Chapitre XI : Fonction Logarithme Népérien

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1 Chapitre XI : Fonction Logarithme Népérien I : Définition I- : Fonction réciproque Définition : On appelle fonction logarithme népérien la fonction qui à tout réel strictement positif x associe l unique réel y tel que e y = x Cette fonction est notée ln, on peut ainsi écrire ln(x) = y Remarques : L existence d une telle fonction est assurée en chaque réel strictement positif par le théorème des valeurs intermédiaires appliqué à la fonction exponentielle sur R La fonction logarithme népérien est ce que l on appelle alors la fonction réciproque de la fonction exponentielle L idée est ici que pour tout réel x on a ln(e x ) = x C est la troisième fonction de référence d usage courant qui n est pas définie sur R Son ensemble de définition est ]0;+ [ Théorème : Pour tout réel x de ]0;+ [ et tout réel y : ln(x) = y e y = x Pour tout réel x de ]0;+ [ : e ln(x) = x Pour tout réel x : ln(e x ) = x On a ln() = 0 Exemple : Après avoir déterminé quel est l ensemble de définition de l équation, résoudre : ln(x 2) = 2 Le premier membre est défini si et seulement si x 2 > 0 x > 2 L équation est donc définie pour des réels x de ]2;+ [ On la résout maintenant : ln(x 2) = 2 e ln(x 2) = e 2 x 2 = e 2 x = e Ce nombre est bien dans ]2;+ [ Exemple 2 : Dresser le tableau de variations de la fonction f définie sur R par : f (x) = e x 7x f est dérivable sur R comme somme de deux fonction de référence dérivables sur R : f (x) = e x 7 On étudie le signe : e x 7 > 0 e x > 7 e x > e ln(7) x > ln(7) http ://jozfreefr Page / 6 JL

2 I-2 : Représentation graphique Théorème 2 : Dans un repère orthonormé, les courbes représentatives de la fonction exponentielle et de la fonction logarithme népèrien sont symétriques par rapport à la droite d équation y = x (la première bissectrice) I-3 : Sens de variations Théorème 3 : La fonction logarithme népèrien est strictement croissante sur ]0;+ [ Démonstration : Pour tous réels x et y de ]0;+ [ nous avons : ln(x) > ln(y) e ln(x) > e ln(y) x > y Ainsi par définition la fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0;+ [ Théorème 4 : Pour tous réels x et y de ]0; + [ : ln(x) = ln(y) x = y ln(x) > ln(y) x > y ln(x) ln(y) x y http ://jozfreefr Page 2/ 6 JL

3 II : Propriétés algébriques Théorème 5 (relation fonctionnelle) : Pour tous réels a et b de ]0;+ [ : ln(a b) = ln(a) + ln(b) Exercice : On considère a et b deux réels de ]0;+ [ Nous allons démontrer le théorème 5 Simplifier les écritures : e ln(a b) et e ln(a)+ln(b) 2 Conclure Pour tous réels a et b de ]0;+ [ : ln( a b ) = ln(a) ln(b) ln( a ) = ln(b) Pour tout entier relatif n : ln(a n ) = n ln(a) ln( a) = 2 ln(a) Théorème 6 : Exercice 2 : On considère a et b deux réels de ]0;+ [ Nous allons démontrer le théorème 6 Simplifier l écriture ln( a b ) + ln(b) et en déduire le premier point du théorème 2 Montrer le deuxième point du théorème 3 Montrer le troisième point du théorème par récurrence sur n 4 Simplifier l écriture 2 ln( a) et en déduire le dernier point du théorème Exemple 3 : Transformer des écritures : ln(6) ln(2) = ln( 6 2 ) = ln(3) ln(e 2 + e) = ln(e e + e) = ln(e(e + )) = ln(e) + ln(e + ) = + ln(e + ) ln(024) = ln(2 0 ) = 0ln(2) Exemple 4 : La demi-vie de l uranium 234 est ans On place 0 grammes d uranium 234 dans un fût isolé Combien d années faut-il attendre, à une demi-vie près, pour qu il ne reste qu un gramme? On cherche le nombre entier n de demi-vies qu il faut attendre pour que la masse d uranium devienne inférieure à un gramme C est le plus petit entier vérifiant : 0 2 n ln( 0 2 n ) ln() ln(0) ln(2 n ) 0 ln(0) n ln(2) 0 ln(0) n ln(2) n (car 2 > d où ln(2) > 0) ln(0) ln(2) La calculatrice nous donne ln(0) ln(2) 3,3, le plus petit entier vérifiant l inéquation est donc 4 Il faut donc attendre 4 demi-vies, c est à dire = années (à une demi-vie près) http ://jozfreefr Page 3/ 6 JL

