NOMBRES COMPLEXES EXERCICES CORRIGES

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1 Cours et exercces de mathématques NOMRES COMPLEXES EXERCICES CORRIGES Exercce. O doe = + et = + Ecrre sous forme algébrque les complexes suvats : = ; Exercce. Calculer, et = ; = ; = ; E dédure la valeur de et de, pus les eters aturels tels que est magare pur Détermer les eters aturels tels que + sot u réel égatf. Exercce. Résoudre das : Les équatos 5+ = ( + et = + + = 7 Le système d coues complexes et : + = Les équatos + = et + = =0 + + = 0 Les équatos et Exercce. Das le pla complexe mu du repère orthoormal ( Ouv ; ; = 5, =, = + et = + A C D Détermer la ature du quadrlatère ACD. Détermer l affxe du pot C, symétrque du pot C par rapport à D Détermer l affxe du pot A vérfat DA = D + DC Quelle est la ature du quadrlatère A C D? Exercce 5. O cosdère le plyôme suvat : P( P = ( 6 ( + P( = 0 Q( P = ( Q 0 Démotrer que l équato admet ue soluto réelle Détermer u polyôme tel que Démotrer que l équato Q = admet ue soluto magare pure Résoudre das l équato P( = 0 5 O ote la ème soluto de l équato P( = 0 respectves, et, sot algés =, o cosdère les pots A,,C et D d affxes respectves :. Démotrer que les pots du pla complexe A, et C d affxes Exercce 6. Détermer le module, u argumet et ue forme expoetelle de chacu des ombres doés : = 6, = et = +. E dédure module et argumet de, et Exercce 7. Ecrre + et sous la forme trgoométrque et smplfer : + = 0 Page /6

2 Cours et exercces de mathématques Exercce 8. Détermer et représeter das chaque cas, l esemble des pots M du pla dot l affxe vérfe la relato doée : = + = + + = arg = ( ( Exercce 9. arg Pour tout ombre complexe, o déft : ( ( Calculer P(. Détermer ue factorsato de P( par (- Résoudre das l équato P = 0 P = O appelle et les solutos de l équato autres que, ayat ue parte magare postve. Vérfer que + =. Détermer le module et u argumet de et de. Ouv ; ; (uté graphque : cm, les pots : a Placer das le pla, mu d u repère orthoormal drect A d affxe, et C d affxes respectves et, et I mleu de [A] b Démotrer que le tragle OA est socèle. uoi ; E dédure ue mesure de l agle c Calculer l affxe I de I, pus le module de d Dédure des résultats précédets les valeurs exactes de cos et s 8 8 Exercce 0. O cosdère le polyôme P déf par Calculer ( P et P( o a P = ( + Q( Résoudre das l équato P( = 0 I P = Détermer le polyôme Q du secod degré à coeffcets réels tel que pour tout, Placer das le pla complexe rapporté au repère orthoormal ( Ouv ; ; d affxes respectves : A = ; = ; C = + et D = C (uté graphque : cm les pots A,,C et D O ote E le symétrque de D par rapport à O. Placer le pot E sur le dess. Motrer que détermer la ature du tragle EC Exercce. = 6 état u complexe, o ote ( S le système arg( = + k, k Z. Le pla est rapporté à u repère orthoormal drect ( O u, v,. Doer le module et u argumet des tros complexes suvats : a= + b= + c= + Parm les complexes a, b et c, lesquels sot solutos du système ( S? ( justfer la répose. M état le pot d affxe, et A état le pot d affxe 6, tradure géométrquemet les deux cotrates de ( S. Résoudre le système ( S par la méthode de votre chox. C E = e et Page /6

