SUR LE SPECTRE D UN OPÉRATEUR QUASILINÉAIRE

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1 Proyecciones Vol. 19, N o 3, pp , December Universidad Católica del Norte Antofagasta - Chile SUR LE SPECTRE D UN OPÉRATEUR QUASILINÉAIRE ELLIPTIQUE DÉGÉNÉRÉ A. ANANE, A. BENAZZI and O. CHAKRONE UNIVERSITÉ MOHAMED I, MAROC Abstract We study an eigenvalue problem involving an operator A 0 p that generalizes the pseudo-laplacian 0 p and the p-laplacian. In particular, we will prove the isolation and simplicity of the first eigenvalue. We will treat with more details the particular case of 0 p on a domaine which is a cube.

2 228 A. Anane, A. Benazzi and O. Chakrone 1. Introduction Nous nous intéressons à l étude des valeurs propres λ et des fonctions propres associées u solutions du problème : (V P ) A0 pu = i,k,l=1 x 1 r,s=1 = λm (x) u p 2 u dans u = 0 sur a i rs (x) u u x r x s p 2 2 a i k (x) u x k où est un domaine borné de R N, 1 < p <, m est une fonction poids et les akl i L () sont des fonctions données. L opérateur A 0 p est une généralisation du p-laplacien p et du pseudo-laplacien 0 pu = u p 2 u x i x i x i Nous montrons l existence d une suite de valeurs propres qui tend vers l infini, l isolation et la simplicité de la première valeur propre. Des travaux analogues ont été fait par Anane [1] pour l opérateur p en 1987 contrairement au pseudo-laplacien qui n a jamais fait l objet d une telle étude en particulier, et l opérateur A 0 p de manière générale. Signalons également l amélioration apportée par Linqdvist sur le domaine pour l étude de la simplicité de la première valeur propre de p. 2. Préliminaires 2.1. Définition de l opérateur A 0 p Nous définissons l opérateur A 0 p sur W 1,p 0 () par : p 2 Apu 0 = a i x rs(x) u 2 u a i l x r x k(x) u s x k i,k,l=1 r,s=1

3 Sur le Spectre d un Opérateur Quasilinéaire où les a i kl sont des fonctions L () telles que : a i kl(x) = a i lk(x), pour i, k, l = 1,..., N de sorte que pour i = 1,..., N la forme bilinéaire a i (ξ, ξ ) = a i kl(x)ξ k.ξ l, ξ, ξ R k,l soit symétrique. Il est clair que l opérateur A 0 p est bien défini sur W 1,p 0 () à valeurs dans W 1,p (). Nous supposons dans toute la suite que pour tout i = 1,..., N a i (ξ, ξ) ξ i 2, pour tout ξ R N où ξ i est la ième composante de ξ. Nous noterons pour tout i = 1,..., N, a i kl(x) := a i kl et a i (ξ, ξ) := ξ 2 i.. i est une semi-norme sur R N ainsi pour tout u et tout v dans W 1,p () A 0 pu, v = i,k,l=1 u p 2 i a i kl u v dx x k x l Quand a i kl = δ i,k,l A 0 p = 0 p, quand a i kl = 1 N δ k,l A 0 p = p, et quand a i kl = 1 N a kl A 0 p = A p, δ réfère au symbole de Kronecker. Remarque 1. Nous pouvons facilement vérifier que [ ( A 0 pu, v ) ( 1/p 1/p = u p i dx) ] est une norme équivalente à la norme W 1,p 0 (). Nous noterons cette norme par. Ap et que (W 1,p 0 (),. ) est convexe uniformément.

4 230 A. Anane, A. Benazzi and O. Chakrone 2.2. Propriétés élémentaires de A 0 p i) L opérateur A 0 p est un homéomorphisme de W 1,p 0 () sur W 1,p (). ii) A 0 p est strictement monotone dans le sens suivant : Pour u v W 1,p 0 (), A 0 pu A 0 pv, u v est strictement positif. iii) A 0 p est coercif dans le sens suivant : A 0 lim pu, u = + u Ap + u Ap La démonstration de ces résultats est une adaptation des méthodes utilisées pour le traitement des opérateurs variationnels (cf. [5] iv) Considérons la fonctionnelle suivante : A p : W 1,p 0 () R définie par A p (u) = 1 u p i dx p Alors A 0 p(u) n est autre que la dérivée au sens de Fréchet de A p. donc A 0 p dérive d un potentiel. A p(u) = A 0 p(u) 3. Existence d une suite de valeurs propres qui tend vers l infini Dans cette section nous montrons qu il existe une suite de valeurs propres qui tend vers l infini par la méthode de Ljusternik-Schnirelman et en utilisant le théorème fondamental de multiplicité Préliminaires Définissons la fonctionnelle Φ de la manière suivante : Φ(u) = [A p (u)] 2 B(u)

