Analyse de la variance
|
|
- Juliette Beaudet
- il y a 7 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Plan Analyse de la variance - Chapitre VI - Notes de cours Statistique L3 MIASHS - Université de Bordeaux - Chapitre VI - L3 MIASHS- Analyse de la variance 1/37
2 Plan Plan 1 Introduction Chapitre VI - L3 MIASHS- Analyse de la variance 2/37
3 Plan Introduction Introduction 1 Introduction Chapitre VI - L3 MIASHS- Analyse de la variance 3/37
4 Introduction Introduction On peut classiquement introduire l analyse de la variance ou l ANOVA (ANalysis Of VAriance) de deux manières On cherche à expliquer une variable quantitative Y au moyen d une variable explicative qualitative X Généralement, la variable explicative est appelée facteur (explicatif) Les modalités sont appelées niveaux de facteur On verra que l on peut faire apparaître un modèle linéaire sous-jacent On désire comparer différentes populations ou différentes conditions expérimentales La question que l on se pose est : Y-a-t-il des différences en moyenne entre les divers groupes? Exemple : un agronome veut étudier l effet de 3 types d engrais sur le rendement à l hectare de parcelles de blé Ici, Y = rendement à l hectare (en tonnes), variable quantitative, X = type d engrais (A, B ou C), variable qualitative ou facteur Quel modèle linéaire pour étudier cette problématique? - Chapitre VI - L3 MIASHS- Analyse de la variance 4/37
5 Introduction Tableau récapitulatif Type de la variable Type de la ou des Modèle linéaire à expliquer variables explicatives correspondant quantitative quantitative (1) régression linéaire simple quantitative quantitatives (p) régression linéaire multiple quantitative qualitative (1) ANOVA à un facteur quantitative qualitatives (p) ANOVA à plusieurs facteurs quantitative quantitative(s) analyse de la covariance + qualitative(s) (ANCOVA) qualitative à 2 quantitative(s) régression logistique modalités (codées 0/1) qualitative qualitative(s) régression binomiale Dans ce cours, ANOVA à 1 facteur uniquement - Chapitre VI - L3 MIASHS- Analyse de la variance 5/37
6 Introduction Reprenons l exemple des engrais Supposons que n i observations du rendement à l hectare ont été obtenues pour chaque type d engrais i Un modèle peut s écrire sous la forme : avec i = A, B, C et j = 1,, n i Y ij = µ i + ε ij Y ij est le rendement observé de la parcelle j traitée avec l engrais i ; µ i représente le rendement moyen d une parcelle traitée avec l engrais i ; ε ij est un terme d erreur aléatoire Ce modèle peut aussi s écrire sous la forme alternative suivante : Y ij = µ + α i + ε ij où µ est le rendement moyen global (quel que soit l engrais) et α i est l effet différentiel du niveau i du facteur engrais - Chapitre VI - L3 MIASHS- Analyse de la variance 6/37
7 Introduction Une hypothèse intéressante à tester ici est : ou de manière équivalente : Le but sera donc : H 0 : µ A = µ B = µ C H 0 : α A = α B = α C = 0 tester si deux niveaux différents du facteur entraînent une différence significative dans la variable à expliquer Y ou de manière équivalente tester l effet du facteur X ( engrais ) sur la variable à expliquer Y ( rendement ), - Chapitre VI - L3 MIASHS- Analyse de la variance 7/37
8 Plan Introduction Représentation des données Notations 1 Introduction Chapitre VI - L3 MIASHS- Analyse de la variance 8/37
9 Représentation des données Notations Représentation des données On suppose que l on dispose de k échantillons de tailles respectives n 1,, n k, correspondant aux k niveaux d un facteur La taille de la population est donc k n = n i Les variables aléatoires de notre n échantillon (Y ij ) sont alors indicées par 2 dimensions (1 i k est le niveau d appartenance de Y ij et 1 j n i est le numéro d apparition de Y ij dans le niveau i) Il s ensuit que n i est l effectif du niveau i Nous pouvons ainsi représenter nos données sous forme de tableau i=1 Niveaux Effectifs Variables à expliquer 1 n 1 Y 11, Y 12,, Y 1n1 2 n 2 Y 21, Y 22,, Y 2n2 k n k Y k1, Y k2,, Y knk - Chapitre VI - L3 MIASHS- Analyse de la variance 9/37
10 Représentation des données Notations Par exemple, le tableau ci-dessous donne le rendement en quintaux par hectare d une variété de blé cultivée avec les engrais A, B et C L agriculteur se demande : Niveaux Effectifs Rendements A 4 48, 49, 50, 49 B 4 47, 49, 48, 48 C 4 49, 51, 50, 50 si le type d engrais (A, B ou C) a un effet sur le rendement moyen de la variété de blé qu il cultive? quel type d engrais est lui permet d obtenir un meilleur rendement à l hectare? La variable explicative qualitative (le facteur) définit des groupes (classes) d appartenances des variables à expliquer Y ij - Chapitre VI - L3 MIASHS- Analyse de la variance 10/37
11 Notations Introduction Représentation des données Notations au niveau de chaque groupe i (pour i = 1,, k), n i Y i = Y ij et Ȳ i = 1 n i n i j=1 j=1 représentent la somme ainsi que la moyenne empirique du niveau i au niveau de l ensemble des observations, Y ij Y = k Y i = n k i Y ij et Ȳ = 1 n k Y i = 1 n n k i Y ij i=1 i=1 j=1 i=1 i=1 j=1 représentent la somme sur tous les niveaux ainsi que la moyenne empirique de l échantillon global - Chapitre VI - L3 MIASHS- Analyse de la variance 11/37
12 Plan Introduction Première modélisation Seconde modélisation 1 Introduction Chapitre VI - L3 MIASHS- Analyse de la variance 12/37
