TES/TL spé maths Eléments de correction du Bac Blanc n 1 Jeudi 18 décembre 2014

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1 TES/TL spé maths Eléments de correction du Bac Blanc n Jeudi 8 décembre 4 Calculatrice autorisée - Aucun document n'est autorisé. Exercice. (5 points) Le barème est noté sur points. Partie : Fonctions : lectures graphiques On considère une fonction f définie et dérivable sur l intervalle [ ; 5], croissante sur [ ; ] et décroissante sur [ ; 5]. On note f la fonction dérivée de la fonction f. La courbe (C ) tracée ci-contre représente la fonction f dans le plan muni d un repère orthonormé ; elle passe par les points A( ; ) ; B ( ; 4 ) et C(4 ; ). Elle admet en chacun des points A et B une tangente parallèle à l axe des abscisses et sa tangente (T ) au point C passe par le point D( ; ).. En utilisant les données de l énoncé et le graphique, indiquer : Durée : h a) la valeur ' (4). f ' (4) = b) la valeur ' (). f ' () = c) l ensemble solution de l inéquation : f ' (x) >. On cherche les abscisses des points de (C ) où la tangente a un coefficient directeur strictement positif, c està-dire où la fonction f est strictement croissante sans prendre les points où la tangente est parallèle à l axe des abscisses: S = ] ; [ d) l ensemble solution de l inéquation : f (x) >. On cherche les abscisses des points de (C ) qui se trouvent au-dessus de l axe des abscisses : S = ] ; 4 [. Parmi les courbes suivantes quelle est celle qui peut représenter la courbe de la dérivée f '? a) b) c) y y y x x x Partie : Logique Soit f une fonction définie sur [ ; 7], dont le tableau de variations est donné ci-contre : Pour chacune des affirmations ci-dessous, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant. a) Il existe un réel k, tel que l équation f (x) = k n admet aucune solution. VRAI Par exemple, k = 7 En effet, le maximum sur son ensemble de définition est 6. Remarque : On peut prendre n importe quelle valeur strictement supérieur à 6 ou strictement inférieur à 4 ( 4 qui est le minimum sur son ensemble de définition) b) Pour tout réel k, l équation f (x) = k admet une unique solution. FAUX C est une conséquence de la réponse à la question précédente. c) Il existe un réel k, tel que l équation f (x) = k admet deux solutions. VRAI Soit k = On remarque que est le maximum sur [ ; 7] Donc l équation f (x) = admet une unique solution dans [ ; 7] f est continue sur [ ; ] et f est strictement décroissante sur [ ; ] f ( ) = 6 et f () = donc est compris entre f ( ) et f () on en déduit que l équation f (x) = admet une unique solution dans [ ; ] x 7 Variations 6 4 x Variations

2 Exercice. Partie A Probabilités (5 points) Une étude récente a été faite sur l ensemble des médecins et des kinésithérapeutes pratiquant en France métropolitaine. Parmi ces praticiens, il y a 74% de médecins parmi lesquels,6% pratiquent l ostéopathie. Parmi les kinésithérapeutes, 8,6% pratiquent l ostéopathie. On choisit une personne au hasard parmi les médecins et les kinésithérapeutes. On note les évènements suivants : M : «la personne choisie est médecin» ; K : «la personne choisie est kinésithérapeute» ; O : «la personne choisie pratique l ostéopathie».. Représenter la situation à l aide d un arbre pondéré.,6 O,74 M,994 O,6 K,86 O,94 O. Montrer que la probabilité p(o) de l évènement O est égale à,68. M et K forment une partition de l univers, donc d après la formule des probabilités totales on a : p(o) = p(m O) + p(k O) = p(m) p M (O) + p(k) p K (O) =,74,6 +,6,86 p(o) =,444 +,6 =,68. Un patient vient de suivre une séance d ostéopathie chez un praticien d une des deux catégories. Déterminer la probabilité que le praticien soit un kinésithérapeute. Donner le résultat arrondi au centième. On cherche la probabilité de K sachant O : p O (K) = p(k O ) p(o) =,6,68 = 6 68 = ,8 Partie B On rappelle que la probabilité qu une personne prise au hasard parmi les médecins et les kinésithérapeutes pratique l ostéopathie est égale à,68. On s intéresse à dix praticiens pris au hasard parmi les médecins et les kinésithérapeutes exerçant en France métropolitaine. Le nombre de praticiens est assez important pour pouvoir assimiler un tel choix à un tirage avec remise. On note X la variable aléatoire comptant le nombre de ceux qui pratiquent l ostéopathie. Dans cette partie, les résultats seront arrondis au centième.. Justifier que la variable X suit une loi binomiale, dont on précisera les paramètres. Pour un seul praticien, il y a deux issues possibles : pratiquer l ostéopathie (succès) et ne pas la pratiquer. On sait aussi que la probabilité de pratiquer l ostéopathie est de,68. Le choix des dix praticiens pris au hasard est assimilé à un tirage avec remise.