5 Sur le Spectre d un Opérateur Quasilinéaire où B(u) = 1 p m u p dx Il est clair que A p et B sont de classe C 1 sur W 1,p 0 (). Leurs dérivées respectives en un point u W 1,p 0 () sont et A p(u) = A 0 p(u) B (u) = m u p 2 u et Φ est paire et de classe C 1 sur W 1,p 0 (). Nous supposons que (3.1) mes ({x ; m(x) > 0}) 0 Et nous nous intéressons aux solutions faibles du problème (V.P.) défini par : (V.P.) (λ, u) R + W 1,p 0 () Ni,k,l=1 u p 2 0 a i kl(x) u v x k x l dx = λ m u p 2 uv dx pour tout v appartenant à W 1,p 0 () Definition 1. Nous dirons que λ est une valeur propre, s il existe une fonction u non nulle de W 1,p 0 () telle que le couple (λ, u) soit une solution de (V. P.). u sera dite une fonction propre associée à la valeur propre λ Existence d une suite de valeurs propres qui tend vers l infini Sous l hypothèse 3.1, nous montrons qu il existe une suite de valeurs propres qui tend vers l infini. La démonstration est analogue à celle donnée par Anane dans [1]. Nous transformons le problème aux valeurs propres et fonctions propres en un problème aux points critiques et valeurs critiques. Nous vérifions facilement que si u 0 est un point critique de φ et c est la valeur critique associée, alors λ = 1 2 est une valeur propre c et u est une fonction propre associée du problème (V.P.) et vice-versa.

6 232 A. Anane, A. Benazzi and O. Chakrone Maintenant, montrons l existence de ces points critiques. Pour cela posons (3.2) c k = inf max Φ(v) K A k v K où A k = { K compact symétrique de W 1,p 0 () \ {0}; δ(k) k } k 1 δ étant le genre de Krasnosel skii. Lemme 1. Pour n 1, c n défini par 2 est une valeur critique de Φ, de plus nous avons < inf Φ = c 1 c 2... c n < 0 = Φ(0) = 0 W 1,p 0 () Preuve. La suite (A k ) k 1 est décroissante donc c 1 c 2 c k c n Φ est paire, de classe C 1. Pour démontrer ce lemme, nous allons appliquer le théorème fondamental de multiplicité. Il suffit donc que Φ vérifie les conditions suivantes : 1. Φ est minorée. 2. Φ vérifie la condition de Palais-Smale. 3. Pour tout k 1, il existe un compact K symétrique de W 1,p 0 () tel que δ (K) = k et sup Φ (v) < 0 k Verification 1. Nous avons pb(u) = m u p dx m u p dx c 1 m N u p i dx c 2 m u p dx c 2 m pa p (u) où c 1 et c 2 sont des constantes.

7 Sur le Spectre d un Opérateur Quasilinéaire Ceci grâce à l inégalité de Sobolev et le fait que la norme. Ap est équivalente à la norme. 1,p sur W 1,p 0 (). Nous avons pφ (u) = (A p (u)) 2 pb(v) p(a p (u)) 2 c 3 m A p (u) d où (A p (u) 2 ) B(v) A p (u) [A p (u) 1p c 3 m ] or A p est coercive et minorée et il en est de même pour Φ, donc inf Φ(u) > W 1,p 0 () 2. Condition (P. S.) Soit (u n ) n une suite dans W 1,p 0 () telle que Φ(u n ) est bornée et Φ (u n ) 0 dans W 1,p (). (u n ) n est bornée car Φ est coercive (voir 1.). Donc, il existe une sous suite notée aussi (u n ) n qui converge faiblement vers u dans W 1,p 0 (). Donc fortement dans L p () et u n Ap converge vers l 0. Si l = 0, i.e. u n 0 dans W 1,p 0 (), (P.S.) est satisfaite. Si l > 0, il existe n 0 tel que u n Ap 0 pour n n 0. Φ (u n ) = 2A p (u)a p (u) B (u n ) A (u n ) = p Φ (u n )+m u n p 1 u n 2 A 0 p(u n ) = p 2 u A p Φ (u n )+m u n p 2 u n u A p d où u n = (A 0 p) 1 Φ (u n) + m u n p 2 u n u Ap or p Φ (u n ) + m u n p 2 u n converge fortement dans W 1,p (). La 2 u Ap réciproque (A 0 p) 1 étant continue. Donc u n converge fortement vers u dans W 1,p 0 (). 3. Soit n un entier tel que n 1 et soient u 1,..., u n n fonctions définies sur telles que : supp(u i ) supp(u j ) =

