COURS DE MATHÉMATIQUES. Modules M 1201 & M 1302 SEMESTRE 1. Année universitaire

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1 Année universitire COURS DE MATHÉMATIQUES Modules M 1201 & M 1302 SEMESTRE 1 Auteur : Florent ARNAL Adresse électronique : florent.rnl@u-bordeux.fr

2 Tble des mtières 1 INTEGRATION ET EQUATIONS DIFFERENTIELLES 1 I Intégrles de Riemnn II Lien Intégrtion-Primitive III Equtions différentielles GENERALITES SUR LES FONCTIONS 5 I Propriétés grphiques des fonctions I.1 Domine de définition I.2 Grphe d une fonction I.3 Prité d une fonction II Périodicité III Trnsltions de courbes IV Trigonométrie IV.1 Générlités sur les fonctions circulires IV.2 Formules de Trigonométrie V Fonctions usuelles V.1 L fonction logrithme népérien V.2 Fonctions exponentielles GENERALITES SUR LES NOMBRES COMPLEXES 15 I Forme lgébrique I.1 Générlités I.2 Nombre complexe conjugué II Nombres complexes et géométrie III Forme trigonométrique III.1 Module d un nombre complexe III.2 Arguments d un nombre complexe non nul IV Forme exponentielle IV.1 Générlités IV.2 Applictions IV.2.1 Linéristion de cos n x et sin n x IV.2.2 Expression de cos(nx) et sin(nx) en fonction de cos x et sin x V Equtions V.1 Rcines crrés V.2 Equtions du second degré du type z 2 + bz + c =0 ( 0) V.3 Rcines n-ième d un nombre complexe V.3.1 Rcines n-ième de l unité V.3.2 Rcines n-ième d un nombre complexe quelconque LIMITES DE FONCTIONS 25 I Rppel sur les limites à droite et à guche II Limites des fonctions usuelles III Théorèmes générux sur les limites III.1 Limite d une somme de deux fonctions III.2 Limite d un produit de deux fonctions III.3 Limite de l inverse d une fonction III.4 Limite d un quotient de deux fonctions III.5 Limite de l composée de deux fonctions IV Théorèmes de comprisons V Comportement symptotique VI Croissnces comprées des fonctions usuelles

3 TABLE DES MATIÈRES 3 5 DÉRIVATION ET CONTINUITÉ 31 I Fonction dérivée I.1 Générlités I.2 Dérivéees des fonctions usuelles I.3 Dérivées et limites usuelles en I.4 Opértions sur les fonctions dérivées II Applictions de l dérivtion II.1 Sens de vritions d une fonction II.2 Extremum d une fonction II.3 Pln d étude d une fonction II.4 Appliction de l dérivtion ux clculs d incertitude (différentielle) III Continuité III.1 Continuité en un point III.2 Fonction continues usuelles III.3 Propriétés III.4 Prolongement pr continuité IV Propriétés des fonctions continues IV.1 Théorème des vleurs intermédiires APPLICATIONS DES NOMBRES COMPLEXES 39 I Fctoristion de polynômes à coefficients réels I.1 Division euclidienne I.2 Rcine, multiplicité II Trnsformtions du pln et équtions de cercles II.1 Eqution de cercle II.2 Ecriture complexe d une trnsformtion II.3 Etude de l inversion (complexe de centre O et de rpport 1) III Appliction ux circuits fonctionnnt en régime permnent sinusoïdl III.1 Générlités III.2 Impédnce complexe III.2.1 Cs d une résistnce III.2.2 Cs d une bobine III.2.3 Cs d un condensteur FONCTIONS RECIPROQUES 45 I Générlités II Fonctions réciproques des fonctions trigonométriques II.1 Fonction réciproque de l fonction cos : rccos II.2 Fonction réciproque de l fonction sin : rcsin II.3 Fonction réciproque de l fonction tn : rctn DÉCOMPOSITION EN ÉLÉMENTS SIMPLES 51 I Générlités II Décomposition en éléments simples CALCUL INTÉGRAL 55 I Primitives (Rppels) II Intégrles II.1 Générlités II.2 Utilistion de l intégrle en GEII : Vleurs moyenne et efficce III Clculs d intégrles III.1 Intégrtion pr prties III.2 Chngement de vrible III.3 Clcul de primitives III.3.1 Recherche des primitives de x (x 2 +1) n III.3.2 Cs de certines fonctions trigonométriques (voir TD)

4 Chpitre 1 INTEGRATION ET EQUATIONS DIFFERENTIELLES Introduction L notion d intégrtion est essentielle en physique et l résolution d équtions différentielles du premier ordre est fondmentle, notmment en électronique. Dns cette prtie, nous nous contenterons de rppeler (ou préciser) certines notions indispensbles à l bonne compréhension de notions bordées très rpidement dns d utres disciplines. En mthémtiques, ces notions seront pprofondies ultérieurement. I Intégrles de Riemnn Définition 1 : On ppelle subdivision de l intervlle [; b] une fmille finie σ = {x 0 ; x 1 ; x 2...; x n } telle que : x 0 = <x 1 <x 2 <...<x n = b. Exemple 1 σ 1 = {0; 0, 5; 1} et σ 2 = {0; 0, 2; 0, 4; 0, 6; 0, 8; 1} sont des subdivisions de [0; 1]. σ = { ; + b n ; +2b n ;...; b} est une subdivision de [; b]. Définition 2 : (Sommes de Riemnn) Soit f une fonction continue sur [; b]. On considère un entier n non nul et l subdivision σ = {x 0 ; x 1 ; x 2...; x n } vec x k = + k b n. L somme de Riemnn (l plus communément rencontrée) ssociée à f, notées n (f) est définie pr : S n (f) = b n n f k=1 ( + k b n ) = n (x k x k 1 )f(x k ). Remrque 1 : Ces sommes de Riemnn sont utilisées dns l méthode des rectngles pour le clcul pproché des intégrles. Théorème-Définition 1 : lim S n existe et est finie. n + k=1 On dit qu une fonction f est intégrble (u sens de Riemnn) sur [; b] si Toute fonction f continue sur [; b] est intégrble et son intégrle, notée b f(x) dx = lim S n. n + b f(x) dx, est définie pr : 1

5 2 CHAPITRE 1. INTEGRATION ET EQUATIONS DIFFERENTIELLES Figure 1.1 Lien entre ire de rectngles et intégrle Remrque 2 : Interpréttion physique pour les fonctions positives Considérons que l lrgeur de chque rectngle est très petite ( x devient dx). L ire d un rectngle est ssimilble à f(x) dx. L ire de l prtie située entre l courbe, l xe des bscisses et les droites verticles d équtions x = et x = b est égle à l somme des ires de tous les rectngles. Pour obtenir une vleur excte, on considère qu il y une infinité de rectngles et que leur lrgeur dx est infiniment petite. b f(x) dx v dditionner toutes ces ires pour donner l ire totle. II Lien Intégrtion-Primitive Théorème 1 : Théorème Fondmentl de l Anlyse (Leibniz-Newton) Soit f une fonction continue sur un intervlle [; b]. L fonction F : x x Pour toute primitive G de f, on: f(t) dt est l unique primitive de f qui s nnule en. b f(x)dx =[G(x)] b = G(b) G(). De fçon plus générle, une primitive de f se note prfois : f(x) dx. De même, l dérivée de f peut être définie insi : f (x) = df(x) dx Pour une fonction f de l vrible x, ondonc: df = f dx. voire f = df dx. Exercice 1.1 Considérons l fonction f :(x, t) 2x +3t. On: df dx = ; df dt = et df dy =. Exercice 1.2 Recherche de primitives dx = ; x dx = ; 3C dy = et dy y = sur ]0; + [. Exercice 1.3 Détermintion de différentielles Si y : x x 2 lors dy = Si y est constnte lors dy =.