13 Première modélisation Première modélisation Seconde modélisation La première modélisation est donnée par : où Y ij = µ i + ε ij pour i = 1,, k et j = 1,, n i les erreurs ε ij sont des variables aléatoires indépendantes, gaussiennes, centrées, homoscédastiques de variance σ 2 > 0, les observations Y ij sont des variables aléatoires centrées autour d une moyenne µ i propre au niveau i avec : { Y ij N (µ i, σ 2 σ 2 si i = k et j = l ) et que Cov(Y ij, Y kl ) = 0 sinon Les variables aléatoires Y ij sont donc indépendantes mais non identiquement distribuées (puisque leur espérance dépend de leur niveau d appartenance) la moyenne théorique µ i de la variable à expliquer Y dans le groupe de niveau i est appelée l effet du niveau i du facteur X - Chapitre VI - L3 MIASHS- Analyse de la variance 13/37
14 Seconde modélisation Première modélisation Seconde modélisation Objectif : Mettre en évidence la présence d un effet global, ne dépendant pas du niveau i, puis d effets marginaux propres à chaque niveau On utilise la décomposition de µ i suivante : où µ i = µ + α i pour i = 1,, k - µ est l effet global ne dépendant pas du niveau i, - α i est l effet marginal propre à chaque niveau i Le problème : Il existe une infinité de décompositions et donc de choix de paramètres µ, α 1,, α k Il faudra donc ajouter une condition d identifiabilité sur les paramètres - Chapitre VI - L3 MIASHS- Analyse de la variance 14/37
15 Seconde modélisation Première modélisation Seconde modélisation La seconde modélisation est alors donnée par : Y ij = µ + α i + ε ij pour i = 1,, k et j = 1,, n i où les erreurs (ε ij ) forment toujours un bruit blanc gaussien de variance σ 2 > 0 et donc { Y ij N (µ + α i, σ 2 σ 2 si i = k et j = l ) avec Cov(Y ij, Y kl ) = 0 sinon L interprétation de l effet global µ et de l effet marginal α i dépendent du choix de la décomposition de µ i = µ + α i, Deux décompositions classiques de µ i - Chapitre VI - L3 MIASHS- Analyse de la variance 15/37
16 Première modélisation Seconde modélisation Une première décomposition classique est donnée par : avec µ i = µ + α i pour i = 1,, k - l effet global µ = 1 n k i=1 n iµ i qui est appelé l effet moyen µ = 1 k k i=1 µ i si tous les n i sont égaux - l effet marginal α i = µ i µ qui est appelé l effet différentiel du niveau i On a par construction la condition d identifiabilité : k α i = 0 si tous les n i sont égaux et i=1 k n i α i = 0 sinon i=1 La modélisation avec calage sur l effet moyen est alors : Y ij = µ + α i + ε ij pour i = 1,, k et j = 1,, n i - Chapitre VI - L3 MIASHS- Analyse de la variance 16/37
17 Première modélisation Seconde modélisation Une seconde décomposition classique est donnée par : avec µ i = µ k + α i pour i = 1,, k - l effet global µ k qui est la moyenne propre au dernier niveau k - l effet marginal α i = µ i µ k qui est l effet différentiel du niveau i On a par construction la condition d identifiabilité : α k = 0 La modélisation avec calage sur le groupe k est alors : Y ij = µ k + α i + ε ij pour i = 1,, k et j = 1,, n i - Chapitre VI - L3 MIASHS- Analyse de la variance 17/37
18 Plan Introduction Le premier modèle Le second modèle 1 Introduction Chapitre VI - L3 MIASHS- Analyse de la variance 18/37
19 Le premier modèle Le second modèle du premier modèle Le premier modèle Y ij = µ i + ε ij pour i = 1,, k et j = 1,, n i contient k paramètres à estimer : µ 1,, µ k et σ 2 1 Ecriture sous la forme d un modèle linéaire gaussien 2 Ecriture matricielle du modèle, 3 Estimation de µ 1,, µ k par la méthode des moindres carrés - Chapitre VI - L3 MIASHS- Analyse de la variance 19/37
20 Le premier modèle Le second modèle Le premier modèle s écrit sous la forme du modèle linaire gaussien suivant (allégée des indices) : Y = µ 1I µ k I k + ε, où I i est l indicatrice d appartenance au niveau i du facteur, c est à dire { 1 si l observation j a le niveau i du facteur I i (j) = 0 sinon Ceci est un modèle de régression linéaire multiple avec une ordonnée à l origine β 0 = 0, k variables explicatives X 1 = I 1,, X k = I k, le rôle des β i étant joué par les µ i (pour i = 1,, k) - Chapitre VI - L3 MIASHS- Analyse de la variance 20/37
21 Le premier modèle Le second modèle Le premier modèle s écrit alors sous la forme matricielle Y = X β + ε avec : Y 11 Y 1n1 Y 21 Y 2n2 Y k1 Y knk }{{} Y = }{{} X µ 1 µ 2 µ k }{{} β + ε 11 ε 1n1 ε 21 ε 2n2 ε k1 ε knk }{{} ε - Chapitre VI - L3 MIASHS- Analyse de la variance 21/37
22 Le premier modèle Le second modèle Par calcul direct, on obtient : n Y 1 X t X = 0 n 2 0 et X t Y 2 Y = 0 0 n Y k k Il est donc très facile d obtenir l estimateur des moindres carrés de β : 1/n Ȳ 1 (X t X ) 1 = 0 1/n 2 0 et β = (X t X ) 1 X t Ȳ 2 Y = 0 0 1/n Ȳ k k d où β i = µ i = Ȳi = 1 n i n i l effet moyen d un niveau est estimé par la moyenne empirique des observations dans ce niveau j=1 Y ij - Chapitre VI - L3 MIASHS- Analyse de la variance 22/37
23 Le premier modèle Le second modèle du second modèle Le second modèle Y ij = µ + α i + ε ij pour i = 1,, k et j = 1,, n i contient k + 1 paramètres à estimer : µ, α 1,, α k et σ 2 1 Ecriture sous la forme d un modèle linéaire gaussien 2 Ecriture matricielle du modèle, 3 Estimation de µ, α 1,, α k selon la contrainte sur les paramètres : - k i=1 n iα i = 0 (calage sur la moyenne globale) - α k = 0 (calage sur le groupe k) k paramètres à estimer - Chapitre VI - L3 MIASHS- Analyse de la variance 23/37
24 Le premier modèle Le second modèle Le second modèle s écrit sous la forme du modèle linaire gaussien suivant (allégée des indices) : Y = µ1 + α 1I α k I k + ε, où I i est l indicatrice d appartenance au niveau i du facteur, c est à dire { 1 si l observation j a le niveau i du facteur I i (j) = 0 sinon Ceci est un modèle de régression linéaire multiple avec une ordonnée à l origine β 0 = µ, k variables explicatives X 1 = I 1,, X k = I k, le rôle des β i étant joué par les α i (pour i = 1,, k) - Chapitre VI - L3 MIASHS- Analyse de la variance 24/37
