Leçon 14 : Congruences dans Z. Anneaux Z/nZ.

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1 Leçon 14 : Congruences dans Z. Anneaux Z/nZ. Pré-requis : L anneau des entiers relatifs Z et ses propriétés. Notions générales sur l arithmétique des entiers : Divisibilité, diviseur, multiple, division euclidienne, théorème de Bezout, théorème de Gauβ,... Notions d algèbre générale : Groupe, sous-groupe, anneau, idéal, groupe quotient (ou anneau quotient), relation d équivalence, morphisme (de groupe ou d anneau), corps,... Cadre : Nous avons construit l anneau Z des entiers relatifs muni de deux lois commutatives + et prolongeant celles de N. On a montré que Z muni de ces deux lois était un anneau commutatif et intègre. On définit une application δ: Z N, telle que, pour tout (a, b) Z Z, il existe q, r Z vérifiant les conditions a=b q +r avec δ(r)<δ(b). Ceci fait de Z un anneau euclidien donc principal, et on connait ainsi la forme de ses idéaux, ils sont de la forme pz, avec p Z. Comme le dit si bien D.-J. MERCIER dans son ouvrage «l épreuve d exposé au CAPES de mathématiques, volume II», nous côtoyons (souvent sans le savoir!) les anneaux Z/nZ dans la vie de tous les jours, comme par exemple : Le comptage des heures dans une journée se fait «modulo» 12 ou 24. Le cryptage des codes bancaires avec le code RSA se fait aussi à l aide des anneaux Z/nZ. Faire pivoter une photo de 486ř dans un logiciel de retouches de photographies revient à la faire pivoter de 126ř, «modulo» Mais, que veut dire ce «modulo» que l on vient de citer dans les exemples? Le but de la première partie va être justement d en donner une définition propre sur le point de vue mathématique, puis dans les parties suivantes nous verrons les éventuelles applications et utilisations possibles. 1 Congruences dans Z Théorème 1. Soit n Z. La relation binaire R n définie sur Z par xr n y x y est divisible par n est une relation d équivalence. Preuve. Il est clair que R n est réflexive puisque 0 est divisible par n. Ensuite, si xr n y, alors il existe k Z tel que x y =kn. Ainsi, y x= kn = ( k)n et donc y x est aussi divisible par n. Ainsi, si xr n y, on a yr n x. Enfin, si on a xr n y et yr n z, alors, il existe k,k Z tels que x y=kn et y z=k n, d où x z=(x y)+(y z)=kn+k n=(k+k )n=kn avec K=k+k. D où on a x z qui est divisible par n, soit xr n z. 1

2 2 Section 1 Définition 2. La relation d équivalence R n introduite dans le théorème 1. se note communément et se dit relation de congruence dans Z modulo n. Ainsi, xr n y est usuellement noté x y mod(n) et on dit que «x est congru à y modulo n». Remarque. Puisque l ensemble des multiples de n dans Z est l idéal nz, on a tout de suite xr n y x y mod(n) x y nz Théorème 3. Soit n Z, x,y Z. Alors x y mod(n) si, et seulement si x et y ont le même reste dans leur division euclidienne par n. Preuve. Supposons que x y mod(n). Effectuons la division euclidienne de x et de y par n : Il existe q,q,r,r Z, avec 0 r<n et 0 r <n. Ainsi on a x=qn+r et y=q n+r. Ainsi x y=n(q q )+r r, avec 0 r r <n Comme n (x y), on a n r r donc r r =0, soit r=r. Réciproquement, si x et y ont le même reste dans leur division euclidienne par n, notons le R. Il existe alors a,b Z tels que x=na +R et y=nb +R, et x y=n(a b)=nk, en posant K =a b Z. Ainsi, x y est divisible par n, soit x y mod(n). Théorème 4. Soit n Z. Les lois + et de Z sont compatibles avec R n. Preuve. Il suffit de vérifier que, pour tous x,y,x,y Z, si x y mod(n) et x y mod(n), alors x+x y+y mod(n) et x x y y mod(n) Puisque x y mod(n) et x y mod(n), alors il existe k,k Z tels que x y =kn et x y =k n. Ainsi, x y+x y =(x+x ) (y+y )=(k+k )n=k n avec k =k+k Z. Donc on a bien x+x y+y mod(n). De plus, x x y y =x x x y +x y y y =x(x y )+y (x y)=xk n+y kn=n(k x+y k)=k 1 n avec k 1 =k x+y k Z. D où x x y y mod(n). Corollaire 5. Soit p,r N, et soient x,y Z tels que x y mod(n). Alors, px py mod(n) et x r y r mod(n)

