OSCILLATIONS LIBRES DE SYSTEMES A UN DEGRE DE LIBERTE

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1 8 SCITINS IBRES DE SYSTEES UN DEGRE DE IBERTE Exercice1: ssocition de ressorts Clculer l fréquence des oscilltions pour chcun des systèes suivnts: Exercice 2 : scillteur électrique Un circuit électrique est constitué d'une self (de résistnce supposée négligeble) et d'un condensteur de cpcité C. cpcité possède une chrge Q. l'instnt initil., l'interrupteur K est feré puis le systèe oscille libreent (voir figure). 1) Ecrire l'éqution qui régit les vritions de l chrge q du condensteur u cours du teps. 2) Résoudre cette éqution et déteriner l période de cet oscillteur. Effectuer l'ppliction nuérique pour =0.5H, C=0.5µF.et Q=0.5µC. 3) Clculer l'énergie du condensteur, celle de l self et l'énergie totle du circuit. Que rerque-t-on? 4) Fire l'nlogie vec une sse ccrochée à un ressort. +q -q K C i Exercice 3: Corde plobée Une sse ponctuelle glisse sns frotteent sur une tble horizontle. Elle est fixée à deux bâtis fixes pr deux cordes de sse négligeble tendues horizontleent. En supposnt que l tension T des cordes reste constnte lors du ouveent, clculer l période des oscilltions pour de fibles plitudes du ouveent dns l direction x. Exercice 4 : scilltions d'un iceberg Un iceberg de sse voluique ρ', ssiilble à un prllélépipède régulier et hoogène de sse flotte sur de l'eu de sse voluique constnte ρ. S surfce de bse est S et s huteur est. n rppelle que l poussée d'rchiède qui s'exerce sur un.c. Chi, H. Djelouh, S. Kessl, U.S.T.H.B x /2 /2 ρ' ρ

2 r r objet iergé est: P = ρ Vg 9 où V est le volue iergé et g l'ccélértion de l pesnteur. 1) Clculer, à l'équilibre, le volue iergé de l'iceberg en fonction de son volue totl. sse voluique de l glce est ρ'=900 g/ 3 ; celle de l'eu est ρ = 1000g/ 3. 2) 'iceberg est écrté d'une distnce verticle h pr rpport à s position d'équilibre. Clculer l période de ses oscilltions qund les frotteents sont considérés coe négligebles. Fire l'ppliction nuérique pour =150, h=2, g=9.8/s 2. Exercice 5 : Pendule de torsion Une tige d'cier de constnte de torsion C est soudée pr son extréité u centre d'un disque hoogène de sse et de ryon R. 'utre extréité est encstrée dns un bâti fixe. Une sse est soudée u point le plus bs du disque. n tourne le disque d'un ngle φ 0 et on le lâche sns vitesse initile. Déteriner l'expression en fonction du teps de l'ngle φ(t) d'écrt du systèe pr rpport à s position d'équilibre. n néglige l flexion de l tige d'cier. φ,r C Exercice 6 : étronoe Un étronoe est schétisé sur l figure ci-contre. sse est soudée à l'extréité de l tige. position de l sse sur l tige peut être réglée. tige est supposée de sse négligeble; elle est obile sns frotteents utour de. sse étnt en bs, on l'écrte d'un ngle 0 petit et on l'bndonne sns vitesse initile. 1) Quelle(s) condition(s) doit stisfire le systèe pour qu'il puisse osciller? 2) Déteriner l'expression de l période pour des oscilltions de fibles plitudes. 3).N.: Schnt que = 80g, = 20g et =4c, déteriner l distnce l pour que l période du étronoe soit égle à 2 s. 4) n veut ugenter l période d'oscilltion du étronoe. Fut-il rpprocher ou éloigner l sse du point? Exercice 7 : Dns les figures ci-dessous, une tige hoogène de sse et de longueur oscille sns frotteent, dns un pln verticl, utour d'un xe fixe perpendiculire u pln du ouveent en. l y x.c. Chi, H. Djelouh, S. Kessl, U.S.T.H.B