25 Le premier modèle Le second modèle Le second modèle s écrit alors sous la forme matricielle Y = X β + ε avec : Y 11 Y 1n1 Y 21 Y 2n2 Y k1 Y knk = µ α 1 α k + ε 11 ε 1n1 ε 21 ε 2n2 ε k1 ɛ knk par construction rang(x ) = k < k + 1 (la première colonne de X étant égale à la somme des autres colonnes) et k + 1 paramètres inconnus à estimer il faut donc imposer une contrainte sur les paramètres - Chapitre VI - L3 MIASHS- Analyse de la variance 25/37
26 Le premier modèle Le second modèle On reprend les deux exemples de contraintes rencontrées usuellement dans les logiciels de statistique : k i=1 n iα i = 0 (calage sur la moyenne globale) Avec ce choix, l ordonnée à l origine est l effet moyen µ = 1 I I i=1 n iµ i et on considère le modèle linéaire gaussien et Y = µ 1 + α 1I α k I k + ε avec α i = µ i µ - l ordonnée à l origine µ est estimé par µ = Ȳ - les effets différentiels α i sont estimés par ˆα i = Ȳi Ȳ - Chapitre VI - L3 MIASHS- Analyse de la variance 26/37
27 Le premier modèle Le second modèle α k = 0 (calage sur le groupe k) Avec ce choix, l ordonnée à l origine n est plus l effet moyen µ mais l effet du dernier niveau µ k et on considère le modèle linéaire gaussien : Y = µ k 1 + α 1 I α k 1I k 1 + ε avec α i = µ i µ k et - l ordonnée à l origine µ k est estimé par µ k = Ȳk - les effets différentiels α i sont estimés par ˆα i = Ȳ i Ȳ k - Chapitre VI - L3 MIASHS- Analyse de la variance 27/37
28 Le premier modèle Le second modèle Prédictions, résidus, et estimation de σ 2 Quel que soit le modèle utilisé, nous aboutissons à la même reconstruction de nos données En effet, on construit les prédictions Ŷ ij = µ i = Ȳi ou encore Ŷ ij = µ + α i = Ȳ + Ȳi Ȳ = Ȳi et les résidus ε ij = Y ij Ŷij = Y ij Ȳi L estimateur usuel de la variance σ 2 des erreurs ε ij est donné par σ 2 = 1 n k n k i ε ij 2 = 1 n k i=1 j=1 n k i (Y ij Ȳ i ) 2 i=1 j=1 - Chapitre VI - L3 MIASHS- Analyse de la variance 28/37
29 Plan Introduction Variabilité Significativité 1 Introduction Chapitre VI - L3 MIASHS- Analyse de la variance 29/37
30 Décomposition de la variabilité Variabilité Significativité La variabilité des n observations (des k échantillons réunis) est mesurée par la somme totale des carrés des écarts définie par : SCT = n k i (Y ij Ȳ)2 i=1 j=1 C est le numérateur de la variance empirique totale Cependant on peut remarquer que cette variabilité a deux sources : variabilité à l intérieur de chacun des k groupes (appelée variation intra ou variation résiduelle), variabilité entre les différents k groupes (appelée variation inter ou variation factorielle) - Chapitre VI - L3 MIASHS- Analyse de la variance 30/37
31 Décomposition de la variabilité Variabilité Significativité Ces deux sources de variabilité sont mesurées respectivement par : la somme des carrés des résidus qui mesure la variabilité intra ou résiduelle : n k k i SCR = SCR i = (Y ij Ȳ i ) 2 i=1 i=1 j=1 où SCR i est le numérateur de la variance empirique du groupe i la somme des carrés expliqués par le facteur qui mesure la variabilité inter ou factorielle : k SCE = n i (Ȳ i Ȳ ) 2 i=1 - Chapitre VI - L3 MIASHS- Analyse de la variance 31/37
32 Variabilité Significativité Equation de l analyse de la variance On a la décomposition : SCT }{{} = SCR }{{} + SCE }{{} Variabilité Variabilité Variabilité totale résiduelle (intra) factorielle (inter) On obtient facilement cette décomposition en remarquant que Y ij Ȳ = (Y ij Ȳi) + (Ȳi Ȳ) et en l incorporant dans la quantité SCT - Chapitre VI - L3 MIASHS- Analyse de la variance 32/37
33 Significativité du modèle Variabilité Significativité La statistique de test à utiliser est donnée par F = (SCT SCR)/(k 1) SCR/(n k) qui suit sous H 0 la loi de Fisher F (k 1, n k) Ainsi la zone de rejet est donnée par = R = ]f k 1, n k, 1 α, + [ SCE/(k 1) SSR/(n k) où f k 1, n k, 1 α est le quantile d ordre 1 α de la loi de Fisher à (k 1, n k) degrés de liberté Rejeter H 0 signifie admettre que le facteur qualitatif X joue un rôle significatif sur Y - Chapitre VI - L3 MIASHS- Analyse de la variance 33/37
34 Tableau d analyse de la variance Variabilité Significativité La plupart des logiciels de statistiques présentent leurs sorties d ANOVA de la manière suivante : Source Degrés de Somme des carrés Carrés moyens Statistique F de variation liberté (DF) (sum of squares) (mean square) Inter k 1 SCE (factorielle) Intra n I SCR (résiduelle) Totale n 1 SCT SCE k 1 SCR n k F = SCE/(k 1) SCR/(n k) - Chapitre VI - L3 MIASHS- Analyse de la variance 34/37
35 Application numérique Variabilité Significativité Reprendre les données de l exemple Estimer les paramètres du modèle d analyse de variance à un facteur correspondant Tester l hypothèse H 0 contre H 1 Code R dans le fichier Chapitre6R - Chapitre VI - L3 MIASHS- Analyse de la variance 35/37
36 Variabilité Significativité Remarques pratiques sur les hypothèses de l ANOVA La méthode d analyse de la variance est dite robuste en ce sens qu elle est peu sensible à des écarts (raisonnables) par rapport aux hypothèses mentionnées La normalité Bien que la normalité des k populations fasse partie des hypothèses d application de l analyse de variance il faut reconnaître que l ANOVA est peu sensible, dans l ensemble, à la non-normalité des populations considérées Il suffit en pratique d éviter d employer l analyse lorsque les populations sont très différentes des distributions normales, et lorsque ces distributions sont de formes très différentes d une population à une autre (disymétries de sens opposés par exemple), surtout pour des petits échantillons - Chapitre VI - L3 MIASHS- Analyse de la variance 36/37
