Test de conformité - Test d homogénéité

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1 S3 Maths et Ifo-MIAGE Statistique et Probabilités Test de coformité - Test d homogééité Uiversité de Picardie Jules Vere UFR des Scieces Licece metio Mathématiques et metio Iformatique parcours MIAGE - Semestre 3 Statistique et Probabilités Test de coformité - Test d homogééité 1. Test de coformité O s itéresse à la questio suivate : état doée ue variable aléatoire X, défiie sur ue certaie populatio, et dot la loi de probabilité déped d u paramètre icou, peut-o raisoablemet supposer que est égal à ue certaie valeur 0 doée a priori? Par exemple, ue machie doit fabriquer des pièces cylidriques de diamètre 0 fixé. Mais, malgré les réglages, les diamètres des pièces e sot pas toujours égaux à 0, et se distribuet aléatoiremet. Commet savoir si la moyee des diamètres des pièces produites est bie égale à 0? Le cotrôle de toutes les valeurs de X sur toute la populatio état e gééral impossible (trop log, trop coûteux,...), o extrait u échatillo X 1,X,...,X de taille de X, sur lequel o peut observe les valeurs x 1,x,...,x de X. La questio est alors : au vu des résultats obteus sur l échatillo et aux fluctuatios d échatilloage près, est-il légitime de supposer que 0? La répose à la questio est doée par la mise e place d u test de coformité. De faço géérale, u test statistique est ue procédure permettat de calculer la valeur d ue certaie foctio des observatios d u ou de plusieurs échatillo, qui coduit à rejeter ou o, avec u certai risque d erreur, ue hypothèse gééralemet appelée hypothèse ulle et otée H 0. Celle-ci porte sur la (ou les) populatio(s) d où est (sot) issu(s) le(s) échatillo(s). Elle s oppose à ue hypothèse dite alterative et otée H Pour ue moyee Cosidéros u caractère quatitatif représeté par ue variable aléatoire X d espérace mathématique, d écart-type, et u échatillo X 1,X,...,X de taille de X. La moyee d échatillo est X 1 et la variace corrigée d échatillo est S c 1 S, avec S 1 X i X 1 X i X Cas d u petit échatillo gaussie : 30 et X de loi ormale N ; Cas cou (exemple itroductif) Il s agit de faire u choix etre plusieurs hypothèses possibles sur sas disposer d iformatios suffisates pour que ce choix soit sûr. O met e avat deux hypothèses privilégiées : l hypothèse ulle H 0 et l hypothèse alterative H 1. Par exemple, o testera H 0 : 0 cotre H 1 : 0, avec 0 fixé arbitrairemet. O veut savoir si l o doit rejeter H 0 ou pas. Test (bilatéral) de H 0 : 0 cotre H 1 : 0. O utilise alors ue variable aléatoire dot o coait la loi de probabilité lorsque H 0 est vraie. Par exemple U X, car lorsque H 0 estvraie,osaitqueu X 0 suit la loi N 0;1. O fixe ue valeur 0,1.Egééral,opred petit, le plus souvet 0, 05, 0, 01, 0, 001. O peut trouver u réel u tel que P u U u 1. Ce réel u peut être trouvé das la table. O est doc ameé à comparer la moyee X de l échatillo à la moyee théorique 0. L hypothèse H 0 sigifiera que les différeces observées sot seulemet dûes aux fluctuatios d échatilloage (i.e. e sot pas sigificatives). O e rejettera pas H 0 si les différeces observées e sot pas sigificatives, c est-à-dire si U est "petite", ce que l o peut traduire par u U u, c est-à-dire U u. O rejetera doc H 0 si les différeces observées sot sigificatives, ce que l o peut traduire par U u ou U u, c est-à-dire U u. Par costructio de u,oap U u P U u, soit ecore P U u, i.e. P U u,u. Stéphae Ducay 1 X i

2 S3 Maths et Ifo-MIAGE Statistique et Probabilités Test de coformité - Test d homogééité E pratique, o calcule u x 0 et o décide - de rejeter H 0 si u u,u, car si H 0 était vraie, l évéemet U u,u aurait ue probabilité faible de se réaliser ; o pourra dire que la valeur observée x est pas coforme à la valeur théorique 0 mais o e pourra pas doer de valeur acceptable de ; -deepasrejeterh 0 si u u,u, car si H 0 était vraie, l évéemet U u, u aurait ue probabilité forte de se réaliser ; o pourra dire que la valeur observée x est coforme à la valeur théorique 0 et que la valeur 0 e peut être rejeter. Attetio : d autres valeurs 0, 0,... peuvet égalemet coveir. Erreurs de décisio. Lorsqu o rejette H 0 alors que H 0 est vraie, o commet ue erreur. O a doc ue probabilité de se tromper : est appelée erreur de première espèce. E effet, lorsque H 0 estvraie,oa P U u,u. Lorsque l o e rejette pas H 0 alors que H 0 est fausse, o commet ue erreur. O a ue probabilité de se tromper : est appelée erreur de deuxième espèce. Cette erreur est difficilemet calculable. La plupart du temps, o e coait pas la loi de U lorsque H 0 est fausse. La valeur 1 est appelée la puissace du test. Test (uilatéral) de H 0 : 0 cotre H 1 : 0. O détermie u tel que P U u, i.e. P U u 1, i.e. u que : -siu u, alors o e peut rejeter H 0 ; -siu u, alors o rejette H 0 avec ue probabilité de se tromper. 