6 III. EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 3 III Equtions différentielles Les générlités sur les équtions différentielles (ED) linéires du premier et deuxième ordre seront étudiées ultérieurement. L objectif de cette prtie est d border l résolution des équtions différentielles du type y = y où y est une fonction de l vrible x et est un réel quelconque. On doit donc résoudre l ED suivnte : y (x) =y(x) notée églement dy (x) =y(x). dx Pour non nul, considérons l fonction f : x y(x) e x. Théorème 2 : Soit un réel quelconque. Les solutions de l éqution différentielle y = y sont les fonctions x Ce x où C est une constnte réelle.

7 4 CHAPITRE 1. INTEGRATION ET EQUATIONS DIFFERENTIELLES

8 Chpitre 2 GENERALITES SUR LES FONCTIONS I Propriétés grphiques des fonctions I.1 Domine de définition Définition 1 : On ppelle fonction numérique d une vrible réelle toute ppliction f dont les ensembles de déprt et d rrivée sont des ensembles de réels. D R On note : f :. x f(x) L ensemble D est ppelé l ensemble de définition de f. Remrque 1 : Les intervlles de R sont des sous-ensembles prticuliers de R. Dns le cs où l fonction n est connue que pr l donnée de son expression f(x), on convient que le domine de définition est l ensemble de tous les réels x tels que f(x) existe. Exercice 2.1 Déterminer l ensemble de définition de l fonction f : x 3 x2 4. I.2 Grphe d une fonction On se plce dns un repére orthonorml du pln ( ) O; i, j. Définition 2 : L ensemble des points M de coordonnées M(x; f(x)) est ppelé courbe représenttive de f ou grphe de f. Remrque 2 : L courbe représenttive de f pour éqution y = f(x). 5

9 6 CHAPITRE 2. GENERALITES SUR LES FONCTIONS Exercice 2.2 On considère l fonction prtie entière, notée E, définiepr: x R tel que k x<k+1 où k Z, E(x) =k. E(x) correspond donc u plus grnd entier reltif inférieur ou égl à x. 1. Représenter grphiquement cette fonction. 2. Exprimer, pour tout x réel, E(x +1)en fonction de E(x). Figure 2.1 Représenttion grphique de l fonction Prtie Entière I.3 Prité d une fonction Définition 3 : (Ensemble symétrique pr rpport à 0) Un ensemble D inclus dns R est symétrique pr rpport à 0 si x D, x D. Définition 4 : (Fonction pire) Soit f une fonction dont le domine de définition est centré en 0. L fonction f est pire si x D, on:f( x) =f(x). Exercice 2.3 Montrer que l fonction f : x sin x x est pire. Remrque 3 : Dns un repère orthogonl, l courbe représenttive d une fonction pire est symétrique pr rpport à l xe des ordonnées.

10 II. PÉRIODICITÉ 7 Figure 2.2 Représenttion grphique de l fonction f Définition 5 : (Fonction impire) Soit f une fonction dont le domine de définition est centré en 0. L fonction f est impire si x D, on:f( x) = f(x). Remrque 4 : L courbe représenttive d une fonction impire est symétrique pr rpport à l origine O du repère. Si f est une fonction impire définie en 0 lors f(0) = 0. En effet : Pour étudier une fonction pire ou impire, on peut restreindre l intervlle d étude (en considérnt, pr exemple, R + u lieu de R). II Périodicité Définition 6 : (Périodicité d une fonction) Une fonction f définie sur R est dite T -périodique si T est le plus petit réel positif tel que : x R,f(x + T )=f(x). Exercice 2.4 Montrer que l fonction f : t cos(ωt) est périodique de période T = 2π ω où ω>0. Remrque 5 : Dns ce cs, on peut restreindre l étude de l fonction f à tout intervlle I de longueur T. L courbe représenttive de f ser obtenue à prtir du grphe obtenu sur I pr des trnsltions de vecteurs kt i vec k Z. Une fonction peut être périodique sns être une fonction trigonométrique. En effet, l fonction f : x ( 1) E(x).[x E(x)] est périodique de période 2.

11 8 CHAPITRE 2. GENERALITES SUR LES FONCTIONS III Trnsltions de courbes Nous llons dns cette prtie considérer les fonctions du type x f(x)+λ et x f(x + λ). Exercice 2.5 Considérons l fonction f : x x 3 3x 2 dont le grphe est donné ci-dessous. Trcer l représenttion grphique des fonctions g et h définies pr : g : x f(x)+2 et h : x f(x +2). Figure 2.3 Représenttions grphiques des fonctions f, g et h Plus générlement, on le théorème suivnte : Théorème 1 : L courbe représenttive de l fonction x f(x)+λ est l imge de l courbe représenttive de f pr l trnsltion de vecteur λ j. L courbe représenttive de l fonction x f(x + λ) est l imge de l courbe représenttive de f pr l trnsltion de vecteur λ i. Exercice 2.6 Déterminer une expression envisgeble de l fonction g dont l courbe est donnée ci-dessous (on fer le lien vec l fonction Inverse ). Cette courbe semble être l imge de l courbe de l fonction Inverse pr l trnsltion de vecteur... Figure 2.4 Représenttion grphique de l fonction g

12 IV. TRIGONOMÉTRIE 9 IV IV.1 Trigonométrie Générlités sur les fonctions circulires Dns tout ce chpitre, le pln ser rpporté à un repère orthonorml direct d origine (O; u, v ). Définition 7 : On ppelle cercle trigonométrique le cercle de centre O, de ryon 1, orienté dns le sens direct. Soit M un point sur ce cercle tel que ( u ; OM) =x. cos(x) correspond à l bscisse de M et sin(x) correspond à l ordonnée de M. Figure 2.5 Représenttion du cercle trigonométrique Propriété 1: x R, on: 1 cos(x) 1et 1 sin(x) 1. x R, on:cos 2 (x) + sin 2 (x) =1. Les fonctions sin et cos sont définies sur R, à vleurs dns [ 1; 1]. Les fonctions sin et cos sont 2π-périodiques. sin est impire et cos est pire cr, pour tout x réel, on : cos( x) = et sin( x) =. En outre, on les formules suivntes : cos(π + x) = cos(x) et sin(π + x) = sin(x). On peut donc se restreindre à l intervlle [ 0; π 2 ] pour les étudier. Propriété 2:(Vritions des fonctions sin et cos) Sur l intervlle [ 0; π 2 ], l fonction sin est croissnte et l fonction cos est décroissnte. Figure 2.6 Représenttion grphique des fonctions sin et cos L formule cos(x) = sin ( x + π 2 ) montre que l courbe d éqution y =cos(x) se déduit de l courbe d éqution y = sin(x) pr l trnsltion de vecteur π 2 i.

