie doc qu u seul polyôme uiaire Les coordoées de u, qui so les racies de S ordoées par ordre sriceme croissa, so doc déermiées par ϕ, ce qui éabli l uicié d u éveuel poi criique pour f Remarque O a pas jusifié l exisece d u poi criique pour f car à ce sade, rie assure que le seul polyôme uiaire du sous-espace propre de ϕ pour la valeur propre 4 soi scidé à racies simples de degré, ie de la forme S X x avec x < < x b Das le cas 3, le seul veceur propre uiaire de ϕ pour la valeur propre 4 3 es le polyôme X 3 3X XX 3 X + 3, qui es bie scidé à racies simples D après le raisoeme meé 4 e a, la focio f adme doc 3,, 3 pour uique poi criique j i P i P i, a O obie immédiaeme : Problème Première parie a N, I a, ˆ x a dx a + b Pour a, b N N, les deux focios x x a+ e x x b so de classe C sur le segme [, ], e ue iégraio par paries es doc possible : ˆ [ x I a,b x a x b a+ ] ˆ dx a + x a+ xb + a + b xb dx b a + I a+,b, le croche éa ul car a + > e b >

5 ECS Lycée La Bruyère, Versailles ECRICOME 6 S 5 c O e dédui par récurrece sur b N e iégra le a das le prédica de récurrece que : b N, a N, I a,b bb a + a + a + b I a+b, a!b! a + b +! E effe, la formule a éé éablie pour b e a e si, pour b N doé, elle es acquise au rag b alors, d après b, a N, I a,b b a + I a+,b b a +!b! a + a + b +! a!b! a + b +! si bie que la formule es ecore valable au rag b d La focio f a,b es coiue sur R \ {, } e posiive sur R La focio f a,b éa coiue sur 3 le segme [, ] e ulle e dehors, so iégrale coverge avec : ˆ + f a,b x dx a + b +! a!b! ˆ x a x b dx d après c Toues les codiios so doc réuies pour que f a,b soi ue desié de probabilié O peu oer pour commecer que X es presque sûreme à valeurs das [, ] doc borée, si bie qu elle adme des momes à ou ordre a Il vie d après c : b O a de même : EX EX ˆ + ˆ + xf a,b x dx I a,b x f a,b x dx I a,b ˆ d où, d après la formule de Kœig-Huyges, ˆ VX EX EX x a+ x b dx I a+,b I a,b a + a + b + x a+ x b dx I a+,b I a,b a + b + a + b + 3a + b + c La focio proposée es de classe C sur ], [ avec, pour x ], [, F x a + b +! a+b+ a + b +! a+ [ a+b a+ x x a+b+ a + b + x x a+b a + a + a + b + 3a + b +!a + b +! x x a+b! a + b! x x a+b ] + xa+b!a + b! a + b! car pour a + b +, le deuxième erme es ul d où, par élescopage, [ x a x b ] a + b +! xa+b + xa+b a + b +! x a x b f a,b x a!b! a + b! a + b! a!b! C es doc ue primiive de f a,b sur ], [, qui s aule e comme le more u calcul direc La variable à desié X prea presque sûreme ses valeurs das ], ], o a déjà PX x Fx pour x ], [ le calcul doe F : seul le erme d idice a + b + es pas ul Pour x ], [, PX x ˆ x f a,b d ˆ x La variable X adme doc F pour focio de répariio f a,b d [ F ] x Fx Deuxième parie 3 Au cours des irages, o peu irer u ombre quelcoque de boules rouges compris ere e : X Ω, 4 Le choix des oms des focios experiece e simulaio es rès discuable 3 Au ses où sa resricio à [, ] es coiue

6 ECS Lycée La Bruyère, Versailles ECRICOME 6 S 6 a Au cours d u el irage, o obie ue boule rouge avec probabilié p x Puisque l isrucio rad<p simule u évéeme de probabilié p, la focio codée ci-dessous simule le irage x+y cosidéré Lisig : simulaio d u irage fucio resiragex,y rrad; if r<x/x+y he res; else res; ed edfucio Remarque Das le code ci-dessus, le bloc ifheelseed peu êre remplacé par l isrucio plus coure resr>x/x+y, où r>x/x+y es u boolée, assimilé à ou b La focio ci-dessous simule les irages e modifia la composiio de l ure ere chacu d eux Lisig : simulaio de l expériece fucio Xexperiecea,b, xa; // ombre iiial de boules rouges das l ure yb; // ombre iiial de boules blaches das l ure for : riragex,y; if r he // o a iré ue boule rouge xx+; // o ajoue ue boule rouge das l ure else yy+; // o ajoue ue boule blache das l ure ed ed Xx-a; edfucio c O approche la loi de X e uilisa la méhode de Moe-Carlo basée sur la loi des grads ombres, qui cosise à approcher la probabilié PX par la fréquece de réalisaio de l évéeme [X ] au cours d u grad ombre de simulaios Das la focio proposée ci-dessous, o réalise m simulaios de la variable X e o uilise le veceur loi pour comper le ombre de réalisaios de chacu des évéemes [X ],, ava de le diviser par m pour obeir les fréqueces de réalisaio Lisig 3 : approximaio de la loi de X par simulaios fucio loisimulaioa,b,,m loizeros,+; for j:m xexperiecea,b,+; loixloix+; ed loiloi/m; edfucio // o icrémee le compeur correspoda // au résula observé Remarque Das le code ci-dessus, u décalage es imposé par la syaxe Scilab : les élémes du veceur loi so uméroés de à + Le coeu de loi se rappore doc à PX pour +

