Chapitre 1. Ordonnancement no-idle. 1. De l ordonnancement en général

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1 Chaptre 1 Ordonnancement no-dle Nous nous ntéressons, dans ce chaptre, à la présentaton des problèmes d ordonnancement d une manère générale et à une synthèse bblographque portant de façon partculère sur l ordonnancement avec la contrante no-dle. 1. De l ordonnancement en général 1.1. Termnologe L'ordonnancement est un champ d'nvestgaton qu a connu un essor mportant ces quarante dernères années, tant par les nombreux problèmes dentfés que par l'utlsaton et le développement de nombreuses technques de résoluton. Les problèmes d'ordonnancement se rencontrent souvent dans le mleu ndustrel. Il s'agt de répartr un ensemble de travaux sur des machnes ou atelers de producton en respectant au meux un ensemble de contrantes (technologques, temporelles, ) et en cherchant à optmser un ou pluseurs objectfs (cadence de producton, délas, coûts, ). En nformatque, on est également confronté aux problèmes d'ordonnancement pour allouer des processeurs à l'exécuton des programmes. Nous ctons brèvement d'autres domanes d'applcaton des problèmes d'ordonnancement : géne cvl (suv de projets), admnstraton (geston du personnel, emplo du temps) ou encore toute structure automatsée. Dans un problème d'ordonnancement, quatre notons fondamentales ntervennent. Ce sont les travaux (ou jobs), les ressources, les contrantes et les objectfs. Un traval (on dt auss tâche) est défn par un ensemble d'opératons qu dovent être exécutées. Une ressource est un 5

2 moyen matérel (machne) ou human ntervenant dans la réalsaton d'un traval. Les contrantes représentent les lmtes mposées par l'envronnement ou les ressources, tands que les objectfs sont les crtères à optmser. La résoluton d'un problème d'ordonnancement consste à détermner [Gotha, 93] : - le placement des travaux dans l espace, c est-à-dre sur les ressources, - le placement des travaux dans le temps, c'est-à-dre les nstants de début d'exécuton de chaque traval sur chacune des ressources qu partcpent à sa réalsaton. Ce placement découle de l ordre de prse en charge des travaux par les ressources. Pour alléger l exposé, nous utlserons désormas le terme "machne" pour désgner une ressource quel qu en sot le type. Dans de nombreux problèmes d'ordonnancement, deux hypothèses de base sont généralement respectées : - A chaque nstant, une machne ne peut exécuter qu'un seul traval. - A chaque nstant, un traval peut être exécuté par une machne au plus. Cependant, l y a des problèmes d'ordonnancement plus spécfques : - L'ordonnancement par lots (batch), où une machne peut exécuter pluseurs travaux smultanément. - L'ordonnancement avec chevauchements, où les opératons d un même traval peuvent être en cours d'exécuton sur pluseurs machnes à un même nstant. Auss, deux modes d exécuton sont possbles : - avec préempton : l'exécuton d'une opératon peut être nterrompue pus reprse sur une des machnes, - sans préempton : s une opératon a commencé, elle dot être menée jusqu au bout sur la même machne, sans nterrupton. Dans ce traval, nous nous ntéressons aux problèmes respectant les deux hypothèses présentées c-dessus, avec mode d exécuton sans préempton. On représente souvent un ordonnancement par un dagramme de Gantt. Un tel dagramme met en évdence l'occupaton des machnes par les dfférents travaux ans que les temps morts. La fgure 1.1 présente un ordonnancement pour un problème à tros machnes et tros travaux. 6

3 Affectaton J 3 J 1 J 2 J Machnes J 2 J 3 J 1 Temps mort J 1 J 2 J 3 Temps Fgure 1.1. Exemple de dagramme de Gantt Un ordonnancement est dt sans déla s et seulement s la séquence des opératons composant tout traval est exécutée sur les dfférentes machnes sans aucune mse en attente. Un ordonnancement est dt sans temps mort (ou sans arrêt) s et seulement s aucune machne n est mse en attente tant que tous les travaux qu lu sont affectés ne sont pas encore tratés. Les problèmes d'ordonnancement se dvsent en deux grandes catégores selon le nombre d'opératons nécessares à la réalsaton de chaque traval. La premère catégore regroupe les problèmes pour lesquels chaque traval nécesste une seule opératon, la deuxème regroupe ceux pour lesquels chaque traval requert pluseurs opératons. La premère catégore se subdvse à son tour en pluseurs types de problèmes, en foncton de la confguraton de machnes consdérée : - Machne unque : tous les travaux sont appelés à être exécutés sur une même machne [Lenstra et al., 1977], [Koulamas, 1996], [Blazewcz et al., 1997] - Machnes dédées : pluseurs machnes, chacune étant spécalsée pour l exécuton de certans travaux. - Machnes parallèles : pluseurs machnes, qu remplssent toutes les mêmes fonctons. Dans le derner cas, on dstngue tros modèles dfférents de machnes en foncton des vtesses de celles-c: - Machnes dentques : toutes les machnes présentent la même vtesse d exécuton quelle que sot le traval [Karp, 1972], [Graham, 1966]. - Machnes unformes : la vtesse d'une machne dffère d une autre par un coeffcent de proportonnalté [Graham et al., 1979], [Labetoulle et al., 1984]. - Machnes ndépendantes (on dt auss non lées) : chaque machne présente une vtesse partculère pour chaque traval ; la durée opératore d'un traval dépend donc du traval et de la machne qu l'exécute [Bruno et al., 1974], [Ibarra et Km, 1977], [Lawler et Labetoulle, 1978]. 7

4 Les problèmes de la deuxème catégore sont dts problèmes d ateler du fat de la nécessté du passage de chaque traval sur deux ou pluseurs machnes dédées. Ils sont généralement spécfés par la donnée de m machnes et de n travaux composés chacun de m opératons ; chaque opératon devant être exécutée par une machne dfférente. Tros sous-classes de problèmes sont alors dfférencées selon le mode de passage des opératons sur les dfférentes machnes, à savor : - Open-shop : l'ordre de passage des opératons sur les machnes est lbre [Gonzalez et Sahn, 1976], [Kubak et al., 1991], [Wagneur et Srskweather, 1993]. - Flow-shop : l'ordre de passage des opératons sur les machnes est le même pour tous les travaux [Ignall et Schrage, 1965], [Garey et al., 1976], [Dannenbrng, 1977], [Gonzalez et Johnson, 1979], [Reeves, 1995]. - Job-shop : chaque traval a un ordre propre de passage des opératons sur les machnes. [Mellor, 1966], [Blackstone et al., 1982], [Pnedo, 1995]. Un problème flow-shop est dt de permutaton s'l exste une contrante selon laquelle toutes les machnes dovent exécuter les n travaux dans le même ordre [Johnson, 1954], [Lageweg et Lenstra, 1978], [Monma et Rnnoy Kan, 1983], [Potts et al., 1991]. A partr de ces modèles de base, d autres modèles d'ordonnancement peuvent être défns afn de répondre à des problèmes ndustrels spécfques. Dans le cas partculer du flow-shop, lorsque une même opératon peut être exécutée par une machne dsponble en pluseurs exemplares, on parle de flow-shop hybrde. Dans cette thèse, nous nous ntéressons prncpalement à des problèmes flow-shop (de permutaton ou non et hybrde ou non) Classfcaton Pour présenter un problème d'ordonnancement, nous adoptons un formalsme ssu des travaux de Conway [Conway et al., 1967] et Rnnoy Kan [Rnnoy Kan, 1976] permettant de dstnguer les problèmes d'ordonnancement entre eux et de les classer. Tel que reprs par Blazewcz dans [Blazewcz et al., 1996], ce formalsme content tros champs séparés par des slashs (α/β/δ). 8

