3.1 Grammaires de formes. Exemple. Chapitre III. Des grammaires de formes à la géométrie fractale. Des grammaires de formes à la géométrie fractale 1

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1 3.1 Grammaires de formes Chapitre III Des grammaires de formes à la géométrie fractale Définitions Exemples Conclusions Exemple Andrea PALLADIO Des grammaires de formes à la géométrie fractale 1

2 Grammaires de formes Grammaire (ensemble de règles) pour décrire les formes géométriques Vocabulaire formes terminales marqueur forme initiale Exemple: Règles et Programmes Règles de production Forme A Forme B Formes éventuellement marquées Les marqueurs permettent la répétition Programme Suite de règles Codage Forme terminale Marqueur Forme initiale Programme: {3, 3, 3, 4} Programme: {1, 1, 2, 2, 2, 4} Exemple de grammaire de formes Règle 1 Règle 2 Règle 3 Programme: {2,2, 2, 2, 2, 4} Exemples de formes générées par la grammaire précédente Règle 4 Des grammaires de formes à la géométrie fractale 2

3 Autre exemple Exemple avec deux marqueurs Règle 5 Règle 6 Damier Exemples de règles Changement de forme Règle 1 Répétition Changement de couleur Règle 2 Rotation Changement de taille Des grammaires de formes à la géométrie fractale 3

4 Exemples Exemples Construction Architecture Urbanisme Mosaïque Décoration, mobiliers Tartans Façades Des grammaires de formes à la géométrie fractale 4

5 Jardins Lotissement (terrace houses) Divers En électronique Des grammaires de formes à la géométrie fractale 5

6 Ice-ray grammar Autre Exemple Exemples Portail organisé en grammaire Des grammaires de formes à la géométrie fractale 6

7 Conclusions sur les grammaires de formes Beaucoup d objets fabriqués par l homme sont susceptibles d être (re)produits par des grammaires de formes Nombreux exemples en informatique "Portails bien pensés" 3.2 Introduction à la Géométrie Fractale Géométrie euclidienne/géométrie fractale Présentations d'objets fractals Fractales stochastiques Courbes de Peano Courbes de Julia Systèmes de Lindenmeyer Conclusions De la géométrie euclidienne à la géométrie fractale Présentation de quelques objets fractals Benoît Mandelbrot Formes récursives (autosimilarité) Définition Répétitions récursives Initiateur Répétiteur Des grammaires de formes à la géométrie fractale 7

8 Courbe de Koch : étapes initiales Le flocon de Koch Etape 1 : l 1 =3 Périmètre du flocon Etape 2 : l 2 =3 (4/3) = 4 Surface du flocon S 1 = 3/4 (posons α = 3/4 ) S 2 = 4 α /3 Etape n : l n =l n-1 (4/3) =3 (4/3) n Suite convergente 8 α 2 3 S = = 5 5 Des grammaires de formes à la géométrie fractale 8

9 Dimension fractale Dimension fractale (Hausdorff-Besicovitch) ln(n) D= ln( 1/r) D = dimension n = longueur du segment r = facteur d autosimilarité Dimension du flocon de Koch n = 4 D = r =1/3 D = ln(4)/ln(3)= ln(n) ln( 1/r) Courbe de Lévy Courbe du dragon d Heighway Des grammaires de formes à la géométrie fractale 9

10 Générateur d'îles Autres objets fractals initiateur répétiteur Poussière de Cantor Tapis de Sierpinski point de départ première étape seconde étape Poussière de Cantor et objets dérivés Tapis de Sierpinski, etc. Poussière de Cantor Peigne de Cantor Tapis de Sierpinski Dentelle de Sierpinski Collier de Cantor Ville de Cantor Octogone de Sierpinski Eponge de Menger Des grammaires de formes à la géométrie fractale 10

11 Fractales stochastiques Variations aléatoires Terrains Plantes etc. Déplacement aléatoire du milieu d'un segment Segment initial 1ère étape 2ème étape 3ème étape D 1.2 Australie fractale Méthode d'interpolation stochastique des terrains H A B Procédure E I F C D G Première étape Seconde étape Des grammaires de formes à la géométrie fractale 11

12 Formule de calcul Plusieurs étapes 1 z = ( z1 + z 2) + uσ 02 2 lh u : variable aléatoire : Loi(u)= Gauss(0,1) l : niveau de récursivité h : paramètre fractal : h=3-d σ 0 : variance initiale Pour terrain D 2.3 Dan Connelly Les courbes de Peano Définitions et propriétés élémentaires Courbe de Hilbert et courbe en N de Peano Codification des clés sur les courbes Remarque D = 2 Bijection surface / ligne Des grammaires de formes à la géométrie fractale 12

13 Etapes initiales de la courbe de Hilbert Premières étapes de la courbe en N de Peano Obtention des clés de Peano par entrelacement de bits Chiffres après virgule X = Y = X = Y = P = P = (x = 3) et (y = 2) => p = 14 (x = 1,5) et (y = 1,0) => p = 3,5 Des grammaires de formes à la géométrie fractale 13

14 Ordre en N de Peano Ordre de Hilbert Courbes de Julia Lapin de Julia et Ensemble de Mandelbrot Soit un nombre complexe z 0 de départ et une constante complexe c, z n+1 z n2 + c, Avec c, z [0..1] 2 Des grammaires de formes à la géométrie fractale 14

15 Jean-Pierre Loubet Systèmes de Lindenmeyer Inventés par Aristid Lindenmeyer Ensemble de règles de ré-écritures (grammaire) pour engendrer des formes : plantes fleurs etc. Définition Exemples Formellement, un L-system est composé de trois éléments : un alphabet un mot initial : w un ensemble de règles de productions : P F : Forward + : tourner d un certain angle fixé, - : tourner du même angle dans l autre sens 4 ème génération α = 22,5 Des grammaires de formes à la géométrie fractale 15

16 Itérations Epaisseur des branches Règle de Léonard de Vinci (pression de la sève) D 2 =Σ d i 2 Grammaire stochastique Exemple stochastique ω : F.33 p1 : F F[ + F] F[ F] F.33 p2 : F F[ + F] F.34 p3 : F F[ F] F Des grammaires de formes à la géométrie fractale 16

17 Paul Bourke Systèmes de Lindenmeyer Conclusions (fractales) Périmètre de la Corse? Embellissement cosmétique Réalité virtuelle 3.3 Conclusion finale Principes de base pour la génération des images Usage bases d'images bases de données géographiques bases d'objets tri-dimensionnels conception des portails visuels Des grammaires de formes à la géométrie fractale 17