8 234 A. Anane, A. Benazzi and O. Chakrone et m u i p dx > 0 pour tout i {1,..., n} u i peut être obtenue par approximation dans L 2 () de la fonction caractéristique de l ensemble B i {x ; m(x) > 0} où (B i ) 1 i n sont des boules de disjointes deux à deux et telles que : mes (B i {x ; m(x) > 0}) = 0 Nous normaliserons les fonctions u i de sorte que B(u i ) = 1. Soit F n le sous espace de W 1,p 0 () engendré par les fonctions u i. Pour tout v F n, v = n α i u i n n B(v) = α i B(u i ) = α i p Ainsi l application v (B(v)) 1/p est une norme sur F n. Comme F n est un espace de dimension finie et que toutes les normes sont équivalentes sur un espace de dimension finie, il existe c tel que Soit le compact ca p (v) B(v) 1 c A p(v) pour tout v F n K = {v F n ; c 2 4 Montrons que sup v K Φ(v) < 0 : Soit v K, nous avons Soit f: B(v) c2 3 } Φ(v) = (A p (v)) 2 B(v) 1 c 2 (B(v))2 B(v) [ ] [ c2 4, c2 3 R définie par f(t) = t2 c 2 t

9 Sur le Spectre d un Opérateur Quasilinéaire donc et par suite f (t) = 2t c 2 1 f (t) = 0 t = c2 2 [ ] c 2 donc sur 4, c2 f est décroissante. Comme 3 ( ) c 2 f(t) f = 3c Il s en suit que pour tout v K Φ(v) f(t) 3c2 4 < 0 D autre part, comme F n est isomorphe à R n, nous identifions K à une couronne K de R n telle que S n 1 K R n \ {0} où S n 1 est la sphère unité de R n. Nous avons alors δ(k) = n d où le lemme. Lemme 2. Nous avons lim n c n = 0 où c n est défini par 2. Preuve. Nous montrons que pour tout ε il existe n ε 1 tel que pour tout k A nε avec k E sup Φ(v) ε v k où E = { v W 1,p 0 (); Φ(v) 0 } Nous aurons le résultat car Φ est coercive et E est borné dans W 1,p 0 () et en utilisant le fait que I: W 1,p 0 () L p () est compacte, I est l injection canonique. Nous avons pour tout η > 0, il existe un espace F η de L p () de dimension finie et une application I η : E F η continue et telle que sup v I η (v) p η v E

10 236 A. Anane, A. Benazzi and O. Chakrone Posons Ĩ η (v) = 1 2 (I η(v) I η ( v)) Nous vérifions facilement que pour tout v E, Ĩη: E F η est bien définie (car E est symétrique) impaire continue et satisfait sup v I η (v) p η v E Étant donné maintenant ε > 0 puisque E est relativement compacte dans L p (), il résulte de cette dernière inégalité qu il existe n ε > 0 tel que: B(v) B(Ĩη ε (v) < ε 2 pour tout v E. Soit δ ε > 0 tel que B(v) ε 2 pour v x p δ ε. Donc pour tout v E avec Nous avons Ĩη(v) p δ ε B(v) B(v) B(Ĩη ε (v)) p + B(Ĩη ε (v)) < ε Ce qui implique que pour tout compact symétrique k avec Nous avons k E { v W 1,p 0 (); B(v) ε } Ĩ ηε (k) {v F ηε ; v p δ ε } puisque Ĩη ε (k) est symétrique et compact dans L p (), il découle de cette dernière inclusion que δ 0 (Ĩη ε (k)) dim(f ηε ) où δ 0 est le genre dans L p () d une partie compacte symétrique K L p (). Finalement, puisque l applications Ĩη ε est impaire et continue, il résulte de la définition de δ et δ 0 que δ(k) δ 0 (Ĩη ε (k)) dim(f ηε )

