La fonction logarithme népérien. Plan du chapitre : I. Rappels. 1 ) Définition

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1 TS L foctio logrithme épérie I Rppels ) Défiitio Pl du chpitre : I Rppels O démotré ds le chpitre sur les epoetielles que l foctio ep est strictemet croisste sur, et que e et e 0 D près l versio géérlisée du TVI qui ser vue plus trd, o peut doc dire que pour tout réel 0, il eiste u uique réel tel que e Ce omre est ppelé le logrithme épérie de O le ote l II Commetires III Propriétés immédites (coséqueces de l défiitio) IV Propriété liée à l ordre V Propriétés lgériques VI Dérivée de l foctio logrithme épérie VII Étude de l foctio logrithme épérie VIII Limites de référece IX Foctios ssociées à l foctio logrithme épérie X Foctios logrithmes de se quelcoque ) Eemples 0 e doc l 0 e e doc l e e est ppelé le omre de Néper ou l se du logrithme épérie Pour d utres vleurs, o utilise l clcultrice (qui doe e géérl des vleurs pprochées) O utilise ps de prethèses lorsque l o u omre seul 3 ) Remrque Le logrithme épérie d u réel égtif ou ul eiste ps ds (l clcultrice ffiche u messge d erreur du tpe «erreur : o rel swer» lorsque l o est e mode réel ; émois, lorsque l o est mode complee, l clcultrice ffiche u résultt complee lorsqu o lui demde le clculer le logrithme d u réel strictemet égtif, ce résultt ser iterprété eucoup plus trd ds le supérieur lors de l étude des foctios complees) Ce résultt est u omre complee qui ser iterprété plus trd ds le supérieur vec les foctios complees Pr eemple, le clcul de l sur l clcultrice e mode réel doe «erreur : o rel swer» 4 ) Eercice Doer l esemle de défiitio des foctios : f : l(3 ) g : l [( )( + 4)] XI Puissces réelles f eiste D f ; 3

2 g eiste ou (tleu de siges o utile) O retiedr que l foctio l fit prtie de l fmille des foctios trscedtes comme les foctios sius, cosius, tgete, Arccosius, Arcsius, Arctgete ; 4 ; D g Il est itéresst de trcer les coures représettives des foctios f et g ; o peut isi vérifier d ue certie mière, les esemles de défiitio que l o trouvé précédemmet 5 ) Voculire L foctio ep étlit ue ijectio de ds Cel sigifie que tout élémet de dmet u uique técédet ds pr l foctio ep L foctio l est l ijectio réciproque de l foctio ep ; elle est défiie sur L foctio l «reverse» les flèches ep l à vleurs ds Nous verros plus trd ds le cours que l foctio l pour dérivée l foctio «iverse» sur ]0 ; + [ qui, elle, est lgérique et même rtioelle (ce qui est remrqule) O dit qu elle fit prtie de l fmille des foctios trscedtes à dérivée rtioelle 3 ) Clcultrice et logrithme épérie L clcultrice utilise u lgorithme de clcul (lgorithme CORDIC) pour doer le déut de l écriture décimle du logrithme épérie d u réel 4 ) Utilistio L foctio logrithme épérie, comme l foctio epoetielle, est ue foctio d ue très grde importce Les foctios logrithme épérie et epoetielle ot de omreuses pplictios ussi ie e mthémtiques (primitives, clculs d ires ) qu e scieces phsiques (rdioctivité, ph d ue solutio ) Les pplictios mthémtiques de l foctio logrithme épérie et epoetielle serot vues ds l suite du cours III Propriétés immédites (coséqueces de l défiitio) O peut déjà oserver grphiquemet sur l écr de l clcultrice que les coures des foctios epoetielles et logrithme épérie sot smétriques pr rpport à l première issectrice ds le pl mui d u repère orthoormé Cette propriété est géérle pour ue ijectio et s ijectio réciproque II Commetires ) Propriété l e ) Aspect historique Historiquemet, l foctio l est pprue vt l foctio epoetielle L foctio l est pprue u XVII e siècle vec Néper et Briggs L foctio epoetielle est pprue u XVIII e siècle vec Euler L foctio l été ivetée à l fi du XVI e siècle pour ider les stroomes ds leurs clculs à ue époque où les moes de clcul étiet très limités (il vit ps de clcultrice!) : elle permettit de trsformer toute multiplictio e dditio comme ous le verros vec l propriété fodmetle ) Epressio Nous dmettros que, comme l foctio ep, l foctio l dmet ps d epressio à l ide des smoles usuels k Remrque : Avec les limites, il eiste pourtt ue «epressio» : e lim mis cette «formule» k! est ps cosidérée comme ue formule eplicite O dit que l foctio l est ue foctio trscedte Elle ps de formule eplicite pr oppositio u foctios lgérique (les mthémticies ot démotré qu il eiste ps de formule eplicite, résultt difficile) k 0 ) Propriété l e O dit, e muvis lgge, que le e «ule» le l Cette propriété permet de simplifier des epressios Eemple : l e 3 ) Propriété 3 l e C est ce qui fit l compleité de cette foctio (et ce qui eplique qu elle e soit étudiée qu à prtir de l termile) Les mthémticies ot certiemet été troulés pr cel 3 O dit, e muvis lgge, que le l «ule» le e 4

