Epreuve commune maths terminales S 8 décembre 2015

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1 Exercice 1 6 points ) On considère la fonction f définie et dérivable sur l ensemble R des nombres réels par fx) = x+1+ x e x On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé O; i ; ) j 1 Soit g la fonction définie et dérivable sur l ensemble R par gx) = 1 x+e x Dresser, en le justifiant, le tableau donnant les variations de la fonction g sur R les limites de g aux bornes de son ensemble de définition ne sont pas attendues) En déduire le signe de gx) 2 Déterminer la limite de f en puis la limite de f en + 3 On appelle f la dérivée de la fonction f sur R Démontrer que, pour tout réel x, f x) = e x gx) 4 En déduire le tableau de variation de la fonction f sur R 5 Démontrer que l équation fx) = 0 admet une unique solution réelle α sur R Démontrer que 1 < α < 0 6 a) Démontrer que la droite T d équation y = 2x + 1 est tangente à la courbe C au point d abscisse 0 b) Étudier la position relative de la courbe C et de la droite T c) Tracer la courbe C et sa tangente T 1

2 Exercice 2 5 points ) L objet de cet exercice est d étudier la suite u n ) définie sur N par u 0 = 3 et pour tout entier natureln, u n+1 = 1 ) u n + 7un 2 ) On pourra utiliser sans démonstration le fait que pour tout entier naturel n, u n > 0 1 On désigne par f la fonction définie sur l intervalle ]0;+ [ par fx) = 1 2 x+ 7 ) x Démontrer que la fonction f admet un minimum En déduire que pour tout entier naturel n, u n 7 2 a) Soit n un entier naturel quelconque Étudier le signe de u n+1 u n b) Pourquoi peut-on en déduire que la suite u n ) est convergente? c) On déduit de la relation ) que la limite l de cette suite est telle que l = 1 l+ 7 ) 2 l Déterminer l un 7 ) 2 3 Démontrer que pour tout entier naturel n, u n+1 7 = On définit la suite d n ) par : u n d 0 = 1 et pour tout entier natureln, d n+1 = 1 2 d2 n a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, u n 7 d n b) On admet que d 5 < 10 9 Que représente alors la valeur u 5? 2

3 Exercice 3 4 points ) On désigne par E) l équation d inconnue complexe z z 4 +4z = 0 1 Résoudre dans C l équation Z 2 +4Z +16 = 0 Écrire les solutions de cette équation sous une forme exponentielle 2 On désigne par a le nombre complexe dont le module est égal à 2 et dont un argument est égal à π 3 Calculer a 2 sous forme algébrique En déduire les solutions dans C de l équation z 2 = 2+2i 3 On écrira les solutions sous forme algébrique 3 Restitution organisée de connaissances On suppose connu le fait que pour tout nombre complexe z = x+iy où x R et y R, le conjugué de z est le nombre complexe z défini par z = x iy Démontrer que : Pour tous nombres complexes z 1 et z 2, z 1 z 2 = z 1 z 2 Pour tout nombre complexe z et tout entier naturel non nul n, z n = z) n 4 Démontrer que siz est une solution de l équation E) alors son conjugué z est également une solution de E) En déduire les solutions dans C de l équation E) On admettra que E) admet au plus quatre solutions 3

4 Exercice 4 5 points) Un volume constant de 2200 m 3 d eau est réparti entre deux bassins A et B Le bassin A refroidit une machine Pour des raisons d équilibre thermique on crée un courant d eau entre les deux bassins à l aide de pompes On modélise les échanges entre les deux bassins de la façon suivante : au départ, le bassin A contient 800 m 3 d eau et le bassin B contient 1400 m 3 d eau ; tous les jours, 15% du volume d eau présent dans le bassin B au début de la journée est transféré vers le bassin A ; tous les jours, 10% du volume d eau présent dans le bassin A au début de la journée est transféré vers le bassin B Pour tout entier naturel n, on note : a n le volume d eau, exprimé en m 3, contenu dans le bassin A à la fin du n-ième jour de fonctionnement ; b n le volume d eau, exprimé en m 3, contenu dans le bassin B à la fin du n-ième jour de fonctionnement On a donc a 0 = 800 et b 0 = Par quelle relation entre a n et b n traduit-on la conservation du volume total d eau du circuit? 2 Justifier que, pour tout entier naturel n, a n+1 = 3 4 a n L algorithme ci-dessous permet de déterminer la plus petite valeur de n à partir de laquelle a n est supérieur ou égal à 1100 Recopier cet algorithme en complétant les parties manquantes Variables : n est un entier naturel a est un réel Initialisation : Affecter à n la valeur 0 Affecter à a la valeur 800 Traitement : Tant que a < 1100, faire : Affecter à a la valeur Affecter à n la valeur Fin Tant que Sortie : Afficher n 4 Pour tout entier naturel n, on note u n = a n 1320 a) Montrer que la suite u n ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison 4

5 b) Exprimer u n en fonction de n En déduire que, pour tout entier naturel n, a n = ) n On cherche à savoir si, un jour donné, les deux bassins peuvent avoir, au mètre cube près, le même volume d eau Proposer une méthode pour répondre à ce questionnement 5

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