3 Cours et exercces de mathématques Exercce. Sot le pla complexe P rapporté au repère orthoormal drect ( Oe ; ; e O déft das P ue sute de pots d'affxes défes par : 0 = 8 et pour tout eter aturel, + Calculer e focto de. M + = Pour tout eter aturel, calculer le rapport + E dédure la ature du tragle OM et motrer que : + M + M M + kom + =, où k est u réel strctemet postf à détermer. S r est le module de, doer la lmte de r s ted vers plus l'f. Quelle terprétato géométrque peut-o doer? Exercce. O cosdère l applcato f du pla qu à tout pot M, d affxe dstcte de, assoce le pot d affxe : + = Pour, o pose = + re θ, avec r>0 et θ. Ecrre à l ade de r et θ A est le pot d affxe a Détermer l esemble E des pots M pour lesquels = b Détermer l esemble E des pots M pour lesquels arg ( = ( c Représeter les esembles E et E Exercce. Détermer la forme complexe de la rotato r de cetre Ω( et d agle Précser l mage par r du pot A d affxe e Sot t la trasformato qu à tout pot M d affxe assoce le pot M d affxe = a Caractérser la trasformato t b Doer la forme complexe de t r Recoaître cette ouvelle trasformato e détermat ses élémets caractérstques Exercce 5. O déft la trasformato f du pla par sa forme complexe : + = + Quelle est la ature de l applcato f? Détermer l mage C par f du cercle C de cetre A(-+ et de rayo Page /6

4 Cours et exercces de mathématques NOMRES COMPLEXES CORRECTION Exercce = = + = = + + ( = = = + = + = = = + = + + = = 9+ 6 = 6+ 6 ( ( ( ( = = + = = = = = = ( + ( + = = = = = = = Exercce O calcule successvemet =, = = = et La dvso eucldee de 006 par fourt 006 = As, ( ( = = = = = La dvso eucldee de 009 par fourt 009 = As, ( = = = = = = = = Notos q et r le quotet et le reste de la dvso de par. O a doc = q+ r avec 0 r q S r=0, c est-à-dre s =q, ( ( = = = = q+ q S r=, c est-à-dre s =q+, ( q q = = = = = q+ q S r=, c est-à-dre s =q+, ( ( q = = = = = q+ q S r=, c est-à-dre s =q+, ( ( Les eters aturels tels que = = = = = q q est magare pursot doc de la forme =q+ ou =q+ Détermos la forme trgoométrque de + : Le module de + est q q q + = + =. U argumet θ de + vérfe cos θ = = et s θ = =. θ = ( covet As, + = e, et pour tout eter aturel, ( e e + = = ( + sera u réel égatf s et seulemet = + k, k = ( k+, k Les eters aturels tels que + sot u réel égatf sot doc de la forme = ( k+, k Page /6

5 Cours et exercces de mathématques Exercce 5+ = = = ( ( = = = = = As, S = 7 7 Pour, = = ( + ( = ( = = = = = + ( ( + ( As, S = O résout le système par combaso : + = 7 L 6+ = L + = L + = L 5 = L 6 L = LL 6 + = L = L O obtet doc : 5 ( 5( = = = 6 ( 6 ( = = = pus = = = = + 5 Falemet, S = {( ; + 5 } S o pose = x+ y, avec xy,, l équato + = devet équvalete à : x y ( y x x + y + x y = x + y + x y = = x+ y = doc équvalete au système, que l o résout par substtuto : y+ x= 0 x+ y = L y = x L y+ x= 0 L ( x + x= 0 L 6 x + x= 0 L x= L x= L y = x L y = x L y = L As S = { } Page 5/6

6 Cours et exercces de mathématques S o pose = x+ y, avec xy,, l équato x+ y + x + y = 0 x + xy+ y + x + y = 0 x + y + xy = 0 doc équvalete au système As S = {} 0 x + y = xy = 0 + = 0 + = 0 devet équvalete à : 0, dot l uque soluto est le couple O calcule le dscrmat de l équato + 6 5=0 : = 6 5 = 6 0 = = L équato admet doc deux races complexes cojuguées : S = ; + L équato solutos S = { ; ;} Exercce x = 0 y = 0 6 = = + et 6+ = = + + =0 se réécrt ( + ( ( = 0, et admet doc comme esemble de O calcule d ue part A A Et d autre part = = 5 = + + 5= 5+, = C D = + + = + + = 5+ DC Pusque = A D, o e dédut que A = DC, doc que le quadrlatère ACD est u parallélogramme. C S C est le symétrque du pot C par rapport à D, alors DC = CD, ce qu se tradut par, c est-à-dre ( + = = = + C D D C C D C = + = 7 As C =7 L égalté vectorelle DA = D + DC se tradut, au veau des affxes, par : DA = + D DC A D = D + C D A = + C D = + + ( + = 9 A O calcule d ue part A A Et d autre part = =7( + =5 Pusque = = 9 =5, DC = C D DC A =, o e dédut que A = DC DC, doc que le quadrlatère A C D est u parallélogramme. CD Page 6/6

