1. Activité. La légende du jeu d échec

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1 . Activité La légede du jeu d échec O place sur la première case d u échiquier u grai de riz, sur la e case, deux grais de riz, sur la troisième, quatre grais de riz, et aisi de suite e doublat à chaque case le ombre de grais de riz mis sur la case précédete. a) Combie de grais de riz a-t-o aisi sur la e case de l échiquier? b) Quelle est la somme globale de grais aisi déposés sur les soixate quatre cases de l échiquier? Idicatio : O cherche à coaître la valeur exacte de la somme S = L astuce est de calculer la valeur de S, et d écrire S = S S. c) E sachat que 0 0 (e fait 0 =0) covertir le résultat précédet comme ue puissace de 0. d) A titre de valeur approximative o peut cosidérer que 00 grais de riz valet largemet gramme. Covertir le ombre de grais de riz e kilogramme, voire e toe (=000 kg). e) Les derières doées (FAO) fot état d ue productio modiale auelle de riz (paddy) d eviro 00 millios de toes au cours de ces derières aées. Comparer ce chiffre au résultat trouvé. f) Sachat que le rayo terrestre moye est de 70 km et que l aire d ue sphère est doée par la formule A = r, évaluez le ombre de grais de riz par cm. De maière plus parlate, si l o cosidère que les terres émergées occupet 9 de la surface complète de la plaète, combie de grais de riz compterait-o par cm?

2 . La foctio expoetielle. Puissaces à exposats etiers aturels. Racies Défiitio : Soit a u ombre réel (a ) et u etier aturel o ul ( ) a = a a... a fois a est appelé la base et l exposat de l expressio a. Remarques : R. a = a R. a se lit a «au carré», e référece à l aire d u carré de côté a. R. a se lit a «au cube», e référece au volume d u cube d arête a. Propriétés : Soit a et b deux ombres réels et m et deux ombres aturels o uls P. a m a = a m+ P. ( a ) m = a m P. Si m >, alors am a P. ( a b) m = a m b m = am Défiitio : Soit a et b deux ombres réels positifs ou uls et u etier aturel o ul. La racie ième du ombre réel positif a, otée réel positif b telle que la puissace ième de b doe a. Cela se symbolise de la maière suivate : a, est le ombre a = b b = a Remarques : R. a se ote a et se lit «racie carrée de a». R. a se lit «racie cubique» de a.

3 Défiitio : a = a pour tout ombre réel a. Défiitio : + a est u ombre réel quelque soit la valeur de a et pour tout etier aturel. Propriétés : Soit a et b deux ombres réels positifs ou uls et m et deux ombres aturels o uls. P. ( a ) = a et a = a et a = b a = b P. a b = a P.7 ( a ) m = a m b P.8 Si b > 0, alors a = a b b m P.9 a m = a Exercices. Démotrer les propriétés P. à P.9 e s appuyat sur les défiitios et, et sur les propriétés d associativité, de commutativité de la multiplicatio de deux ombres réels.. Effectuer les calculs suivats «à la mai». a) b) (a) (b) c c) 8 d) 7 () e) () () + f)... 0 g) Comparer les valeurs des expressios suivates. a) ( ) ( ) et b) ( ) ( ) et ( ) c),, et ( ).

4 A propos des otatios mathématiques Exercices. Effectuer les calculs suivats «à la mai» e sachat que les résultats sot des ombres à l écriture décimale fiie. a) 0 b) c) d) 00 8 e) 0,0 f) 0,0009 g) 0,00 h) 000 i) j) k) l) 79 m) ) 0 o) p) 0,07 q) 79 r) 0,00 s) 007 t) 9, u) 0, v) 0, w) 0, x) 0,00. Sachat que 7,9 et que 70, calculer les valeurs approchées de : a) 700 b) 7000 c) d),7 e) 0,7 f) 0,07 g) 0,0007. Calculer les valeurs exactes des expressios suivates. a) b) c) 8 d) 87 8 e) f) g) h) 7 i) 0 j) 8 k) 7.

