Session janvier 2015

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1 BACCALAUREAT BLANC Session janvier 2015 Série : S Épreuve : Mathématiques ( candidats ayant suivi l enseignement de spécialité ) Durée de l'épreuve : 4 heures MATERIEL AUTORISE OU NON AUTORISE : Calculatrice autorisée Aucun échange de matériel autorisé Avant de composer le candidat s'assure que le sujet comporte 6 pages numérotées 1/6 à 6/6 Terminale S spé maths Bac Blanc janvier 2015 page 1/6

2 Exercice 1 ( 5 points ) commun à tous les candidats On considère la fonction définie et dérivable sur l ensemble R des nombres réels par : = +1+ On note sa courbe représentative dans un repère orthonormé ;,. 1. Soit la fonction définie et dérivable sur l ensemble R par : =1 + a. Dresser, en le justifiant, le tableau donnant les variations de la fonction sur R ( les limites de aux bornes de son ensemble de définition ne sont pas attendues ). b. En déduire le signe de. 2. Déterminer la limite de en puis la limite de en On appelle la dérivée de la fonction sur R. Démontrer que, pour tout réel, = 4. En déduire le tableau de variation de la fonction sur R. 5. a. Démontrer que l équation =0 admet une unique solution réelle sur R. b. Démontrer que 1< <0. 6. a. Démontrer que la droite d équation =2 +1 est tangente à la courbe au point d abscisse 0. b. Etudier la position relative de la courbe et de la droite. Terminale S spé maths Bac Blanc janvier 2015 page 2/6

3 Exercice 2 ( 5 points ) commun à tous les candidats On note C l ensemble des nombres complexes. Le plan complexe est muni d un repère orthonormé ;,. On prendra comme unité 2 centimètres sur chaque axe. Le graphique sera fait sur une feuille de papier millimétré ou à petits carreaux et complété au fur et à mesure des questions. On considère la fonction qui à tout nombre complexe z associe = Calculer l image de 1+ 3 par la fonction. 2. Résoudre dans C l équation =5. Ecrire sous forme trigonométrique les solutions de cette équation. Construire alors sur le graphique, à la règle et au compas, les points et dont l affixe est solution de l équation ( étant le point dont l affixe a une partie imaginaire positive). On laissera les traits de construction apparents. 3. Soit un nombre réel. On considère l équation = d inconnue. Déterminer l ensemble des valeurs de pour lesquelles l équation = admet deux solutions complexes conjuguées. 4. Soit un nombre complexe tel que = + où et sont des nombres réels. a. Montrer que : = b. On note l ensemble des points du plan complexe dont l affixe est telle que soit un nombre réel. Montrer que est la réunion de deux droites et dont on précisera les équations. Compléter le graphique en traçant ces droites. Terminale S spé maths Bac Blanc janvier 2015 page 3/6

4 Exercice 3 ( 5 points ) commun à tous les candidats Partie A Les parties A et B sont indépendantes. On considère la suite définie par =2 et, pour tout entier naturel : = On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs. 1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel, on a : 1>0. 2. a. Etablir que, pour tout entier naturel, on a : = b. Déterminer le sens de variation de la suite. 3. En déduire que la suite converge. Partie B On considère la suite définie par =2 et, pour tout entier naturel : = 1+0,5 0,5+ On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs. 1. On considère l algorithme suivant : Entrée Soit un entier naturel non nul Initialisation Affecter à la valeur 2 Traitement et sortie POUR allant de 1 à Affecter à la valeur 1+0,5 0,5+ Afficher FIN POUR Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour =3. Les valeurs de seront arrondies au millième Pour =12, on a prolongé le tableau précédent et on a obtenu : ,0083 0,9973 1,0009 0,9997 1,0001 0, , , , Conjecturer le comportement de la suite à l infini. Terminale S spé maths Bac Blanc janvier 2015 page 4/6

5 3. On admet que, pour tout entier naturel, on a : 1. On considère la suite définie pour tout entier naturel, par : = 1 +1 a. Démontrer que la suite est géométrique de raison 1 3 b. Calculer puis écrire en fonction de. 4. On admet que, pour tout entier naturel, on a : 1. a. Montrer que, pour tout entier naturel, on a : b. Déterminer la limite de la suite. = Terminale S spé maths Bac Blanc janvier 2015 page 5/6

6 Exercice 4 ( 5 points ) pour les candidats ayant suivi l enseignement de spécialité Partie A On considère l'algorithme suivant : Variables : A est un entier naturel B est un entier naturel C est un entier naturel Initialisation : Affecter à C la valeur 0 Demander la valeur de A Demander la valeur de B Traitement : Tant que A>B Affecter à C la valeur C+1 Affecter à A la valeur A B Fin Tant que Sortie : Afficher C Afficher A 1. Faire fonctionner cet algorithme avec A=13 et B=4 en indiquant les valeurs des variables à chaque étape. 2. Que permet de calculer cet algorithme? Partie B A chaque lettre de l'alphabet, on associe grâce au tableau ci-dessous, un nombre entier compris entre 0 et 25. A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z On définit un procédé de codage de la façon suivante : Etape 1 : A la lettre que l'on veut coder, on associe le nombre correspondant dans le tableau. Etape 2 : On calcule le reste de la division euclidienne de 9 +5 par 26. On note ce reste. Etape 3 : Au nombre, on associe la lettre correspondant dans le tableau. 1. Coder la lettre U. 2. Modifier l'algorithme de la partie A pour qu'à une valeur de entrée par l'utilisateur, il affiche la valeur de, calculée à l'aide du codage précédent. Partie C 1. Trouver un nombre tel que 9 1 [26] 2. Démontrer alors l'équivalence : 9 +5 [26] 3 15[26] 3. Décoder alors la lettre B. Terminale S spé maths Bac Blanc janvier 2015 page 6/6