5 Le premer champ α représente l'organsaton des ressources et est spécfé par la concaténaton de deux éléments : α =α1α2 o Le paramètre α1 représente la confguraton de machnes utlsées: (α1 {, P, Q, R, F, O, J}) α1 = : une seule machne est utlsée. α1 = P : pluseurs machnes dentques sont dsponbles. (.e. les ressources sont composées de machnes travallant suvant la même cadence, dsposées en parallèle et pouvant exécuter tous les travaux). α1 = Q : pluseurs machnes parallèles unformes sont dsponbles. (.e. les cadences des machnes sont dfférentes (selon un facteur de proportonnalté), mas restent ndépendantes des travaux. α1 = R : pluseurs machnes ndépendantes non lées sont dsponbles. (.e. les cadences des machnes sont dfférentes et dépendent des travaux exécutés). α1 = F : pluseurs machnes dédées fonctonnant en flow-shop. (.e. les travaux sont décomposés en pluseurs opératons qu dovent être exécutées sur l'ensemble des machnes, celles-c étant dsposées en sére pour un même routage). α1 = O : pluseurs machnes dédées fonctonnant en open-shop. (.e. les travaux sont décomposés en pluseurs opératons qu dovent être exécutées sur l'ensemble des machnes sans restrcton sur le routage des travaux). α1 = J : pluseurs machnes dédées fonctonnant en job-shop. (.e. les travaux sont décomposés en pluseurs opératons qu dovent être exécutées sur l'ensemble des machnes, mas peuvent avor des routages dfférents). o Le paramètre α2 permet de précser le nombre de machnes composant l ateler ; l peut être égal à vde ou à un enter m. Dans le premer cas, cela sgnfe que le nombre de machnes est quelconque. Dans le deuxème cas, cela sgnfe que l ateler est composé de m machnes (m > 0). Le deuxème champ β représente les contrantes et les caractérstques de l ateler. Il est formé de hut sous-champs, β = β1β2β3β4β5β6β7β8. o β1 {, preem} permet de précser le mode d exécuton. β1 = ndque le mode sans préempton et β1 = preem ndque le mode avec préempton. o β2 {, res} caractérse les ressources supplémentares nécessares à l'exécuton d'un traval (outls, ressources de transport). β2 = ndque qu'l n'y a pas de 9

6 ressources complémentares. β2 = res λδρ ndque la nécessté des ressources complémentares ; cette nécessté est détallée par les valeurs de λ, δ et ρ. o β3 {, prec, tree, chan} précse un type de précédence entre travaux, c est-àdre le fat qu'un traval dot être exécuté avant un autre. La valeur ndque que les travaux sont ndépendants. Les valeurs prec, tree, chan ndquent l exstence, respectvement, d une relaton de précédence générale, d une relaton de précédence sous forme d arbre et d une relaton de précédence sous forme de chaîne. o β4 {, r j } décrt les dates de dsponblté (.e. dates au plus tôt) des dfférents travaux dans le système. Ces dates peuvent être dentques et égales à zéro pour tous les travaux (β4 = ) ou dfférentes suvant les travaux (β4 = r j ). o β5 {, p j = p, p p p } détalle les durées opératores des dfférents travaux. Ces durées peuvent être foncton de la machne. Dfférentes restrctons peuvent également être consdérées pour smplfer certans problèmes. β5 = : les travaux ont des durées opératores arbtrares. β5 = p j = p : tous les travaux ont une durée opératore égale à p. β5 = p p p : les durées opératores des travaux sont comprses entre p et p. o β6 {, d j, ~ d j} ndque les éventuelles dates d'échéance (ou dates au plus tard) des travaux. β6 = : les travaux n'ont pas de date d'échéance. β6 = d j : chaque traval a une date d'échéance de fn d exécuton sous pene de pénalsaton. β6 = ~ d j : chaque traval a une date d'échéance mpératve (date lmte) qu'l faut absolument respecter. o β7 {, s, s, s j, nwt} permet de spécfer des contrantes temporelles sur les enchaînements de travaux. Ces contrantes sont très souvent ntrodutes afn de meux représenter les problèmes réels. Il est parfos nécessare de consdérer un temps mproductf entre l'exécuton de deux travaux dfférents sur une même machne pour représenter les changements et les réglages d'outls. Ces temps de 10

7 changement peuvent être constants (s), foncton du nouveau traval (s ) ou ben foncton de l'enchaînement des deux travaux (s j ). Egalement, pour le cas des ndustres où l'on manpule de la matère en fuson, on dot pouvor mposer que toutes les opératons d'un traval soent exécutées sans temps d'attente (β7 = nwt (no-wat)). S on a beson de spécfer que les machnes, une fos qu elles commencent à travaller, ne dovent pas s arrêter qu après avor termné tous les travaux, alors β7 prend la valeur no-dle. o Enfn, le paramètre β8 {, M j } ndque, dans le cas de machnes parallèles, des restrctons sur la polyvalence des machnes. L'ensemble M j représente l'ensemble des machnes capables de réalser le traval J j. Lorsque β8 est vde, toutes les machnes sont capables d'exécuter tous les travaux. Le trosème champ, γ, spécfe le crtère à optmser. Les crtères les plus utlsés sont : γ = Cmax : makespan. Date de sorte du système (le derner traval). ( Cmax = max j C j où C j est la date de fn d'exécuton du traval J j ). γ = Σ C j (ou C _ ) : somme des dates de fn d'exécuton. La date C j peut être pondérée et un deuxème crtère pourra être défn γ = Σ w j C j, où w j est le pods assocé au traval J j. γ = Lmax : décalage temporel maxmal. Ce crtère mesure la plus grande volaton des dates d'échéance (Lmax = max j {L j = C j - d j } où d j est la date de fn au plus tard). γ = Σ U j : somme du nombre de travaux termnés avec retard (U j = 1 s le traval J j est termné après son échéance au plus tard). Un U j peut être pondéré et un deuxème crtère pourra être γ = Σ w j U j, où w j est le pods assocé au traval J j. D une façon générale, un crtère Z est dt crtère réguler s, et seulement s, Z est une foncton crossante des dates de fn des travaux. Autrement dt, s et seulement s, quelles que soent les solutons d ordonnancement x et y de n travaux telles que C (x) C (y), on a Z(C 1 (x),, C n (x)) Z(C 1 (y),, C n (y)) [Carler et Chretenne, 1988]. Un sous-ensemble d ordonnancements est dt domnant par rapport à un crtère s ce sousensemble content au mons un ordonnancement optmal relatvement à ce crtère. 11