13 10 CHAPITRE 2. GENERALITES SUR LES FONCTIONS Définition 8 : (L fonction Tngente) Cette fonction, notée tn, est définie pr tn(x) = sin(x) cos(x) pour tout réel x tel que x π 2 [π]. Propriété 3: L fonction tn est π-périodique et impire. Figure 2.7 Représenttion de l fonction tn IV.2 Formules de Trigonométrie Propriété 4:(Reltions liés u cercle trigonométrique) sin( θ) = sin θ cos( θ) =cosθ tn( θ) = tn θ sin ( π 2 θ) =cosθ sin(π θ) = sin θ cos ( π 2 θ) = sin θ cos(π θ) = cos θ tn ( π 2 θ) = 1 tn θ tn(π θ) = tn θ Propriété 5:(Vleurs remrqubles) π θ sin θ 0 cos θ 1 tn θ 0 π π π non défini Propriété 6:(Formules d ddition et dupliction) cos( + b) =cos cos b sin sin b. cos( b) =cos cos b + sin sin b. sin( + b) = sin cos b +cos sin b. sin( b) = sin cos b cos sin b. tn( + b) = tn +tn b 1 tn tn b. Méthode pour retrouver ces formules en utilisnt les nombres complexes. Considérons, pr exemple, cos( + b). On donc : cos( + b) =cos cos b sin sin b.

14 IV. TRIGONOMÉTRIE 11 Propriété 7:(Formules de dupliction) cos(2) =cos 2 sin 2 =2cos 2 1=1 2sin 2. sin(2) = 2 sin cos. En effet : Propriété 8:(Formules de réduction du crré) cos 2 x = 1+cos(2x). 2 sin 2 x = 1 cos(2x). 2 Propriété 9:(Formules de développement) cos( + b)+cos( b) =2cos cos b. cos( + b) cos( b) = 2 sin sin b. sin( + b) + sin( b) = 2 sin cos b. sin( + b) sin( b) =2cos sin b. Méthode pour retrouver, pr exemple, cos( + b)+cos( b) =2cos cos b. On déduit isément l propriété suivnte : Corollire 1 : (Formules de fctoristion) cos( + b)+cos( b) cos cos b =. 2 cos( b) cos( + b) sin sin b =. 2 sin( + b) + sin( b) sin cos b =. 2 sin( + b) sin( b) cos sin b =. 2 Propriété 10:(Résolution d équtions trigonométriques) cos =cosb b = [2π] ou b = [2π]. sin = sin b b = [2π] ou b = π [2π].

15 12 CHAPITRE 2. GENERALITES SUR LES FONCTIONS Exercice 2.7 Résoudre, dns R, l éqution cos(3x) =0, 5. Une conséquence intéressnte de ces églités est qu elles permettent de rmener l combinison linéire d un sinus et d un cosinus à un sinus. Théorème 2 : (Trnsformtion d une expression de l forme cos(ωt)+ b sin(ωt)) cos(ωt)+bsin(ωt) =A sin(ωt + ϕ) vec A = 2 + b 2 et { = A sin ϕ b = A cos ϕ Démonstrtion : Exercice 2.8 Exprimer cos(2t) + sin(2t) sous l forme A sin(ωt + ϕ). Figure 2.8 Représenttion grphique de l fonction t cos(2t) + sin(2t)

16 V. FONCTIONS USUELLES 13 V Fonctions usuelles V.1 L fonction logrithme népérien Propriété 11: L fonction ln est strictement croissnte sur ]0; + [. Figure 2.9 Représenttion grphique de l fonction ln Corollire 2 : Soient et b deux réels strictement positifs. ln() = ln(b) = b. ln() > ln(b) >b. ln() > 0 >1. Propriété 12:(Propriétés lgébriques de ln) Soient et b deux réels strictement positifs. ln(b) = ln() + ln(b) et ln ( ) b = ln() ln(b). p R, ln( p )=pln(). V.2 Fonctions exponentielles Définition 9 : L fonction exponentielle exp : x e x est l fonction réciproque de l fonction ln. Conséquences : x R, on : ln(e x )=x. y>0, on : e ln y = y. Propriété 13: L fonction exp est strictement croissnte sur R. Corollire 3 : Soient et b deux réels. e =e b = b. e > e b >b. Figure 2.10 Représenttion grphique de l fonction exp

17 14 CHAPITRE 2. GENERALITES SUR LES FONCTIONS Définition 10 : (Fonction exponentielle de bse ) Soit un réel strictement positif. L fonction exponentielle de bse, notéeexp, est définie pr : exp (x) = x =e x ln. Propriété 14:Soit un réel strictement positif. Lorsque >1, l fonction exp est définie et strictement croissnte sur R. Lorsque <1, l fonction exp est définie et strictement décroissnte sur R. Lorsque = 1, l fonction exp est définie et constnte sur R.

18 Chpitre 3 GENERALITES SUR LES NOMBRES COMPLEXES I Forme lgébrique Introduction : On définit le nombre imginire j tel que j 2 = 1. j correspond u nombre noté dns le secondire i, solution de l éqution X 2 +1=0. On définit l ensemble des nombres complexes, noté C pr C = { + jb,(; b) R 2}. Enfin on munit cet ensemble des lois + et telles que celles-ci prolongent les lois de R. Anoterque:R C. I.1 Générlités Définition 1 : Soit z = + jb ( et b réels ) un nombre complexe. On : Re(z) = (prtie réelle) et Im(z) = b (prtie imginire). Si Re(z) = 0, on dit que z est un imginire pur. Remrque 1 : Les prties réelles et imginires d un nombre complexe sont des nombres réels. Si Im(z) = 0 lors z R. Propriété 15:(Eglité de deux nombres complexes) Deux nombres complexes sont égux si et seulement s ils ont l même prtie réelle et l même prtie imginire. { = Ainsi : + jb = + jb b = b. I.2 Nombre complexe conjugué Définition 2 : Le nombre complexe z,conjuguédez = + jb, esttelque z = jb. Propriété 16: Pour tous nombres complexes z et z, n étnt un entier, on : (z + z )=z + z ; (z z )=z z ; z n = z n et z = z. z R z = z. si z 0 lors ( ) 1 z = 1 z ; ( ) z z = z { z. z + z =2Re(z) On :. z z =2jIm(z) 15

19 16 CHAPITRE 3. GENERALITES SUR LES NOMBRES COMPLEXES II Nombres complexes et géométrie. Soit (O; u, v )unrepèreorthonormletm( ; b) un point du pln, z = + jb. On l reltion : OM = u + b v. Définition 3 : z est ppelé l ffixe de M (M est l imge de z). z est églement l ffixe du vecteur OM. Propriété 17:(Affixe d un vecteur) Soient A et B deux points d ffixes respectives z A et z B. L ffixe de AB est égle à zb z A. III III.1 Forme trigonométrique Module d un nombre complexe Définition 4 : Soient z = + jb et M le point-imge ssocié à z. Le module de z est le nombre réel, noté z, telque: z = OM = OM Propriété 18: z = 2 + b 2. z R +. Propriété 19:(Inéglité tringulire) Pour tous nombres complexes z et z,on Démonstrtion : z + z z + z

20 III. FORME TRIGONOMÉTRIQUE 17 III.2 Arguments d un nombre complexe non nul Définition 5 : Soit z un nombre complexe non nul. ( Un rgument de z est le réel, noté rg(z), correspondnt à une mesure de l ngle orienté u ; OM ). Propriété 20:(Lien entre nottion lgébrique et trigonométrique) Soit z = + jb un nombre complexe non nul vec ρ = z et θ =rg(z). { ρ = 2 + b 2 = ρ cos θ On : z = ρ (cos θ + j sin θ) vec soit cos θ = ρ. b = ρ sin θ sin θ = b ρ Exercice 3.1 Déterminer le module et un rgument de z = 1+ 3j. Propriété 21: Soient z et z deux nombres complexes non nuls. zz = z z et rg(zz )=rg(z)+rg(z )[2π]. z = z et rg( z) = rg(z)[2π]. 1 z = 1 z et rg ( ) 1 z = rg(z)[2π]. z z = z z et rg ( ) z z =rg(z) rg(z )[2π]. z z = z 2. z R z n = z n z =0 ou rg(z) =0[π]. z est imginire pur si et seulement si rg(z) = π 2 [π]. Exercice 3.2 Déterminer le module et un rgument du nombre complexe z = ( 1+3j)(2+2j). (3 + j)(1 j) Exercice 3.3 Soient z et z deux nombres complexes non nuls. Déterminer une condition nécessire et suffisnte pour que z + z = z + z.

