Module et Argument d un nombre complexe

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1 Module et Argument d un nombre complexe Introduction : Les nombres complexes forment une extension de l'ensemble des nombres réels. Ils permettent notamment de définir des solutions à toutes les équations polynomiales à coefficients réels. En particulier les équations du second degré à discriminant négatif. Dans les programmes, les nombres complexe sont introduits dès le lycée les différentes formes d'un nombre complexe, les propriétés de somme, produit, quotient, la représentation géométrique de tels nombres, ainsi que le vocabulaire spécifique à cet ensemble (affixe, module, argument). Voie générale : nombres complexes introduits en Terminale S Voie technologique : ils sont étudiés dès la classe de 1e dans les sections STI2D. BTS : les élèves approfondissent et voient les transformations géométriques dans le plan complexe, et la résolution des équations du 2 nd degré à coefficients complexes. Prérequis : trigonométrie, la fonction exponentielle, les complexes (généralité, forme algébrique, conjugué d un nombre complexe, propriétés algébriques) I. Définitions et premières propriétés Définitions : Soit z un nombre complexe et M son point image dans le plan muni d un repère orthonormé (O,, ). Le module de z, noté z, est égal à la distance. Si z non nul, un argument de z, noté arg(z), est une mesure θ de l angle (, ), en radians. On appelle argument principale, et on note Arg(z), l argument de z dans l intervalle ]-pi,pi]. Remarque : Un nombre complexe non nul a une infinité d arguments. Si est l un d eux, les autres sont de la forme +2kpi, avec k un entier relatif. Le nombre complexe 0 n a pas d argument.

2 Propriété : Soit z un nombre complexe de forme algébrique : est un nombre réel positif tel que., a et b réels. Le module de z Propriété : soit z un nombre complexe et z son module. Alors est donné par : Propriétés: Si est un réel, alors son module est égal à sa valeur absolue. z =0 est équivalent à z=0 II. Propriété du module et des arguments d un nombre complexe Propriété : Soit z un nombre complexe. z est un réel non nul si et seulement si arg(z)=0 ou [2 ]. z est un imaginaire pur non nul si et seulement si arg(z)= /2 ou /2 [2 ] Propriétés sur les conjugués : pour tout nombre complexe z, = z et arg( )=-arg(z) [2 ] -z = z et arg(-z)=arg(z)+ [2 ] Ex 68p289 math x (cercle des huit points) Pour a et b réels, nos tous les deux nuls, on considère le nombre complexe z=a+ib, et les sept nombres associés à z : a-ib ; -a-ib ; -a+ib ; b+ai ; b-ai ; -b-ai ;-b+ai. 1. Faire une figure en plaçant les images de ces huit nombres pour a=1 et b=3. 2. Soit r le module de z et un argument de z. a. Quels sont les modules des sept autres nombres? Qu en déduit-on graphiquement? (vérifier alors la cohérence de votre figure). b. Exprimer en fonction de un argument de chacun des sept nombres associé à z.

3 Soient z et z deux nombres complexes. Propriétés sur les modules : zz = z z = Si z non nul, Si z non nul, Propriétés sur les arguments : [2 ] n un entier naturel Si z non nul Si z non nul, Inégalité triangulaire : III. Forme trigonométrique et forme exponentielle a. Forme trigonométrique Propriété : Soit z est un nombre complexe non nul, alors z peut s écrire sous la forme où θ est un argument de z. Définition : Soit z un nombre complexe. L écriture : avec r= z et θ =arg(z) [2 ] est appelée forme trigonométrique de z. avec r positif, θ un réel, Propriété : deux nombres complexes sont égaux si et seulement si, ils ont le même module, et le même argument à un multiple 2pi près. b. Forme exponentielle Définition : Pour tout réel, on pose Autrement dit, est le nombre complexe de module 1 et d argument. Propriété : Tout nombre complexe z non nul de module r et d argument s écrit : z=. Définition : On appelle la forme exponentielle de z la notation.

4 Avec ces nouvelles notations, on a les propriétés suivantes, avec et deux réels : Exemple : On considère le nombre complexe. Calculer le nombre complexe Z=. IV. Interprétation géométrique Propriété : Le plan complexe est muni du repère orthonormé direct (O,, ). Soit A(zA) et B(zB) deux points distincts. Alors = et = Soit A(zA), B(zB), C(zC), D(zD) des points deux à deux distincts, Alors : Exemple : Dans le plan complexe, déterminer géométriquement l ensemble des points M d affixe z tels que est réel.

5 Exercice 1 : (83p315 hyperbole ancienne version TS) Une suite de points Le plan complexe est muni d un repère orthonormal (O,, ). On considère la suite de points (Mn), n un entier naturel, définie par : Z0=8 et, pour tout n de N,. 1. Calculer le module et un argument du nombre complexe. L écrire sous forme trigonométrique. 2. Calculer z1, z2, z3 et vérifier que z3 est réel. Placer dans le plan les points M0, M1, M2, M3. 3. Pour tout entier naturel n : a) Calculer le rapport. b) En déduire la nature du triangle pour tout n entier naturel. 4. Faire une figure avec les triangles,,. 5. Expliquer en quoi cette suite de triangles correspond à la construction de triangles semblables diminués de moitié et dont on a tourné d un angle de pi/3 autour de O. Exercice 2 : 85p315 hyperbole ancienne version TS : Reconnaitre un triangle équilatéral direct On note j le nombre complexe d affixe. 1. Montrer que : ; ; ; - 2. Dans un repère orthonormal direct du plan, on considère les points M, N, P d affixes respectives m, n et p. a) Démontrer que si le triangle MNP est équilatéral direct, alors. b) Etablir la propriété suivante : Le triangle MNP est équilatéral direct si et seulement si,.

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