8 1.3. Complexté Nous nous ntéressons dans cette sous-secton au cadre mathématque dans lequel les problèmes peuvent être classés en problèmes facles ou dffcles. L'objectf est, d une part, de clarfer certanes affrmatons et, d'autre part, de justfer la démarche adoptée dans ce traval pour spécfer la complexté de certans problèmes étudés. Pluseurs ouvrages [Blazewcz et al., 1996] et [Xuong, 1992] développent la théore de la complexté. Un problème de décson est un énoncé auquel la réponse peut être unquement ou ou non. Les problèmes de décson sont de deux types : les problèmes décdables et les problèmes ndécdables. Un problème est dt ndécdable s'l est mpossble d'écrre un algorthme qu permet de décder de la réponse pour tous les cas de fgures. Un problème de décson P1 est dt réductble à un autre problème de décson P2 (on note P1αP2) s'l exste une foncton polynomale f qu transforme chaque énoncé de P1 en un autre énoncé de P2 de telle manère que la réponse pour P1 est ou s, et seulement, s la réponse pour P2 est ou. Un algorthme est dt polynomal s sa complexté temporelle est bornée par un O(p(x)) où p est un polynôme et x est la longueur d une nstance du problème. Il est dt pseudo-polynomal s sa complexté est bornée par un polynôme en foncton de la talle de la plus grande nstance du problème. Un problème de décson décdable est dt NP s'l exste un algorthme polynomal qu permet de reconnaître une nstance postve de ce problème (qu a la réponse ou). Parm les problèmes NP, on dstngue, d'une part, les problèmes Polynomaux et, d'autre part, les problèmes dts NP-complets : - Un problème de décson est dt polynomal (on dt auss appartenant à la classe P) s'l exste un algorthme polynomal en foncton de la talle des données qu permet de le résoudre. Un tel problème est dt facle. - Un problème NP-complet est un problème NP tel que tout problème NP est réductble polynomalement en ce problème. Pour démontrer qu'un problème Q est NP-complet, l faudra montrer qu l est de la classe NP et qu'l exste un problème R connu pour être NP-complet tel que RαQ. 12

9 On note auss qu'un problème NP-complet peut être NP-complet au sens fort ou au sens fable : - Un problème P est dt NP-complet au sens fable s'l est NP-complet et qu'l exste un algorthme pseudo-polynomal pour le résoudre. - Un problème P est dt NP-complet au sens fort s'l appartent à la classe NP et qu'l exste un problème Q connu pour être NP-complet au sens fort tel que QαP. Ans, l est nécessare de connaître les problèmes classques connus pour être NP-complets. Le premer problème qu a été prouvé, en 1971, comme étant un problème NP-complet au sens fort [Cook, 1971] est le problème de satsfablté (SAT) qu peut être défn comme sut : Etant donnés un ensemble de n varables booléennes x 1, x 2,, x n et un ensemble de m clauses c 1, c 2,, c m (une clause est un sous-ensemble des 2n lttéraux x, x,..., x, x 1, x 2,..., x n où x 1 2 n désgne la varable complémentare de x ), la queston posée est : «Exste-t-l une affectaton de la valeur vra ou faux à chacune des varables x de sorte que pour chacune des m clauses, au mons l un des lttéraux la consttuant at la valeur vra?». Dans ce qu sut, nous présentons d'autres problèmes NP-complets dont la NP-Complétude n'a pu être démontrée que grâce à l'exstence d'un premer problème NP-complet. Ce sont les sx problèmes de base exposés par Garey et Johnson dans [Garey et Johnson, 1979] : - 3-satsfablté : Etant donné un ensemble de clauses de dmenson 3, construtes à partr d'un ensemble fn de varables, exste-t-l une affectaton de ces varables qu satsfat toutes les clauses? - Couplage de dmenson 3 : Etant donné un ensemble M de trplets (M X Y Z, où X, Y et Z sont des ensembles dsjonts et de même cardnalté q), exste-t-l un ensemble M tel que M' M, M' = q et les trplets de M' sont deux à deux dsjonts? - Recouvrement : Etant donnés un graphe G = (V, E) et un enter k, exste-t-l X V tel que X k et toute arête de G a au mons une de ses extrémtés dans X? - Clque : Etant donnés un graphe G = (V, E) et un enter k, exste-t-l X V tel que X k et tous les sommets de X sont deux à deux adjacents? - Cycle Hamltonen : Etant donné un graphe G = (V, E), exste-t-l un cycle passant une fos et une seule par chacun des sommets de V? - Partton : Etant donnés n enters postfs s 1, s 2,, s n, exste-t-l un sous-ensemble J I = {1, 2,, n} tel que Σ J s = Σ I\J s 13

10 Un problème d optmsaton est un problème pour lequel la réponse à une nstance est une soluton ayant une valeur optmale pour une foncton objectf défne. Il est toujours possble de fare correspondre un problème d optmsaton à un problème de décson. Dans le cas, par exemple, de la mnmsaton d une foncton objectf, le problème de décson peut être posé de la façon suvante : le problème admet-l une soluton dont la foncton objectf, est nféreure ou égale à un seul défn y. De même, dans le cas de la maxmsaton d une foncton objectf, le problème de décson peut être posé de la façon suvante : le problème admet-l une soluton dont la foncton objectf est supéreure ou égale à un seul défn y. Il est évdent que la complexté d un problème d optmsaton est supéreure ou égale à celle du problème de décson correspondant. Ans, un problème d optmsaton est dt NP-dffcle s le problème de décson qu lu correspond est NP-complet Méthodes classques de résoluton Les problèmes d ordonnancement de la classe P dsposent donc d algorthmes polynomaux spécfques qu permettent de les résoudre. Pour appréhender les problèmes NP-dffcles, dfférentes méthodes de résoluton (exactes ou heurstques) sont proposées dans la lttérature. Nous allons passer en revue les méthodes les plus connues en les classant en méthodes dédées et méthodes générques Méthodes dédées Nous classons dans les méthodes dédées les méthodes qu ont été conçues pour résoudre un problème d ordonnancement partculer ( // C, F 2 // C max ). _ Règles de tr Parm les règles de tr dédées à un problème d ordonnancement, nous ctons les deux règles : SPT (shortest processng tme) et LPT (longest processng tme) qu sont très utlsées dans la résoluton d un problème flow-shop. La premère consste à ordonner les travaux dans l ordre crossant de leurs durées opératores et la seconde dans l ordre décrossant. La règle SPT est optmale lors de la résoluton du problème _ // C [Blazewcz et al., 1996]. La règle EDD (earlest due date), qu consste à ordonner les travaux selon l ordre crossant de leurs dates de début au plus tôt, est optmale pour la résoluton du problème [Jackson, 1955]. // L max 14