1 1 u,etodécide Cas icou O sait que T X S c suit la loi de Studet à 1 degrés de liberté. O détermie alors le réel t tel que P t T t 1 (table 3). Test (bilatéral) de H 0 : 0 cotre H 1 : 0. O calcule t x 0 s c.odétermiet tel que P t T t 1 et o décide que : -sit t, t, alors o e peut rejeter H 0 ; -sit t,t, alors o rejette H 0 avec ue probabilité de se tromper. Test (uilatéral) de H 0 : 0 cotre H 1 : 0. O détermie t tel que P T t 1, i.e. t t, et o décide que : -sit t, alors o e peut rejeter H 0 ; -sit t, alors o rejette H 0 avec ue probabilité de se tromper. Test (uilatéral) de H 0 : 0 cotre H 1 : 0. O détermie t tel que P T t 1, i.e. t t t, et o décide que : -sit t, alors o e peut rejeter H 0 ; -sit t, alors o rejette H 0 avec ue probabilité de se tromper Cas d u grad échatillo : 30 O sait que U X suit approximativemet la loi ormale N 0;1. S c Test (bilatéral) de H 0 : 0 cotre H 1 : 0. O calcule u x 0 s c.odétermieu tel que P u U u 1, et o décide que : -siu u,u, alors o e peut rejeter H 0 ; -siu u,u, alors o rejette H 0 avec ue probabilité de se tromper. Stéphae Ducay

3 S3 Maths et Ifo-MIAGE Statistique et Probabilités Test de coformité - Test d homogééité Test (uilatéral) de H 0 : 0 cotre H 1 : 0. O détermie u tel que P U u 1, i.e. u 1 1 u, et o décide que : -siu u, alors o e peut rejeter H 0 ; -siu u, alors o rejette H 0 avec ue probabilité de se tromper. Test (uilatéral) de H 0 : 0 cotre H 1 : 0. O détermie u tel que P U u 1, i.e. u 1 u u, et o décide que : -siu u, alors o e peut rejeter H 0 ; -siu u, alors o rejette H 0 avec ue probabilité de se tromper Exemple Das ue usie du secteur de l agroalimetaire, ue machie à embouteiller est alimetée par u réservoir d eau et par ue file d approvisioemet e bouteilles vides. Pour cotrôler le bo foctioemet de la machie, o veut costruire u test d hypothèse bilatéral qui sera mis e oeuvre toutes les heures. Pour ue productio d ue heure, o suppose que la variable aléatoire X qui à toute bouteille, prise au hasard das cette productio, associe le volume d eau (e litres) qu elle cotiet, est ue variable aléatoire d espérace et d écart-type icous. O cosidère que la machie est bie réglée lorsque le volume d eau moye das ue bouteille est 1,5 l. O a prélevé u échatillo de 100 bouteilles, et o a obteu u volume d eau moye de 1,495 l et u écart-type corrigé de 0, 01. Peut-o coclure, au risque 5%, que la machie est bie réglée? O peut cosidérer la situatio suivate. Populatio : bouteilles produites Variable X : volume d eau, variable aléatoire de moyee et d écart-type 0,04. Echatillo E X 1,X,...,X de taille 100 de X. Observatio de l échatillo : e x 1,x,...,x. Estimateurs X 1 X i de et S c 1 S de, avec S 1 X i X. Estimatios poctuelles : x 1, 495 et s c 0,01. O a doc u grad échatillo. O effectue u test (bilatéral) de H 0 : 0 cotre H 1 : 0. O sait que U X suit approximativemet la loi ormale N 0;1. S c O calcule u x 0 s c 1,495 1,5 0, O détermie u tel que P u U u 1 (table ) : pour 0, 05, o trouve u 1;96. Comme u u,u,orejetteh 0 avec ue probabilité de se tromper : la machie est pas bie réglée. 1.. Pour ue variace Cosidéros u caractère quatitatif représeté par ue variable aléatoire X de loi ormale N ;,etu échatillo X 1, X,...,X de taille de X. La moyee d échatillo est X et la variace corrigée d échatillo est S c 1 S. Alors Y 1 S c suit la loi de khi deux à 1 degrés de liberté. Test (bilatéral) de H 0 : 0 cotre H 1 : 0. O calcule y 1 0 s c.odétermiea et b tels que P Y a 1 et P Y b (table 4). O a doc P Y a,b P a Y b 1 et P Y a,b. O décide que : -siy a, b, alors o e peut rejeter H 0 ; -siy a, b, alors o rejette H 0 avec ue probabilité de se tromper. Stéphae Ducay 3