37 Variabilité Significativité Remarques pratiques sur les hypothèses de l ANOVA L homoscédasticité (égalité des variances) De même, l hypothèse d égalité des variances est d importance relativement secondaire lorsque les effectifs des échantillons sont tous égaux Par contre, dans le cas d échantillons d effectifs inégaux, on doit s assurer de la validité de cette hypothèse surtout lorsque les échantillons d effectifs les plus réduits correspondent aux populations de variance maximum Remarque Ces deux hypothèses peuvent être testées : par exemple, on a le test de Shapiro-Wilk pour tester la normalité et le test de Bartlett pour tester l égalité des variances - Chapitre VI - L3 MIASHS- Analyse de la variance 37/37
Analyse de la variance Comparaison de plusieurs moyennes
Analyse de la variance Comparaison de plusieurs moyennes Biostatistique Pr. Nicolas MEYER Laboratoire de Biostatistique et Informatique Médicale Fac. de Médecine de Strasbourg Mars 2011 Plan 1 Introduction
Plus en détailExemples d application
AgroParisTech Exemples d application du modèle linéaire E Lebarbier, S Robin Table des matières 1 Introduction 4 11 Avertissement 4 12 Notations 4 2 Régression linéaire simple 7 21 Présentation 7 211 Objectif
Plus en détailChapitre 3. Les distributions à deux variables
Chapitre 3. Les distributions à deux variables Jean-François Coeurjolly http://www-ljk.imag.fr/membres/jean-francois.coeurjolly/ Laboratoire Jean Kuntzmann (LJK), Grenoble University 1 Distributions conditionnelles
Plus en détailFORMULAIRE DE STATISTIQUES
FORMULAIRE DE STATISTIQUES I. STATISTIQUES DESCRIPTIVES Moyenne arithmétique Remarque: population: m xμ; échantillon: Mx 1 Somme des carrés des écarts "# FR MOYENNE(série) MOYENNE(série) NL GEMIDDELDE(série)
Plus en détailBiostatistiques Biologie- Vétérinaire FUNDP Eric Depiereux, Benoît DeHertogh, Grégoire Vincke
www.fundp.ac.be/biostats Module 140 140 ANOVA A UN CRITERE DE CLASSIFICATION FIXE...2 140.1 UTILITE...2 140.2 COMPARAISON DE VARIANCES...2 140.2.1 Calcul de la variance...2 140.2.2 Distributions de référence...3
Plus en détailSTATISTIQUES. UE Modélisation pour la biologie
STATISTIQUES UE Modélisation pour la biologie 2011 Cadre Général n individus: 1, 2,..., n Y variable à expliquer : Y = (y 1, y 2,..., y n ), y i R Modèle: Y = Xθ + ε X matrice du plan d expériences θ paramètres
Plus en détailLe Modèle Linéaire par l exemple :
Publications du Laboratoire de Statistique et Probabilités Le Modèle Linéaire par l exemple : Régression, Analyse de la Variance,... Jean-Marc Azaïs et Jean-Marc Bardet Laboratoire de Statistique et Probabilités
Plus en détailCours (7) de statistiques à distance, élaboré par Zarrouk Fayçal, ISSEP Ksar-Said, 2011-2012 LES STATISTIQUES INFERENTIELLES
LES STATISTIQUES INFERENTIELLES (test de Student) L inférence statistique est la partie des statistiques qui, contrairement à la statistique descriptive, ne se contente pas de décrire des observations,
Plus en détail1 Définition de la non stationnarité
Chapitre 2: La non stationnarité -Testsdedétection Quelques notes de cours (non exhaustives) 1 Définition de la non stationnarité La plupart des séries économiques sont non stationnaires, c est-à-direqueleprocessusquiles
Plus en détailChapitre 7. Statistique des échantillons gaussiens. 7.1 Projection de vecteurs gaussiens
Chapitre 7 Statistique des échantillons gaussiens Le théorème central limite met en évidence le rôle majeur tenu par la loi gaussienne en modélisation stochastique. De ce fait, les modèles statistiques
Plus en détailBureau : 238 Tel : 04 76 82 58 90 Email : dominique.muller@upmf-grenoble.fr
Dominique Muller Laboratoire Inter-universitaire de Psychologie Bureau : 238 Tel : 04 76 82 58 90 Email : dominique.muller@upmf-grenoble.fr Supports de cours : webcom.upmf-grenoble.fr/lip/perso/dmuller/m2r/acm/
Plus en détailTABLE DES MATIERES. C Exercices complémentaires 42
TABLE DES MATIERES Chapitre I : Echantillonnage A - Rappels de cours 1. Lois de probabilités de base rencontrées en statistique 1 1.1 Définitions et caractérisations 1 1.2 Les propriétés de convergence
Plus en détailSouad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/
Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation
Plus en détailStatistiques. Rappels de cours et travaux dirigés. Master 1 Biologie et technologie du végétal. Année 2010-2011
Master 1 Biologie et technologie du végétal Année 010-011 Statistiques Rappels de cours et travaux dirigés (Seul ce document sera autorisé en examen) auteur : Jean-Marc Labatte jean-marc.labatte@univ-angers.fr
Plus en détailCONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE. Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE. (durée : cinq heures)
CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE (durée : cinq heures) Une composition portant sur la statistique. SUJET Cette épreuve est composée d un
Plus en détailTABLE DES MATIÈRES. PRINCIPES D EXPÉRIMENTATION Planification des expériences et analyse de leurs résultats. Pierre Dagnelie
PRINCIPES D EXPÉRIMENTATION Planification des expériences et analyse de leurs résultats Pierre Dagnelie TABLE DES MATIÈRES 2012 Presses agronomiques de Gembloux pressesagro.gembloux@ulg.ac.be www.pressesagro.be
Plus en détailProbabilités III Introduction à l évaluation d options
Probabilités III Introduction à l évaluation d options Jacques Printems Promotion 2012 2013 1 Modèle à temps discret 2 Introduction aux modèles en temps continu Limite du modèle binomial lorsque N + Un
Plus en détailApplication sur le Dispositif en Blocs Complètement Randomisés
Roger Vumilia. KIZUNGU Directeur de l Expérimentation Agricole à l INERA Professeur Associé Faculté des Sciences Agronomiques Université de Kinshasa Utilisation des Logiciels de base dans la Recherche
Plus en détailExercices du Cours de la programmation linéaire donné par le Dr. Ali DERBALA
75. Un plombier connaît la disposition de trois tuyaux sous des dalles ( voir figure ci dessous ) et il lui suffit de découvrir une partie de chacun d eux pour pouvoir y poser les robinets. Il cherche