3 10 () (b) (c) 1) Quelle est l défortion du ressort à l'équilibre, schnt qu'à cette position =0? 2) Etblir l'éqution différentielle du ouveent dns le cs des ouveents de fibles plitudes. 3) quelle condition le systèe de l figure (b) peut-il osciller? Quelle est l nture du ouveent lorsque cette condition n'est ps stisfite? 4) Expliquer pourquoi l période des oscilltions est indépendnte de g dns le cs de l figure (c). 5) Clculer l'effort ppliqué sur le ur u point. Exercice 8 : n considère le dispositif schétisé sur l figure ci-contre. Un disque hoogène,r de sse et de ryon R est ttché pr son '.. xe à l'extréité d'un ressort de rideur. y Une tige rigide, de longueur l, de sse négligeble, est solidire du disque qui peut l rouler sns glisser sur un pln horizontl. φ Déteriner l pulstion propre du systèe. Schnt qu'à t=0, l tige est écrtée d'un ngle petit φ 0 pr rpport à l verticle et lâchée sns vitesse initile, déteriner l'expression x de φ(t). Donner l'expression de l vitesse de l sse qund l tige psse pr l verticle. Exercice 9: Dns le systèe ci-contre, l corde roule sns glisser utour du cylindre de sse =5g et de ryon R=40c, qui tourne utour de son xe fixe. Elle porte à son extréité une sse =1g. Un ressort de rideur = 600 N/, fixé à un bâti fixe, est ccroché u point distnt de r=20c de l'xe du cylindre. 1) Schnt qu'à l'équilibre = 0 et dns l'hypothèse des oscilltions de fible plitude, étblir l'éqution différentielle du ouveent. Donner l'expression de en fonction du teps pour les conditions initiles suivntes : (t=0) = 5 et & (t=0) = 0. R r.c. Chi, H. Djelouh, S. Kessl, U.S.T.H.B

4 2) u bout de cinq périodes d'oscilltion, l sse se décroche; quelle est l nture du ouveent à prtir de cet instnt? utour de quelle position se font les oscilltions? Clculer l nouvelle période du ouveent et l'plitude des oscilltions. 3) Trcer le grphe représentnt les vritions de en fonction du teps pour 0<t<10s. Exercice 10 : Soit une sse fixée à l'extréité d'une tige de sse négligeble et de longueur l. tige effectue des oscilltions de fibles plitudes utour d'un xe fixe pssnt pr le point et perpendiculire u pln du ouveent. e point de l tige, tel que =, est relié à deux bâtis fixes B 1 et B 2 respectiveent pr deux ressorts de rideur 1 et 2. l'équilibre, l tige est verticle. ) Schnt qu'à l'équilibre, les ressorts ne sont ps déforés, étblir l'éqution différentielle du ouveent du systèe. b) Si, 1, 2 et l sont donnés, quelle condition 1 2 doit stisfire l longueur pour que le systèe puisse osciller? c) Cette condition étnt stisfite, déteriner l'expression de l pulstion propre du systèe. B 1 B 2 Exercice 11: scilltions d'un oent gnétique : n veut esurer l coposnte horizontle du chp gnétique terrestre B 0 à l'ide d'un pendule foré ' d'un int horizontl de oent gnétique r et de sse obile dns le pln horizontl, utour d'un xe d verticl '. 'int l fore d'un prllélépipède rectngle de côtés, l et h. n tourne ce brreu d'un ngle 0 pr rpport à s position d'équilibre et on l'bndonne sns vitesse initile. 1) Schnt qu'ucun couple de torsion utre que gnétique n'git sur le systèe, écrire l'éqution du ouveent dns le cs où les frotteents sont négligebles. En déduire l S N période d'oscilltion du brreu dns le cs des fibles plitudes. Retrouver l'éqution du ouveent en utilisnt l éthode de grnge. 2) Clculer B 0 si T= 8,2 s, r = 2. 2, = 10 c, l = h = 1 c, =80g. 3) Dns l prtique, on procède utreent fin d'éviter le clcul du oent d'inertie J du brreu. 'expérience précédente étnt chevée, on l répète en plçnt sur le brreu deux sses cylindriques en cuivre, de sse = 15 g, à des distnces d = 4 c de l'xe '. nouvelle vleur de l période est lors T ' = 10,7 s. Clculer B 0. N.B. n rppelle qu'un int de oent gnétique r r,plcé dns un chp gnétique B, est souis à un couple Γ= r r B. r 11.C. Chi, H. Djelouh, S. Kessl, U.S.T.H.B