4 S3 Maths et Ifo-MIAGE Statistique et Probabilités Test de coformité - Test d homogééité Test (uilatéral) de H 0 : 0 cotre H 1 : 0. O détermie b tel que P Y b, i.e. b b et o décide que : -siy b, alors o e peut rejeter H 0 ; -siy b, alors o rejette H 0 avec ue probabilité de se tromper. Test (uilatéral) de H 0 : 0 cotre H 1 : 0. O détermie a tel que P Y a 1, i.e. a a et o décide que : -siy a, alors o e peut rejeter H 0 ; -siy a, alors o rejette H 0 avec ue probabilité de se tromper Pour ue proportio p Cosidéros ue variable aléatoire X de loi de Beroulli B p,oùpest la proportio d idividus de la populatio ayat ue propriété doée, u échatillo X 1,X,...,X de taille de X et la proportio (ou X i fréquece) d échatillo F propriété. O sait que si p 10 et 1 p 10, alors U,oùX i représete le ombre d idividus de l échatilloage ayat la F p p 1 p suit approximativemet la loi ormale N 0;1. O détermie le réel u tel que P u U u 1, i.e. u 1 1 (table ). Test (bilatéral) de H 0 : p p 0 cotre H 1 : p p 0. O calcule u f p 0 p 0 1 p 0.Odétermieu tel que P u U u 1, i.e. u 1 1 et o décide que : -siu u,u, alors o e peut rejeter H 0 ; -siu u,u, alors o rejette H 0 avec ue probabilité de se tromper. Test (uilatéral) de H 0 : p p 0 cotre H 1 : p p 0. O détermie u tel que P U u 1, i.e. u 1 1 u, et o décide que : -siu u, alors o e peut rejeter H 0 ; -siu u, alors o rejette H 0 avec ue probabilité de se tromper. Test (uilatéral) de H 0 : p p 0 cotre H 1 : p p 0. O détermie u tel que P U u 1, i.e. u 1 u u, et o décide que : -siu u, alors o e peut rejeter H 0 ; -siu u, alors o rejette H 0 avec ue probabilité de se tromper.. Test d homogééité Das deux populatios P 1 et P, o étudie u même caractère. O cherche à comparer les deux populatios quat à ce caractère, et doc à savoir si elles sot homogèes ou pas..1. Comparaiso de deux variaces Soiet X 1 et X des variables aléatoires représetat le caractère das chaque populatio, de moyees respectives 1 et, d écart-types respectifs 1 et.dep 1 et P o extrait u échatillo E 1 X 1,1, X 1,,...,X 1,1 de taille 1 de X 1 et u échatillo E X,1,X,,...,X, de taille de X. Les moyees d échatillo sot alors X X 1,i et X 1 X,i, et les variaces corrigées d échatillo S c, S 1 et S c, 1 S, avec S X 1,i X 1 et S 1 X,i X. Stéphae Ducay 4

5 S3 Maths et Ifo-MIAGE Statistique et Probabilités Test de coformité - Test d homogééité.1.1. Cas d échatillos idépedats Les échatillos E 1 et E sot supposés idépedats. O suppose de plus que X 1 et X suivet les lois ormales N 1 ; 1 et N ;. Test de H 0 : 1 cotre H 1 : 1. Sous l hypothèse H 0, F S c,1 suit la loi de Sédécor à 1 1, 1 degrés de liberté. S c, O calcule f s c,1. Si écesaire, o permute les échatillos de sorte que f 1. O détermie f tel que s c, P F f (table 5 ou 6), et o décide que : -sif f, alors o e peut rejeter H 0 ; -sif f, alors o rejette H 0 avec ue probabilité de se tromper..1.. Cas d échatillos appariés Deux échatillos E 1 et E sot dits appariés lorsque chaque observatio x 1,i de E 1 est associée à ue valeur x,i de E (appariés associés par paires). C est par exemple le cas lorsque E 1 et E provieet d u même groupe de malades avat et après traitemet. Deux échatillos appariés ot doc la même taille 1. O suppose que E 1 et E sot appariés et que X 1 et X suivet les lois ormales N 1 ; 1 et N ;. Test de H 0 : 1 cotre H 1 : 1. S Sous l hypothèse H 0, T c,1 S c, S c,1 S c, 1 X 1 1,i X 1 X,i X degrés de liberté. O calcule t s c,1 s c, 1 1 s c,1 s c, x 1,i x 1 x,i x P t T t 1 (table 3), et o décide que : -sit t, t, alors o e peut rejeter H 0 ; -sit t,t, alors o rejette H 0 avec ue probabilité de se tromper... Comparaiso de deux moyees suit la loi de Studet à.odétermiet tel que..1. Cas de grads échatillos idépedats O suppose que 1 30 et 30, et que les échatillos E 1 et E sot idépedats. Test (bilatéral) de H 0 : 1 cotre H 1 : 1. Sous l hypothèse H 0, U X 1 X 1 1 suit approximativemet la loi ormale N 0;1. Le résultat reste valable si o remplace 1 et par leurs estimatios s c,1 et s c,. O calcule u x 1 x.o s c,1 1 s c, détermie u tel que P u U u 1, i.e. u 1 1 (table ) et o décide que : -siu u,u, alors o e peut rejeter H 0 ; -siu u,u, alors o rejette H 0 avec ue probabilité de se tromper. Test (uilatéral) de H 0 : 1 cotre H 1 : 1. O détermie u tel que P U u 1, i.e. u 1 1 u, et o décide que : Stéphae Ducay 5