21 18 CHAPITRE 3. GENERALITES SUR LES NOMBRES COMPLEXES IV Forme exponentielle IV.1 Générlités Définition 6 : Pour tout réel θ, onnote:e jθ =cosθ + j sin θ. Ainsi, si z = ρ (cos θ + j sin θ) lors z = ρe jθ (vec ρ = z ). Propriété 22: Soient z et z deux nombres complexes non nuls. zz = ρρ e j(θ+θ ) 1 ; z = 1 ρ e jθ z ; z = ρ ρ e j(θ θ ) ; z = ρe jθ. A retenir : e 2jkπ =1 (k Z) ; e j π 2 = j ; e j π 2 = j. Pour tout entier n, on: ( e jθ) n =e jnθ. Propriété 23:(Formule de Moivre) Pour tout n Z, (cos θ + j sin θ) n =cos(nθ)+j sin (nθ). En effet : Théorème 1 : (Formules d Euler) cos θ = ejθ +e jθ et sin θ = ejθ e jθ. 2 2j En effet :

22 IV. FORME EXPONENTIELLE 19 IV.2 IV.2.1 Applictions Linéristion de cos n x et sin n x L linéristion d un polynôme dont l vrible est cos x ou sin x consiste à l identifier à un polynôme du premier degré des vribles cos x, sin x, sin(2x),..... A noter que cette méthode utilise les formules d Euler insi que l formule du binôme de Newton. Théorème-Définition ( ) 2 : (Formule ( du ) binôme de Newton) ( + b) n = n n n k=0 k k b n k n! où = k k! (n k)!. ( ) n Les coefficients binomiux peuvent se retrouver en utilisnt le tringle de Pscl : k n k Exemple 2 En utilisnt ce qui précède, déterminer : ( + b) 3 ; ( + b) 4 ; ( b) 3 ; ( b) 4. Exercice 3.4 Linériser cos 3 x.

23 20 CHAPITRE 3. GENERALITES SUR LES NOMBRES COMPLEXES IV.2.2 Expression de cos(nx) et sin(nx) en fonction de cos x et sin x Il suffit de développer (cos θ + j sin θ) n en utilisnt l formule du binôme de Newton puis de séprer les prties réelle et imginire en fisnt le lien vec l formule de Moivre. Exercice 3.5 Exprimer cos(2x) et sin(2x) en fonction de cos x et sin x. V Equtions V.1 Rcines crrés Définition 7 : Soit Z un nombre complexe donné. On ppelle rcine crrée de Z tout nombre complexe z tel que z 2 = Z. Propriété 24:(Rcines crrées d un réel) 1. Cs où Z est un réel positif ou nul : () Cs où Z =0:z 2 =0 z =0. (b) Cs où Z>0, on : z 2 = Z z = Z ou z = Z. 2. Cs où Z est un réel négtif : z 2 = Z z = j Z ou z = j Z. Déterminons désormis les rcines crrées d un nombre complexe (non réel). Posons z = + jb et Z = A + jb. Oncherche(, b) R 2 tel que : z 2 = Z.

24 V. EQUATIONS 21 Propriété 25:(Rcines crrées d un complexe non réel) Soit Z un nombre complexe (non réel). Z dmet deux rcines crrées de l forme z = + jb telles que : 2 b 2 = A ; 2 + b 2 = A 2 + B 2 et 2b = B. Exercice 3.6 Déterminer les rcines crrées de 16 et 4 3j. Remrque 2 : si Z = ρe jθ lors z = ± ρ e j θ 2. Exercice 3.7 Déterminer les rcines crrées de Z =8+8j 3. Aretenir: Tout nombre complexe non nul dmet deux rcines crrées complexes opposées. Ces deux rcines sont réelles si et seulement si le nombre est un réel positif. Ces deux rcines sont imginires purs si et seulement si le nombre est un réel négtif.

25 22 CHAPITRE 3. GENERALITES SUR LES NOMBRES COMPLEXES V.2 Equtions du second degré du type z 2 + bz + c =0 ( 0) [ (z ) On rppelle que z 2 + bz + c = + b 2 ] 2 4 où = b 2 4c. 2 Résoudre l éqution z 2 + bz + c = 0 revient donc à résoudre ( ) z + b 2 2 = 4 en utilisnt l une des méthodes 2 vue précédemment. Propriété 26:(Résolution d une éqution du second degré) L éqution z 2 + bz + c =0 ( 0) dmet deux solutions : z 1 = b δ 2 et z 2 = b + δ 2 où δ est une rcine crrée de. On insi : Cs où est réel : Si > 0 lors l éqution z 2 + bz + c = 0 dmet deux solutions : z 1 = b 2 et z 2 = b+ Si = 0 lors l éqution z 2 + bz + c = 0 dmet une unique solution : z 0 = b 2. Si < 0 lors l éqution z 2 + bz + c = 0 dmet deux solutions (complexes conjuguées) : z 1 = b j 2 et z 2 = b+j 2. Cs où n est ps réel : L éqution dmet deux rcines complexes : z 1 = b δ 2 et z 2 = b+δ 2 où δ est une des deux rcines crrées (complexes) de. 2. Exercice 3.8 Résoudre, dns C, leséqutionssuivntes:z 2 + z +1=0 et jz 2 +2z 4j +4=0. V.3 Rcines n-ième d un nombre complexe V.3.1 Rcines n-ième de l unité Théorème 2 : L éqution z n =1dmetn solutions distinctes de l forme e 2jkπ n vec k {0; 1; 2;...; n 1}. En effet :

26 V. EQUATIONS 23 Exercice 3.9 Déterminer les solutions de l éqution z 3 =1. V.3.2 Rcines n-ième d un nombre complexe quelconque Soit un nombre complexe de module ρ et d rgument θ. L objectif est de déterminer les nombres complexes z tels que z n =. On : Théorème 3 : Soit un nombre complexe de module ρ et d rgument θ. L éqution z n = dmet n solutions distinctes de l forme n ρ e j ( θ n + 2kπ n ) vec k {0; 1; 2;...; n 1}. Exercice 3.10 Résoudre, dns C, l éqution:z 3 = 27.