11 Sur le Spectre d un Opérateur Quasilinéaire où δ 0 est le genre dans L p () d une partie compacte symétrique K L p (). Finalement, puisque l applications Ĩη ε est impaire et continue, il résulte de la définition de δ et δ 0 que δ(k) δ 0 (Ĩη ε (k)) dim(f ηε ) Donc pour tout compact symétrique K E tel que Il existe v 0 k tel que δ(k) dim(f ηε ) + 1 inf v k B(v) B(v 0) < ε et par suite, puisque Φ(v) B(v) nous avons sup Φ(v) inf B(v) > ε v k v k d où le résultat. Théorème 3. Le problème (V. P.) admet une infinité de valeurs propres positives (λ n ) telle que Preuve. Nous avons λ n = le résultat. Remarque 2. lim λ n = + n 1 2 c n, d après le lemme précédent nous avons 1. Si nous remplaçons m par m dans (V.P.) et que m satisfait mes ({x ; m(x) > 0}) 0 le problème (V.P.) admet une suite (λ n ) n de valeurs propres négatives, avec lim n λ n =.

12 238 A. Anane, A. Benazzi and O. Chakrone 2. Soit (λ n ) n la suite de valeurs propres donnée par le théorème précédent, c-à-d λ n = 1/2 c n où c n est défini par (2). Nous avons [4]. En particulier λ n = inf k A n (sup {A p (v); v k et B(v) = 1}) λ 1 = inf { A p (v); v W 1,p 0 () et B(v) = 1 } où λ 1 est la première valeur propre de (V.P.). Elle correspond à la valeur critique c 1. En effet, soit λ 0 une valeur propre et soit u une fonction propre associée à λ telle que B(u) = 1. Donc u vérifie en particulier A p (u) λb(u) = 0 donc λ = A p (u), or A p (u) > 0 car u 0 donc λ > 0 (en particulier λ 1 > 0) donc λ λ 1 par définition de λ Simplicité de la première valeur propre Dans cette section, nous montrons que la première valeur propre λ 1 est simple et que toute fonction propre associée à λ 1 garde un signe constant. Théorème 4. On a : i) λ 1 est une valeur propre du problème (V.P.). ii) u 0 est une fonction propre associée à λ 1 si et seulement si : A p (u) λ 1 B(u) = 0 = inf (A p (v) λ 1 B(v) v W 1,p 0 () iii) Toute fonction propre associée à λ 1 (c-à-d u > 0 ou bien u < 0 dans.) garde un signe constant.

13 Sur le Spectre d un Opérateur Quasilinéaire Preuve. L assertion i) est déjà établie (Voir au dessus). Pour ii), puisque A p est f.s.c. et coercive, B est faiblement continue dans W 1,p 0 (), l infimum dans la définition de λ 1 est atteint par un élément u 0. En tenant compte de la p-homogéinité de A p et B et de la définition de λ 1 nous avons : donc A p (u) λ 1 B(u) = 0 = inf (A p (v) λ 1 B (v)) v W 1,p 0 () A p(u) = λ 1 B (u) et par suite u est une fonction propre associée à λ 1. iii) Soit u une fonction propre associée à λ 1. Nous avons par définition u + 0 ou u 0. Supposons u Posons v = u + dans (V.P.), nous obtenons A p (u + ) λ 1 B(u + ) = 0 donc d après (3) u + est une fonction propre, d après le principe du maximum [3] u + > 0 sur et par suite u + = u. Théorème 5. Supposons que l hypothèse de régularité. (4.1) Toute solution du problème (VP) est de classe C 1 () est satisfaite, alors : λ 1 est une valeur propre simple de Ap. 0 c-à-d si u et v sont deux fonctions propres associées à λ 1 alors il existe un réel α tel que u = αv Preuve. Soient u et v deux fonctions propres positives associées à λ 1. Nous avons u > et v > 0 (Voir principe du maximum plus haut). De même u < + et v < + (Voir estimation L au chapitre 1). Soit ε > 0, posons u ε = u + ε v ε = v + ε η(u, v) = (u + ε)p (v + ε) p (u + ε) p 1