7 Cours et exercces de mathématques Exercce 5 E réécrvat autremet le polyôme P, à savor : P = = 6 + +, o s apperçot que s est ue race réelle de P, alors o dot avor écessaremet 6 = 0 + = 0. Cherchos doc les races et réelles du polyôme R = + e calculat so dscrmat : = = = 6 = d où l exstece de deux races réelles = et =. Sur ces deux races, seule est race du polyôme S = 6. As la seule race réelle de P est = = P = Q = a + b + c Il exste doc u polyôme Q tel que deg Q deg, doc de la forme. ( P = Q P = + Q, avec Pour trouver Q, effectuos la dvso eucldee du polyôme P par - (pusque l égalté c-dessus etraîe P Q =, pour tout + O obtet : Le polyôme Q est doc : = + ( 9 6( + Q O calcule le dscrmat du polyôme Q : = = =5. L astuce est de remarquer que 5 =, ce qu permet de calculer les deux races complexes de Q : L ue vaut 9 6 = = et l autre vaut doc ue soluto magare pure : = = = 6 +. L équato Q(=0 admet L autre soluto de l équato Q(=0 ayat été calculée c-dessus, et par applcato de la règle du produt ul, = 0 ( + = 0 + = 0 ou = 0 et as S = { ; ; 6+ } P Q Q 5 Notos A le pot d affxe =, le pot d affxe = et C le pot d affxe = 6+ L affxe du vecteur A vaut = +. Celle du vecteur AC vaut = 6+ Pusque =, o e dédut que AC = A, c est à dre que les vecteurs A et AC sot coléares, ( doc que les pots A, et C sot algés Exercce 6 Le module de vaut 6 = ( 6 + ( = 8 = 6 U argumet θ de vérfe cos θ = = et s θ = =. θ = covet 6 As, 6 e = Le module de vaut = + = = Page 7/6

8 Cours et exercces de mathématques U argumet θ de vérfe cosθ = = = et s θ = = =. θ = covet As, = e Pour, o recoaît drectemet = + = cos + s Le module de vaut doc, u argumet. Ue forme expoetelle est doc = e O calcule = e e = e = e = e 5 Le module de vaut doc et u argumet de est doc O calcule = e e = e = e = e = e Le module de vaut doc et u argumet de est doc 6 O calcule e e e e e = = = = = Le module de vaut doc et u argumet de ( est doc Exercce 7 Notos = +. Alors le module de est = + = + = =. Pour trouver u argumet de, cherchos θ tel que cosθ = et s θ =. O trouve θ = [ ]. As = De même, otos =. Alors le module de est Page 8/6 e = + =. Pour trouver u argumet de, cherchos θ tel que cosθ = = et s θ = =. O trouve θ = [ ]. As = e 7 Le quotet + + e s écrt doc = = e = e e Alors = = e = e = + e 0 6 Comme 0 = 6, o aura = = 6 [ ] 0 As e = e = cos + s = Ef, 0 0 = = 0 E cocluso 0 + = = 0 = 5 5.

9 Cours et exercces de mathématques Exercce 8 Das le pla mu du repère orthoormal ( Ouv ; ;, S o ote A et les pots dot les affxes respectves sot et, et M le pot dot l affxe est oté, l égalté = se tradut par AM=M. Le pot M état équdstat des pots A et, l appartet à la médatrce de [A]. L esemble des pots M du pla dot l affxe vérfe = est doc la médatrce de [A], avec A( et ( Notos C le pot dot l affxe est + Pusque + = + =, l égalté Le pot M appartet doc au cercle de cetre C et de rayo + = + + = se tradut par CM = vérfe + = + est doc le cercle de cetre C( + et de rayo. L esemble des pots M du pla dot l affxe S o pose = x+ y, avec xy,, l égalté + =, équvalete à + = =, se réécrt xy + = x y = x + y = O recoaît là l équato du cercle de cetre D( ; et de rayo L esemble des pots M du pla dot l affxe vérfe + = est doc le cercle de cetre D(+ et de rayo Pusque pour tout complexe, arg arg ( ( arg arg = et ( = se réécrt arg = arg + (, sot arg ( L esemble des pots M du pla dot l affxe vérfe arg arg ( costtué des pots dot l affxe est u magare pur de parte magare égatve. arg = arg +, l égalté =. = est doc le dem-axe des ordoées Page 9/6