6 S3 Maths et Ifo-MIAGE Statistique et Probabilités Test de coformité - Test d homogééité -siu u, alors o e peut rejeter H 0 ; -siu u, alors o rejette H 0 avec ue probabilité de se tromper. Test (uilatéral) de H 0 : 1 cotre H 1 : 1. O détermie u tel que P U u 1, i.e. u 1 u u, et o décide que : -siu u, alors o e peut rejeter H 0 ; -siu u, alors o rejette H 0 avec ue probabilité de se tromper.... Cas de petits échatillos idépedats extraits de populatios gaussiees O suppose que 1 30 ou 30, et que les échatillos E 1 et E sot idépedats. O suppose de plus que X 1 et X suivet les lois ormales N 1 ; 1 et N ;, et que 1. Test (bilatéral) de H 0 : 1 cotre H 1 : 1. Sous l hypothèse H 0, T X 1 X suit approximativemet la loi de Studet à 1 degrés de liberté. Comme o e coait pas 1, o doit d abord tester l égalité des variaces 1 (paragraphe.1.1.). Si cette hypothèse est reteue, alors cette valeur commue peut être estimer par s c,1, 1 1 s c,1 1 s c, 1 O calcule t x 1 x s c,1, Odétermiet tel que P t T t 1 (table 3) et o décide que -sit t, t, alors o e peut rejeter H 0 ; -sit t,t, alors o rejette H 0 avec ue probabilité de se tromper. Test (uilatéral) de H 0 : 1 cotre H 1 : 1. O détermie t tel que P T t 1, i.e. t t, et o décide que : -sit t, alors o e peut rejeter H 0 ; -sit t, alors o rejette H 0 avec ue probabilité de se tromper. Test (uilatéral) de H 0 : 1 cotre H 1 : 1. O détermie t tel que P T t 1, i.e. t t t, et o décide que : -sit t, alors o e peut rejeter H 0 ; -sit t, alors o rejette H 0 avec ue probabilité de se tromper...3. Cas de petits échatillos idépedats : test de Ma et Whitey O suppose que 1 30 ou 30, que les échatillos E 1 et E sot idépedats et que les lois de X 1 et de X sot icoues. O classe par ordre croissat l esemble des valeurs observées x 1,1,x 1,,...,x 1,1 et x,1,x,,...,x, des deux échatillos. O affecte à chaque valeur so rag das ce classemet. S il y a des ex-aequo, o attribue à chacu d eux u rag égal à la moyee des rags qu ils occupet. A chaque valeur x 1,i de E 1 o associe le ombre de valeurs de E situées à u rag supérieur (e comptat pour 0, 5 toute valeur ex-aequo avec x 1,i ) ; o calcule alors la somme u 1 de tous les ombres aisi associés aux valeurs x 1,i de E 1. O calcule de même u e permutat les rôles de E 1 et E. O calcule alors u, plus petite des deux valeurs u 1 et u : u mi u 1,u. O peut vérifier que u 1 u 1. De plus, o peut obteir u 1 et u comme suit : si r 1 et r désige la somme des rags des valeurs de chacu des deux échatillos, alors u r 1 et u 1 1 r. Test (bilatéral) de H 0 : 1 cotre H 1 : 1. Soit U la variable aléatoire preat la valeur u à chaque échatilloage. Les tables 7 et 8 permettet de détermier le réel m tel que P U m sous l hypothèse H 0, et o décide que : Stéphae Ducay 6

7 S3 Maths et Ifo-MIAGE Statistique et Probabilités Test de coformité - Test d homogééité -siu m, alors o e peut rejeter H 0 ; -siu m, alors o rejette H 0 avec ue probabilité de se tromper. Si 1 0 et 0, alors sous l hypothèse H 0, U suit approximativemet la loi ormale N,, avec 1 et O calcule alors u 1.Odétermieu tel que P u U u 1, i.e. u 1 1 (table ) et o décide que : -si u,u, alors o e peut rejeter H 0 ; -si u, u, alors o rejette H 0 avec ue probabilité de se tromper. Remarque. Ce test est dit o-paramétrique car il e écessite pas d estimatio des paramètres (moyee et variace). C est égalemet u test de rags car les valeurs observées sot remplacées par leur rag au sei des échatillos...4. Cas de grads échatillos appariés O suppose que 1 30, et que les échatillos E 1 et E sot appariés. O cosidère la variable aléatoire D X 1 X, dot u échatillo est D 1,D,...,D, avec D i X 1,i X,i. Les moyee et variace corrigée d échatillo sot alors D 1 avec S d 1 1 D i D. Désigos par 1 la moyee de D. Puisque 30, U D suit approximativemet la loi ormale N 0;1. S c,d Test (bilatéral) de H 0 : 1 cotre H 1 : 1. Ce test est équivalet au test (bilatéral) de H 0 : 0 cotre H 1 : 0 (paragraphe 1.1..). Test (uilatéral) de H 0 : 1 cotre H 1 : 1. Ce test est équivalet au test (uilatéral) de H 0 : 0 cotre H 1 : 0 (paragraphe 1.1..). Test (uilatéral) de H 0 : 1 cotre H 1 : 1. Ce test est équivalet