5 7. Calculer les valeurs exactes des expressios suivates. a) b) Calculer les valeurs exactes des expressios suivates. a) b) c) 7 d) 79 e) f) 0 g) h) 8 i) j) k) a a l) a m) a a a ) a o) a a a p) a a a q) a. a 9. Extraire au maximum les carrés parfaits pour écrire différemmet les expressios suivates. a) b) 8 c) d) 0 e) 00 f) g) h) 7 i) 80 j) 000 k) 0 l) 7000 m) ) E utilisat les propriétés algébriques (distributivité, associativité et commutativité) effectuer les calculs suivats et doer votre répose sous la forme la plus simplifiée. a) ( ) ( ) b) ( ) ( ) c) ( ) ( + ) d) ( + ) ( ) e) ( + ) ( ) f) ( ) g) ( + ) h) ( ) i) ( + ) ( ) j) ( + 0) ( 0 ) k) ( 8 + 8) ( + 7 )

6 . Redre ratioel le déomiateur des expressios suivates et simplifier au maximum l expressio obteue. a) b) c) d) e) f) 80 g) + h) i) + j) + 7 k) 7 + l) + m) + ) 0 o) + p) 7 7 q). r) 8 + s) Calculer la valeur exacte des expressios suivates. Idicatio : Elever les expressios au carré, effectuer les simplificatios qui s imposet et predre la racie de ce résultat simplifié. a) b) + + c) Vrai ou Faux. Justifier, par u calcul, la répose. a) = b) + = + c) + = +. a) Calculer la valeur exacte du côté d u octogoe régulier iscrit das u cercle de rayo. b) Même questio pour u -goe régulier iscrit das u cercle de rayo.. Le mathématicie Niccolo Tartaglia (00-7) savait résoudre les équatios du troisième degré du type x = px + q, où p et q sot des ombres positifs. Sa méthode a été gééralisée sous la forme d ue formule par u autre mathématicie de la Reaissace italiee, Jerôme Carda (0-7), formule qui s exprime das otre lagage algébrique : x = q + q ' p + q ' q ' p. a) Appliquer cette formule à l équatio : x = x + 0. b) Calculer les valeurs de( ± ) et exprimer la solutio trouvée au poit a) sous ue forme plus simple. c) Cette équatio admet-elle d autres solutios réelles?

7 correspodet-elles à u ombre réel? Si oui, lequel? Si o pourquoi?. Les expressios : ( 0,) 0 ; ; ' ; () ; ( ) ; 0 ; 0 0. Puissaces à exposats etiers et puissaces à exposats ratioels Attetio O pred, à partir de maiteat, comme base, des ombres réels o uls. ( a ). Défiitio : a 0 =, pour tout ombre réel a o ul. Défiitio : a =, pour tout ombre réel a o ul et pour tout etier ( ). a Propriétés : Soit a et b deux ombres réels, o uls, et m et deux ombres etiers P.0 a m a = a m+ P. ( a ) m = a m P. a m a = am P. ( a b) m = a m b m Exercices 7. Facultatif. Démotrer les propriétés P.0 à P. e s appuyat sur les défiitios, et. ( ) 8. ' Les expressios : ; 0, ; ; réel? Si oui, lequel? Si o pourquoi? ; ( ) correspodet-elles à u ombre 7

8 Attetio O pred, à partir de maiteat, comme base, des ombres réels ( ). strictemet positifs a + Défiitio 7 : m a = a m pour tout ombre réel strictemet positif a, pour tout etier m et pour tout etier aturel o ul. Propriétés : Soit a et b deux ombres réels, strictemet positifs, p et q deux ombres ratioels quelcoques. P. a p a q = a p+q P. ( a ) p q = a pq P. a p a q = a pq P.7 ( a b) p = a p b p Exercices 9. Facultatif Démotrer les propriétés P. à P.7 e s appuyat sur les défiitios,, et. 0. Ecrire à l aide de radicaux les expressios suivates. a) b) 0 c) 0 d) 0 e) f) h) ( 0,0) i) 0, j) k) 9 ' 9 g) 0, 8