14 240 A. Anane, A. Benazzi and O. Chakrone et donc η(v, u) = (v + ε)p (u + ε) p (v + ε) p 1 Lemme 6. La fonction η(u, v) est à valeurs dans W 1,p 0 (). Preuve. Soient (u n ) n et (v n ) n deux suites dans C0 telles que : u n u et v n v pour la norme de W 1,p 0 () n 0 u n, v n M < + η n = (u n + ε) p (v n + ε) p (u n + ε) p 1 W 1,p 0 () La suite ( η n 1,p ) n est bornée dans W 1,p 0 (), donc une sous suite notée aussi (η n ) n converge faiblement vers ω dans W 1,p 0 (), donc fortement dans L p () et presque partout vers ω dans. D autre part (η n ) n converge presque partout vers η dans, donc ω = η et par suite η W 1,p 0 (). Suite de la preuve du théorème : Les couples (λ 1, u) et (λ 1, v) sont solutions du problème (V.P.), donc en particulier ils vérifient : et Nous avons donc u p 2 i a i ( u, η(u, v)) dx = λ 1 m(x)u p 1 η(u, v) dx v p 2 i a i ( v, η(v, u)) dx = λ 1 m(x)v p 1 η(v, u) dx η(u, v) = η(u, v) = up ε v p ε u p ε 1 { 1 + (p 1) ( vε = u ε u ε ( ) vε p 1 vε u ε ) p } u ε p ( vε u ε ) p 1 vε

15 Sur le Spectre d un Opérateur Quasilinéaire De même Nous avons η(v, u) = { 1 + (p 1) ( uε v ε ) p } v ε p u ε = u et v ε = v ( uε v ε ) p 1 uε d où N u p 2 i a i ( u, [ 1 + (p 1) ( ) p ] [ v ε uε u ε +a i u, p ( ) ] p 2 v ε vε u ε dx = [ N u p 2 i 1 + (p 1) ( ) pai ) ] p 2ai v ε u ε ( u, u) p v ε u ε ( u, v) dx = [ N u p 2 i 1 + (p 1) ( ) p ) v ε u ε p v ε p 2 u ] p 2 u ε i a i ( u, v) dx = λ 1 mup 1 η(u, v) dx car pour i = 1,..., N, a i ( u, u) = u 2 i. Donc u p 2 i =λ 1 mup 1 η(u, v) dx [ 1 + (p 1) ( v ε u ε ) p p v ε ) p 2 u p 2 i u ε ] a i ( u, v) dx De même, nous avons [ v p 2 i 1 + (p 1) ( u ) ε p u ε p v ε =λ 1 mvp 1 η(v, u) dx ) p 2 v p 2 i v ε ] a i ( v, u) dx Et par suite en faisant la somme de ces deux dernières équations, nous obtenons ( { 1 + (p 1) ( v ) } ε p u p 2 i (p 1) ( ) v ) ε p u p i dx u ε u ε [ 1 + (p 1) ( v ) ( ) ] ε p 1 u p 2 uε i ( u, v) + p dx u ε v [ ε ( ) ] u p 1 ( ) v p 1 = λ 1 m u + ε v + ε

16 242 A. Anane, A. Benazzi and O. Chakrone Posons Nous avons I ε = m λ 1 I ε (x) = N up ε [ ( ) ] u p 1 ( ) v p 1.(u p ε vε p u + ε v + ε log u ε = 1 u ε u ε = 1 u ε u [ log uε p i log v ε p i p log v ε p 2 i a i ( log u ε, u ε log v ε ] dx+ N vp ε [ log vε p i log u ε p i p log u ε p 2 ] i a i ( log v ε, v ε log u ε dx pour la suite de la démonstration, nous avons besoin du lemme suivant Lemme 7. Pour tout ξ 1, ξ 2 N et pour presque tout x, nous avons : Si p 2 ξ 2 p i ξ 1 p i + p ξ 1 p 2 i a i (ξ 1, (ξ 2 ξ 1 )) + C(p) ξ 2 ξ 1 i 2 ( 2 p 1 1 ) 2 p et si 1 < p < 2 ξ 2 p i ξ 1 p i + p ξ 1 p 2 i a i (ξ 1, (ξ 2 ξ 1 )) + C(p) ξ 2 ξ 1 2 i ( ξ1 i ξ 2 i ) 2 p où C(p) > 0 ne dépend pas de ξ 1, ξ 2, x et N. Proof. [Preuve du lemme] Pour la démonstration de ce lemme, voir [5]. Suite de la démonstration du théorème D après le lemme précédent, nous avons pour p 2 (4.2) λ 1 I ε (m) C(p) et pour tout 1 < p < 2 (4.3) λ 1 I ε (m) C(p) (u p ε + v p ε (2 p 1 1). log u ε log v ε p i dx (u p ε + v p ε) log u ε log v ε i ( log uε log v ε i ) p 2 dx