au test (uilatéral) de H 0 : 0 cotre H 1 : 0 (paragraphe 1.1..). D i et S c,d 1 S d,..5. Cas de petits échatillos appariés extraits de populatios gaussiees O suppose que 1 30, que les échatillos E 1 et E sot appariés et que X 1 et X suivet les lois ormales N 1 ; 1 et N ;. Les otatios sot les mêmes que das le paragraphe..4. Das ce cas, T D suit la loi de Studet S c,d à 1 degrés de liberté. O adapte alors les résultats ci-dessus (paragraphes..4. et )...6. Cas de petits échatillos appariés : test de Wilcoxo O suppose que 1 30, que les échatillos E 1 et E sot appariés et que les lois de X 1 et de X sot icoues. Les otatios sot les mêmes que das le paragraphe..4. O calcule les différeces d i x 1,i x,i etre les valeurs observées des deux échatillos ; o supprime les différeces ulles et o ote N le ombre de différeces o ulles. O classe ces différeces par ordre croissat des valeurs absolues. O affecte à chaque différece so rag das ce classemet. S il y a des ex-aequo, o attribue à chacu d eux u rag égal à la moyee des rags qu ils occupet. O calcule alors la somme w des rags des différeces positives et la somme w des rags des différeces égatives. O calcule alors w, plus petite des deux valeurs w et w : w mi w,w. Stéphae Ducay 7

8 S3 Maths et Ifo-MIAGE Statistique et Probabilités Test de coformité - Test d homogééité O peut vérifier que w w N N 1. Test (bilatéral) de H 0 : 1 cotre H 1 : 1. Soit W la variable aléatoire preat la valeur w à chaque échatilloage. La table 9 permet de determier le réel w tel que P W w sous l hypothèse H 0, et o décide que : -siw w, alors o e peut rejeter H 0 ; -siw w, alors o rejette H 0 avec ue probabilité de se tromper. Si N 5, alors sous l hypothèse H 0, W suit approximativemet la loi ormale N ;, avec N N 1 N N 1 N 1 et. O calcule alors w 4.Odétermieu tel que P u U u 1 (table ) et o décide que : -si u,u, alors o e peut rejeter H 0 ; -si u, u, alors o rejette H 0 avec ue probabilité de se tromper. Remarque. Comme le test de Ma et Whitey, le test de Wilcoxo est u test de rags o-paramétrique..3. Comparaiso de deux proportios Das deux populatios P 1 et P o étudie le même caractère avoir ou o ue propriété doée. Soiet X 1 et X des variables aléatoires de loi de Beroulli B p 1 et B p représetat le caractère das chaque populatio, où p 1 (respectivemet p ) est la proportio d idividus ayat la propriété das P 1 (respectivemet das P ). De P 1 et P o extrait u échatillo E 1 X 1,1,X 1,,...,X 1,1 de taille 1 de X 1 et u échatillo E X,1, X,,...,X, de taille de X. Les fréqueces d échatillo sot alors F 1 1 X1,i Cas d échatillos idépedats Les échatillos E 1 et E sot supposés idépedats. et F X,i. Test (bilatéral) de H 0 : p 1 p p cotre H 1 : p 1 p. Supposos que 1 f 1 5, 1 1 f 1 5, f 5, 1 f 5. Sous l hypothèse H 0, U F 1 F suit approximativemet la loi ormale N 0;1, et e regroupat les deux p 1 p échatillos, o peut estimer p par f 1, 1f 1 f f 1. O calcule u 1 f.o f 1, 1 f 1, détermie u tel que P u U u 1, i.e. u 1 1 (table ) et o décide que : -siu u,u, alors o e peut rejeter H 0 ; -siu u,u, alors o rejette H 0 avec ue probabilité de se tromper. Test (uilatéral) de H 0 : p 1 p cotre H 1 : p 1 p. O détermie u tel que P U u 1, i.e. u 1 1 u, et o décide que : -siu u, alors o e peut rejeter H 0 ; -siu u, alors o rejette H 0 avec ue probabilité de se tromper. Test (uilatéral) de H 0 : p 1 p cotre H 1 : p 1 p. O détermie u tel que P U u 1, i.e. u 1 u u, et o décide que : -siu u, alors o e peut rejeter H 0 ; -siu u, alors o rejette H 0 avec ue probabilité de se tromper. Stéphae Ducay 8

9 S3 Maths et Ifo-MIAGE Statistique et Probabilités Test de coformité - Test d homogééité.3.. Cas d échatillos appariés : test de McNemar Les échatillos E 1 et E sot supposés appariés. O utilise le tableau suivat des effectifs de présece ou absece de la propriété étudiée : P 1 \ P préset abset totaux préset abset a c b d a b c d totaux a c b d Le test de McNemar s appuie sur le calcul de u b c, et se poursuit de faço aalogue au cas b c d échatillos idépedats (paragraphe.3.1). O peut l utiliser dès que b c Exemples.4.1. Comparaiso de deux moyees (1) Das u article de la revue "Biometrica", le biologiste Latter doe la logueur (e mm) des oeufs de Coucou trouvés das les ids de deux espèces d oiseaux : 19,8,1 1,5 0,9,0 1,0,3 1,0 - das des ids de petite taille (Roitelet) : 0,3 0,9,0,0 0,8 1, 1,0,0 3,9 0,9 3,8 5,0 4,0 3,8 - das des ids de taille plus grade (Fauvette) : 1,7,8 3,1 3,5 3,0 3,0 3,1 O se demade si le Coucou adapte la taille de ses oeufs à la taille du id. O peut cosidérer la situatio suivate. Populatio 1 : oeufs de Coucou das des ids de Roitelet. Variable X 1 : la logueur, variable aléatoire de moyee 1 et de variace 1. Echatillo E 1 X 1,1,X 1,,...,X 1,1 de taille 1 15 de X 1. Observatio de l échatillo : e 1 x 1,1,x 1,,...,x 1,1 19,8,,1,..., 1,0. 