5 12 SCITINS IBRES DE SYSTEES RTIS UN DEGRE DE IBERTE Exercice 1 : Une sse = 20 g est ontée sur deux ressorts de rideur =4 N/ et un ortisseur de coefficient de frotteent visqueux =130 g/s. l'instnt initil, l sse est écrtée de 5 c de s position d'équilibre puis lâchée sns vitesse initile. ) Clculer le déplceent et l vitesse de l sse en fonction du teps. b) Quels sont le déplceent et l vitesse à l'instnt t=1 s? x Exercice 2 : e circuit ci-contre est constitué d'un condensteur de cpcité C=1µF, d'une bobine d'inductnce =0.1H et d'une résistnce R pouvnt prendre les vleurs 1Ω, 5Ω et 1Ω. e condensteur est initileent chrgé sous une tension de 5V. l'instnt t=0s, on fere brusqueent l'interrupteur K. 1) Etblir l'éqution différentielle qui régit les vritions de l tension v(t) ux bornes du condensteur. 2) Pour les trois vleurs de l résistnce: ) Quelles sont les vleurs de δ et ω 0? b) En déduire les vritions de v(t) u cours du teps. c) Trcer le grphe de v(t) en fonction du teps. v C R Exercice 3 : Un bloc de sse 25 g est onté sur un support en coutchouc, de sse négligeble, qui se coprie de 6.1c sous ce poids. Qund le bloc vibre libreent, on enregistre les positions de l sse près l'voir déplcé de 5c à prtir de s position d'équilibre (voir figure cicontre) Schnt que le tpis -6 de coutchouc peut être 0,0 0,5 1,0 sybolisé pr un ressort de t(s) rideur K ssocié à un 1,5 2,0 ortisseur de coefficient de frotteent visqueux, clculer ces coefficients K et. x(c) K.C. Chi, H. Djelouh, S. Kessl, U.S.T.H.B

6 13 Exercice 4 : e systèe de l figure ci-contre est constitué d'un cylindre hoogène de sse et de ryon R en rottion utour de son xe de révolution fixe. Un fil inextensible, de sse négligeble, entrîne le cylindre sns glisseent sur s périphérie ; ses deux extréités sont reliées à un bâti fixe (B) pr un ressort de rideur K et un ortisseur de coefficient de frotteent visqueux. Quelle l vleur critique du coefficient? Exercice 5 : e systèe écnique de l figure cidessus est constitué d'une tige rectiligne D, hoogène, de sse =3g et de longueur =2. Cette tige peut tourner, dns le pln verticl, sns frotteent, utour d'un xe horizontl ( ) fixe. es extréités et D de l tige sont reliées u bâti fixe B 2 pr deux ortisseurs identiques de coefficient de frotteent visqueux. e point C, ilieu de l tige, est relié u bâti B 1 pr un ressort de rideur. l'équilibre, l tige est horizontle. (B ) 2 (B ) 1 orsque l tige est écrtée de s position d'équilibre d'un ngle 0 puis lâchée sns vitesse initile, elle prend un ouveent oscilltoire orti de pseudo-période 1s. n constte qu'u bout de 5 pseudo-périodes, l'plitude est égle à 20 % de l'plitude initile. En déduire l vleur nuérique de puis celle de. Exercice 6: e systèe de l figure ci-contre est R constitué d'un cylindre hoogène de sse =1g et de ryon R=10c, qui roule sns glisser sur un pln horizontl. Une tige de longueur l K l=1 et de sse négligeble, est soudée perpendiculireent sur l'xe du cylindre. Son extréité est reliée u pln horizontl pr l'interédiire d'un ressort de rideur K et d'un ortisseur de coefficient de frotteent visqueux. l'équilibre, l tige est horizontle. lorsque cette tige est écrtée de cette position d'équilibre puis lâchée sns vitesse initile, le systèe effectue des oscilltions de petite plitude fibleent orties. 1/ n supposer que l longueur l de l tige est grnde devnt le ryon R du cylindre. ontrer que dns le cs des oscilltions de fibles plitudes, on peut considérer que l'extréité de l tige n'effectue que des oscilltions verticles. K 2 R C ( ) (B) D.C. Chi, H. Djelouh, S. Kessl, U.S.T.H.B

7 14 2/ Schnt que l période des oscilltions est T=1s et que l'plitude des vibrtions chûte de oitié près 5 périodes d'oscilltion, clculer l rideur K du ressort et le coefficient de frotteent visqueux..c. Chi, H. Djelouh, S. Kessl, U.S.T.H.B