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1 PCSI Nombres complexes Fiche L esemble C, forme algébrique, cojugaiso, module, iégalité triagulaire Exercice Doerlaformealgèbrique(i.e. z=a+iboùa,bsotréels)descomplexessuivats: z =(+3i)(3+4i),z = +i 3 i,z 3=(+i),z 4 =(+i) 7. Exercice RésoudredasCl équatio(+i)z+( i)=0. Exercice 3 Résoudrel équatio(3+i)z+( 3i)z=i. Exercice 4 DétermierlelieudespoitsM d affixez telsque z R, z i R, 3z i z z+ z+ ir. z Exercice DétermierlelieudespoitsM d affixez telque R. z Exercice 6 Résoudre géométriquemet z i = z = z i a Exercice 7 Soietaetbdeuxcomplexesouls. Motrerque a b b = a b a b. Exercice 8 Soieta,betcdasC,motrerque. +a + a+b + b Exercice 9 Soit(z,z ) C,motrerlasecodeiégalitétriagulaire z z z+z et z z z z Exercice 0 Motrerquepourtoutz Ctelque z =et N,oa z z z z Exercice Iégalité de Ptolémée. Motrerque (X,Y,Z) C 3, X Y Z Y Z X + Z X Y.. Edéduirel iégalitédeptolémée: (x,y,z,w) C 4, x z w y x y z w + x w y z. 3. Doer ue iterprétatio geométrique de cette iégalité. Exercice Idetité du parallélogramme Motrerque (x,y) C, x+y + x y = x + y etdoerueiterprétatiogeométriquedecetteégalité. Exercice 3 Soitz Ctelque z,motrerque z 3 +iz 3.Détermierlesz pourlesquelsilyaégalité. Exercice 4 Soit z C tel que z (+i), motrer que 0 z Doer ue iterprétatio géométrique de cette double iégalité. Forme polaire, argumet Exercice Doerlaformetrigoométiquedescomplexessuivats: 4+4i,, i, 3 iet3+ 3i. z+ Exercice 6 Motrerque( z =etz=) i R. z Exercice 7 Soieta,betctroiscomplexesdemodule,motrerque ab+bc+ca = a+b+c. / L F, L

2 PCSI Nombres complexes Fiche Exercice 8 Doerlaformepolairede: +i, i, i, 3+i.Edéduire (i ) (i+) 4, (+i)44, i Exercice 9 Doerlaformetrigoométriquede(+itaθ) pourθ π, π. Exercice 0 Soietaetbdeuxombrescomplexesdemoduletelsqueab=,motrerque a+b +ab R. Exercice Calculersimplemet(àlamai...) Exercice Lecoefficietdutermeex 6 de x 3 + Exercice 3 Si o cosidère le triagle de Pascal Coefficiets et formule du biôme 0 3 peuts écrire a 3 b c 7 d.détermiera,b,cetd. x Motrer que le produit des 6 coefficiets qui etouret u des coefficiets est le carré d u etier. Exercice 4 Soitg(x)=(cosx+six) +(cosx six),motrerqueg(x)s exprimeuiquemetefoctiodecos(x). Exercice Calculerpour N,lasomme Exercice 6 Calculerpour N, Exercice 7 Calculerpour, =. ( ) (attetio au cas particulier = 0). 3 efoctiode(bielirel éocé...). Exercice 8 Soit N et Ntelque.Motrerque =.. Edéduirelavaleurde.. SoitXuevariablealéatoirequisuitueloibiomialedeparamétreetp [0,](X B(,p)).Calculerl espérace de X (i.e. calculer P(X=)= p ( p) ). / L F, L