1 Estimateurs X 1 X1,i de 1 et S c, S 1 1 de 1, avec S X1,i X 1. Populatio : oeufs de Coucou das des ids de Fauvette. Variable X : la logueur, variable aléatoire de moyee et de variace. Echatillo E X,1,X,,...,X, de taille 14 de X. Observatio de l échatillo : e x,1,x,,...,x,,0, 3,9,..., 3,1. Estimateurs X X,i de et S c, 1 S de, avec S 1 1) Estimatios poctuelles a) observatio sur l échatillo e 1 de taille 1 15 : x 1 1, 5 et s c,1 0,516 ; b) observatio sur l échatillo e de taille 14 : x 3, 11 et s c, 1,101. X,i X. ) Test de H 0 : 1 cotre H 1 : 1. Les échatillos E 1 et E sot idépedats et o suppose que X 1 et X suivet les lois ormales N 1 ; 1 et N ;. Sous l hypothèse H 0, F S c,1 suit la loi de Sédécor à 1 1, 1 degrés de liberté. S c, Comme f s c,1 1, o permute les échatillos. s c, Stéphae Ducay 9

10 S3 Maths et Ifo-MIAGE Statistique et Probabilités Test de coformité - Test d homogééité Sous l hypothèse H 0, F S c, suit la loi de Sédécor à 1, ,14 degrés de liberté. S c,1 O calcule f s c,, 14. O détermie f tel que P F f (table 5 ou 6) : pour 0, 05, s c,1 o trouve f compris etre, 95 et 3, 15 (table 5). Comme f f, o e peut rejeter H 0 et les variaces des deux populatios e sot pas différetes sigificativemet au risque 5%. Pour cette décisio de o-rejet, o e coait pas la probabilité de se tromper (erreur de deuxième espèce). 3) Test (bilatéral) de H 0 : 1 cotre H 1 : 1. O a 1 30 ou 30, et les échatillos E 1 et E sot idépedats. O suppose que X 1 et X suivet les lois ormales N 1 ; 1 et N ;. O est alors das le cas de petits échatillos gaussies idépedats. D après le test précédet, o peut admettre 1. Sous l hypothèse H 0, T X 1 X suit approximativemet la loi de Studet à 1 7 degrés de liberté. Comme o a reteu 1, cette valeur commue peut être estimer par s c,1, 1 1 s c,1 1 s c, 0, 798, et e remplaçat par s c,1, das T,oemodifiepaslaloi 1 approchée de T. O calcule alors t x 1 x s c,1, ,61. O détermie t tel que P t T t 1 (table 3) : pour 0, 05, o trouve t, 05. Comme t t,t,orejetteh 0 avec ue probabilité 0, 05 de se tromper. La taille moyee des oeufs de Coucou sot différetes das les ids de Roitelet et de Fauvettes. Comme o observe x 1 x, o aurait pu faire le test uilatéral de H 0 : 1 cotre H 1 : 1. O détermie t tel que P U t 1, i.e. t t t : pour 0, 05, o trouve t 1,703. Comme t t,orejetteh 0 avec ue probabilité de se tromper. La taille moyee des oeufs de Coucou das les ids de Roitelet est iférieure à celle das les ids de Fauvettes. Aisi, o peut coclure que le Coucou adapte la grosseur de ses oeufs à la taille du id. (Il s agit d u phéomèe de mimétisme qui permet aux oeufs de Coucou de passer plus facilemet iaperçus.).4.. Comparaiso de deux moyees () Chez u groupe de 10 malades, o expérimete les effets d u traitemet destié à dimiuer la pressio artérielle. O observe les résultats suivats (valeur de la tesio artérielle systolique e cm Hg) : sujet avat traitemet après traitemet O se demade si le traitemet à ue actio sigificative. O peut cosidérer la situatio suivate. Populatio 1 : malades avat traitemet. Variable X 1 : la tesio, variable aléatoire de moyee 1 et de variace 1. Echatillo E 1 X 1,1,X 1,,...,X 1,1 de taille 1 10 de X 1. Observatio de l échatillo : e 1 x 1,1,x 1,,...,x 1,1 15,18,..., 16. Populatio : malades après traitemet. Variable X : la tesio, variable aléatoire de moyee et de variace. Echatillo E X,1,X,,...,X, de taille 10 de X. Observatio de l échatillo : e x,1,x,,...,x, 1,16,...,18. Stéphae Ducay 10