10 Cours et exercces de mathématques Exercce 9 P = + + 8= = 0 O calcule O peut doc factorser P( par (-. Il exste doc tros ombres a,b et c, tels que pour tout, P = ( ( a + b+ c. Détermos a,b et c par detfcato. Pour tout, a + b + c = a + b + c a b c = a + b a + c b c As, o aura ( ( a + b+ c = P pour tout s et seulemet s d obter a = b = c =. As, pour tout, P = ( ( D après la règle du produt ul, P = s et seulemet s -=0<=>= ou O calcule le dscrmat de cette derère équato : = = 8 6= 8= L équato + + = 0 admet doc deux races complexes cojuguées : + = = + et = = O vérfe que + =. Le module de vaut + = ( + = a = b a = (, ce qu ous permet c b = ( c = = 0 U argumet θ de vérfe cosθ = et s θ =. θ = ( covet Pusque les races et sot cojuguées, le module de est le même que celu de, à savor, et u argumet de est θ = (. a Page 0/6

11 Cours et exercces de mathématques b O calcule OA = A = = et O = =. Pusque OA=O, le tragle OA est socèle e O. Pusque le trable OA est socèle e O, la médae (OI ssue de O est auss bssectrce de l agle AO. Ue mesure de l agle ( uoi ; est doc = 8 c Pusque I est le mleu de [A], I A+ + = = = + Le module de I vaut doc + = + = + + = d Pusque ( uoi ; = (, o a doc arg ( I = ( 8 8 Et pusque I = +, o e dédut alors que cos = = = = 8 I s = = = = = = = 8 I +, et que Exercce 0 O calcule : P = = = = = 6+ 6 = 0 et de même P = = = = = 6+ 6 = 0 Les complexes et sot doc races sur polyôme P. As, l exste u polyôme Q du secod degré à coeffcets réels tels que : P Q P = + = Q P = + Q effectue ue dvso etre polyômes : Pour tout dfféret de et, o a P Q =. O effectue la dvso : + Q = 6+ As Pour trouver Q, o Page /6

12 Cours et exercces de mathématques ( Pusque P = + 6+, la règle du produt ul affrme que P = 0 + = 0. Ou 6+ = 0 Résolvos l équato 6+ = 0 Q = 0 e calculat le dscrmat du polyôme Q : = 6 = 6 8=8. Le polyôme Q admet doc deux races complexes cojuquées = = = + et cf f d exercce S E est le symétrque de D par rapport à O, alors E D = =. As S = { ; ;+ ; } = = = + C O calcule alors = = = E O multple umérateur et céomateur de la fracto par la quatté cojuguée du déomateur : ( + ( ( + ( ( C + = = = = E + O déterme module er argumet de : Le module de ce complexe vaut + = + = C sθ =. O trouve θ = [ ]. As = = e E =. O cherche esute θ tel que cos θ = et C C De l égalté précédete, o dédut que = e = C = E, doc le tragle EC est socèle e. E E C De plus arg = [ ] ( E; C = [ ], doc le tragle EC est falemet équlatéral E Fgure : Page /6