11 L algorthme de Johnson est optmal pour le problème F 2 // C max [Johnson, 1954]. Il consste à applquer, pas à pas, la règle suvante : «s J et J j sont deux travaux de durées respectves ( p, 1, p, 2) et ( p, ), 1 p j j, 2 sur les machnes 1 et 2 et s mn( p, 1, pj,2) mn( p,2, pj, 1) alors J est placé avant J j». Cet algorthme revent à parttonner les travaux en deux ensembles : le premer content tous les travaux vérfant p, 1 < p j j, 2 et le second tous les travaux avec p, 1 > p j j,2. Les restants (ayant p j, 1 = pj, 2 ) peuvent être ms dans l un ou l autre. Les travaux du premer ensemble seront ordonnés selon l ordre crossant de p j, 1 (SPT) et ceux du second ensemble selon l ordre décrossant de p j, 2 (LPT). L ordre total sera alors celu du premer ensemble concaténé à celu du second Algorthmes de lste Nous retrouvons l applcaton de la règle LPT avec FAM (frst avod machne). Celle-c consste à ordonner les travaux selon LPT et à affecter chaque traval à la premère machne lbre. Cette heurstque est utlsée pour résoudre le problème P // C max en O(n*log(n)) [Blazewcz et al., 1996]. La concaténaton de l algorthme de Johnson avec la règle FAM est utlsée pour résoudre le problème flow-shop hybrde à deux étages. Les travaux de Johnson ont été étendus d une manère dfférente aux problèmes d ordonnancement de type flow-shop de permutaton à m machnes. Campbell, Dudek et Smth, dans [Campbell et al., 1970], fournssent une soluton approchée (algorthme CDS) au problème F // C max, en étendant le comportement de l algorthme de Johnson. En effet, ls créent m-1 sous-problèmes effectfs à deux machnes M k,m k+1 (la durée opératore d un traval sur la machne M k sera la somme de ses durées opératores sur les machnes M 1.. M k, et sur M k+1 la somme de ses durées opératores sur les machnes allant de M k+1 à M m ) qu ls résolvent à l ade de l algorthme de Johnson et retennent ensute le melleur ordonnancement parm les m-1 comme soluton du problème orgnel. Cette heurstque s est révélée extrêmement fable Autres méthodes Les problèmes d ordonnancement sur machnes parallèles recouvrent un ensemble de problèmes de geston de producton très vaste. L une des méthodes de résoluton élaborées 15

12 pour appréhender de tels problèmes est celle de Bruno [Bruno et al., 1974] qu résout optmalement le problème _ Q // C. En défnssant une matrce de coûts machne-ordre/travaux, l auteur modélse le problème d ordonnancement sur machnes parallèles unformes sous la forme du problème d affectaton suvant : - Les varables de décson sont x(, j, k) (x(, j, k) qu vaut 1 s le traval J est affecté à la machne M j, k places avant la fn). - L objectf est de mnmser z = x(, j, k) * k * p où p, j, j est la durée opératore du j k traval J sur la machne M j, sous les contrantes : n x(, j, k) 1 j, k = 1 m n j = 1 k = 1 x(, j, k) = 1 L auteur propose ensute de résoudre ce problème par la méthode hongrose [Kuhn, 1955] (connue pour les problèmes d affectaton) qu offre une soluton à temps polynomal ; la soluton est en fat recherchée pour le problème dual. Nous pouvons auss cter les travaux de [Tallard, 1990] et [Wdmem et Hertz, 1989] Méthodes générques Contrarement aux méthodes dédées qu ont été concues pour des problèmes spécfques, les méthodes générques proposent des approches de résoluton qu sont applcables de façon générale et beaucoup plus ouverte. Ces méthodes sont classées en méthodes exactes, méthodes heurstques constructves et méthodes heurstques améloratrces Méthodes exactes Les tros famlles de méthodes exactes sont : la programmaton dynamque, la méthode de séparaton et évaluaton (Branch and Bound) et la résoluton à partr d'une modélsaton analytque. Ces méthodes se caractérsent par un temps de calcul exponentel, ce qu explque qu'elles ne sont utlsables que sur des problèmes de pette talle Programmaton dynamque Dans cette famlle, un problème de dmenson n est décomposé en n problèmes de dmenson 1. Le système est consttué de n étapes que l'on résout séquentellement, le passage d'une 16

13 étape à une autre se fat à partr des los d'évoluton du système et d'une décson [Chevaler, 1977]. Cette méthode a été ntrodute par Bellmann [Bellmann, 1957]. Son prncpe d'optmalté est basé sur l'exstence d'une équaton récursve permettant de décrre la valeur optmale du crtère à une étape donnée en foncton de sa valeur à l'étape précédente. Ans, pour applquer la programmaton dynamque à un problème combnatore, le calcul du crtère pour un sousensemble de talle k nécesste la connassance de ce crtère pour chaque sous-ensemble de talle k-1, ce qu porte le nombre de sous-ensembles consdérés à 2 n (où n est le nombre d'éléments consdérés dans le problème), d où sa complexté exponentelle. Pourtant, pour les problèmes NP-dffcles au sens fable, l est souvent possble de construre un algorthme de programmaton dynamque pseudo-polynomal, pouvant être utlsé pour des problèmes de dmenson rasonnable Méthode de séparaton et évaluaton Cette méthode est basée sur une énumératon mplcte et ntellgente de l'ensemble des solutons réalsables. La séparaton consste à décomposer l ensemble des solutons en pluseurs sous-ensembles qu sont décomposés à leur tour selon une démarche tératve. Ce processus peut se vsualser sous la forme d'un arbre d'énumératon ; les nœuds de l arbre correspondent aux sous-ensembles et les feulles correspondent à des solutons réalsables. Pour accélérer la recherche de la soluton optmale en évtant l exploraton nutle de certans nœuds, on utlse une procédure d évaluaton qu calcule, à chaque nveau de l arbre, la valeur de chaque nœud et permet ans de décder du nœud (sous-ensemble) à développer (décomposer). Par exemple, dans le cas d un problème de mnmsaton, cela revent à calculer la borne nféreure pour tous les nœuds fls du nveau consdéré et la descente dans l arbre est poursuve avec le nœud donnant la borne nféreure. Par alleurs, une borne supéreure de la soluton optmale est calculée et est utlsée pour évter l'exploraton de nœuds dont la valeur de la borne nféreure est supéreure à la valeur de la borne supéreure (certanes branches vont être élaguées). Cette borne supéreure est réactualsée lorsqu'une soluton réalsable de valeur nféreure est attente. Enfn, des remontées et descentes par d autres nœuds de l arbre sont effectuées tant que la borne calculée est nféreure ou égale à la valeur actualsée de la borne supéreure. Ans, l'exploraton de certanes branches de l'arbre est évtée, ce qu permet de ne pas énumérer toutes les solutons réalsables. Il faut donc soulgner que l'effcacté de la méthode 17