3 PCSI Nombres complexes Fiche Exercice 9 Soiet,p,desetiersaturelstelsque0 p. p. Motrer que =. p p p. EdéduirelavaleurdessommesS = p=0 p p p ets = Trigoométrie ( ). p Exercice 30 Calculerlesvaleursdesfoctiostrigoométriquesea,b,a+beta b,lorsquecelaestpossiblepour: =p sia= 0<a< π sib= 3 π <b<π Exercice 3 Résoudre les iéquatios suivates: cosa= π <a<π sib= 3 π<b< 3π 3 cosa= 3 0<a< π sib= 3 0<b< π cosx>0, <cosx 3, cosx <, <cos x+ π 4, cos x> six 0, 3 six, six, <six< 3+, 3 4si x<0 3 tax 0, 3 tax< 3, tax <, 3<ta(3x)< 3, ta x 0 Exercice 3 Ecriresouslaformeacos(θ+α)etbsi(θ+β)lesexpressiossuivates: cosθ+siθ,cosθ siθ 3cosθ siθ, 3cosθ siθ 3 cosθ 3siθ, cosθ 3siθ 4 cosθ+ 6siθ, 3cosθ 3siθ Exercice 33 Soiet pet q deuxréelstelsquecosp=0etcosq=0. Démotrerquetap+taq= si(p+q) cospcosq puisrésoudre leséquatiossuivatestax=tax,tax+tax=0ettax+ta x =0. Exercice 34 Factoriser les expressios suivates: cos x cos x si x si x 3 si x cos 3x 4 4 +cosx+cosx+cos3x six+six+si3x 6 +cosx+cosx 7 +six cosx 8 tax+ta3x 9 taxtax Exercice 3 Résoudreleséquatiostrigoométriquesdas[ π,π]: () cos3x cosx=0et () six six=0. Exercice 36 Résoudre six+ cosx =0et six+ 4cosx cosx =0 Exercice 37 Résoudre les équatios suivates: cosx+six= cos(x) 3si(x)= 3 6cosx+ six= Exercice 38 Résoudre les iéquatios suivates: cosx+cos x+ π 3 >0 six>si3x 3 cosxsi x>sixcos x 4 cosx+six <0 8 tax>ta3x 9 ta x 3 tax 3<0 Exercice 39 Détermierlemoduleetl argumetdez =+i, z = 3+ietz 3 = z z.edéduirelesvaleursexactesde cos π etdesi π etta π. Exercice 40 Liéariser si 3 (x), cos 3 (x), 3si 4 (x), 4cos 4 (x). Exercice 4 TrouverdeuxpolyômesP etqtelsquecos(4x)=p(cos(x))etsi(4x)=si(x) Q(cos(x)). 3/ L F, L

4 PCSI Nombres complexes Fiche Exercice 4 Calculerpoura Rlasomme cos(a). Exercice 43 Calculerpour(a,b) Ret Rlessommes C= cos(a+b)ets= Racies éièmes et équatios du secod degré si(a+b). Exercice 44 Calculer +i 3 etedéduirelessolutiosdez 3 = +i etdez 3 =+i. Exercice 4 Soit,résoudrez =(+i). Exercice 46 Ocosidèrel équatio(e):(z+) =(z ). Al aidedubiômedenewtodévelopper(z+) (z ) etedéduirelessolutiosde(e).quecostate-t-o?. Exprimer les solutios de(e) à l aide des racies ciquièmes de. Simplifier les expressios obteues. π 3. Edéduireta. Exercice 47 Résoudre,dasC,(z ) =(z+) où. Exercice 48 Pour,soiet(ω ) 0 lesracieséièmesdel uité(ω =e iπ ),calculer ω et ω Exercice 49 Résoudrez +iz+=0. Exercice 0 Résoudrez (4+i)z++i=0. Exercice Soit(E)l équatio z +3z + z 3z+ =0.. Motrerquesiz estraciede(e)alorsz égalemet.. Soiet(a,b) Csimplifier(a+ib)(a ib). 3. Résoudre(E). Exercice Résoudre das C. z 3 (+i)z +(i )z+3i=0sachatqu ilyaueracieréelle.. z 4 4(+i)z 3 +iz +8( i)z =0,sachatqu ilyaueracieréelleetueimagiairepure. Exercice 3 Résoudrez 8 i 3 z 4 8 +i 3 =0. Géométrie des complexes Exercice 4 DétermierlelieudespoitsM d affixez telleque. Lespoitsd affixe+i, z+iet+iz sotaligés.. Lespoitsd affixez,z etz 3 formetutriaglerectagleen d affixez. 3. Lespoitsd affixez, ietiz formetutriaglerectagleisocèleen d affixei. Exercice edétermierlelieudespoitsm d affixeztelsquelespoitsm(z), N(z )etp soiet aligés. z 4/ L F, L

5 PCSI Nombres complexes Fiche Exercice 6 Ocosidèrelafoctiof decdascdéfiiepar z C,z= i,f(z)= z z+i. DétermierlelieudespoitsM d affixez telsque f(z) =.. DétermierlelieudespoitsM d affixez telsquef(z) R. 3. DétermierlelieudespoitsM d affixez telsquef(z) ir. Exercice 7 SoietA,B,Ctroispoitsdistictsd affixesrespectivesa,betc.motrerqueletriagle(abc)estéquilatéral sietseulemetsia +b +c =ab+ac+bc. Exercice 8 Le théorème de Fisler Hadwiger(937) SoietABCDetA B C D deuxcarrés,ootee etglesmilieuxdeb DetD B,F eth lescetresdescarrés.motrer queefgh estucarré. Expoetielle complexe Exercice 9 Résoudre e z =, e z =i, 3e z +e z +=0, 4 e z +e z = e z+z =. Exercice 60 Soitz C,odéfiitcos(z)= eiz +e iz etsi(z)= eiz +e iz i π. CalculerZ=cos 3 +il,préciserlemoduleetl argumetdez.. Quevautcos z+si z? 3. Quevaletlescojuguéesdecos(z)etdesi(z)? 4. Résoudre cos(z)= 3i 4 et si(z)= 4. / L F, L

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