3 On répète fois açon identique et indépendante le choix d un praticien, on est donc en présence d un schéma de Bernoulli. Soit X variable aléatoire comptant le nombre de ceux qui pratiquent l ostéopathie, c est-à-dire le nombre de succès. X suit alors la loi binomiale de paramètres et,68.. Calculer p(x = ). p (X = ) =,68 (,68) - = 45,68,97 8,6, (arrondi au centième) La probabilité d obtenir exactement deux ostéopathes parmi les praticiens choisis au hasard est donc égale à environ à,. Partie C On rappelle qu en France métropolitaine,6% des médecins pratiquent l ostéopathie. Une région compte 47 médecins dont 64 médecins-ostéopathes. On note I l intervalle luctuation asymptotique au seuil de 95% de la fréquence de médecins ostéopathes de la région.. a. Vérifier que les conditions d utilisation de cet intervalle sont remplies. n =47, donc n et p =,6 np = 47,6 = 8 donc np 5 n( p) = 47 (,6) = 47,994 = donc n( p) 5 On peut donc utiliser l intervalle luctuation asymptotique au seuil de 95% b. Justifier que I = [,5 ;,67], les bornes ayant été arrondies à 4 près. Les bornes de l intervalle sont : p,96 p( p) n =,6,96,6, ,,5 p +,96 p( p) n =,6 +,96,6, , 698,67 I 47 = [,5 ;,67]. Peut-on considérer que pour la pratique de l ostéopathie par les médecins, cette région est représentative, privilégiée ou défavorisée par rapport à la situation en France métropolitaine? Justifier la réponse. La fréquence des ostéopathes chez les médecins dans cet échantillon (la région étudiée) est f : f = = 4 75, 489,5 f n appartient pas à I 47 donc on considère, avec un risque d erreur de 5% que l échantillon n est pas conforme à la population. De plus, la fréquence f est inférieure à la borne inférieure de I 47. On peut donc considérer, avec un risque d erreur de 5%, que cette région est défavorisée par rapport à la situation de la France métropolitaine.

4 Exercice. Suites (5 points) Une agence de presse a la charge de la publication d un journal hebdomadaire traitant des informations d une communauté de communes dans le but de mieux faire connaître les différents évènements qui s y déroulent. Un sondage prévoit un accueil favorable de ce journal dans la population. Une étude de marché estime à le nombre de journaux vendus lors du lancement du journal avec une progression des ventes de % chaque semaine pour les éditions suivantes. L agence souhaite dépasser les 4 journaux vendus par semaine. On modélise cette situation par une suite (u n ) où u n représente le nombre de journaux vendus n semaines après le début de l opération. On a donc u =.. Montrer que la suite (u n ) est une suite géométrique. Préciser sa raison. Chaque semaine, le nombre de journaux vendus doit progresser de %, c est-à-dire être multiplié par, ; donc la suite (u n ) est géométrique de raison b =, et de premier terme u =.. Donner, alors, pour tout entier naturel n,, l expression de u n en fonction de n. Donc, pour tout n, u n = u b n =, n.. Déterminer à partir de combien de semaines le nombre de journaux vendus sera supérieur à 5. Vous expliquerez votre démarche. Le nombre de journaux vendus sera supérieur à 5 quand u n > 5 ; on conjecture les solutions de l inéquation : u n > 5, à l aide de la table de valeurs de la calculatrice. De plus :, >, donc la suite (, n ) est croissante ; comme >, alors la suite (u n ) est croissante. Le nombre de journaux vendus sera donc supérieur à 5 à partir de semaines. 4. Voici un algorithme : a. Recopier et compléter cet algorithme. On obtient : u 49 u 5 VARIABLES : U est un réel N est un entier naturel INITIALISATION : U prend la valeur N prend la valeur TRAITEMENT : Tant que U 4 N prend la valeur N + U prend la valeur, U Fin du Tant que SORTIE : Afficher N b. Déterminer la valeur de N affichée par cet algorithme. La valeur de N affichée par cet algorithme est la première valeur pour laquelle U est supérieur à 4. Avec la calculatrice, on trouve : N = 6 c. Interpréter le résultat précédent. C est à partir de 6 semaines que le nombre de journaux vendus par semaine sera supérieur à On pose, pour tout entier n, S n = u + u + + u n a. Montrer que l on a : S n = 6 (, n + ). S n = +, + +, n = ( +, +, + +, n ),, donc S n =,n +, =, (,n + ) = 6 (, n + ) b. Déduire de la question précédente le nombre total de journaux vendus au bout de 5 semaines. Le résultat sera arrondi à l unité. Le nombre total de journaux vendus au bout de 5 semaines est S 5 c est-à-dire : S 5 = 6 (, 5 ) 8.