4 III : Dérivée et ites III- : Dérivée Théorème 7 : La fonction ln est dérivable sur ]0;+ [, et sa dérivée est x x Démonstration : Soit x et x 0 deux réels de ]0;+ [ Brouillon : On étudie le taux de variation du logarithme népérien : x x 0 On pense alors à poser X = ln(x) et X 0 = ln(x 0 ), et nous savons alors que x = e ln(x) = e X et x 0 = e ln(x 0) = e X 0 On a ainsi : x x 0 = X X 0 e X e = X 0 e X e X 0 X X 0 Il reste à se demander comment rédiger ceci! Posons X 0 = ln(x 0 ) (x 0 est bien dans ]0;+ [) La fonction exponentielle est par définition dérivable sur R, et sa dérivée est elle même, d où : e X e X0 = e X 0 X X 0 X X 0 Par oppération sur les ites nous avons donc : X X 0 e X e X 0 e X 0 X X 0 = Nous pouvons donc écrire : ln(x) = ln(x 0 ) = X 0 x x 0 X X 0 = e X e X 0 X X 0 Donc par composition e ln(x) e ln(x 0 ) e X 0 Autrement dit avec X 0 = ln(x 0 ) : = x x 0 e ln(x 0) On simplifie : x x x x 0 0 = x 0 = x x0 e ln(x) e X 0 e X 0 ln(x) X 0 ln(x) ln(x 0 ) = x x 0 x x 0 x 0 Ce qui signifie que pour tout x 0 de ]0;+ [, la fonction logarithme népèrien est dérivable avec pour nombre dérivé x 0 Théorème 8 : Toute fonction définie sur un intervalle I et pouvant s écrire f (x) = ln(u(x)) sur cet intervalle y est dérivable avec pour dérivée f (x) = u (x) u(x) Remarque : Si l ensemble de définition de f n est pas donné il faut immédiatement se demander si u est définie et strictement positive sur I! Si cette fonction f est définie, que nous l ayons prouvé ou que ce soit donnée par l énoncé, nous avons alors la positivité de u sur I, ce qui permet en particulier de remarquer qu avec f (x) = u (x) u(x) la dérivée de f a le même signe que la dérivée de u! La conséquence, très importante, est alors que les variations de f sont les mêmes que celles de u sur I Exemple 5 : On donne la représentation graphique d une fonction u définie et dérivable sur [ 2;3] On a tracé la tangente T à la courbe représentative de u au point (;2) On définit f par f (x) = ln(u(x)) http ://jozfreefr Page 4/ 6 JL

5 Déterminer graphiquement l ensemble de définition de f 2 Déterminer graphiquement le tableau de variations de f 3 Déterminer graphiquement les solutions de l équation f (x) = 0 4 Déterminer graphiquement l équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d abscisse f est définie là où u est définie et strictement positive On voit sur le dessin que cela correspond à l intervalle ] ;2[ 2 On sait alors qu elle est dérivable sur son ensemble de définition ] ;2[ comme composée d une fonction dérivable sur ] ;2[ par la fonction logarithme népérien, avec f (x) = u (x) u(x) u étant strictement positive sur ] ;2[ (sinon f ne serait pas définie), f et u sont donc de même signe sur cet intervalle On en déduit que les variations de f sont les mêmes que celles de u, que nous pouvons lire sur le dessin : 3 L équation f (x) = 0 est équivalente à u (x) u(x) = 0 et donc à u (x) = 0 D après le dessin cette équation admet une solution, là où la tangente à la courbe est horizontale : x = 0,5 4 L équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d abscisse est : y = f ()(x ) + f () y = u () u() (x ) + f () Et sur le dessin nous pouvons lire : u() = 2 qui implique f () = ln(2) En utilisant les points (;2) et ( : 4) qui sont sur la tangente T : u () = 4 2 = http ://jozfreefr Page 5/ 6 JL

6 L équation de la tangente recherchée est donc : y = 2 (x ) + ln(2) y = 2 x ln(2) III-2 : Limites On a ln(x) = et x 0 x + ln(x) = + Théorème 9 : Remarque : Ce sont deux résultats dont il est facile de se souvenir par symétrie avec les ites de la fonction exponentielle Théorème 0 : On a x ln(x) = 0 x 0 x + ln(x) Exercice 3 : Nous allons démontrer le théorème 0 : x ln(x + ) = 0 et = + x 0 x Déterminer par composition x 0 e ln(x) ln(x) puis conclure 2 Procéder de manière analogue pour démontrer la deuxième ite Indication : on pourra commencer par étudier x + ln(x) 3 Détailler la définition du nombre dérivé du logarithme népèrien en x = pour démontrer la troisième IV : logarithme de base a Pour tout réel a strictement positif on appelle fonction logarithme de base a la fonction qui à tout réel strictement positif x associe la valeur ln(x) ln(a) Cette fonction est notée log a Remarques : Définition 2 : La fonction logarithme népèrien est alors la fonction logarithme de base e car ln(e) = ln(e ) = La fonction logarithme décimal est la fonction logarithme de base 0 Elle est simplement notée log Cette dernière est d un usage assez classique en chimie puisqu elle sert à la définition du ph Ainsi le ph est approximativement l opposé du logarithme décimal de la concentration des ions H 3 O + dans la solution Pourquoi un log dans le ph? Songez que ce-dernier va classiquement de 0 à 4 Une rapide application numérique vous montrera que la concentration correspondant à 0 est une concentration de (00%) alors que celle correspondant à 4 est de 0 4 Comment imaginer comparer et 0 4? La conséquence est qu une différence de en ph correspond à une division par 0 de la concentration, ce qui peut être trompeur Un ph de 6 est (numériquement) très différent d un ph de 8! L échelle de Richter ou la mesure en décibels sont d autres exemples classiques de cette méthode qui consiste à comparer des logarithmes de grandeurs plutôt que les grandeurs elles-mêmes, quand les écarts possibles sont gigantesques Un écart de sur l échelle de Richter correspond à une amplitude de mouvement multipliée par 0 Quand aux décibels, l intensité sonore est multiplié par 0 tous les 0 db (d où le "déci") e ln(x) http ://jozfreefr Page 6/ 6 JL

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