3 Anneau quotient Z/nZ 3 Preuve. Montrons la première propriété par récurrence sur p. Posons P(p): px py mod(n). P(1) est vraie car x y mod(n) par hypothèse. Ensuite, on suppose que, pour p N, P(p) est vraie. Posons x 1 = px et y 1 = py. On a (x y mod(n)) (x 1 y 1 mod(n)) (1) x+x 1 y+y 1 mod(n) (p+1)x (p+1)y mod(n) (1) provient du théorème 4. Ce qui montre que P(p+1) est vraie. Ainsi, P(p) est vraie, pour tout p N. Pour la deuxième propriété, faisons-le aussi par récurrence sur r. Posons Q(r): x r y r mod(n). Q(1) est vraie car x y mod(n) par hypothèse. Ensuite, on suppose que pour r N fixé, Q(r) est vraie. Posons x 2 =x r et y 2 =y r. On a (x y mod(n)) ((x 2 y 2 mod(n)) (2) x x 2 y y 2 mod(n) x r+1 y r+1 mod(n) (2) provient du théorème 4. D où Q(r+1) est vraie. Ainsi, Q(r) est vraie, pour tout r N. 2 Anneau quotient Z/nZ Définition 6. Soit n Z. L ensemble quotient Z/R n est usuellement noté Z/nZ. On notera k la classe d équivalence de l élément k de Z dans Z/nZ, c est à dire que k ={p Z,p k mod(n)} Remarque. Z/0Z Z et Z/1Z {0}, c est pourquoi on supposera par la suite, pour l étude de l ensemble Z/nZ, que n 2. Proposition 7. Z/nZ={0,1,,n 1}. Preuve. Soit x Z, il existe un unique couple (q,r) Z N, avec 0 r<n tel que x= qn+r. Ainsi, x =r, et tout élément de Z/nZ est de la forme r, r {0,1,,n 1}. De plus, les éléments {0,1,,n 1} sont distincts deux à deux : En effet, si r,s {0,1,,n 1} tels que r =s, alors n r s et 0 r s <n impliquent r s=0, soit r=s. On pouvait aussi conclure par le théorème 2.. Définition 8. On munit Z/nZ de deux lois internes + Rn et Rn définies, pour tous x,y Z, x + Rn ȳ =x+y et x Rn ȳ =x y Théorème 9. (Z/nZ,+ Rn, Rn ) est un anneau commutatif.

4 4 Section 2 Preuve. Montrons dans un premier temps que + Rn et Rn sont bien définies, c est à dire que la somme x + Rn ȳ et le produit x Rn ȳ ne dépendent pas des représentants choisis. Dire que x =x et que ȳ =y signifie que x x mod(n) et y y mod(n) et par la compatibilité de pour + et exprimée dans le théorème 4. nous permet de dire que x+y x +y mod(n) et x x y y mod(n) soit x+y =x +y et x y =x y. Ceci fait, montrons que (Z/nZ, + Rn ) est un groupe commutatif. En effet, pour tout k Z/nZ, 0 est élément neutre pour + Rn. On a k + Rn 0 =k+0=k =0+k =0 + Rn k Ensuite, pour tous k,k2 1,k3 Z/nZ, k 1+Rn (k 2+Rn k )=k1 3 +Rn k 2 +k 3 =k 1 +(k 2 +k 3 )=(k 1 +k 2 )+k 3 =k 1 +k 2 + Rn k 3=(k1 +Rn k )+Rn 2 k 3 ce qui montre que + Rn est associative. De plus, pour tout k Z/nZ, l élément n k est l inverse de k pour + Rn. En effet, k + Rn n k =k+n k =n =0 enfin, pour tout k,k Z/nZ, k + Rn k =k+k =k +k =k + Rn k Ce qui montre que (Z/nZ, + Rn ) est un groupe commutatif. Ensuite, montrons que 1 est élément neutre pour Rn. En effet, pour tout k Z/nZ, Puis, pour tous k,k2 1,k3 Z/nZ, k Rn 1 =k 1=k =1 k =1 Rn k k 1 Rn (k 2 Rn k )=k1 3 Rn k 2 k 3 =k 1 (k 2 k 3 )=(k 1 k 2 ) k 3 =k 1 k 2 Rn k 3=(k1 Rn k ) Rn 2 k 3 ce qui montre que Rn est associative. Enfin, pour tout k,k Z/nZ, k Rn k =k k =k k =k Rn k Il nous reste à montrer que Rn est distributive par rapport à + Rn. Effectivement, pour tous k,k2 1, Z/nZ, (k 1+Rn k ) Rn 2 k 3=k1 +k 2 Rn k 3=(k1 +k 2 ) k 3 =k 1 k 3 +k 2 k 3 k 3 =k 1 k 3 + Rn k 2 k 3 =k 1 Rn k 3+Rn k 2 Rn k 3 Corollaire 10. Il existe une unique structure d anneau sur Z/nZ pour laquelle la projection canonique π: Z Z/nZ x x