9 . Ecrire à l aide d exposats ratioels les expressios suivates. a) b) c) d) a 8 e) a f) a g) ( a ) h) ( a ) i) ( a ) j) ( a ) ( ) a k) a ( ) l) a ( ) a ( ) m) a a ) a a o) a a p) a q) a r) a 8 s) 8 t) a a a u) a a v) a a a a ( ). w) a a 0 a. L expressio correspod-elle à u ombre réel? Si oui commet le justifier? Si o pourquoi?. Puissaces à exposats réels et foctio expoetielle Attetio O pred, à partir de maiteat, comme base, des ombres réels strictemet positifs différets de. Défiitio 8 : Soit a u ombre réel strictemet positif et différet de c est-à-dire { } a + \ O défiit la foctio expoetielle de base a, par : exp a : x exp a (x) = a x 9

10 O admettra sas démostratio formelle les propriétés suivates Propriétés : Soit a et b deux ombres réels, strictemet positifs et différets de, x et y deux ombres réels quelcoques. P.8 a x a y = a x+ y P.9 ( a ) x y = a xy P.0 a x a y = ax y P. ( a b) x = a x b x P. a 0 = et a = a P. Si a > alors la foctio y = a x est strictemet croissate sur. P. Si 0 < a < alors la foctio sur. y x = a est strictemet décroissate P. La foctio y x = a est bijective de das a x = a y x = y pour tout x et y réel. +, cela sigifie que. Tracer das u même repère orthoormé le graphique approximatif des foctios suivates : a) f : x x b) g : x c) h : x e x d) j : x 0,9 x x. Résoudre, das, les équatios suivates e s aidat des propriétés P.8 à P.. x a) ( ) x = 9 b) x+ ( ) = x c) 7 x+ = x+8 d) 9 x x = e) x x = 0 x+ f) x+ x+ + 7 = 0 g) x + x+ + 9 = 0 h) ( x+) 0 x+ = i) x+ x+ = 8 j) x+ x+ + = 0 k) e x e x + e x = 0 l) x + 9 x = 90 0

11 La foctio logarithme Nous avos sigalé au paragraphe précédet que la foctio y = a x est bijective de das +. Cette foctio admet doc ue réciproque de + das appelée logarithme de base a et défiie par : Défiitio 9 : Soit a u ombre réel strictemet positif et différet de c est-à-dire { } a + \ O défiit la foctio logarithme de base a, par : log a : + x log a (x) telle que log a (x) = y a y = x E d autres termes le logarithme e base a d u ombre x, strictemet positif, est u ombre y tel que la base a élevé à la puissace y doe x ; y est doc la puissace à laquelle il faut élever la base a pour trouver x. Exercices. Calculer : a) log () b) log 0 (000) c) log a () d) log e e e) log 00 0 ( ) f) log ( ). Résoudre les équatios suivates a) log ( x) = b) log ( x) = c) log x ( ) = d) log x ( ) = e) log x ( 000) = Remarques : R. Le logarithme de base 0 (appelé aussi logarithme vulgaire, ou logarithme de Briggs du om de so «iveteur») se ote log 0 = log. R.7 La découverte des logarithmes est l œuvre du baro écossais Joh Napier. E souveir de cette découverte o appelle logarithme épérie, ou logarithme aturel, le logarithme de base e, qui se ote l (= log e ).

12 Propriétés : Soit x, y + et a,b + \{ } P. log a (a x ) = x pour tout ombre réel x. P.7 a log a ( x) = x pour tout ombre réel strictemet positif. P.8 log a (a) = et log a () = 0. P.9 log a ( x) = log a ( y) x = y P.0 log a (x y) = log a (x) + log a ( y) x P. log a y = log (x) ' log ( y) a a P. log a ( x ) y = y log a (x) P. log a ( x) = log (x) b log b (a) = log(x) log(a) = l(x) l(a). Exercices 7. Démotrer les propriétés P. à P. e s appuyat sur les défiitios et 7, les propriétés P.8 à P. et les remarques R.8 et R Ecrire les expressios suivates sous ue autre forme e s aidat des propriétés du logarithme. a) log( a b ) b) log a b ( ) c) log a b a b d) log c d 9. Tracer das u même repère orthoormé le graphique approximatif des foctios suivates : a) f : x log (x) b) g : x log (x) c) g : x l(x) d) j : x log 0,9 (x) Comparer ces graphiques aux graphiques obteus das l exercice. Que costate-to?