13 Cours et exercces de mathématques Exercce O calcule a = + = + = =. Le module de a vaut doc, et o cherche θ tel que cosθ = et s θ =. O trouve θ = [ ]. U argumet de a est doc 6 6 b = + = + = 8 =. Le module de b vaut doc, et o cherche θ tel que O calcule cosθ = = = et sθ =. O trouve θ = [ ]. U argumet de b est doc O calcule c = + = + = 8 =. Le module de c vaut doc, et o cherche θ tel que cos θ = = = θ = = = s. O trouve θ = [ ]. U argumet de c est doc La codto arg( = + k, k Z arg = + k, k Z arg = + k, k Z permet déjà d élmer les complexes a et b. Seul le complexe c est caddat. O calcule c 6 = + 6 = + = + = 8 =. Comme c 6 = c, le complexe c est le seul à vérfer le système (S La cotrate = 6 0 = 6 se tradut par la codto géométrque OM = AM. La cotrate arg( = + k, k Z arg = + k, k Z arg = + k, k Z se tradut par la codto géométrque ( uom ; = + k, k Z. Les complexes solutos du système ( S sot les affxes des pots d tersecto de la médatrce de [OA] et de la drote formée des pots M tels que ( uom ; = + k, k Z, cest-à-dre la ère bssectrce. Ces deux drotes ayat qu u seul pot d tersecto, o e dédut que le système (S admet qu u seule soluto. Cette soluto est le complexe c, comme démotré précédemmet. Exercce La sute ( est ue Forme expoetelle de sute géométrque de raso + q = : + q = q = + = = =, et s o ote θ u argumet de q, à 6 près, o a cos ( θ = = et s θ = = d où o recoaît θ = [ ] et as q= e. (o pouvat auss drectemet remarquer que q= + = cos + s = e As, pour tout eter = 0 q = 8 e = 8 e Page /6

14 Cours et exercces de mathématques Pour tout eter, pusque 0, = = = = = ( = = = E calculat module et argumet de ce derer complexe, o obtet M M OM + MM+ = = OM + + = (le réel k dot parle l éocé est.. De plus, arg ( arg [ ] OM M M ] doc le tragle OM M + est rectagle e M + ( + ; + = [ Nous avos calculé, das la questo, que pour tout eter = 8 e. As 0< <, l'f. + r = = 8, et pusque lm = 0, doc lm r = 0, doc le pot M + + a pour posto lmte le pot O lorsque ted vers plus Exercce + + Pour tout, o calcule = = = S o pose = + re θ, avec r>0 et θ, alors = = = = e θ θ + re re r Ef, o peut écrre θ θ θ = e = e e = e r r r a U pot M aura ue affxe vérfat = s et seulemet s : θ θ / e = e = = / = r = r r r r As, o aura A θ A θ = + e = e, ce qu mplque θ e AM A θ = = = et arg θ ( A =. Le pot M appartet doc au cercle de cetre A et de rayo. E est doc le cercle de cetre A et de rayo. θ b Pusque = e, o aura arg ( = θ (. U pot M aura ue affxe vérfat r arg ( = ( s et seulemet s : θ = θ =. As A = e, doc ( u; AM = (. Le pot M appartet doc à la dem-drote d orge A et d équato polare θ = ( E est doc la dem-drote d orge A et d équato polare θ = Page /6

15 Cours et exercces de mathématques c Exercce La rotato r de cetre Ω( et d agle Ω est la trasformato qu, à tout assoce = e + = e + = e +, ou ecore Ω = r tel que = + + L mage par r du pot A d affxe e a pour affxe A = r A = e e + = + e = e L mage par r du pot A d affxe e est le pot d affxe e a S o ote w le vecteur d affxe, alors la trasformato t est la traslato de vecteur w b Pour tout complexe, t r = t( r = t + + = + + = + = + + = e e Détermos les évetuels pots fxes de cette trasformato, e résolvat l équato : t r = + + = + = + e e = e = = e e Page 5/6

16 Cours et exercces de mathématques O recoaît l affxe du pot A. L uque pot fxe de la trasformato t r est le pot A E écrvat smultaémet t r e e = et et A = e A e, o obtet, par soustracto, t r A = e ( A La trasformato t r est doc la rotato de cetre A et d agle Exercce 5 Détermos les évetuels pots fxes de cette trasformato, e résolvat l équato : = = + + = = + La trasformato f admet u pot fxe Ω, d affxe Ω = +. E écrvat successvemet = + + et = + +, pus e soustrayat membre à membre, o obtet : =. Ω Ω Ω Ω La trasformato f est doc l homothéte de cetre Ω, d affxe Ω = +, et de rapport Par l homothéte f de cetre Ω et de rapport, l mage C du cercle C de cetre A(-+ et de rayo est le cercle de cetre f(a et de rayo =. O calcule : f A = = = + 6 L mage de C est le cercle C de cetre le pot f(a d affxe +6 et de rayo. Page 6/6