5 Anneau quotient Z/nZ 5 est un morphisme d anneaux unitaires. Preuve. π est un morphisme d anneaux si, et seulement si, pour tous x,y Z, π(x+y)=π(x) π(y) et π(x y)=π(x).π(y) autrement dit si la loi est en fait la loi + Rn et si. est Rn. Enfin, π est bien un morphisme d anneaux unitaires puisque π(1) = 1. Remarque. Certains éléments de Z/nZ ne sont pas inversibles pour Rn : En effet, dans Z/6Z, il n existe pas de k Z/6Z tel que 2 R6 k = 1. Ce qui justifie que par la suite on va chercher une condition nécessaire et suffisante sur n pour que tous les éléments de Z/nZ, hormis 0, soient inversibles. Nous noterons + Rn et Rn seulement par + et. Il n y a en effet pas d ambiguité à les noter ainsi, puisque les éléments de Z/nZ diffèrent de ceux de Z. Les éléments de Z/nZ inversibles pour forment un groupe, que nous noterons (Z/nZ). Proposition 11. Soient x Z/nZ et n N, n 2. Les assertions suivantes sont équivalentes : i. x est inversible. ii. PGCD(x,n)=1 iii. x est un générateur du groupe (Z/nZ,+). Preuve. Montrons i ii : x est inversible si, et seulement s il existe ȳ Z/nZ tel que x ȳ =1, donc s il existe u Z tel que x y=u n+1, ou x y u n=1 et d après le théorème de Bezout, on a x inversible y,u Z tels que x y u n=1 PGCD(x,n)=1 Montrons iii ii : Le sous-groupe additif x de Z/nZ engendré par x est égal à Z/nZ s il contient un générateur de ce dernier, par exemple 1. Puisque x ={kx,k Z}, dire que x est générateur de (Z/nZ,+) revient à affirmer l existence de k Z tel que kx =1, ce qui équivaut à affirmer l existence de deux entiers k,u Z tels que k x+u n=1, et le théorème de Bezout nous permet de conclure sur le fait que x et n sont premiers entre eux, soit PGCD(x,n)=1. Proposition 12. Soit n N, n 2. Les assertions suivantes sont équivalentes : i. n est un nombre premier. ii. Z/nZ est un corps. iii. Z/nZ est un anneau intègre.

6 6 Section 2 Preuve. Montrons i ii : Si n est premier et si x (Z/nZ) {0 }, n sera premier avec x et il existera deux entiers relatifs u et v tels que u x+v n=1. Cela prouve que ū x =1 et que x est inversible. Donc Z/nZ est un corps. Montrons ii iii : C est évident, car tout corps est un anneau intègre. En effet, supposons que K est un corps, si x,y K sont tels que x.y=0, alors soit x=0 et c est terminé, soit x 0 et dans ce cas-là x est inversible dans K, et ainsi x.y=0 x 1.x.y=0 y=0. Montrons iii i : Si n = a b, alors ā b = 0 et l intégrité de l anneau Z/nZ nous donne que ā =0 ou b =0. Si par exemple ā =0 (le cas b =0 se traitant de la même manière), on a a=n a et ainsi n=n a b, donc a b=1 et ainsi b=±1. Les diviseurs de n sont donc ±1 et ±n, ce qui montre que n est premier. Remarque. On peut noter que l équivalence ii résultat plus général suivant : 1 iii annoncée par la proposition 12. provient du Théorème 13. Tout anneau fini est intègre si, et seulement si c est un corps. Théorème 14. (Théorème dit «des restes chinois») Soient p,q N, p,q 2. p et q sont premiers entre eux si, et seulement si (Z/pZ) (Z/qZ) (Z/pqZ) Preuve. Si PGCD(p, q) = 1, on considère le morphisme d anneaux f: Z (Z/pZ) (Z/qZ) x (x,x ) x Ker(f) si, et seulement si f(x)=(0,0 ), autrement dit si et seulement si x est divisible à la fois par p et par q. Comme p et q sont premiers entre eux, on a x divisible par pq. Ainsi, Ker(f) = pqz, puisque Ker(f) est un idéal de Z. Ainsi, par décomposition canonique de f, on obtient un morphisme d anneaux f défini par Z/pqZ (Z/pZ) (Z/qZ) f : xˆ (x,x ) Les ensembles de départ et d arrivée de f ayant même cardinal, on déduit la surjectivité et donc la bijectivité de f. Z/pqZ (Z/pZ) (Z/qZ) Réciproquement, supposons l existence d un isomorphisme d anneaux g:, xˆ (x,x ) et raisonnons par l absurde. Supposons que PGCD(p, q)=δ>1. Notons p=δp et q=δq. On a nécessairement g(1ˆ)=(1,1 ), et comme g conserve les ordres additifs, on doit avoir ord(1,1 )=ord(1ˆ)=pq ce qui est absurde car δp q (1,1 )=(0,0 ), avec 0<δp q <pq. 1. Nous reviendrons sur ce résultat et sa preuve dans les annexes.