13 0. Résoudre, das, les équatios suivates e s aidat des propriétés P. à P.. a) log(x +) log() = log(x ) + log(7) b) log(x) + log(x) = log(x) c) log(x +) + log(x ) = log(8) d) log(x +) = + log(x) e) log(x ) + log(x + 7) = log() f) log(x 7) = log(x + ) g) log( x ) = log( x) h) log( x +) + log( x ) log() = 0 i) log(0) + log(x 9) log(x + ) = + log(x + ) j) log(0) + log(x ) log(x ) = + log(x + ). O vous doe la valeur approximative de log() 0,00. E s aidat de cette doée, calculer sas l aide de la machie la valeur approximative de : a) log() b) log() c) log(0,008) d) log(,) e) log('00) f) log g) log(0). Démotrer que a) log a (b)log b (a) = b) log a (x) log a (x) = + log a ().. Résoudre, das, les équatios suivates. a) log (x) = + log (x +) 9 b) log(x ) = ( log(x) ) c) log (x)log (x) =

14 . Problèmes. A chaque rebod, ue «superballe» atteit les 80 de la hauteur atteite au rebod précédet. Si o lâche la balle d ue hauteur de m, a) quelle sera la hauteur atteite par la balle au er, au e, au e, au ième rebod? b) A partir de quel rebod cette balle e dépassera-t-elle plus la hauteur de 0 cm?. U problème de Nicolas Chuquet (8) «Chaque jour o soutire d u toeau le dixième de so coteu. Au bout de combie de temps le toeau sera-t-il à moitié vide?». O place u capital de 000 F. au taux auel de. a) Quel est le capital après ue aée? Après aées (e ayat laissé l itérêt auel sur le compte, o parle alors d itérêts composés)? Après aées? Après aées? b) Gééraliser la questio précédete avec u capital iitial C 0 placé au taux auel de λ. c) O repred la questio a avec le même taux auel mais cette fois l itérêt est capitalisé tous les mois. Quel sera le capital après ue aée? Après deux as? Après aées? d) O repred la même questio mais avec ue capitalisatio o plus mesuelle mais jouralière (l aée bacaire compte 0 jours). Quel sera alors le capital après ue aée? Après deux as? Après aées? Remarque : E capitalisat istataémet l itérêt o est ameé à doer u ses précis à l expressio + ' pour des arbitrairemet grad. O motre alors que l expressio + ' s approche idéfiimet de e (où e,78... ) lorsque deviet arbitrairemet grad. Ce ombre e est de la même «ature» que le ombre, o dit qu il est trascedat, car il est solutio d aucue équatio algébrique alors que x = 0., par exemple, est ue des solutios de l équatio 7. La cosommatio d électricité d u pays double tous les 0 as. a) Quel est le taux d accroissemet auel? b) Combie de temps faut-il pour voir cette cosommatio augmeter de 0? c) Par combie cette cosommatio est-elle multipliée après u siècle? Et après deux siècles?

15 8. La populatio modiale a passé le cap du milliard d êtres humais e 80, celui du secod milliard e 97, du e e 90, du e e 97, du e e 987 et du e e 999. [A titre d iformatio les projectios motret qu e -000 il y avait eviro millios d êtres humais; 00 millios e -70; 00 millios e 00; 00 millios e 0] a) Quel est le taux d augmetatio etre le e et le e milliard? b) Si ce taux était resté costat, quelle aurait été la populatio modiale e 90? 97? 987? 999? c) Selo la même hypothèse (taux costat), e quelle aée le e milliard aurait-il été atteit? d) Quad le 7 e milliard sera-t-il atteit si ce taux se maitiet? e) Les terres émergées ayat ue superficie d eviro 0 millios de km, à quelle date y aura-t-il plus qu u mètre carré par habitat? 9. Ue coloie de bactéries se développe au cours du temps t suivat la loi expoetielle: N :t N 0 a t, où N 0 est le ombre iitial de bactéries. a) Détermier N 0 et a sachat que la coloie compred bactéries après jours et après, jours. b) Quel est le ombre de bactéries au bout de jours? c) Après combie de jours la coloie compred-elle bactéries? d) Après combie de jours la populatio de la coloie s est-elle décuplée? 0. Résoudre les systèmes d équatios suivats das. a) b) log(x) + log( y) = x + y = l(x) l( y) = x y = e c) x log ( y) = y log (x) x = y