3 Cette propriété permet de simplifier des epressios Eemple : l e IV Propriété liée à l ordre ) Propriété, l l ) Démostrtio l l e l l l e l l l l e (propriété de l foctio epoetielle) e 3 ) Iterpréttio l L deuième iéglité de l propriété permet de dire que l foctio l est strictemet croisste sur le reverros vec l dérivée ds le prgrphe VII Cette propriété est liée à l otio de ijectio 4 ) Applictio u équtios et iéqutios vec l Eemple : Résoudre ds l équtio l () Coditio d eistece : O doit voir 0 O résout l équtio () ds () e qui coviet Soit S l esemle des solutios de () e S Nous Eemple : Résoudre ds l équtio l l 5 () Coditios d eistece : 0 O doit voir soit soit efi O résout l équtio () ds l itervlle ; 5 () qui coviet Soit S l esemle des solutios de () S Eemple 3 : Résoudre ds l iéqutio l Coditios d eistece : l 3 0 (toujours vri) O doit voir 3 0 (3) soit 3 O résout l iéqutio (3) ds l itervlle 3 ; (3) ou Soit S 3 l esemle des solutios de (3) S3 3 ; ; Eemple 4 : Résoudre ds l équtio Coditios d eistece : l l 8 0 (4) O résout l équtio (4) ds l itervlle 5 6

4 O pose X l 5 ) Sige du logrithme épérie d u omre (4) s écrit X X 8 0 (4') (4') X 4 ou X Or Doc : X l (4) l 4 ou l 4 e ou e Soit S 4 l esemle des solutios de (4) S 4 e ; e 4 Eemple 5 : Résoudre ds l iéqutio Coditios d eistece : O résout l iéqutio (5) ds O pose X l (5) s écrit X X 8 0 (5') (5') X 4 ou X Or Doc : X l (5) l 4 ou l 4 e ou e l l 8 0 (5) Soit S 5 l esemle des solutios de (5) 4 S 5 0 ; e e ; Bil : Si, lors l 0 Si 0, lors l 0 Si, lors l 0 V Propriétés lgériques ) Propriété (propriété fodmetle) Éocé, l l l O dit que le logrithme épérie trsforme les produits e sommes (lors que l epoetielle trsforme les sommes e produits) Eemple l 3 l 4 l 3 4 l e eercice Vérifier que 0 et 0 Si 0 et 0, lors l l l l l eiste ds le cs où 0 c est-à-dire ds les deu cs suivts : 0 et 0 ; 0 et 0 Il fut predre grde que l eiste ps ds le cs où 0 c est-à-dire ds les deu cs suivts : 0 et 0 ; 0 et 0 Il est importt de ie predre cosciece de ce poit O retiedr que pour les équtios et iéqutios vec l o doit commecer pr chercher l esemle de résolutio O fer ie l distictio etre l otio d esemle de résolutio d ue équtio vec l otio d esemle de défiitio d ue foctio (même s il ue similitude etre les deu) 7 8