14 (en termes du nombre de nœuds explorés) est détermnée par la qualté de la borne ntale par la procédure d évaluaton consdérée Modélsaton analytque et résoluton La modélsaton analytque d'un problème permet, non seulement de mettre en évdence l'objectf et les dfférentes contrantes du problème, mas également de le résoudre. L'déal est de modélser le problème sous la forme d un programme lnéare dont les varables sont réelles. Dans ce cas, l exste un bon nombre de solveurs permettant de le résoudre. Dès que le problème comporte des coûts fxes ou des décsons nécesstant l'utlsaton de varables entères, les modèles devennent beaucoup plus dffcles à résoudre. Il en est de même lorsque le modèle n'est pas lnéare, mas quadratque par exemple. Actuellement, pluseurs langages de modélsaton exstent tels que AMPL, GAMS, LINGO, MPL. Ils permettent d'écrre les programmes lnéares de façon formelle, proche de l'écrture mathématque ; lesquels programmes peuvent être exécutés par des solveurs tels que CPLEX, OSL, XPRESS (selon le langage utlsé). Malheureusement, tous les problèmes ne peuvent être résolus par cette approche car la résoluton de programmes lnéares avec des varables entères, par exemple, demande souvent beaucoup trop de temps de calcul Méthodes heurstques constructves Pour des problèmes NP-dffcles de grande talle, les méthodes exactes sont peu envsageables à cause de leur temps de calcul. Il est alors possble d'utlser des méthodes approxmatves qu donnent des solutons certes sous-optmales, mas en un temps de calcul rasonnable. La performance de telles méthodes est généralement calculée par le rapport entre la valeur de la soluton fourne et la valeur de la soluton optmale, cec pour le pre des cas ou dans le cadre d une moyenne de pluseurs nstances. S la soluton optmale est non calculable, l est également possble d'étuder expérmentalement le comportement de l'heurstque en comparant ses performances sot à celles d'autres heurstques, sot à des bornes nféreures de la soluton optmale. Ces méthodes par constructon progressve sont, en défntve, des méthodes tératves où, à chaque tératon, une soluton partelle est complétée. La plupart de ces méthodes sont des algorthmes gloutons car elles consdèrent les éléments (travaux ou processeurs) dans un 18

15 certan ordre sans jamas remettre en queston un chox une fos qu'l a été effectué. De prncpe très smple, ces méthodes permettent de trouver une soluton très rapdement. Un premer type de telles méthodes consste, dans une premère phase, à calculer une lste qu donnera l'ordre de prse en compte des éléments. Cette lste construte à pror, à partr d'un crtère ben défn, n'est plus remse en cause au cours de l'ordonnancement. La deuxème phase de l'algorthme se rédut à consdérer les éléments (travaux ou processeurs) dans l'ordre de la lste pour construre l'ordonnancement. Un deuxème type de méthode consste à chosr, au cours de la constructon, l'affectaton d'un traval à une machne en utlsant des règles de prorté. Ces méthodes peuvent également être vues comme des méthodes sérelles dynamques où les lstes sont reconstrutes à chaque étape, selon un crtère qu peut évoluer dans le temps (le nombre de travaux dsponbles, par exemple). Notons que s le chox du traval à ajouter est gudé par l'applcaton d'un théorème de domnance, cela permet de prouver l optmalté d une soluton s certanes hypothèses sont vérfées [Pnedo, 1995]. Une revue détallée des règles classques couramment utlsées en ordonnancement est proposée par Panwalker et Iskander dans [Panwalker et Iskander, 1977]. Pour chaque problème, de nombreuses règles ont été développées et les artcles présentant ces règles sont passés en revue Méthodes améloratrces Ces méthodes sont ntalsées par une soluton réalsable, calculée sot aléatorement sot à l'ade de l'une des heurstques constructves exposées précédemment. Elles recherchent, à chaque tératon, une améloraton de la soluton courante par des modfcatons locales. Cet examen se poursut jusqu'à ce qu'un crtère d'arrêt sot satsfat. L'utlsaton de ces heurstques tératves suppose que l'on pusse défnr, pour toute soluton S, un vosnage de soluton, N(S), contenant les solutons vosnes (proches dans un certan sens). En général, le vosnage d'une soluton est généré en applquant, pluseurs fos et de façon dfférente, une pette transformaton (échange de travaux par exemple). Ce vosnage est ensute évalué et comparé à la soluton courante,. Nous présentons c-dessous les méthodes améloratrces les plus connues Méthode de descente Cette méthode se caractérse par le fat qu elle ne consdère, à chaque tératon, que des solutons évoluant dans le sens de l améloraton. 19