16 . Réposes aux exercices et aux problèmes Activité a) grais de riz. b) grais de riz. c) 0 ( ) 0 ( 0 ) =,0 9 (la machie doe,80 ) d), =,0 toes e),0 0 8,0 soit la productio modiale de riz durat 0 as f) La surface de la Terre exprimée e cm est de : , ce qui fialemet doe eviro grais par cm et si l o e cosidère que la partie émergée de la surface terrestre cela représete eviro 8 grais par cm sur toute la surface terrestre. Ue terre blache de grais de riz.. a) = 9 b) 8a b c c) = '78 d) = 8 d) e) f) = = '07'00. a) ( ) ( ) < b) ( ) ( ) < c) ( ) ( ) < d) ( ) ( ) < < <. a) 0 b) c) d) 0 9 e) 0, f) 0,0 g) 0,0 h) 0 i) j) 7 k) l) m) ) 7 o) p) 0, q) 9 r) 0, s) t), u) 0,8 v) 0,0 w) 0, x) 0,. a),9 b), c) 9 d), e) 0,9 f) 0, g) 0,0. a) b) c) d) e) f) g) 8 h) 8 i) j) k). 7. a) - b) a) b) c) d) e) f) g) 7 h) i) 7,8 j) 8,70 k) a l) a m) a ) a o) a p) a q) 7 a 8

17 9. a) b) c) 9 d) e) 0 f) g) h) 7 i) j) 0 0 k) 0 l) 0 70 m) ) 0 0. a) 9 7 b) c) + d) e) f) ( ) g) + h) 7 0 i) j) 9 k) +. a) b) c) d) 9 e) f) g) + h) + i) j) 7 k) 7 l) 7 0 m) 8 7 ) 9 o) p) q) r) 9 + s) a) 0 + b) c). a) Vrai, car : ( ) = ( ) = b) Faux, car :( + ) = ( + ) c) Vrai, car : + = + = ( + ).. =.. Côté d u octogoe régulier : ; côté d u -goe régulier :. a) x = = b) ( ± ) = 0 ± doc x = + + =. c) x x 0 = ( x ) x + x +0 das. ( ) mais x + x +0 e se factorise pas 7

18 0. a) b) c) d) 0 e) f) g) h) 0, i) j) k). a) b) c) d) a e) a f) a g) a h) a 8 i) a j) a k) a l) a m) a ) a + o) a p) a q) a r) a s) t) a 7 u) a v) a w) a. a) S = b) S = 8 ' c) S = { } d) S = ' e) S = i) S = { } f) S = ;0 { } j) S = ± ' g) S = h) S = { } k) S = { 0;l() } l) S = { }. a) b) c) 0 d)- e) f). a) b) 8 c) d) e) 0 8. a) log(a) + log(b) b) log(a) + log(b) c) log(a) log(b) d) log(a) + log(b) log(c) log(d) 0. a) S = b) S = c) S = { } d) S = 9 e) S = { } f) S = 8 ' g) S = { ;} h) S = { } i) S = j) S = ;. a) 0,9897 b),099 c),8979 d) 0,0 e),7988 f) 0,0 g),00 8

19 . a) S = { } b) S = { ;00} c) S = ;. a) 0,8 =, ; 0,8 =,8 ; 0,8 =,0 ; 0,8 b) A partir du e rebod.. Après le 7 e jour.. a),0000 = 00 F ;,0 000 = 0,;,0 000 = 7,;,0 000 b) + 00 ' (C 0 c) + 00 ' + 00 ' 000 d) ' 000 ( 0, + 00 ' 000 ( 0, ' ( 0, ' ( 0, 0 7. a) 0 = b) Eviro,7 as. c) Par ; par a) b) Eviro, milliards ; eviro, milliards ; eviro milliards ; milliards. c) Das le courat de l été de l aée 9. d) Eviro e 009. e) Eviro e l a. 9. a) a = et N 0 = b) 00'000 c) jours d) l(0) l(), jours. 0. a) S = { < 0; >;< ;0 > } b) S = { < e;> } c) S = { < ; > } 9