Plus en détailProgrammation linéaire
1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit
Plus en détailModèles pour données répétées
Résumé Les données répétées, ou données longitudinales, constituent un domaine à la fois important et assez particulier de la statistique. On entend par données répétées des données telles que, pour chaque
Plus en détailCouples de variables aléatoires discrètes
Couples de variables aléatoires discrètes ECE Lycée Carnot mai Dans ce dernier chapitre de probabilités de l'année, nous allons introduire l'étude de couples de variables aléatoires, c'est-à-dire l'étude
Plus en détailAnalyse en Composantes Principales
Analyse en Composantes Principales Anne B Dufour Octobre 2013 Anne B Dufour () Analyse en Composantes Principales Octobre 2013 1 / 36 Introduction Introduction Soit X un tableau contenant p variables mesurées
Plus en détailLEÇON N 7 : Schéma de Bernoulli et loi binomiale. Exemples.
LEÇON N 7 : Schéma de Bernoulli et loi binomiale. Exemples. Pré-requis : Probabilités : définition, calculs et probabilités conditionnelles ; Notion de variables aléatoires, et propriétés associées : espérance,
Plus en détailTests de comparaison de moyennes. Dr Sahar BAYAT MASTER 1 année 2009-2010 UE «Introduction à la biostatistique»
Tests de comparaison de moyennes Dr Sahar BAYAT MASTER 1 année 2009-2010 UE «Introduction à la biostatistique» Test de Z ou de l écart réduit Le test de Z : comparer des paramètres en testant leurs différences
Plus en détailCours de méthodes de scoring
UNIVERSITE DE CARTHAGE ECOLE SUPERIEURE DE STATISTIQUE ET D ANALYSE DE L INFORMATION Cours de méthodes de scoring Préparé par Hassen MATHLOUTHI Année universitaire 2013-2014 Cours de méthodes de scoring-
Plus en détailCours 9 : Plans à plusieurs facteurs
Cours 9 : Plans à plusieurs facteurs Table des matières Section 1. Diviser pour regner, rassembler pour saisir... 3 Section 2. Définitions et notations... 3 2.1. Définitions... 3 2.2. Notations... 4 Section
Plus en détailThéorie et codage de l information
Théorie et codage de l information Les codes linéaires - Chapitre 6 - Principe Définition d un code linéaire Soient p un nombre premier et s est un entier positif. Il existe un unique corps de taille q
Plus en détailAnnexe commune aux séries ES, L et S : boîtes et quantiles
Annexe commune aux séries ES, L et S : boîtes et quantiles Quantiles En statistique, pour toute série numérique de données à valeurs dans un intervalle I, on définit la fonction quantile Q, de [,1] dans
Plus en détailExercices M1 SES 2014-2015 Ana Fermin (http:// fermin.perso.math.cnrs.fr/ ) 14 Avril 2015
Exercices M1 SES 214-215 Ana Fermin (http:// fermin.perso.math.cnrs.fr/ ) 14 Avril 215 Les exemples numériques présentés dans ce document d exercices ont été traités sur le logiciel R, téléchargeable par
Plus en détailRésumé du Cours de Statistique Descriptive. Yves Tillé
Résumé du Cours de Statistique Descriptive Yves Tillé 15 décembre 2010 2 Objectif et moyens Objectifs du cours Apprendre les principales techniques de statistique descriptive univariée et bivariée. Être
Plus en détailEstimation et tests statistiques, TD 5. Solutions
ISTIL, Tronc commun de première année Introduction aux méthodes probabilistes et statistiques, 2008 2009 Estimation et tests statistiques, TD 5. Solutions Exercice 1 Dans un centre avicole, des études
Plus en détailLa classification automatique de données quantitatives
La classification automatique de données quantitatives 1 Introduction Parmi les méthodes de statistique exploratoire multidimensionnelle, dont l objectif est d extraire d une masse de données des informations
Plus en détailRégression linéaire. Nicolas Turenne INRA nicolas.turenne@jouy.inra.fr
Régression linéaire Nicolas Turenne INRA nicolas.turenne@jouy.inra.fr 2005 Plan Régression linéaire simple Régression multiple Compréhension de la sortie de la régression Coefficient de détermination R
Plus en détailL Econométrie des Données de Panel
Ecole Doctorale Edocif Séminaire Méthodologique L Econométrie des Données de Panel Modèles Linéaires Simples Christophe HURLIN L Econométrie des Données de Panel 2 Figure.: Présentation Le but de ce séminaire
Plus en détailExercices types Algorithmique et simulation numérique Oral Mathématiques et algorithmique Banque PT
Exercices types Algorithmique et simulation numérique Oral Mathématiques et algorithmique Banque PT Ces exercices portent sur les items 2, 3 et 5 du programme d informatique des classes préparatoires,
Plus en détailLES AMORTISSEMENTS : CALCULS ENREGISTREMENTS
LES AMORTISSEMENTS : CALCULS ENREGISTREMENTS PRESENTATION DES MODES D AMORTISSEMENT Exemple 1 : CAS D UN AMORTISSEMENT VARIABLE On acquiert le 04/08/N une machine-outil pour une valeur HT de. Cette machine,
Plus en détailLa programmation linéaire : une introduction. Qu est-ce qu un programme linéaire? Terminologie. Écriture mathématique
La programmation linéaire : une introduction Qu est-ce qu un programme linéaire? Qu est-ce qu un programme linéaire? Exemples : allocation de ressources problème de recouvrement Hypothèses de la programmation
Plus en détailLA NOTATION STATISTIQUE DES EMPRUNTEURS OU «SCORING»
LA NOTATION STATISTIQUE DES EMPRUNTEURS OU «SCORING» Gilbert Saporta Professeur de Statistique Appliquée Conservatoire National des Arts et Métiers Dans leur quasi totalité, les banques et organismes financiers
Plus en détailComparaison de populations
Ricco Rakotomalala Comparaison de populations Tests paramétriques Version 1.2 Université Lumière Lyon 2 Page: 1 job: Comp_Pop_Tests_Parametriques macro: svmono.cls date/time: 11-Jun-2013/6:32 Page: 2 job:
Plus en détaildonnées en connaissance et en actions?