5 Démostrtio l e 3 ) Propriété 3 Éocé l l l l e e e D près l propriété d églité de deu epoetielles, Géérlistio,, c 3,,, l c l l l c ) Propriété Éocé Eemple l l Démostrtio l l l l prop propriété l l 0 l l l l l l l l l, l l l Eemple 3 l l 3 l e eercice Vérifier que 0 et 0 Si 0 et 0 Démostrtio, lors l l l l l l prop l l l prop l l l 4 ) Propriété 4 Éocé Eemple l 9 l 3 l3 l l 9 0

6 Démostrtio er cs : 0 fois l l termes prop l l l l l l e cs : 0 O pose : m m 0 m m l l l l l m prop l m ml l 3 e cs : 0 0 (pr défiitio) 0 l l 0 0 O peut doc écrire : l Bil : l l m > 0 doc le er cs s pplique 0 l 5 ) Propriété 5 Éocé Eemples l l 3 l 3 l 0 et 0 l l Démostrtio l l l l prop4 l l NB : Nous verros plus trd que pour tout réel 0, o : L propriété de ce prgrphe est ue géérlistio de l règle doée u 4 ) pour les eposts etiers reltifs 6 ) Formulire récpitultif l l l l l l l l l l l l

7 7 ) Applictio u puissces du omre e l e l e l e l e 8 ) Applictio à l résolutio d iéqutios vec des puissces (foctio logrithme et vleur seuil) Eemple : Détermios les etiers turels tels que 0,9 () Méthode : O «pred» le logrithme épérie des deu memres O l impressio que l o compleifie mis e fit o simplifie le prolème (comme souvet e mthémtiques, o compleifie pour simplifier) l 0,9 l l 0,9 l () l l 0,9 : l (0,9) ( l 0,9 0 cr 0 0,9 ) l Avec l clcultrice, o trouve 6,578 l 0,9 Or Doc les etiers turels cherchés sot supérieurs ou égu à 7 VI Dérivée de l foctio logrithme épérie ) Rppel [défiitio d ue foctio dérivle e u réel et du omre dérivé] O dit qu ue foctio f est dérivle e lorsque le quotiet ted vers Ds ce cs, l limite est ppelée le omre dérivé de f e O l ote f ' Le rpport f f ) Démostrtio f l O cosidère u réel fié ds O forme le rpport l l f f f f est ppelé tu de vritio de f etre et f f e post l et l e e e e où est u réel strictemet positif vec dmet ue limite fiie lorsque Lorsque ted vers, ted vers (oteu grâce à l cotiuité de l foctio logrithme épérie qui est dmise cette ée) e e ep' cr l foctio ep est dérivle sur, do e prticulier e Or ep' ep (l dérivée de l foctio epoetielle est elle-même) ep' ep e Doc Doc e e et pr suite, f f 3 4

8 Comme le résultt de l limite est fiie, o e déduit que l foctio l est dérivle e et que le omre dérivé de l e est Aisi, l' Autres démostrtios : - Ds le supérieur, o verr le théorème de dérivtio d ue ijectio réciproque qui permet de démotrer plus rpidemet que l foctio l est strictemet croisste et dérivle l ep - E dmettt que l foctio l est dérivle et e utilist l reltio 3 ) Propriété 5 ) Limite e + lim l Démostrtio : O se doe u réel A O pose B e A Si B, lors l l B c est-à-dire l A Pr défiitio, o otiet lim l 6 ) Limite e 0 + L foctio l est dérivle sur et f ' lim 0 l VII Étude de l foctio logrithme épérie ) Défiitio Démostrtio : O effectue u chgemet de vrile L foctio logrithme épérie est l foctio f : l ) Domie de défiitio O pose X X ( 0 + ) (X +) D l = O peut oter f : 3 ) Dérivée l Nous vos démotré que l foctio f est dérivle sur 4 ) Tleu de vritio «à vleurs ds» (ss tlo) «pour imge» (vec tlo) et que f ' l l X prop l l X lim X l X (d près le 5 )) D où lim l 0 Coséquece grphique : L coure représettive de l foctio logrithme épérie dmet l droite d équtio 0 c est-à-dire l e des ordoées pour smptote verticle Sige de 0 + f ' + 7 ) Tleu de vleurs (vec l clcultrice) 0, 0, Vritio de l foctio f + l (vleurs rrodies u diième),3 0,7 0 0,7,,4,6 5 6