5 Exercice 4. Partie A Économie et fonction (5 points) On considère la fonction f définie sur [ ; 6] par : f (x) = ( x + x) e x.. On admet que la fonction f est dérivable sur l intervalle [ ; 6] et on note f sa fonction dérivée. Montrer que, pour tout x de [ ; 6],f (x) = ( x + x + ) e x. f = u v avec u(x) = x + x et v(x) = e x donc f ' = u ' v + u v ' u '(x) = 4 x + et v '(x) = e x d où f ' (x) = (4 x + ) e x + ( x + x)( e x ) = (4 x + x x) e x = ( x + x + ) e x. Étudier alors les variations sur [ ; 6]. e x > pour tout réel x, donc f ' (x) est du signe de ( x + x + ) Calcul du discriminant : Δ = b 4ac = 4 ( ) = 5 Δ > x = b Δ a = 5 4 = et x = b + Δ a = = a =, donc a est négatif. [ ; 6 ], d où le signe du polynôme et donc ' (x) : x Signe ' (x) + Variations 9 e,5 6 9 e 6 f () = f = + e = 9 e,5 f,8 f (6) = ( 6 + 6) e 6 = 9 e 6 f (6),. On admet que l équation f (x) = admet une unique solution, notée α, dans [ ; ]. a. Montrer que l équation f (x) = admet une unique solution, notée β, dans [ ; 6]. Sur l intervalle [ ; 6], la fonction f est continue et strictement décroissante ; De plus f et f (6),, donc est compris entre f et f (6), donc d après un corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l équation f (x) = admet une unique solution dans [ ; 6]. b. Donner un encadrement de α d amplitude ; faire de même pour β. Première méthode : à l aide de la table de valeurs de la calculatrice, on obtient : D une part : f (,9),998 et f (,4),88 donc,9 < <,4 D autre part : f (,6), et f (,6),998 donc,6 < <,6 Autre méthode : en utilisant le mode graph, puis G-Solve Isct On obtient ainsi :,9, donc,9 < <,4 et,66, donc,6 < <,6

6 Partie B Une société extrait du gravier pour la construction d autoroutes. Elle envisage l ouverture d un nouveau site d extraction. On admet qu au bout de x centaines de jours d exploitation, la production journalière sur ce site, en milliers de tonnes, est exprimée par f (x).. Déterminer au bout de combien de jours après l ouverture du site, la production journalière sera maximale. Quelle est cette production maximale? D après les variations de la fonction f étudiées dans la partie A, le maximum de la fonction est atteint pour x =,5, soit 5 jours après l ouverture du site. f = + e = 9 e,5,8 Cette production maximale est d environ 8 tonnes.. Déterminer au bout de combien de jours, après l ouverture du site, la production journalière, après avoir atteint son maximum, sera à nouveau inférieure à tonnes. On cherche donc x tel que x >,5 et f(x) <. On a montré que l équation f (x) = admet deux solutions dans [ ; 6], α et β, avec < et,6 < <,6. On en déduit le signe de la différence f (x) : x Variations Signe de f (x) f (x) < donc f (x) < < sur [ ; [ et sur ] ; 6]. La production journalière, après avoir atteint son maximum, sera à nouveau inférieure à tonnes, 6 jours après l ouverture du site. 9 e,5 6 9 e 6 +

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