1 Partie 2 : Présentation de la plateforme SPSS Modeler : Comment transformer vos données en connaissance et en actions? SPSS Modeler : l atelier de data mining Large gamme de techniques d analyse (algorithmes)
Plus en détailStatistique Descriptive Élémentaire
Publications de l Institut de Mathématiques de Toulouse Statistique Descriptive Élémentaire (version de mai 2010) Alain Baccini Institut de Mathématiques de Toulouse UMR CNRS 5219 Université Paul Sabatier
Plus en détailProgrammation linéaire et Optimisation. Didier Smets
Programmation linéaire et Optimisation Didier Smets Chapitre 1 Un problème d optimisation linéaire en dimension 2 On considère le cas d un fabricant d automobiles qui propose deux modèles à la vente, des
Plus en détailProbabilité et Statistique pour le DEA de Biosciences. Avner Bar-Hen
Probabilité et Statistique pour le DEA de Biosciences Avner Bar-Hen Université Aix-Marseille III 2000 2001 Table des matières 1 Introduction 3 2 Introduction à l analyse statistique 5 1 Introduction.................................
Plus en détailProgrammation linéaire
Programmation linéaire DIDIER MAQUIN Ecole Nationale Supérieure d Electricité et de Mécanique Institut National Polytechnique de Lorraine Mathématiques discrètes cours de 2ème année Programmation linéaire
Plus en détailProgrammation Linéaire - Cours 1
Programmation Linéaire - Cours 1 P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux1.fr Université Bordeaux 1 Bât A33 - Bur 265 Ouvrages de référence V. Chvátal - Linear Programming, W.H.Freeman, New York, 1983.
Plus en détailFiltrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales
Filtrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales Adriana Climescu-Haulica Laboratoire de Modélisation et Calcul Institut d Informatique et Mathématiques Appliquées de
Plus en détailMODELE A CORRECTION D ERREUR ET APPLICATIONS
MODELE A CORRECTION D ERREUR ET APPLICATIONS Hélène HAMISULTANE Bibliographie : Bourbonnais R. (2000), Econométrie, DUNOD. Lardic S. et Mignon V. (2002), Econométrie des Séries Temporelles Macroéconomiques
Plus en détailTests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles
Tests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles Valentin Patilea 1 Cesar Sanchez-sellero 2 Matthieu Saumard 3 1 CREST-ENSAI et IRMAR 2 USC Espagne 3 IRMAR-INSA
Plus en détailStatistiques Descriptives à une dimension
I. Introduction et Définitions 1. Introduction La statistique est une science qui a pour objectif de recueillir et de traiter les informations, souvent en très grand nombre. Elle regroupe l ensemble des
Plus en détailTempérature corporelle d un castor (une petite introduction aux séries temporelles)
Température corporelle d un castor (une petite introduction aux séries temporelles) GMMA 106 GMMA 106 2014 2015 1 / 32 Cas d étude Temperature (C) 37.0 37.5 38.0 0 20 40 60 80 100 Figure 1: Temperature
Plus en détailProgrammes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles
Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme
Plus en détailLire ; Compter ; Tester... avec R
Lire ; Compter ; Tester... avec R Préparation des données / Analyse univariée / Analyse bivariée Christophe Genolini 2 Table des matières 1 Rappels théoriques 5 1.1 Vocabulaire....................................
Plus en détailUne introduction. Lionel RIOU FRANÇA. Septembre 2008
Une introduction INSERM U669 Septembre 2008 Sommaire 1 Effets Fixes Effets Aléatoires 2 Analyse Classique Effets aléatoires Efficacité homogène Efficacité hétérogène 3 Estimation du modèle Inférence 4
Plus en détailL exclusion mutuelle distribuée
L exclusion mutuelle distribuée L algorithme de L Amport L algorithme est basé sur 2 concepts : L estampillage des messages La distribution d une file d attente sur l ensemble des sites du système distribué
Plus en détailSINE QUA NON. Découverte et Prise en main du logiciel Utilisation de bases
SINE QUA NON Découverte et Prise en main du logiciel Utilisation de bases Sine qua non est un logiciel «traceur de courbes planes» mais il possède aussi bien d autres fonctionnalités que nous verrons tout
Plus en détailTESTS D'HYPOTHESES Etude d'un exemple
TESTS D'HYPOTHESES Etude d'un exemple Un examinateur doit faire passer une épreuve type QCM à des étudiants. Ce QCM est constitué de 20 questions indépendantes. Pour chaque question, il y a trois réponses
Plus en détailStatistiques Décisionnelles L3 Sciences Economiques & Gestion Faculté d économie, gestion & AES Université Montesquieu - Bordeaux 4 2013-2014
Tests du χ 2 Statistiques Décisionnelles L3 Sciences Economiques & Gestion Faculté d économie, gestion & AES Université Montesquieu - Bordeaux 4 2013-2014 A. Lourme http://alexandrelourme.free.fr Outline
Plus en détailSujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes.