16 Cette méthode ne condut pas, en général, au mnum absolu mas seulement à un mnmum local qu consttue la melleure des solutons accessbles compte tenu de la soluton ntale. Pour amélorer l effcacté, on peut évdemment l applquer pluseurs fos, avec des condtons ntales dfférentes et retenr comme soluton fnale le melleur des mnmums locaux obtenus ; cependant, cette procédure augmente sensblement le temps de calcul de l algorthme et ne garantt pas de trouver la confguraton optmale. Une autre dée pour surmonter l obstacle des mnmums locaux consste à autorser, de temps en temps, des mouvements de remontée lors du changement de la confguraton courante tel que adopté par la méthode du recut smulé ou tabou. La méthode d'échange de type r-optmal en est l exemple type. Cette méthode d'optmsaton a été ntalement proposée par Ln [Ln, 1965] pour résoudre le problème du voyageur de commerce, mas elle s'applque également à tout problème combnatore dont la soluton consste en une permutaton de r éléments parm n. Le terme r-optmal ndque qu'une soluton ne peut plus être amélorée en échangeant au plus r éléments. La méthode consste donc à sélectonner r éléments et à vor s, en les nterchangeant, on obtent une melleure soluton. Nous remarquons qu'une soluton n- optmale est une soluton optmale (pour un problème de talle n). Ans, plus r augmente, plus on se rapproche de la soluton optmale, mas plus les calculs sont dffcles. En pratque, on se lmte à r = 2 ou Recut smulé Cette méthode est due aux physcens Krkpatrck, Gelatt et Vecch [Krkpatrck et al., 1983]. Elle s'nspre des méthodes de smulaton de Métropols en mécanque statstque défnes durant les années 50. L'analoge hstorque s'nspre du recut des métaux en métallurge : un métal refrod trop vte présente de nombreux défauts mcroscopques, c'est l'équvalent d'un optmum local pour un problème d'optmsaton combnatore. S on le refrodt lentement, les atomes se réarrangent, les défauts dsparassent et le métal a alors une structure très ordonnée, équvalent à un optmum global. Pour modfer l état d un matérau, le physcen dspose d un paramètre de commande : la température. Le recut est précsément une stratége de contrôle de la température afn d avor un système physque dans un état de basse énerge. 20

17 L algorthme s appue sur ces deux résultats de la physque statstque : - D une part, lorsque l équlbre thermodynamque est attent à une température donnée, T, la probablté, pour un système physque, de posséder une énerge donnée E, est exp(-e/k b T) où K b est la constante de Boltzmann. - D autre part, pour smuler l évoluton d un système physque vers son équlbre thermodynamque à une température donnée T, on peut utlser l algorthme de Metropols : partant d une confguraton donnée, on fat subr au système une modfcaton élémentare ; s cette transformaton a pour effet de dmnuer la foncton objectf (ou énerge) du système, elle est acceptée ; s elle provoque au contrare une augmentaton de l énerge E de la foncton objectf, elle est acceptée tout de même avec la probablté exp(- E/T) (en pratque, cette condton est réalsée en trant au hasard un nombre comprs entre 0 et 1, et on accepte la confguraton dégradant la foncton objectf de la qualté E s le nombre tré est nféreur à exp(- E/T)). On répète ce processus jusqu à ce que le système sot fgé : la température a attent la valeur nulle, ou ben plus aucun mouvement de remontée du coût n a été accepté. Les nconvénents du recut smulé résdent, d une part, dans les réglages, comme la geston de la décrossance par palers de la température ; de bons réglages relèvent souvent du savorfare de l ngéneur. D autre part, les temps de calcul peuvent devenr selon les cas très mportants. Par contre, les méthodes de recut smulé ont l avantage d être souples et rapdement mplémentables lorsque l on veut résoudre des problèmes d optmsaton combnatore, le plus souvent de grande talle. Cette méthode a l ntérêt d admettre une preuve de la convergence. Ans, lorsque certanes condtons sont vérfées, on a la garante d'obtenr la soluton optmale Recherche tabou Cette méthode, dont l'orgne remonte à 1977 [Glover, 1977], a été formalsée en 1986 par Glover [Glover, 1986]. La prncpale partcularté de la méthode tent dans la mse en œuvre de mécansmes nsprés de la mémore humane dont le but est de trer les leçons du passé. Le prncpe de base de la méthode tabou est smple. A partr d une soluton ntale quelconque, la méthode tabou engendre une successon de solutons ou confguratons qu dot 21

18 aboutr à une soluton optmale. A chaque tératon, le mécansme de passage d une confguraton (s) à la suvante (t) est le suvant : - On construt l ensemble de vosns de s, c est-à-dre l ensemble des confguratons accessbles en un seul mouvement élémentare à partr de s ; sot V(s) l ensemble de ces vosns. - On évalue la foncton objectf f du problème pour chacune des confguratons appartenant à V(s). La confguraton t, qu succède s dans la chaîne construte par tabou, est la confguraton de V(s) pour laquelle f prend la valeur mnmale. Cependant, telle quelle, la procédure ne fonctonne généralement pas, car l y a un rsque mportant de retourner à une confguraton déjà retenue lors d une tératon précédente, ce qu provoque un cyclage. Pour évter ce phénomène, qu concerne plutôt des confguratons peu élognées (au sens du nombre de mouvements), on tent à jour, à chaque tératon, une lste tabou de mouvements nterdts ; cette lste crculare content m mouvements nverses (t s). La recherche du successeur de la confguraton courante se restrent alors aux vosns de s qu peuvent être attents sans utlser de mouvement de la lste tabou. La procédure est stoppée dès qu on a effectué un nombre donné d tératons sans amélorer la melleure soluton courante. Des versons plus élaborées, permettant des recherches plus effcaces, ont été proposées par la sute [Glover, 1989], [Glover, 1990]. Cette méthode donne de très bons résultats pratques, malgré l'nexstence de résultats théorques garantssant la convergence de l'algorthme vers la soluton optmale Algorthmes génétques Les algorthmes génétques sont des technques de recherche nsprées de l évoluton bologque des espèces et basées sur une mtaton des phénomènes d adaptaton des êtres vvants. L'applcaton de ces algorthmes aux problèmes d'optmsaton a été formalsée par Goldberg [Goldberg, 1989]. On part d'une populaton (ensemble de solutons) ntale sur laquelle des opératons de reproducton (de crosement ou de mutaton) vont être réalsées dans l'objectf d'exploter au meux les caractérstques et les proprétés de cette populaton. Un algorthme génétque consste à fare évoluer progressvement, par génératons successves, la composton de cette populaton, en mantenant sa talle constante : d une génératon à la suvante, la compétence de la populaton dot globalement s amélorer. Les opératons de reproducton dovent mener à une améloraton de l'ensemble de la populaton pusque les bonnes solutons sont 22