11 S3 Maths et Ifo-MIAGE Statistique et Probabilités Test de coformité - Test d homogééité O a et les échatillos E 1 et E sot appariés. O suppose que X 1 et X suivet les lois ormales N 1 ; 1 et N ;. O a doc de petits échatillos appariés extraits de populatios gaussiees. O cosidère la variable aléatoire D X 1 X, dot u échatillo est D 1,D,...,D, avec D i X 1,i X,i. Les moyee et variace corrigée d échatillo sot alors D 1 D i et S c,d 1 S d, 1 Di D. Désigos par 1 la moyee de D. avec S d 1 A partir de l observatio de l échatillo d 1,d,...,d 3,,0,,4,3, 1,1,3,, o obtiet les estimatios d 1,5 et s c,d 1,96. Test (uilatéral) de H 0 : 1 cotre H 1 : 1. Ce test est équivalet au test (uilatéral) de H 0 : 0 cotre H 1 : 0 (test de coformité). Sous l hypothèse H 0,osaitqueT D Sc,d suit la loi de Studet à 1 degrés de liberté. O calcule t d sc,d,4. O détermie t tel que P T t 1, i.e. t t (table 3) : pour 0, 05, o trouve t 1, 833. Comme t t, alors o rejette H 0 avec ue probabilité de se tromper. O coclut que la tesio a dimié après le traitemet et doc que ce derier a ue actio sigificative Comparaiso de deux proportios Das ue même catégorie sociale, u échatillo de 40 hommes a fouri 8 fumeurs et u échatillo de 60 femmes a fouri 18 fumeuses. O se demade si la proportio de fumeurs est la même pour les deux sexes. O peut cosidérer la situatio suivate. Populatio 1 : hommes. Variable X 1 : être fumeur, représeté par ue variable aléatoire X 1 de loi de Beroulli B p 1,oùp 1 est la proportio d hommes fumeurs. Echatillo E 1 X 1,1,X 1,,...,X 1,1 de taille 1 40 de X 1. Observatio de l échatillo : e 1 x 1,1,x 1,,...,x 1,1 1,1,...,0. Estimateur de p 1 : fréquece d échatillo F 1 1 X1,i 1. Estimatio de p 1 : f 1 1 x1,i ,. Populatio : femmes. Variable X : être fumeuse, représeté par ue variable aléatoire X de loi de Beroulli B p,oùp est la proportio de femmes fumeuses Echatillo E X,1,X,,...,X, de taille 60 de X. Observatio de l échatillo : e x,1,x,,...,x, 1,0,...,1. Estimateur de p : fréquece d échatillo F Les échatillos E 1 et E sot idépedats. X,i. Estimatio de p : f x,i , 3. Test (bilatéral) de H 0 : p 1 p p cotre H 1 : p 1 p. Supposos que 1 f 1 8 5, 1 1 f 1 3 5, f 18 5, 1 f 4 5. Sous l hypothèse H 0, U F 1 F suit approximativemet la loi ormale N 0;1,ete p 1 p regroupat les deux échatillos, o peut estimer p par f 1, 1f 1 f ,6. E Stéphae Ducay 11

12 S3 Maths et Ifo-MIAGE Statistique et Probabilités Test de coformité - Test d homogééité remplaçat p par f 1,, o e modifie pas la loi approchée de U. f O calcule u 1 f 0, 0,3 1, f 1, 1 f 1, 1 1 0,6 1 0, O détermie u tel que P u U u 1, i.e. u 1 1 (table ) : pour 0, 05, o trouve u 1,96. Comme u u,u, o e peut rejeter H 0 : la proportio de fumeurs e diffère pas sigificativemet etre les deux sexes. Pour cette décisio de o-rejet, o e coait pas la probabilité de se tromper (erreur de deuxième espèce). 3. Exercices Sauf metio explicite, les tests serot réalisés au risque 5%. Exercice 1. Le temps (exprimé e miutes) mis par ue machie A pour fabriquer ue pièce suit ue loi Normale N 48,5. La machie A tombat e pae, o fabrique la même pièce avec ue machie B. O suppose que le temps de fabricatio suit ecore ue loi Normale de même écart-type. Pour u échatillo de 5 pièces, o a obteu u temps moye de fabricatio de 51 mi. La machie B a-t-elle les mêmes performaces que la machie A? Exercice. O admet que le diamètre d u boucho de Crémat d Alsace suit ue loi Normale. Ue machie a produit e 007 ue grade quatité de bouchos ayat u diamètre moye de, 5 cm, coforme à la orme alsaciee e vigueur. Pour détermier si cette machie est ecore e bo état de marche, o prélève au hasard u échatillo de 10 bouchos das la productio de 008. Leurs diamètres ot ue moyee observée de, 53 cm et u écart-type observé de 0, 0 cm. Tester l hypothèse cette machie est e bo état de marche. Exercice 3. Le volume d ue pipette d u type doé suit ue loi ormale N ;. Le fabriquat aoce u écart-type 0, l. Pour le vérifier, o pipette 0 fois u liquide. O observe ue moyee de 10 l et u écart-type de 0, 4 l. Tester l affirmatio du fabricat. Exercice 4. Lors d ue précédete cosultatio électorale, le cadidat A avait obteu 51% des suffrages exprimés. A l approche de ouvelles électios, il réalise u sodage sur u échatillo de 400 électeurs choisis au hasard das sa circoscriptio. Il obtiet 196 itetios de votes. Peut-il coclure que sa cote de popularité est restée stable? Exercice 5. O admet