Promotion X 004 COURS D ANALYSE DES STRUCTURES MÉCANIQUES PAR LA MÉTHODE DES ELEMENTS FINIS (MEC 568) contrôle non classant (7 mars 007, heures) Documents autorisés : polycopié ; documents et notes de
Plus en détail(51) Int Cl.: H04L 29/06 (2006.01) G06F 21/55 (2013.01)
(19) TEPZZ 8 8 4_A_T (11) EP 2 838 241 A1 (12) DEMANDE DE BREVET EUROPEEN (43) Date de publication: 18.02.1 Bulletin 1/08 (1) Int Cl.: H04L 29/06 (06.01) G06F 21/ (13.01) (21) Numéro de dépôt: 141781.4
Plus en détailAnalyses de Variance à un ou plusieurs facteurs Régressions Analyse de Covariance Modèles Linéaires Généralisés
Analyses de Variance à un ou plusieurs facteurs Régressions Analyse de Covariance Modèles Linéaires Généralisés Professeur Patrice Francour francour@unice.fr Une grande partie des illustrations viennent
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailIntroduction aux Statistiques et à l utilisation du logiciel R
Introduction aux Statistiques et à l utilisation du logiciel R Christophe Lalanne Christophe Pallier 1 Introduction 2 Comparaisons de deux moyennes 2.1 Objet de l étude On a mesuré le temps de sommeil
Plus en détailCalcul différentiel sur R n Première partie
Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité
Plus en détailTD3: tableaux avancées, première classe et chaînes
TD3: tableaux avancées, première classe et chaînes de caractères 1 Lestableaux 1.1 Élémentsthéoriques Déclaration des tableaux Pour la déclaration des tableaux, deux notations sont possibles. La première
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailCours Informatique Master STEP
Cours Informatique Master STEP Bases de la programmation: Compilateurs/logiciels Algorithmique et structure d'un programme Programmation en langage structuré (Fortran 90) Variables, expressions, instructions
Plus en détailTABLE DES MATIÈRES. Bruxelles, De Boeck, 2011, 736 p.
STATISTIQUE THÉORIQUE ET APPLIQUÉE Tome 2 Inférence statistique à une et à deux dimensions Pierre Dagnelie TABLE DES MATIÈRES Bruxelles, De Boeck, 2011, 736 p. ISBN 978-2-8041-6336-5 De Boeck Services,
Plus en détailExamen Médian - 1 heure 30
NF01 - Automne 2014 Examen Médian - 1 heure 30 Polycopié papier autorisé, autres documents interdits Calculatrices, téléphones, traducteurs et ordinateurs interdits! Utilisez trois copies séparées, une
Plus en détailCompter à Babylone. L écriture des nombres
Compter à Babylone d après l article de Christine Proust «Le calcul sexagésimal en Mésopotamie : enseignement dans les écoles de scribes» disponible sur http://www.dma.ens.fr/culturemath/ Les mathématiciens
Plus en détailCalcul élémentaire des probabilités
Myriam Maumy-Bertrand 1 et Thomas Delzant 1 1 IRMA, Université Louis Pasteur Strasbourg, France Licence 1ère Année 16-02-2006 Sommaire La loi de Poisson. Définition. Exemple. 1 La loi de Poisson. 2 3 4
Plus en détailRésolution de systèmes linéaires par des méthodes directes
Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.
Plus en détailAnalyse de variance à deux facteurs (plan inter-sujets à deux facteurs) TP9
Analyse de variance à deux facteurs (plan inter-sujets à deux facteurs) TP9 L analyse de variance à un facteur permet de vérifier, moyennant certaines hypothèses, si un facteur (un critère de classification,
Plus en détailVI. Tests non paramétriques sur un échantillon
VI. Tests non paramétriques sur un échantillon Le modèle n est pas un modèle paramétrique «TESTS du CHI-DEUX» : VI.1. Test d ajustement à une loi donnée VI.. Test d indépendance de deux facteurs 96 Différentes
Plus en détailStéphane Tufféry DATA MINING & STATISTIQUE DÉCISIONNELLE. 06/12/2009 Stéphane Tufféry - Data Mining - http://data.mining.free.fr
Stéphane Tufféry DATA MINING & STATISTIQUE DÉCISIONNELLE 1 Plan du cours Qu est-ce que le data mining? A quoi sert le data mining? Les 2 grandes familles de techniques Le déroulement d un projet de data
Plus en détailUNIVERSITE DE TOULON UFR FACULTE DE DROIT REGLEMENT D EXAMEN ANNEE 2012/2017 LICENCE DROIT MENTION DROIT GENERAL
UNIVERSITE DE TOULON UFR FACULTE DE DROIT REGLEMENT D EXAMEN ANNEE 01/017 LICENCE DROIT MENTION DROIT GENERAL Les présentes règles s inscrivent dans le cadre réglementaire national défini par les tetes
Plus en détailRèglement interne de la Société suisse de crédit hôtelier
Règlement interne de la Société suisse de crédit hôtelier (Règlement interne de la SCH) du 26 février 2015 Approuvé par le Conseil fédéral le 18 février 2015 L administration de la Société suisse de crédit
Plus en détailMises en relief. Information supplémentaire relative au sujet traité. Souligne un point important à ne pas négliger.