9 8 ) Représettio grphique ) Smétrie Propriété : C l : l Ds le pl mui d u repère orthoormé, les coures C ep et C l sot smétriques pr rpport à l droite d équtio j Démostrtio : O i e l Pour tout réel strictemet positif, o : e ; Doc les poits M( ; l ) et N(l ; ) sot smétriques pr rpport à l droite et pprtieet respectivemet u coures représettives de l foctio l et de l foctio ep Cette propriété est à relier u fit que les foctios ep et l sot réciproques l ue de l utre Il est de même des coures des foctios «crré» et «rcie crrée» sur [0 ; + [ VIII Limites de référece ) ère limite de référece (croissce comprée) 9 ) Tgete prticulière u poit d scisse l ' L tgete u poit d scisse pour coefficiet directeur 0 ) Tgete prticulière u poit d scisse e l lim 0 Démostrtio : O recotre ue FI du tpe, o v utiliser ue méthode pr chgemet de vrile L équtio réduite de l tgete u poit d scisse e s écrit : l ' e e l e e e e e Cette tgete psse doc pr l origie du repère D où le trcé de l tgete (o joit l origie du repère u poit d scisse e) O pose l e e l e ( + ) ( + ) D près le cours sur l foctio epoetielle, o : Iterpréttio grphique : e lim doc l lim 0 l L limite lim 0 permet de dire que l coure représettive de l foctio logrithme épérie dmet ue rche prolique de directio (O) e + 7 8

10 ) e limite de référece 0 lim l 0 Démostrtio : O recotre ue FI du tpe «0» ère méthode : O v utiliser ue méthode pr chgemet de vrile O pose X X ( 0 + ) (X + ) Réécriture : l l X X l X X l X X l X lim 0 X X D où lim l 0 0 e méthode : O pose l l e ( 0 + ) ( ) e D près le cours sur l foctio epoetielle, o : lim e 0 doc lim l ) 3 e limite de référece : utilistio du omre dérivé de l foctio l e h 0 l h lim h O recotre ue FI du tpe «0 0» Démostrtio : O procède pr ue méthode pr tu de vritio O cosidère l foctio f : l O effectue ue réécriture h f h l h h Or l 0 O l itroduit de force pour fire pprître u tu de vritio l h f h f h h Or comme l foctio f est dérivle sur ] 0 ; +[, pr défiitio du omre dérivé de f e, o : f h f lim f ' h0 h Or 0 ; f ' doc f ' Coclusio : h 0 l h lim h IX Foctios ssociées à l foctio logrithme épérie ) Propriété (découle de l formule de dérivée d ue composée) u est ue foctio défiie et dérivle sur u itervlle I telle que I u 0 L foctio f : l u O retiet : l u O pourr oter que ) Voculire u ' ' u f l u est défiie et dérivle sur I et I u ' f ' u u ' Le quotiet est ppelé l dérivée logrithmique de u (vieu om, que l o utilisit eucoup utrefois e u scieces phsiques vec les clculs d erreurs e prticulier) O oulier ps que u désige ue foctio ds cette formule 9 0

11 3 ) Eemple f : l 0 doc f est défiie sur I f ' ' v v ' u u f ' D près l règle, f est dérivle sur et 4 ) Cs prticulier et sot deu réels tels que 0 O ote f l foctio défiie pr f l ( f eiste si et seulemet si 0 ) L foctio f est dérivle sur so itervlle de défiitio et D f f ' u ' u O remrque que, ds les deu cs, o otiet l même epressio ss vleur solue I f ' ' u u u' O retiet : l u ' u 6 ) Cs prticuliers f : l ou l u u' ' u O retiedr l ' D f ' f 5 ) Etesio à u cs plus géérl u est ue foctio défiie et dérivle sur u itervlle I telle que I u 0 f : l u (Fute à e ps fire : f ' ) f : l (où et sot deu réels tels que 0 ) f est défiie sur I Comme u est dérivle sur I, u est cotiue sur I, doc u est de sige costt sur I D f \ er cs : I u 0 I f l u u ' I f ' u f est dérivle sur \ \ f ' e cs : I u 0 Attetio I f l u v u O pose f l v O pplique le S il ps de l, o u prolème pour l dérivée de l foctio f : f si ; ; si ;