27 24 CHAPITRE 3. GENERALITES SUR LES NOMBRES COMPLEXES

28 Chpitre 4 LIMITES DE FONCTIONS I Rppel sur les limites à droite et à guche l désigne un réel ou + ou. Définition 1 : Soient f : D R, R et D + = D ];+ [. On dit que f est définie u voisinge à droite en si f restreinte à D + est définie u voisinge de. L éventuelle limite l de f restreinte à D + en est lors ppelée limite à droite de f en. On note : lim x f(x) =l. Remrque 1 : Une fonction f dmet une limite en si, et seulement si, elle dmet des limites à droite et guche et que celles-ci sont égles. On lors : f(x) = lim f(x) = lim f(x). + x lim x x II Limites des fonctions usuelles Théorème 1 : (Limites de l fonction logrithme Néperien) lim ln x =+ et lim ln x =. x + x 0 + Théorème 2 : (Limites de l fonction Exponentielle) lim x + ex =+ et lim x ex =0. Théorème 3 : (Limites des fonctions exponentielles de bse où > 0) Si >1 : lim x + x =+ et lim x x =0. Si 0 <<1 : lim x + x = 0 et lim x x =+. En effet : Théorème 4 : (Limites des Fonctions puissnces) Si α>0 : lim x + xα =+ et lim x 0 xα =0. + Si α < 0 : lim x + xα = 0 et lim x 0 xα =

29 26 CHAPITRE 4. LIMITES DE FONCTIONS III III.1 Théorèmes générux sur les limites Limite d une somme de deux fonctions lim f lim g lim (f + g) Exercice 4.1 Déterminer les limites suivntes : λ 1 λ 2 λ 1 + λ Forme indéterminée lim x + 3x2 +5x 2 et lim x 3x3 +5x 2. III.2 Limite d un produit de deux fonctions lim f lim g lim (fg) λ 1 λ 2 λ 1 λ 2 λ 0 (1) 0 Forme indéterminée (1) (1) Avec le respect de l règle des signes. III.3 III.4 Limite de l inverse d une fonction 1 lim f lim f 1 λ 0 λ Limite d un quotient de deux fonctions lim f lim g lim ( f g λ 1 λ 2 0 λ λ Forme indéterminée λ 2 Forme indéterminée λ 1 λ 2 ) Exercice 4.2 Déterminer : 3x lim 2 5x+1 x + x 3. Propriété 27:(Règles opértoires sur les polynômes) A l infini, l limite d une fonction polynôme est l limite de son terme de plus hut degré. A l infini, l limite d une fonction rtionnelle est l limite du quotient de ses termes de plus hut degré.

30 IV. THÉORÈMES DE COMPARAISONS 27 Ainsi, considérons l fonction f définie sur ]1; + [ prf(x) = x3 2x+3 x 2 +x. Pour l limite en +, on peut écrire l enchînement suivnt : lim f = lim + x + x 3 x 2 = lim x + x =. III.5 Limite de l composée de deux fonctions Théorème 5 :, k et l désignent un réel, + ou. Soient f et g deux fonctions telles que Im(g) D f. Si lim g(x) =k et lim f(x) =l lors lim (f g)(x) =l. x x k x Exercice 4.3 Déterminer : lim e x x x + IV Théorèmes de comprisons Théorème 6 : (Limite d une fonction positive) Soient f une fonction définie sur un intervlle I du type ]; b] ( et b sont des réels ou + ou ). On suppose que f dmet une limite en x 0 I. Si, pour tout x I, f (x) 0 lors lim x x 0 f (x) 0. Remrque 2 : A noter que l conclusion est identique si f>0. Corollire 4 : (Comprison de deux fonctions) Soient f et g deux fonctions définies sur un intervlle I du type ]; b] ( et b sont des réels ou + ou ). On suppose que f et g dmettent une limite en x 0 I. Si, pour tout x I, f (x) g (x) lors lim f(x) lim g(x). x x 0 x x 0 Remrque 3 : A noter que l conclusion est identique si f<g. Théorème 7 : (Théorème d encdrement) Soient f, g et h trois fonctions définies u voisinge de où est un réel, + ou. Si f (x) g (x) h (x) et si lim f(x) = lim h(x) =k lors lim g(x) =k. x + x + x + Exercice 4.4 Déterminer 3x+sin(x) lim x + x+2. Figure 4.1 illustrtion du théorème des gendrmes

31 28 CHAPITRE 4. LIMITES DE FONCTIONS V Comportement symptotique Théorème 8 : Si lim f(x) =±, lors l courbe représenttive de f dmet une symptote d éqution x =. x Si f(x) =b, lors l courbe représenttive de f dmet une symptote d éqution y = b. Si lim x ± lim x + [f(x) (x + b)] = 0 lors l droite d éqution y = x + b est symptote à l courbe représenttive de f. Exercice 4.5 Démontrer l existence d symptotes ux courbes représenttives des fonctions f et g définies sur ]0; + [ pr : f(x) = 3x+1 (x+1)2 x+1 et g(x) = x. Figure 4.2 Représenttion grphique des fonctions f et g VI Croissnces comprées des fonctions usuelles Théorème 9 : (Théorème des croissnces comprées) ln(x) lim x + x = 0 et lim x ln(x) =0. x 0 + lim x xex e = 0 et lim x x + x =+. Si >1 : lim x xx = 0 et lim =+. x + Si 0 <<1 : lim x + xx = 0 et lim x x x =. Si α>0 lors lim x 0 xα ln(x) = 0 et lim + x + α R, on : lim x x α e x = 0 et lim x + x x ln(x) x α =0. e x x =+. α Exercice 4.6 Montrer que l droite d éqution y = 3x +2 est symptote, u voisinge de +, àlcourbe représenttive de l fonction f : x 3x2 +2x+5 ln x x.

32 VI. CROISSANCES COMPARÉES DES FONCTIONS USUELLES 29 Exercice 4.7 Déterminer les limites suivntes : lim x 1 x et lim x 1 x. x + x 0 + Figure 4.3 Représenttion grphique de l fonction x x 1 x. Remrque 4 : Rppelons l définition d une limite finie en +. On : lim f(x) =l si ε >0, M >0, x >M, on : f(x) l < ε. x + Sur l exemple précédent, on constte qu on peut rendre x 1 x ( ) ussi proche que l on souhite de 1 dès lors que x est suffismment grnd lim f(x) =1. x + On donc : ε >0, M >0, x >M, on : x 1 x 1 < ε. En prennt, pr exemple, ε =0, 1, on : M >0, x >M, on : 0, 9 <x 1 x < 1, 1.

33 30 CHAPITRE 4. LIMITES DE FONCTIONS

34 Chpitre 5 DÉRIVATION ET CONTINUITÉ I Fonction dérivée I.1 Générlités Définition 1 : Soit f une fonction définie sur un intervlle I contennt x 0. f(x On dit que f est dérivble en x 0 si lim 0+h) f(x 0) h 0 h existe et est finie. Si f est dérivble en tout point de I, on peut définir sur I l fonction f : x f (x) ppelée fonction dérivée de f. Remrque 1 : Si f est dérivble en x 0 lors f (x 0 + h) =f (x 0 )+hf (x 0 )+hε (h) vec lim h 0 ε (h) =0. En effet : Remrque 2 : Le nombre dérivé d une fonction en un point, s il existe, correspond à l pente de l tngente à l courbe représenttive de l fonction en ce point. I.2 Dérivéees des fonctions usuelles Fonction x Dérivée x Ensemble de dérivbilité k (constnte) 0 R x n nx n 1 R si n>0etr si n<0 1 x 1 x 2 x 1 2 x ]0; + ] sin x cosx R cos x sin x R 1 ln x x ]0; + ] e x e x R R 31

