Réseaux linéaires en régime sinusoïdal forcé

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1 Résaux lnéars n rég snusoïdal forcé Vdéoprojcton I Rég snusoïdal forcé ) Défnton Nous étudons l coportnt d un systè lnéar n présnc d un xctaton snusoïdal d pulsaton ω (génératur d tnson snusoïdal). Avc ls los d l élctrocnétqu ((=L(/, =c/, u=r, u=-r ) t ls éthods d analys d résau (vor chaptr précédnt ) on aboutt, par défnton d un crcut lnéar, à un équaton dfférntll à coffcnts constants avc scond br snusoïdal dont u( st soluton. Alors nous avons vu qu : u(=u h (+u P ( où u h ( st la soluton hoogèn d l équaton dfférntll sans scond br qu l on appllra rég transtor car l dsparaît rapdnt (apérodqu,psudo-pérodqu, ou crtqu..) u p ( st la soluton partculèr d l équaton dfférntll qu l on appllra rég prannt forcé t qu prr. Ell sra d la for u ( = U cos( ω t + ϕ) p Expl Nous nous ntérssons désoras unqunt au rég prannt snusoïdal forcé, l transtor étant dsparu. 2) Caractérstqus d un granr snusoïdal u( = U + ϕu ) ( = I + ϕ) u( t ( sont ls valurs nstantanés U t I sont ls apltuds ds sgnaux ϕ sont ls phass à l orgn ou déphasags. valur oynn < ut () >= ut () 0 T = 0 U valur ffcac Uff = < u²( > = 2 Rarqus : On chosr souvnt co référnc ds phass ϕu ou u = U + ϕu ( = I cos( ω ( / ) T où ϕu/ st l déphasag d u par rapport à ; ϕ

2 S ϕ u/ > 0 u st n avanc par rapport à Il faut n utlsr qu ds cosnus ou ds snus sachant qu sn( ωt+ ϕ) = + ϕ π / 2) S ut () = U + ϕ) + U0 U0 st alors la valur oynn (Offst t TP) sgnal. 3) Ls dpôls R,L,C n rég snusoïdal forcé U = RI Résstanc ut () = Rt () = U+ ϕu) = RI+ ϕ) ϕu = ϕ d U = Lω I Bobn ut () = L () t = U+ ϕu) = LI+ ϕ + π /2) ϕu = ϕ + π /2 Rarqus : La rlaton ntr ls apltuds dépnd d la pulsaton génératur t la tnson st n avanc d p/2 par rapport à l ntnsté. Condnsatur U = I /( Cω) t ( ) = C ( = I+ ϕ) = CU+ ϕu + π / 2) ϕu/ = π /2 Rarqus : La rlaton ntr ls apltuds dépnd d la pulsaton génératur t la tnson st n rtard d p/2 par rapport à l ntnsté. Quand on assoc plusurs d cs dpôls : U = If( ω, R, L, C) ϕu/ = g( ω, R, L, C) II Notaton coplx ) Introcton En rég snusoïdal, touts ls granrs rchrchés sont sous la for : u(=u cos(ωt+ϕ) où U (ω) t ϕ(ω) ls nconnus sont l apltud st l déphasag. On assoc à u un coplx dont u st la part réll : u(=u j(ωt+ϕ) =U jωt = U jϕ jωt Rarqus : U s appll l apltud coplx t sa détrnaton prt d n dér ls x nconnus : sa nor donn l apltud t sa phas l déphasag sgnal. D ê d la connassanc d u on tr nstantanént u( = R{u(}. Un coplx n a aucun sgnfcaton physqu, c st just un forals athéatqu. Intérét : ϕ ut () = U+ ϕ) U n d u n () t = ωu sn( ωt+ ϕ) = ωu = ( ω) u n u ut () ω Ls résaux lnéars qu donnnt ds équatons dfférntlls à coffcnts constants n notaton réll, donn ds équatons splnt lnéars n notaton coplx.

3 2) Expls t () = Ecos( ω, on chrch t = I ( ωt+ ϕ ) () cos On utls la éthod d la notaton coplx. t () = Ecos( ω = E ϕ t () = I + ϕ ) = jωt d jϕ jωt E L équaton = R+ L dvnt = R + jlω donc = = I = R + jlω R + jlω E E ϕ = arg = arg{ E} arg{ R+ jlω} I = t R+ jlω d où on put dér R² + L² ω² = 0+ arg{ R jlω} cos ϕ,snϕ t tanϕ E Lω Fnalnt : t () = cos ωt+ atn R² L² ω² R + t () = Ecos( ω, on chrch u () t = Uc+ ϕ ) On utls la éthod d la notaton coplx. t () = Ecos( ω = E ϕ uc() t = Uc+ ϕ) uc = Uc L équaton = RC + u dvnt = RjCωu+ udonc jωt jϕ jωt E u = = Uc = jrcω+ jrcω+ d où E Uc = ( RCω)² + t E arg ϕ = = 0 + arg RjCω + E c { RjCω} Fnalnt : ut () = cos ωt + atn( RCω) ( RCω)² + d où on put dér cos ϕ,snϕ t tanϕ d où 3) Ipédanc coplx a- Défnton Sot un dpôl coprnant x borns, on étud l coupl (, u( n rég snusoïdal forcé. ϕu ut () = U+ ϕu) U ϕ t () = I + ϕ ) = u U Z = = I ( ϕu ϕ) C st l pédanc coplx dpôl, ll l caractérs coplètnt n rég snusoïdal U. Z = t ϕz = ϕu ϕ I Proprétés : Z st l pédanc dpôl. atanc coplx Z

4 Z = R+ X où R st la part résstanc dpôl t X la part réactanc. b- Expls Résstanc ut () = U+ ϕu) U ϕ t () = I + ϕ ) = Proprétés : On rtrouv ϕu La rlaton u U = Z I = RI ϕu = ϕ + arg{ Z} = ϕ résstanc st purnt réll, ll n ntrot pas d déphasag. = R dvnt u = R donc Z = R t l pédanc coplx d un Bobn La rlaton d u = L dvnt u = ( jlω) donc Z = jlω Proprétés : On rtrouv U = Z I = Lω I ϕu = ϕ + arg{ Z} = ϕ + π / 2 L pédanc d un bobn tnd vrs 0 lorsqu ω tnd vrs 0 c qu s ntrprèt co un ntrruptur fré n rég contnu prannt. L pédanc d un bobn tnd vrs l nfn lorsqu ω tnd vrs l nfn c qu s ntrprèt co un ntrruptur ouvrt n rég d très grand fréqunc. Condnsatur La rlaton C = dvnt Proprétés : On rtrouv u = donc Z = jcω jcω U = Z I = I /( Cω) ϕu = ϕ + arg{ Z} = ϕ π / 2 L pédanc d un condnsatur tnd vrs l nfn lorsqu ω tnd vrs 0 c qu s ntrprèt co un ntrruptur ouvrt n rég contnu prannt. L pédanc d un bobn tnd vrs 0 lorsqu ω tnd vrs l nfn c qu s ntrprèt co un ntrruptur fré n rég d très grand fréqunc. c- Assocatons d pédancs Sér Parallèl

5 III Résaux lnéars n rég snusoïdal forcé IV L crcut RLC sér n rég snusoïdal forcé ) Etud d la résonanc n ntnsté a- Ms n équaton b- Mol t phas d I c- Etud d la résonanc d- Etud déphasag 2) Etud d la tnson aux borns condnsatur a- Exprsson d u c b- Etud d u c c- Etud déphasag