17 Sur le Spectre d un Opérateur Quasilinéaire Puisque log u ε = 1 u ɛ u et log v ε = 1 v ɛ v Alors pour p 2, nous avons C(p) N λ 1 I ε (m) ( 2 p 1 1 ) [ ] 1 (u + 1) + 1. u p (v + 1) p ε v v ε u dx 0 (4.4) et pour 1 < p < 2 nous avons (4.5) λ 1 I ε (m) C(p) (u ε.v ε )(u p ε + v p ε) v ε u u ε v 2 i (v ε u ε i + u ε v ε i + 1) 2 p dx 0 Comme les suites (u ε ) et (v ε ) convergent uniformément vers u et v quand ε 0 et par application du lemme de Fatou nous obtenons : Pour p 2 λ 1 lim ε 0 I ε 1 2 p 1 1 [ ] 1 (u + 1) + 1. p (v + 1) p (4.6) u v v u p i 0 et pour 1 < p < 2 (4.7) λ 1 lim I ε C(p) ε 0 Montrons que Nous avons I ε (m) = mu p 1 u ε dx + u.v(u p + v p ) u v v u 2 i dx 0 (v u i + u v i + 1) 2 p lim I ε(m) = 0 ε 0 mv p 1 v ε dx ( ) v p 1 m.u ε uε dx vε m ( u u ε.v ε ) p 1 vε dxp uisquem L (), grâce au théorème de la convergence dominée nous obtenons lim I ε(m) = 0 ε 0

18 244 A. Anane, A. Benazzi and O. Chakrone et d après (4.6) et (4.7) nous avons v u u v i = 0, et puisque u v L (d après le principe du maximum), nous avons ( ) u = 0, donc il existe k > 0 tel que v u = kv d où le résultat. 5. Isolation de la première valeur propre Nous montrerons d abord que toute fonction propre associée à une valeur propre positive autre que la première valeur propre change de signe. Ensuite, nous montrerons que λ 1 est isolée. Théorème 8. Si v est une fonction propre associée à une valeur propre λ > 0 telle que λ λ 1 alors v change de signe, c-à-d v + 0 et v 0 dans, de plus nous avons (5.1) où min { mes ( + ), mes ( ) } (λ m C p ) σ + = { x ; v(x) > 0 } = { x ; v(x) < 0 } et C est une constante indépendante de v et de λ, et σ = N/p si p < N et σ = 2 si p N. Proof. [Preuve] Soit u une fonction propre associée à λ 1 telle que u p i = 1 Supposons qu il existe une valeur propre λ > 0 telle que λ λ 1 ayant une fonction propre v 0 vérifiant v p i = 1

19 Sur le Spectre d un Opérateur Quasilinéaire En particulier nous avons (5.2) et (5.3) avec u i a i ( u, η(u, v)) dx = λ 1 mu p 1 η(u, v) dx v i a i ( v, η(v, u)) dx = λ 1 mv p 1 η(v, u) dx η(u, v) = (u + ε)p (v + ε) p et η(v, u) = (v + ε)p (u + ε) p (u + ε) p 1 (v + ε) p 1 La somme de (5.2) et de (5.3) nous donne ( ) p 1 ( ) ] p 1 J ε = m [λ 1 λ (uε uuε vvε p vε) p dx 0 et Il s en suit que : lim J ε(m) = (λ 1 λ) m(u p v p ) dx 0 ε 0 ω ( 1 (λ 1 λ) u p i dx 1 ) v p i dx 0 λ 1 λ donc ( 1 (λ 1 λ) 1 ) 0 λ1 λ donc λ = λ 1, ce qui est absurde. Donc v change de signe. Montrons maintenant l estimation (5.1). pour cela nous remplaçons dans (V.P.), v par v +, puis par v. L inégalité de Hölder nous donne v + p = λ m v + p dx λ v + p p ((+ )) 1 p/p Puis par l inégalité de Sobolev v + 1,p v + 1,p