35 32 CHAPITRE 5. DÉRIVATION ET CONTINUITÉ I.3 Dérivées et limites usuelles en 0 Théorème 1 : En effet : lim x 0 sin x x = 1 ; lim x 0 ln(1+x) x = 1 et lim x 0 e x 1 x =1. I.4 Opértions sur les fonctions dérivées Théorème 2 : Soient u et v deux fonctions dérivbles sur le même ensemble D. Les fonctions suivntes sont dérivbles sur D et on : (u + bv) = u + bv pour et b réels quelconques. (uv) = u v + uv. ( 1 ( u v ) v = v v. 2 ) (x) = u v uv v 2 (x) pourtoutx tel que v(x) 0. Théorème 3 : (Dérivtion de fonctions composées) Soit u une fonction définie sur un intervlle I ouvert contennt x 0 et v une fonction définie sur un intervlle J contennt y 0 = u(x 0 ). Si u est dérivble en x 0 et si v est dérivble en y 0 lors l fonction v u est dérivble en x 0 et on : (v u) (x 0 )=u (x 0 ) v (u(x 0 )). Exercice 5.1 Montrer que f : x sin(x 2 ) est dérivble sur R et déterminer f. Corollire 5 : Soit u une fonction définie sur un intervlle I. Pour tout n N, u n est dérivble sur I (vec l condition u(x) 0pourn<0) et on : (u n ) = nu u n 1. e u est dérivble sur I et on : (e u ) = u e u. Si u>0suri lors les fonctions u et ln u sont dérivbles sur I et on : ( u) = u 2 u et (ln u) = u u. Remrque 3 : Soit n un entier nturel non nul. On : ( ) 1 u = n u n En effet : u n+1.

36 II. APPLICATIONS DE LA DÉRIVATION 33 Exercice 5.2 Déterminer les fonctions dérivées des fonctions définies pr : f(x) = x 2 +2 ; g(x) =5e x2 ; h(x) =xe x et k(x) = 3 (1+2x) 5. II Applictions de l dérivtion II.1 Sens de vritions d une fonction Théorème 4 : Soit f une fonction dérivble sur un intervlle I. f est constnte sur I si et seulement si f est nulle sur I. Si f < 0surI (suf en un nombre fini de points) lors f est strictement décroissnte sur I. Si f > 0surI (suf en un nombre fini de points) lors f est strictement croissnte sur I. Remrque 4 : Ce théorème n est vlble que sur un intervlle. En effet, l fonction Inverse est décroissnte sur R et sur R +, mis ps sur R. II.2 Extremum d une fonction Théorème 5 : Soit f une fonction définie sur un intervlle ouvert contennt x 0. Si f s nnule en chngent de signe en x 0 lors f dmet un extremum en x 0. Remrque 5 : Dns ce cs, C f dmet une tngente horizontle en M 0 (x 0 ; f (x 0 )). II.3 Pln d étude d une fonction 1. Ensemble de définition 2. Eventuelle prité ou périodicité (pour réduire l ensemble d étude). 3. Limites ou vleurs de f ux bornes des intervlles constitunt D f. 4. Dérivbilité, continuité et vritions (signe de f ). 5. Eventuellement : Représenttion grphique vec recherche de brnches infinies, points et tngentes remrqubles. Exercice 5.3 Soit f l fonction x x + sin 2 x et C f s courbe représenttive dns un repère orthonorml. 1. Déterminer les limites de f ux bornes de son domine de définition. Montrer que, pour tout réel x, on:f(x + π) =f(x)+π. 2. Etblir le tbleu de vritions de f sur [0; π]. Déterminerlespointsd intersectiondec f vec les droites d éqution y = x et y = x +1.Préciserlestngentesencespoints. 3. Etudier, sur ] ] 0; π 2,lpositiondeCf pr rpport à s tngente u point d bscisse π 4. (On poser x = π 4 + h et on montrer que : f(x) = π h sin (2h)). Trcer C f.

37 34 CHAPITRE 5. DÉRIVATION ET CONTINUITÉ II.4 Appliction de l dérivtion ux clculs d incertitude (différentielle) Définition 2 : Soit f une fonction dérivble sur l intervlle [; b] etx un réel de [; b]. L erreur de f (en x) correspond à l expression : u = f (x + x) f (x). Considérons une fonction f dérivble en x : Figure 5.1 Représenttion d une fonction f Si x devient très petit, il est d usge de le noter dx. On note lors df(x) l vleur de f (x) et on l ppelle différentielle de f (en x). Ainsi : df (x) =f (x)dx. En prtique, on prend pour incertitude bsolue sur f (en x) : f = f (x) x. Exercice 5.4 Considérons l vleur efficce de l intensité d un circuit RL série donnée pr : E(ω) = 100 R2 + L 2 ω 2. L objectif est de déterminer l vrition de E lorsque f vrie de 1 Hz (vec ω =2πf). On peut églement clculer l différentielle logrithmique : AN : Considérons R =10kΩ, L =30H et F =50kHz à ±1Hz.

38 III. CONTINUITÉ 35 III III.1 Continuité Continuité en un point Définition 3 : Soit f une fonction définie sur un intervlle I de R et I. On dit que f est continue en si lim x f(x) =f (). Exercice 5.5 Etudier l continuité de f : x x 1 et E (Prtie entière) en 1. III.2 Fonction continues usuelles Définition 4 : Soit I un intervlle de R. f est dite continue sur I si f est continue en tout réel x pprtennt à I. Théorème 6 : Les fonctions polynômes, rtionnelles, exponentielles, puissnces, logrithmes, trigonométriques sont continues sur leur ensemble de définition. III.3 Propriétés Théorème 7 : (Continuité et opértions) Soient f et g deux fonctions continues, k étnt un réel. Les fonctions suivntes sont ussi continues en : f + g ; f g ; kf et f g (en supposnt g () 0). Théorème 8 : (Continuité et composée de fonctions) Soient f et g deux fonctions telles que Im(f) D g. Si f est continue en et g est continue en f () lors g f est continue en. III.4 Prolongement pr continuité Théorème-Définition 3 : Si f n est ps définie en mis que lim x f(x) existe et est finie lors on pourr définir une fonction notée ˆf pr ˆf(x) ={ f(x) si x Df lim x f(x) si x =. ˆf est continue en et s ppelle le prolongement pr continuité de f en.

39 36 CHAPITRE 5. DÉRIVATION ET CONTINUITÉ Exercice 5.6 Considérons l fonction sinus crdinl définie pr f (x) = sin x x. Figure 5.2 Représenttion de l fonction sinus crdinl IV Propriétés des fonctions continues IV.1 Théorème des vleurs intermédiires Théorème 9 : (TVI) Soit f une fonction continue sur [; b]. Pour tout réel u compris entre f () etf (b), l éqution f (x) =u dmet u moins une solution. Figure 5.3 Illustrtion du TVI Théorème 10 : (Appliction ux fonctions strictement monotones) Soit f une fonction continue sur [; b] et strictement monotone. Pour tout réel u compris entre f () etf (b), l éqution f (x) =u dmet une unique solution pprtennt à [ ; b]. Définition 5 : Soit f une ppliction de E dns F. On dit que f est bijective si tout élément de l ensemble d rrivée F dmet un unique ntécédent pr f dns l ensemble de déprt E. Théorème 11 : (Théorème de l bijection) Si f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervlle [; b] lors elle rélise une bijection entre [; b] et l intervlle fermé dont les bornes sont f() etf(b).