que la cocetratio e bezoate de sodium de la boisso gazeuse Schpoutz suit ue loi ormale. Lors de huit prélèvemets idépedats, o a observé les cocetratios (e mg/l) suivates : Le fabricat de cette boisso affirme que la cocetratio est égale à 118 mg/l. Que pesez-vous de cette affirmatio? Exercice 6. Ue agece de publicité affirme qu u produit d etretie est efficace à 90% pour déboucher éviers et lavabos e deux heures, quelle que soit la ature de l obstructio. Ue associatio de défese du cosommateur a fait ue equête qui relève que sur 100 lavabos bouchés, 80 seulemet sot débouchés e deux heures e utilisat le produit d etretie. Doit-o faire u procès à l agece de publicité? Faire u test au risque 5%, puis 1%. Stéphae Ducay 1

13 S3 Maths et Ifo-MIAGE Statistique et Probabilités Test de coformité - Test d homogééité Exercice 7. La durée de gestatio humaie est e moyee de 40,5 semaies. 1) Das ue materité, o a oté l âge gestatioel de 100 ouveaux-és successifs. O a observé ue moyee de 38,5 semaies et u écart-type de 5 semaies. O pese que cette materité est spécialisée das les accouchemets prématurés. Tester cette hypothèse. ) Das cette même materité, les mères des 100 ouveaux-és suivats ot reçu u traitemet ihibat les cotractios utéries. Pour ces ouveaux-és, o a observé ue moyee de 39,5 semaies et u écart-type de 4 semaies. Tester l égalité des moyees des durées de gestatio des groupes au risque %. Exercice 8. O compare les effets d u même traitemet das deux hopitaux différets. Das le premier hopital, 70 des 100 malades traités motret des siges de guériso. Das le deuxième hopital, c est le cas pour 100 des 150 malades traités. Quelle coclusio peut-o e tirer? Exercice 9. D après exame de javier 005 La mise e place des ouvelles formatios LMD a suscité beaucoup de questios de la part des étudiats de la Faculté. A ce sujet, o a voulu savoir si les étudiats se setaiet bie iformés sur le ouveau système LMD. 1) O a iterrogé 30 étudiats de L Maths et 1 d etre eux ot déclaré se setir bie iformés. a) Doer ue estimatio et u itervalle de cofiace au iveau 95% de la proportio d étudiats se setat bie iformés. Préciser la(les) populatio(s) et la(les) variable(s) étudiées, aisi que la(les) taille(s) d échatillo, le(s) estimateur(s) mis e jeu et leur loi. b) Etat doées les difficultés de mise e oeuvre du système LMD, la directio de la Faculté serait satisfaite si au mois la moitié des étudiats se setaiet bie iformés. Effectuer u test statistique adéquat, au risque 5%, pour décider si la directio doit être satisfaite. ) a) Même questio qu au 1)a) pour 30 étudiats de L Ifo dot 15 ot déclaré se setir bie iformés. O doera seulemet les réposes, sas détailler les calculs. b) Les résultats des questios 1)a) et )a) permettet-ils de dire s il y a ue différece etre les étudiats de L Maths et de L Ifo? Si oui, idiquer ceux qui se setet mieux iformés? Sio, effectuer u test statistique au risque 5% pour répodre à la questio ; das ce cas, préciser la(les) populatio(s) et la(les) variable(s) étudiées, aisi que la(les) taille(s) d échatillo, le(s) estimateur(s) mis e jeu et leur loi. Exercice 10. D après exame de javier 005 Les questioaires d évaluatio des eseigemets sot ue ouveauté du système LMD. Pour l UE de Statistiques, o a demadé aux étudiats de doer u avis global sur l eseigemet e attribuat ue ote sur 0. 1) 0 étudiats de L Maths ot répodu au questioaire et les résultats obteus sot les suivats : a) Préciser la(les) populatio(s) et la(les) variable(s) étudiées, aisi que la(les) taille(s) d échatillo. Idiquer le(s) estimateur(s) mis e jeu das la suite. b) Détermier ue estimatio de la moyee et de la variace de la variable étudiée. c) Doer u itervalle de cofiace au iveau 90% de la moyee. ) étudiats de L Bio ot répodu au questioaire et o a obteu ue moyee de 1 et u écart-type corrigé de 3,19. Effectuer le(s) test(s) statistique(s) adéquat(s) pour répodre à la questio suivate : peut-o cosidérer que les étudiats de L Maths et de L Bio ot le même avis global sur l eseigemet de Statistiques? O effectuera ce(s) test(s) au risque 5% puis 10% et o comparera les décisios prises, e particulier quat à la probabilité de se tromper. Stéphae Ducay 13

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