7 ECS Lycée La Bruyère, Versailles ECRICOME 6 S 7 5 Il aurai éé plus judicieux d uiliser l isrucio bar:, simulaio,,,^5 pour avoir e abscisses les valeurs prises par la variable X elles so uméroées de à + das les sories graphiques proposées, alors qu elles devraie l êre ere e a Le ombre de simulaios éa assez grad, o peu cosidérer que l approximaio par la méhode de Moe-Carlo es accepable Les sories graphiques proposées coduise à cojecurer que la variable X sui la loi uiforme sur, b La variable X es la variable de Beroulli associée à l expériece cosiuée d u uique irage das ue ure coea ue boule rouge e ue boule blache, das laquelle le succès es l appariio d ue boule rouge Elle sui doc la loi de Beroulli de paramère, c es-à-dire la loi uiforme sur {, }, e accord avec le résula cojecuré e a c Sacha l évéeme [X ] réalisé, l évéeme [X + l] se réalise si, e seuleme si, o ire l boules rouges au cours du + -ième irage, das ue ure qui coie + boules do + rouges Aisi : l, +, P [X]X + l + + si l + + si l + sio d Le résula a éé éabli pour das la quesio b S il es acquis à u rag N alors, d après la formule des probabiliés oales appliquée au sysème comple associé à la variable X e vu c, o obie pour l, : PX + l PX P [X]X + l PX l P [Xl]X + l + PX l P [Xl]X + l l l e la formule es ecore valable pour l resp l + : das ce cas, l évéeme [X l ] resp [X l] es impossible mais l expressio uilisée pour P [Xl]X + l resp P [Xl]X + l es ulle e le calcul demeure doc correc Aisi X + sui la loi uiforme sur, +, ce qui cosiue le résula au rag + 6 a O uilise la formule des probabiliés composées e calcula les probabiliés codiioelles avec u raisoeme similaire à celui uilisé e 5c : PR R R + R PR P R R P R R R a a + b P R R R + P R R R + R + P R R R + R R a + a + b + a + a + b + b a + b + a+! b+! a! b! a+b+! a+b! b + a + b + + b + a + b + b L évéeme [X ] es l uio disjoie des évéemes a +!b +!a + b! a!b!a + b +! i I R i i I lorsque I décri l esemble des paries à élémes de, Ces paries so au ombre de e, pour chacue d elles, l évéeme précéde a même probabilié que celui éudié à la quesio a E effe, le même raisoeme coduira à ue expressio similaire où le déomiaeur sera ideique e le uméraeur formé des mêmes faceurs mais das u ordre différe Fialeme, o a doc : a +!b +!a + b! PX a!b!a + b +! R i

8 ECS Lycée La Bruyère, Versailles ECRICOME 6 S 8 c Pour,, l expressio obeue e b doe : PX! a +!b +!a + b!!! a!b!a + b +! a +! a!! b +! b!! a + b!! a + b +! a+ b+ a b a+b+ a+b d E écriva que PX, o obie la formule a + b + a + b +, a b a + b valable pour ous a, b, N O peu alors écrire, e appliqua le héorème de rasfer à la variable fiie a + X e la formule d absorpio, Ea + X a + a+ b+ a b a+b+ a+b a a+b+ a+b a + b + a b puis, d après la formule appliquée à a + e b e de ouveau la formule d absorpio, a a + b + Ea + X a a + b + a + b a + b Par suie, a+b+ a+b a + b + EX Ea + X a a a a + b a + b Troisième parie 7 a Sacha que X pred des valeurs posiives ou ulles, il e va de même de Y e l o a doc F x PY x pour ou x < b E raisoa de même à parir de X, o obie Y d où F x PY x pour ou x 8 a Puisque X es à valeurs eières, les évéemes [X y] e [X y ] so égaux pour y R O a doc : F x PY x PX x PX x b D après a e 6c, F x x PX a+b+ a+b x a + b + a b La formule sommaoire admise appliquée à l eier p x + a o a bie a p a + x a + + b perme de poursuivre le calcul : F x a+b x + a b + x i a + b i c Pour j N doé, m j a+b+ a+b ia mm m j + j! d Des iégaliés qui défiisse la parie eière, o dédui que : N, x mj j!, m x x d où il ressor, par ecadreme, que x ie qu o a l équivale x x lorsque x Pour i a, a + b, o a doc b + x b + x x +,

9 ECS Lycée La Bruyère, Versailles ECRICOME 6 S 9 d où, d après c : x +a b+ x i a+bi a+b+ a+b x +a i i! b+ x a+bi a+bi! a+b+ a+b a+b!, c es-à-dire, puisque les exposas so fixes, x +a b+ x i a+bi a + b! x i x a+bi a+b+ i!a + b i! a+b a+b, a + b x i x a+bi i O e dédui d après b le ombre de ermes de la somme es idépeda de que : lim F x a+b a + b x i x a+bi i 9 Il vie : ia F PY PX PX b+ b b! a+b+ a+b a+b! D après c, 7, 8d e 9, o a : a + b! b! b a+b b+ b a+b+ a+b, x R, F x F Yx où Y es ue variable aléaoire de loi βa, b Cela radui la covergece e loi de la suie Y vers Y D après a e 6d, EY EX a a + b a a + b EY, mais ce es pas ue coséquece de la covergece e loi de la suie Y vers Y éablie e