40 IV. PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS CONTINUES 37 Exercice 5.7 Montrer que l éqution 2 x +3 x =13dmet une unique solution sur R. Figure 5.4 Représenttion grphique de l foncion f : x 2 x +3 x

41 38 CHAPITRE 5. DÉRIVATION ET CONTINUITÉ

42 Chpitre 6 APPLICATIONS DES NOMBRES COMPLEXES I Fctoristion de polynômes à coefficients réels I.1 Division euclidienne Définition 1 : L ensemble des polynômes à coefficients dns K se note K[X]. Théorème-Définition 4 : Soient A et B deux polynômes à coefficients réels. Effectuer l division euclidienne de A pr B revient à trouver deux polynômes (uniques) Q et R tels que : A = BQ + R vec d R<d B. Q s ppelle le quotient, R le reste de l division euclidienne de A pr B. Si R = 0, on dit que B divide A. Exercice 6.1 Effectuer l division euclidienne de X 4 +2X 3 +5X 2 +4X +1 pr X 2 +3X 1. I.2 Rcine, multiplicité Définition 2 : On dit que α est une rcine du polynôme P si P (α) =0. Théorème 1 : P est divisible pr le polynôme X α si et seulement si α est rcine du polynôme P. En effet : 39

43 40 CHAPITRE 6. APPLICATIONS DES NOMBRES COMPLEXES Définition 3 : Soit P un polynôme non nul et α une rcine { de P. (X α) m divise P On ppelle multiplicité de l rcine α l entier m 1que (X α) m+1 ne divise ps P. Exercice 6.2 On considère P (x) =(x 6) 4 (x +2) 2. 6 est une rcine de P de multiplicité est une rcine...de P. Théorème 2 : (Théorème de d Alembert-Guss) Tout polynôme à coefficients réels dmet u moins une rcine complexe. Corollire 6 : Dns C[X], tout polynôme de degré n>0 est scindé, c est-à-dire qu il se fctorise en produit de n polynômes du premier degré ; il exctement n rcines (en tennt compte des ordres de multiplicité). Exercice 6.3 Fctoriser, u mximum, le polynôme P (x) =x 3 +2x 2 +2x +1. Théorème 3 : Soit P un polynôme à coefficients réels. Si α est une rcine complexe du polynôme P lors ᾱ est ussi rcine de P. De plus, (X α).(x ᾱ) R 2 [X]. En effet : Propriété 28:(Décomposition d un polynôme en produit de fcteurs dns R[X]) Les seuls polynômes irréductibles dns R[X] sont ceux du premier degré et ceux de l forme X 2 + X + b vec < 0. II Trnsformtions du pln et équtions de cercles On munit le pln d un repère orthonorml (O; i, j ). II.1 Eqution de cercle Propriété 29: Le cercle de centre Ω (x Ω,y Ω )etderyonr pour éqution (x x Ω ) 2 +(y y Ω ) 2 = R 2. En effet :

44 II. TRANSFORMATIONS DU PLAN ET ÉQUATIONS DE CERCLES 41 II.2 Ecriture complexe d une trnsformtion On considère des trnsformtions du pln M M et on noter z et z les ffixes respectives de M et M. Trnsltion de vecteur u d ffixe b : Rottion de centre Ω (ω) et d ngle θ : Homothétie de centre Ω (ω) etderpportk : Théorème 4 : L écriture complexe de l trnsltion de vecteur u d ffixe b est : z = z + b. L écriture complexe de l rottion de centre Ω (ω) et d ngle θ est : z ω =e jθ (z ω). L écriture complexe de l homothétie de centre Ω (ω) etderpportk est : z ω = k (z ω). Appliction : Etude des pplictions z z vec 1 Ainsi, lorsque 1, l ppliction z z est ssociée à l composée d une rottion et d une homothétie de même centre O.

45 42 CHAPITRE 6. APPLICATIONS DES NOMBRES COMPLEXES II.3 Etude de l inversion (complexe de centre O et de rpport 1) Cette inversion correspond à l ppliction f : z 1 z. Posons z = x + jy et z = x + jy.pourtoutz non nul, on : zz =1doncz est non nul. En outre, on : z = 1 z. Propriété 30: Considérons z = x + jy non nul d imge z = x + jy pr l inversion. On : x x = x 2 + y 2 y = y. x 2 + y 2 Déterminons l imge de l droite d éqution x = pr cette ppliction ( 0). Ainsi, l imge pr cette inversion de l droite d éqution x = ( 0) est le cercle de centre Ω ( ) 1 2 et de ryon 1 2 (privé de O). Remrque 1 : y et y sont de signes contrires cr y = y x 2 + y 2. Ainsi : l imge de l demi-droite supérieure est le demi-cercle inférieur, et l imge de l demi-droite inférieure est le demi-cercle supérieur.

46 III. APPLICATION AUX CIRCUITS FONCTIONNANT EN RÉGIME PERMANENT SINUSOÏDAL 43 III Appliction ux circuits fonctionnnt en régime permnent sinusoïdl III.1 Générlités Définition 4 : (Vecteurs de Fresnel) A l grndeur x(t) =X m cos (ωt + ϕ), on ssocie, dns le repère (O; u, v ), le vecteur (dit de Fresnel) OM tel que : ( OM = X m et u ; ) OM = ωt + ϕ. Remrque 2 : si y(t) =X m cos (ωt + ϕ ), l ngle ϕ y/x = pr rpport à x. ( OM; OM ) = ϕ ϕ est ppelé déphsge de y Définition 5 : (Amplitude complexe ssociée à une grndeur sinusoïdle) On ppelle mplitude complexe du signl X(t) =X m cos (ωt + ϕ) le nombre complexe : X = X m e j(ωt+ϕ). Remrque 3 : On donc : X(t) =Re(X). III.2 Impédnce complexe On considère un dipôle pssif ux bornes duquel on pplique l tension sinusoïdle v(t) =V m cos (ωt), et soit i(t) =I m cos(ωt + ϕ) le cournt sinusoïdl trversnt ce dipôle en régime permnent. Associons à v(t) eti(t) respectivement les complexes v = V m e jωt et i = I m e j(ωt+ϕ). Définition 6 : On ppelle impédnce complexe le nombre Z = v i. III.2.1 Cs d une résistnce Théorème 5 : L impédnce ssociée à une résistnce R est donnée pr : Z = R. En effet : III.2.2 Cs d une bobine On rppelle que : v(t) =L di dt. Théorème 6 : L impédnce ssociée à une bobine d inductnce L est donnée pr : Z = jlω.

47 44 CHAPITRE 6. APPLICATIONS DES NOMBRES COMPLEXES III.2.3 Cs d un condensteur On rppelle que : i(t) =C dv dt. Théorème 7 : L impédnce ssociée à un condensteur de cpcité C est donnée pr : Z = 1 jcω. Les pplictions de cette prtie seront développées en cours d Electronique. Et de terminer ce chpitre en citnt Gérrd Couturier, ncien Professeur d Electronique du Déprtement GEII de Bordeux : L rélité est prfois compliquée mis jmis complexe.