Cet ouvrage est fondé sur les notes d un cours dispensé pendant quelques années à l Institut universitaire de technologie de Grenoble 2, au sein du Département statistique et informatique décisionnelle
Plus en détailTESTS PORTMANTEAU D ADÉQUATION DE MODÈLES ARMA FAIBLES : UNE APPROCHE BASÉE SUR L AUTO-NORMALISATION
TESTS PORTMANTEAU D ADÉQUATION DE MODÈLES ARMA FAIBLES : UNE APPROCHE BASÉE SUR L AUTO-NORMALISATION Bruno Saussereau Laboratoire de Mathématiques de Besançon Université de Franche-Comté Travail en commun
Plus en détailBiostatistiques : Petits effectifs
Biostatistiques : Petits effectifs Master Recherche Biologie et Santé P. Devos DRCI CHRU de Lille EA2694 patrick.devos@univ-lille2.fr Plan Données Générales : Définition des statistiques Principe de l
Plus en détailEtude des propriétés empiriques du lasso par simulations
Etude des propriétés empiriques du lasso par simulations L objectif de ce TP est d étudier les propriétés empiriques du LASSO et de ses variantes à partir de données simulées. Un deuxième objectif est
Plus en détailINTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES
INTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES Dominique LAFFLY Maître de Conférences, Université de Pau Laboratoire Société Environnement Territoire UMR 5603 du CNRS et Université de Pau Domaine
Plus en détailTable des matières. I Mise à niveau 11. Préface
Table des matières Préface v I Mise à niveau 11 1 Bases du calcul commercial 13 1.1 Alphabet grec...................................... 13 1.2 Symboles mathématiques............................... 14 1.3
Plus en détailChapitre 3 : Principe des tests statistiques d hypothèse. José LABARERE
UE4 : Biostatistiques Chapitre 3 : Principe des tests statistiques d hypothèse José LABARERE Année universitaire 2010/2011 Université Joseph Fourier de Grenoble - Tous droits réservés. Plan I. Introduction
Plus en détailPrincipe de symétrisation pour la construction d un test adaptatif
Principe de symétrisation pour la construction d un test adaptatif Cécile Durot 1 & Yves Rozenholc 2 1 UFR SEGMI, Université Paris Ouest Nanterre La Défense, France, cecile.durot@gmail.com 2 Université
Plus en détailChapitre 5 : Flot maximal dans un graphe
Graphes et RO TELECOM Nancy A Chapitre 5 : Flot maximal dans un graphe J.-F. Scheid 1 Plan du chapitre I. Définitions 1 Graphe Graphe valué 3 Représentation d un graphe (matrice d incidence, matrice d
Plus en détailExercice du cours Gestion Financière à Court Terme : «Analyse d un reverse convertible»
Exercice du cours Gestion Financière à Court Terme : «Analyse d un reverse convertible» Quand la trésorerie d une entreprise est positive, le trésorier cherche le meilleur placement pour placer les excédents.
Plus en détailLa simulation probabiliste avec Excel
La simulation probabiliste avec Ecel (2 e version) Emmanuel Grenier emmanuel.grenier@isab.fr Relu par Kathy Chapelain et Henry P. Aubert Incontournable lorsqu il s agit de gérer des phénomènes aléatoires
Plus en détailCoup de Projecteur sur les Réseaux de Neurones
Coup de Projecteur sur les Réseaux de Neurones Les réseaux de neurones peuvent être utilisés pour des problèmes de prévision ou de classification. La représentation la plus populaire est le réseau multicouche
Plus en détailValue at Risk. CNAM GFN 206 Gestion d actifs et des risques. Grégory Taillard. 27 février & 13 mars 20061
Value at Risk 27 février & 13 mars 20061 CNAM Gréory Taillard CNAM Master Finance de marché et estion de capitaux 2 Value at Risk Biblioraphie Jorion, Philippe, «Value at Risk: The New Benchmark for Manain
Plus en détailCOURS CALCULS FINANCIERS STATISTIQUE
UNIVERSITÉ JOSEPH FOURIER M1 MIAGE UFR IMA COURS DE CALCULS FINANCIERS ET STATISTIQUE Serge Dégerine 4 octobre 2007 INTRODUCTION Ce document comporte trois parties consacrées à deux thèmes très indépendants
Plus en détailCours 02 : Problème général de la programmation linéaire
Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =
Plus en détailPROJET MODELE DE TAUX
MASTER 272 INGENIERIE ECONOMIQUE ET FINANCIERE PROJET MODELE DE TAUX Pricing du taux d intérêt des caplets avec le modèle de taux G2++ Professeur : Christophe LUNVEN 29 Fevrier 2012 Taylan KUNAL - Dinh
Plus en détailMoments des variables aléatoires réelles
Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................
Plus en détailGUIDE PRATIQUE. Du provisionnement des emprunts à risques
Ministère de l Égalité des territoires et du Logement Ministère de l Économie et des Finances GUIDE PRATIQUE Du provisionnement des emprunts à risques Application aux Offices Publics de l Habitat à comptabilité
Plus en détail3. Caractéristiques et fonctions d une v.a.
3. Caractéristiques et fonctions d une v.a. MTH2302D S. Le Digabel, École Polytechnique de Montréal H2015 (v2) MTH2302D: fonctions d une v.a. 1/32 Plan 1. Caractéristiques d une distribution 2. Fonctions
Plus en détailDirection des Études et Synthèses Économiques Département des Comptes Nationaux Division des Comptes Trimestriels
Etab=MK3, Timbre=G430, TimbreDansAdresse=Vrai, Version=W2000/Charte7, VersionTravail=W2000/Charte7 Direction des Études et Synthèses Économiques Département des Comptes Nationaux Division des Comptes Trimestriels
Plus en détail23. Interprétation clinique des mesures de l effet traitement
23. Interprétation clinique des mesures de l effet traitement 23.1. Critères de jugement binaires Plusieurs mesures (indices) sont utilisables pour quantifier l effet traitement lors de l utilisation d
Plus en détailESSEC. Cours «Management bancaire» Séance 3 Le risque de crédit Le scoring
ESSEC Cours «Management bancaire» Séance 3 Le risque de crédit Le scoring Les méthodes d évaluation du risque de crédit pour les PME et les ménages Caractéristiques Comme les montants des crédits et des
Plus en détail