7 Anneau quotient Z/nZ 7 Corollaire 15. Soit n N, n 2. Notons n= p 1 1 p k k la décomposition de n en produit de facteurs premiers. Alors les ensembles Z/nZ et (Z/p 1 1 Z) (Z/p k k Z) sont isomorphes. Preuve. Montrons-le par récurrence : Soit P(k): Z/nZ (Z/p 1 1 Z) (Z/p k k Z). P(1) est vraie tout le temps, P(2) est vraie par le théorème 15.. Soit donc m N, m N fixé. On suppose P(m) vraie. Soit n =n p m+1 m+1. Ainsi, Z/n Z (Z/nZ) (Z/p m+1 m+1 Z) et on applique l hypothèse de récurrence au premier facteur pour obtenir le résultat voulu. Donc P(m+1) est vraie, et ainsi P(k) est vraie pour tout k 1. Définition 16. Soit n N, n 2. L application est appelée indicatrice d Euler. ϕ: N N n ϕ(n)= (Z/nZ) Proposition 17. Soit n N, n 2. Notons n = p 1 1 p k k la décomposition de n en produits de facteurs premiers. Alors ϕ(n)=n k (1 1 ) pi i=1 Preuve. Les p i étant premiers entre eux, le corollaire 16. nous dit que Z/nZ (Z/p 1 1 Z) (Z/p k k Z) Ainsi, (Z/nZ) = 2 (Z/p 1 1 Z) (Z/p k k Z) = (Z/p 1 1 Z) (Z/p k k Z) ce qui nous donne que k ϕ(n)= i=1 ϕ(p i i ) Soit i 1,k. Les éléments de Z/p i i Z qui ne sont pas inversibles sont en bijection avec les a Z tels que PGCD(a, p i i ) 1, mais PGCD(a, p i i ) 1 PGCD(a, p i ) 1. Il s agit donc des multiples de p i,, p i i p i, donc des mp i pour m 0, p i 1 i 1, et il y en a exactement p i 1 i. c est à dire 0, p i, 2p i, D où { ϕ(p i i )= (Z/p i i Z) = (Z/p i i Z) kp i, k 0,p i i 1 1} =pi i p i i 1 =p i i 1 (p i 1) Ainsi, k k k ϕ(n)= ϕ(p i i )= p i 1 i (p i 1)= i=1 i=1 i=1 k p i i (1 1 ) =n p (1 1 ) pi pi i=1 i=1 2. L égalité en elle-même n est pas si évidente. Nous reviendrons sur la preuve de celle-ci dans les annexes.

8 8 Section 4 3 Annexes 3.1 Retour sur le théorème Retour sur une autre preuve du théorème Retour sur l indicatrice d Euler 3.4 Théorème d Euler 4 Compléments et Bibliographie A voir aussi : La théorie des corps finis. Théorie de Galois (pour la culture!). Leçon 13 sur les nombres premiers. Théorèmes de Fermat et de Wilson. Une preuve probabiliste de la proposition 18.. Bibliographie : «L épreuve d exposé au CAPES de mathématiques, volume III», par D.-J. MERCIER

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