19 encouragées à échanger par crosement leurs caractérstques et à engendrer des solutons encore melleures. Toutefos, des solutons de très mauvase qualté peuvent auss apparaître et permettent d'évter de tomber trop rapdement dans un optmum local. En effet, dans la phase de reproducton, les ndvdus les plus compétents ont une probablté de sélecton plus élevée. Cependant, les descendants n élmnent pas leurs parents, qu demeurent dans la populaton courante. Les dffcultés pour applquer les algorthmes génétques résdent dans le beson de coder les solutons et de fxer les valeurs des dfférents paramètres (talle de la populaton, coeffcents de reproducton, probablté de mutaton, ). De plus, ces algorthmes demandent un effort de calcul très mportant. 2. Etat de l'art sur les problèmes d'ordonnancement no-dle Selon la classfcaton retenue ([Blazewcz et al., 1996], [Rnnoy et Kan, 1976]), F // C max est un problème d'ordonnancement avec : - un ensemble de machnes, lnéarement ordonné (une lgne de producton), - un ensemble de travaux à ordonner sur ces machnes (où, pour chaque traval, exactement une opératon est à exécuter sur chaque machne), - le crtère à optmser est la date d'achèvement du derner traval sur la dernère machne. En matère d ordonnancement de producton, ce problème est le plus étudé dans la lttérature. Johnson, dans [Johnson, 1954], a établ une règle qu prouve l'aspect polynomal pour un problème flow-shop de permutaton à deux machnes. Pluseurs recherches se sont ntéressées depus à l étude des flow-shops de permutaton et flow-shops smples, tels que les travaux de [Campbell et al., 1970], [Dannenbrng, 1977], [Tallard, 1990], et [Wdmem et Hertz, 1989]. Ultéreurement, des contrantes addtonnelles ont été ntrodutes. La contrante sans déla (no-wat) exprme qu'aucune attente entre deux opératons d'un même traval n est permse. La contrante de blocage exprme qu'un traval ne dot lbérer une machne que pour passer drectement sur la machne suvante. Fnalement, la contrante sans arrêt (no-dle) exprme le fat qu'aucun temps mort n est perms sur une machne entre le début de son actvaton et la fn de la réalsaton des opératons qu lu sont affectées. 23

20 Le modèle de contrante no-dle a été proposé pour deux stuatons ndustrelles dfférentes : quand le système de producton lu même le nécesste (traval contnu, système de chauffage, ) ou pour des consdératons économques (geston de la man d œuvre). Les crtères d optmsaton consdérés sont de tros types : - Déla : c est la date d échéance. Il s agt généralement d un crtère à respecter absolument ou à mnmser en dépt de ses mplcatons sur les autres crtères. - Qualté : dans sa nouvelle défnton, la qualté couvre dverses dmensons : technque, humane, servce aux clents, économque et de management ; cette dernère dmenson consste à défnr des stratéges optmsant et harmonsant les actons à condure dans les autres dmensons pré-ctées. - Coût : l optmsaton de ce crtère s accommode d un comproms sur des optmsatons d autres crtères et ce dans le but de mnmser une sommaton globale. Ans, le coût d un ordonnancement peut être mesuré auss ben en durée d exécuton totale ou en sommaton de coûts drects de producton (man d œuvre, transport, changement d outls, ). La mnmsaton du coût peut être affectée de la contrante no-dle pouvant être ntrodute, par exemple, dans le cas de l étude d une fondere où les machnes ne dovent pas s arrêter afn que la coulée de fonte ne se soldfe pas. Un autre cas de fgure sera la mnmsaton du coût assocé à la man d œuvre. Ce coût est fxé par les durées opératores et par les temps morts pendant lesquels un opérateur ne fat ren, se déplace d une ressource à une autre, ou est en charge de pluseurs machnes. Il sera alors ntéressant d élmner ces temps morts afn de rédure le coût total. Dans cette thèse, nous nous ntéressons au cas partculer de l ordonnancement avec la contrante no-dle. Ce problème est peu étudé dans la lttérature. Dans les sous-sectons qu suvent, nous défnssons ce problème et nous présentons un résumé des prncpaux travaux Présentaton du problème flow-shop avec contrante no-dle La soluton d'un problème flow-shop avec contrante no-dle consste à ordonner n travaux (J 1, J 2,.., J n ) sur m machnes (M 1, M 2,.., M m ) de sorte à mnmser un crtère donné tout en s nterdsant des temps d arrêt sur les machnes. Un traval J (pour = 1.. n) possède au plus m opératons (O,1, O,2,..O,m ). Chaque opératon O,r dot être exécutée sur la machne M r sans nterrupton durant p,r untés de temps. Ces temps sont fxes et postfs ou nuls (une valeur nulle de p,r sgnfe que le traval J n a pas d opératon à exécuter sur la machne M r ). Deux 24

21 opératons d'un même traval ne peuvent pas être exécutées smultanément, chaque machne exécute au plus un traval à un nstant donné, et chaque traval dot être exécuté au plus une fos sur les machnes qu l requert en suvant l'ordre 1, 2,, m. Dans le cas partculer d un flow-shop de permutaton, la séquence des travaux dot être la même sur toutes les machnes. Dans la sute de la thèse, nous nous stuons dans ce cadre avec contrante no-dle que nous désgnons par F / no dle / C max. M 1 M 2 M 3 J 1 J 2 J 3 J 1 J 2 J 3 J 1 J 2 J 3 J Affectaton Temps mort Fgure 1.2. Flow-shop sans contrante no-dle M 1 M 2 J 1 J 2 J 3 J 1 J 2 J 3 J Affectaton Temps mort M 3 J 1 J 2 J Fgure 1.3. Flow-shop avec contrante no-dle Les fgures 1.2 et 1.3 présentent respectvement un ordonnancement dans le cas d'un flowshop smple et dans le cas d'un flow-shop où aucun temps mort n est perms Travaux antéreurs Nous présentons c en revue les prncpaux travaux ayant traté le problème de l ordonnancement avec contrante no-dle. Il s avère que le problème partculer du flow-shop de permutaton avec contrante no-dle est peu étudé dans la lttérature. Baptste et Hguny sont les seuls à avor traté le problème F / no dle / C max [Baptste et Hguny, 1997] Travaux de Narasmhan et Panwalkar Partant de l étude d un système de producton de câbles, Narasmhan et Panwalker [Narasmhan et Panwalker, 1984] proposent l'heurstque CMD (Cumulatve Mnmum Devaton) pour un flow-shop hybrde à deux étages, ayant pour objectf de mnmser la 25