48 Chpitre 7 FONCTIONS RECIPROQUES I Générlités Définition 1 : Soit f une fonction bijective de{ I dns J. J I On définit s fonction réciproque f 1 pr f 1 : x f 1 (x) =y tel que f (y) =x. { y = f On : 1 (x) x J { x = f(y) y I. Remrque 1 : x I, on: ( f 1 f ) (x) =x et y J, on: ( f f 1) (y) =y. Remrque 2 : Si f est une fonction définie, continue et strictement monotone sur un intervlle I lors f (I) =J est un intervlle et f rélise une bijection de I dns J. Elle dmet donc une fonction réciproque f 1. Exercice 7.1 Montrer que l fonction f : x x 2 définie sur R + dmet une fonction réciproque que l on préciser. Théorème 1 : (Représenttion grphique d une fonction réciproque) L représenttion grphique de l fonction réciproque d une fonction f, dns un repère orthonormé, s obtient pr symétrie pr rpport à l droite d éqution y = x, à prtir de celle de f. Explictions : Figure 7.1 Illustrtion grphique 45

49 46 CHAPITRE 7. FONCTIONS RECIPROQUES Théorème 2 : (Dérivée de l fonction réciproque) Soit f est une fonction définie, continue et strictement monotone sur I. Son ppliction réciproque est définie, continue et de même sens de vrition que f sur J = f (I). Si, de plus, f est dérivble sur I lors f 1 est dérivble sur J (suf en quelques vleurs éventuellement) et on : ( f 1 ) = 1 f f 1. Remrque 3 : Si f 1 est dérivble en x 0 lors ( f 1) (x0 )= 1 f (f 1 (x 0 )). Exercice 7.2 Déterminer l dérivée de l fonction réciproque de f : x x 2 définie sur R + en précisnt le domine de dérivbilité. Figure 7.2 Représenttion grphique des fonctions Crré et Rcine crrée II II.1 Fonctions réciproques des fonctions trigonométriques Fonction réciproque de l fonction cos : rccos Figure 7.3 Représenttion grphique de cos sur [0; π]

50 II. FONCTIONS RÉCIPROQUES DES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES 47 L restriction de l fonction x cos x à l intervlle [0; π] est une bijection continue de cet intervlle sur [ 1; 1]. Notons que s dérivée (x sin x) ne s nnule qu en 0 et π, d imges respectives 1 et1. Cette fonction dmet donc une fonction réciproque, dérivble prtout suf en 1 et 1. Théorème-Définition 5 : (Fonction rccos) L restriction de l fonction x cos x à l intervlle [0; π] dmet une fonction réciproque, notée rccos, définie sur [ 1; 1]. Remrque 4 : On : rccos : [ 1; 1] [0; π]. Le nombre y =rccos(x) est défini pr les deux conditions { cos y = x 0 y π. Figure 7.4 Représenttion grphique de rccos sur [ 1; 1] Théorème 3 : (Dérivbilité de rccos) L fonction x rccos x est continue sur [ 1; 1] et dérivble sur ] 1; 1[. Pour tout x pprtennt à ] 1; 1[, on : rccos 1 (x) =. 1 x 2 Expliction de l expression de l dérivée : Exercice 7.3( En ( utilisnt l définition de l fonction rccos, simplifierlesexpressionssuivntes: π )) A =rccos cos =. ( ( 4 )) π B =rccos cos = =. ( 3 ( )) 2 C =cos rccos =. 2 ( ( )) 3 D = sin rccos = =. 2 On églement : D =.

51 48 CHAPITRE 7. FONCTIONS RECIPROQUES II.2 Fonction réciproque de l fonction sin : rcsin Figure 7.5 Représenttion grphique de sin sur [ π 2 ; ] π 2 L restriction de l fonction x sin x à l intervlle [ π 2 ; ] π 2 est une bijection continue de cet intervlle sur [ 1; 1]. Notons que s dérivée (x cos x) ne s nnule qu en π 2 et π 2, d imges respectives 1 et1. Cette fonction dmet donc une fonction réciproque, dérivble prtout suf en 1 et1. Théorème-Définition 6 : (Fonction rcsin) L restriction de l fonction x sin x à l intervlle [ π 2 ; ] π 2 dmet une fonction réciproque, notée rcsin, définie sur [ 1; 1]. Remrque 5 : On : rcsin : [ 1; 1] [ π 2 ; π 2 ]. { sin y = x Le nombre y = rcsin (x) est défini pr les deux conditions π 2 y π 2. Figure 7.6 Représenttion grphique de rcsin à prtir de l courbe de sin Théorème 4 : (Dérivbilité de rcsin) L fonction x rcsin x est continue sur [ 1; 1] et dérivble sur ] 1; 1[. Pour tout x pprtennt à ] 1; 1[, on : rcsin 1 (x) =. 1 x 2 Exercice 7.4 Montrer que, pour tout x pprtennt à [ 1; 1], on:rccos x + rcsin x = π 2.

52 II. FONCTIONS RÉCIPROQUES DES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES 49 II.3 Figure 7.7 Représenttion grphique de tn sur ] π 2 ; [ π 2 Fonction réciproque de l fonction tn : rctn L restriction de l fonction x tn x à l intervlle ] π 2 ; π 2 [ est une bijection continue de cet intervlle sur R. Notons que s dérivée (x 1+tn 2 x) ne s nnule ps sur R. Cette fonction dmet donc une fonction réciproque définie et dérivble sur R. Théorème-Définition 7 : (Fonction rctn) L restriction de l fonction x tn x à l intervlle ] π 2 ; [ π 2 dmet une fonction réciproque, notée rctn, définie sur R. Remrque 6 : On : rctn : R ] π 2 ; π 2 [. { tn y = x Le nombre y =rctn(x) est défini pr les deux conditions π 2 <y< π 2. Figure 7.8 Représenttion grphique de rctn sur R Théorème 5 : (Dérivbilité de rctn) L fonction x rctn x est dérivble sur R. Pour tout x pprtennt à R, on:rctn (x) = 1 1+x 2. Expliction de l expression de l dérivée :

53 50 CHAPITRE 7. FONCTIONS RECIPROQUES Exercice 7.5 Déterminer l dérivée de l fonction x rctn ( e 2x). Exercice 7.6 On considère l fonction f définie pr f(t) = cos (ωt)+b sin (ωt) vec >0 et b>0. Montrer que : f(t) =A sin (ωt + ϕ) vec ϕ =rctn ( b ) et A>0.

54 Chpitre 8 DÉCOMPOSITION EN ÉLÉMENTS SIMPLES I Générlités Définition 1 : On ppelle frction rtionnelle tout quotient P Q de deux polynômes P et Q. Une frction rtionnelle P Q est dite irréductible lorsque il n existe ps de rcine commune à P et Q. Les polynômes P et Q sont lors dits premiers entre eux. Exercice 8.1 Ecrire 2X 2 4X 6 X 3 7X 2 +7X +15 sous forme d une frction rtionnelle irréductible. II Décomposition en éléments simples Théorème-Définition 8 : Soit F = P Q une frction rtionnelle irréductible. L division euclidienne de P pr Q nous permet d écrire : P Q = E + R Q vec deg(r) < deg(q). Le polynôme E s ppelle l prtie entière de l frction rtionnelle P Q. Remrque 1 : L prtie entière de F = P Q s obtient en effectunt l division de P pr Q. Exercice 8.2 Ecrire sous l forme E + R Q l frction rtionnelle suivnte : F = X2 +7X +13. X +5 Nous dmettrons que le polynôme Q peut s écrire de mnière unique comme le produit de polynômes irréductibles (polynômes du premier degré voire du second degré dont le discriminnt est négtif si on trville dns R). Ainsi : Q = r Π Q αi i i=1, α i 1, les Q i étnt deux à deux premiers entre eux et irréductibles. 51