12 O se plce sur ] ; [,] ; [ et ] ; [ O étudie esuite directemet l dérivilité e et e X Foctios logrithmes de se quelcoque ) Défiitio est u réel strictemet positif tel que O ppelle foctio logrithme de se l foctio log : l l l O doc : log l ) Cs prticuliers e l e l loge l l e L foctio logrithme de se e est l foctio logrithme épérie Le omre de Néper e s ppelle d illeurs ussi l se du logrithme épérie 0 l log0 l0 log0 est oté log (logrithme déciml de ) l log l0 Sur clcultrice, o utilise l touche de clcul log E chimie, o défiit le ph d ue solutio queuse pr ph log H3O 3 ) Propriété Éocé : O : log Plus géérlemet, log Démostrtio : l log l l l log l l Cs prticulier du logrithme déciml : O retiedr que log0 3 ) Propriétés lgériques et que log 0 et sot deu réels strictemet positifs log log log log log log log log log log log log Eemple de démostrtio : l l l l l log log log l l l l NB : O peut remplcer pr importe quel omre strictemet positif différet de 4 ) Eercice Résoudre l équtio log 3 () Coditios d eistece : O doit voir 0 O résout l équtio ds l itervlle 0 ; Résolutio : () l 3 l l 3l 3 l l 8 3 4

13 Doc l esemle des solutios de () est S 8 5 ) Ses de vritio Si, l foctio log est strictemet croisste sur Si 0, l foctio log est strictemet décroisste sur 6 ) Ue pplictio du logrithme déciml Le ut de ce prgrphe est de trouver ue formule dot le omre de chiffres d u etier turel 0 Les omres etiers turels à chiffre sot compris etre 0 (lrge) et 0 (strict) Les omres etiers turels à chiffres sot compris etre 0 (lrge) et 0 (strict) Les omres etiers turels à chiffres sot compris etre Pr eemple, O cosidère u etier turel o ul A à chiffres ( ) O : 0 A 0 () () doe log 0 O doc : log A () 0 (lrge) et 0 (strict) log A log0 cr l foctio log est strictemet croisste sur () permet de dire que E log A d où E log A O retiedr le résultt suivt dot il demdé de reteir l démostrtio : Le omre de chiffres e se 0 d u etier turel A o ul est égl à Elog A Eemples d utilistio : 40 A 5 log A 40 log 5 log A 55, E effet, vec l clcultrice, o otiet l ffichge suivt pour le clcul de A : Il suffit d jouter pour trouver qu il 56 chiffres 03 B log B 03 log log B 605,9733 Le omre de chiffres de B est égl à Pour B, il est ps possile d utiliser l clcultrice pour trouver le omre de chiffres de l écriture e se 0 de B Celle-ci est e dépssemet de cpcité Eercice : ) Quel est le omre de chiffres (0 ou ) oté du développemet d u etier e se? ) Eemple : clculer 04 XI Puissces réelles ) Défiitio Pour tout 0 et tout réel, o ote l O retiedr que : e ) Eemples l Pr défiitio, e le réel l e Avec l clcultrice e utilist directemet l touche d epost, o trouve : 8,849 L formule est ps pplicle cr 0 ; eiste ps L défiitio permet de défiir e prticulier des eposts frctioires (pr eemple, 0 ) Cel ser revu ds le cours sur les rcies -ièmes E prticulier, pour 0, o : 3 ou 5 7 pour Le omre de chiffres de A est égl à O urit pu oteir ce résultt vec l clcultrice 5 6

14 3 ) Cs des eposts etiers, lie vec l défiitio de 4 e est u etier reltif quelcoque l l e e Pour u etier reltif, l défiitio du ) coïcide vec l défiitio coue 4 ) Sige d ue puissce réelle, 0 5 ) Logrithme épérie d ue puissce, 6 ) Cs prticuliers e e l e e l 0 e e l l e l l 7 ) Propriétés lgériques et sot deu réels strictemet positifs et sot deu réels strictemet quelcoques Démostrtio de l ère propriété : e e l l e l e l l 8 ) Lie vec le logrithme de se \ log l l l l l l log ( l e ) Les foctios log et sot réciproques l ue de l utre 7 8

15 Cs prticulier 0 log 0 E chimie, o ph log H3O d où ph log H3O ph Pr suite, H3O 0 9