22 somme des temps morts et des temps d attente des travaux au deuxème étage, avec une répartton des travaux au deuxème étage (problème noté FH2,(1,Q2) splt (2) somme des temps morts + temps d attente des travaux au deuxème étage). Au premer étage, l y a une seule machne qu fonctonne suffsamment rapdement pour qu'l n'y at pas d'attente au deuxème étage. De plus (1) ( 2) ( 2) p 0.4 * p * p,1, 2 = (où (k ) p désgne la durée d exécuton du traval à l étage k et (2) p, j désgne la durée d exécuton du traval sur la machne j du deuxème étage). Les auteurs ont applqué et comparé SPT, LPT, MD (Medum Devaton) et CMD. Pour cela, ls ont défn les quanttés = p ( 2) p, 1 (1) et λ = p ( 2) p, 2 (1). Les règles SPT et LPT sont applquées sur les durées opératores au premer étage. S'l y a ndétermnaton alors les travaux sont classés par + λ crossant. La règle MD consste à classer les travaux par + λ crossant. S'l y a ndétermnaton pour la ème poston alors on chost le traval J h tel que h + λ 0. Enfn, la règle CMD place à la ème poston le traval [ 1] qu mnmse la quantté ajoutée à Z, où Z = temps d'nactvté + temps d attente des travaux au deuxème étage. S'l y a ndétermnaton, on applque la même règle que dans MD ; CMD s est révélée la melleure. En 1987, les auteurs généralsent la règle CMD, notée GCMD, pour un problème de flow-shop hybrde avec un nombre de machnes dfférent de 1 au premer étage et supéreur ou égal à 1 au deuxème étage [Narasmhan et Mangamel, 1987]. Kadpasaoylu, Xang et Khunawola [Kadpasaoylu et al., 1997] ont reprs ces travaux, d'une part, en rajoutant l'étude de deux règles économques de séquencement (valeur ajoutée au traval) dans le cas statque et, d'autre part, en effectuant une étude supplémentare dans le cas dynamque lorsque les travaux dsposent de dates de fn souhatées. Ils ont montré en outre l'équvalence des règles SPT et MD dans les travaux orgnels en rason des condtons d'expérmentaton. Les ordonnancements sont évalués d'après de nombreux crtères de performances classques. Dans le cas statque, les auteurs confrment le bon comportement de GCMD, ls mettent en évdence qu'une mnmsaton des temps morts des machnes et des temps d'attente des travaux ne condut pas nécessarement à une réducton de la durée totale et ls montrent que les règles économques de séquencement ont auss un bon comportement. Dans le cas dynamque, d'autres règles sont ajoutées pour tenr compte des dates échues des travaux. L'étude montre un bon comportement global ndut par les règles ajoutées alors que GCMD se révèle beaucoup plus fragle que dans le premer cas. Les règles économques ans que SPT ne produsent pas de bons résultats vs-à-vs des retards. Dans tous les cas, LPT est peu performante. 26

23 Travaux de Kng et Spachs Une premère parte des travaux publés dans [Kng et Spachs, 1980] s ntéresse au problème général du flow-shop de permutaton. Les auteurs proposent cnq heurstques basées sur des consdératons de réducton des temps morts entre les travaux, dont LWBJD (Least Weghted Between-Jobs Delay) qu révèle des technques de couplage assort. La seconde parte concerne les problèmes F / no wat / C max. Ben que s agssant des problèmes F // C max, l nous a paru utle de nous attarder c sur l algorthme LWBJD dans la mesure où, pour mnmser le makespan, les auteurs ntrodusent la mnmsaton des temps morts entre les travaux. Les auteurs montrent que plus ces temps apparassent tardvement dans la séquence et plus ls sont ndésrables. L dée est de les pondérer afn de pénalser les plus tardfs. Les tests effectués ont porté sur des jeux générés pour des problèmes de talle 10*4, 20*5, 35*5 (nombre de travaux * nombre de machnes), selon des dstrbutons de ERLANG. Nous proposons c une verson smplfée de LWBJD [Grununberger et Souedet, 1989]. LWBJD repose sur le calcul de la somme totale des temps d'attente entre deux travaux sur les dfférentes machnes. Consdérons l exemple du problème de talle 3*3 représenté par la fgure 1.4. M 1 p 1,1 p 2,1 p 3,1 M 2 E 1 p 1,2 p 2,2 p 3,2 M 3 E 2 p 1,3 p 2,3 p 3,3 Fgure 1.4. Dagramme de Gantt d un ordonnancement flow-shop p,j désgne la durée opératore du traval J sur la machne M j et E k désgne le temps d attente, entre le traval J et le traval J j, sur la machne M k+1. Le temps total d'attente entre le traval J 1 et le traval J 2 est calculé par l expresson pondérée : D E + 2 E 1,2 = 1 * 2 avec 1 2,1 1, 2 E = p p, et E = E1 + p p 2 2, 2 1, 3 En généralsant à m machnes, le temps total d attente entre le traval J et le traval J j se calcule par l expresson pondérée : m D = 1 k * Ek, avec = 0, j 0 k = 1 E et E k = max( 0, E + p p ), k 1 j, k, k + 1 pour k = 1.. m-1, et D, = HV (une grande valeur). 27

24 Nous présentons dans ce qu sut l algorthme LWBJD ans qu un exemple llustratf. Algorthme LWBJD : 0. lre les données 1. calcul de la matrce des D,j pour, j = 1.. n. 2. sot (P*, Q*) = (P, Q) / D P,Q = mn,j D,j O = ( P*, Q*) et D, P * = HV, pour = 1.. n. 3. sot (Q*, R*) = (Q*,R) / D Q*,R = mn j D Q*,j O = O R* et D Q =, * HV, pour = 1.. n. 4. Q* = R* et on recommence à l'étape 3 jusqu'à ce que le nombre k de travaux consttuant la séquence O sot égal au nombre total de travaux à ordonnancer. 5. Edton des résultats. Exemple 1.1. Soent les durées opératores du problème flow-shop de la table 1.1 défnes sur tros machnes et quatre travaux. M 1 M 2 M 3 J J J J Table 1.1. Problème flow-shop Applquons l algorthme LWBJD au problème flow-shop décrt par la table 1.1 : - Le pas 1 condut à la constructon de la matrce D,j donnée par table HV HV HV HV Table 1.2. Premère évaluaton 28

25 - Au pas 2 : En commençant par J 1, s J 2 sut on a (7), s J 3 sut on a (0), s J 4 sut on a (18). En commençant par J 2, s J 1 sut on a (16), s J 3 sut on a (0), s J 4 sut on a (8). En commençant par J 3, s J 1 sut on a (17), s J 2 sut on a (7), s J 4 sut on a (10). En commençant par J 4, s J 1 sut on a (2), s J 2 sut on a (0), s J 3 sut on a (0). On peut retenr le mnmum (P*, Q*) = (1, 3). On a alors O = (1, 3) et D,1 = HV pour = 1... n ; d où l on construt la nouvelle matrce D,j donnée par table HV HV HV HV 7 HV 10 4 HV 0 0 HV Table 1.3. Deuxème évaluaton - Au pas 3, on retent le mnmum : (3, R*) = (3, 2). On a alors O = (1, 3, 2) et D,3 = HV pour = 1 n ; d où l on construt la matrce D,j donnée par table HV 7 HV 18 2 HV HV HV 8 3 HV 7 HV 10 4 HV 0 HV HV Table 1.4. Trosème évaluaton - Au pas 4, on retent le mnmum : (2, R*) = (2, 4). On a alors O = (1, 3, 2, 4) et D,2 = HV pour = 1 n. 29