20 246 A. Anane, A. Benazzi and O. Chakrone et en utilisant le fait que ( + ) = 0 car v + 0, nous obtenons mes( + ) (λ m C p ) σ De même pour v. Ce qui nous donne l estimation (5.1). Théorème 9. La valeur propre λ 1 est isolée, c-à-d λ 1 est l unique valeur propre du problème (V.P.) dans un certain intervalle [0, a] où a > λ 1. Proof. [Preuve] Soit (λ, u) une solution du problème (VP). Il est clair que si λ = 0, λ n est pas une valeur propre. Par définition de λ 1, nous avons v p A p λ 1 m v p dx D autre part, nous avons v p A p = λ d où λ 1 λ m v p dx donc λ 1 est isolée à gauche. Supposons maintenant qu il existe une suite (λ n ) n, (λ n λ 1 ) de valeurs propres qui converge vers λ 1. Soit u n la fonction propre associée à λ n telle que u n 1,p = 1 pour tout n. Pour une sous suite encore notée (u n ) n, (u n ) n converge faiblement dans vers une fonction u W 1,p 0. Comme: u n = (Ap) 0 1 (λn m(x) u n p 2 u n ) et puisque (λ n m(x) u n p 2 u n ) converge fortement dans L p () donc ) 1 dans W 1,p () et (Ap 0 : W 1,p W 1,p 0 est continue. Donc (u n ) n converge fortement dans W 1,p 0 vers u avec u une fonction propre de norme 1 associée à λ 1, puisque u garde un signe constant (Voir précédent.), supposons u > 0 par exemple. Soit ε > 0 u étant strictement positive, donc il existe un réel η ε > 0 et un ensemble ε avec mes( \ ε ) ε et u(x) 2η 2 ε

21 Sur le Spectre d un Opérateur Quasilinéaire pour tout x ε. et comme (u n ) n converge presque partout dans vers u, par le théorème d Egorov, nous avons la suite (u n ) n qui converge fortement vers u uniformément à l extérieur d un ensemble de mesure arbitrairement petite, donc il existe un entier N ε et un ensemble mesurable ε avec mes( \ ε) ε 2 tels que u n (x) u(x) η ε Pour tout x ε et η N ε nous avons u n (x) η ε > 0 pour tout x ε ε et n N ε, en particulier pour tout n N ε, nous avons mes ({ x ; u n (x) > 0 }) mes( ε ε) mes() ε or d après l estimation (5.1) mes ({ x ; u n (x) > 0 }) ( m C p sup(λ n )) σ Si nous prenons ε = 1 2 (εp m ) σ nous aboutissons à une contradiction.

22 248 A. Anane, A. Benazzi and O. Chakrone References [1] A. Anane Étude des valeurs propres et de la croissance pour l opérateur p-laplacien, Thèse de doctorat, Université Libre de Bruxelles, [2] H. Brezis et F. Browder, Sur une propriété des espaces de Sobolev, C.R.A.S. Paris, 287, , [3] A. Benazzi, Thèse d état, Université Mohamed I, Oujda, en préparation. [4] O. Chakrone, Spectre d ordre supérieur dans des problèmes aux limites quasilinéaires, et sur un théorème de points critique et application à un problème de non-résonance entre deux valeurs propres du p-laplacien, Thèse d état, Université Mohamed I, Oujda, [5] P. Lindqvist, On the equation div ( u p 2 u)+λu p 2 u = 0 Prog. A.M.S., 1, 109, 1960 Received : March, A. Anane and O. Chakrone Département de mathématiques Faculté des sciences Université Mohamed I Oujda - Maroc anane@sciences.univ-oujda.ac.ma A. Benazzi Département génie électrique École supérieure de technologie Oujda - Maroc benazzi@est.univ-oujda.ac.ma