LOGARITHME. Ph DEPRESLE. 29 juin Fonction logarithme népérien Définition Conséquences Propriétés algébriques 3

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1 LOGARITHME Ph DEPRESLE 9 juin 5 Table des matières Fonction logarithme népérien. Définition Conséquences Propriétés algébriques 3 3 Étude de la fonction ln 3 3. Dérivabilité et variations Limites aux bornes de l ensemble de définition Croissances comparées de la fonction ln et de la fonction x x 4 5 Dérivée de x ln(u(x)) 4 6 Logarithme décimal 4 7 QCM 6 8 EXERCICES : Les exercices de base 7 9 EXERCICES : Les exercices de base ( corrigés)

2 Fonction logarithme népérien. Définition Définition. Pour tout m ];+ [, logarithme népérien de m est l unique antécédent de m par la fonction exp. On le note ln(m). On définit ainsi une fonction sur l intervalle ]; + [. On dit que la fonction logarithme népérien, est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. 5 y = e x 4 m 3 lnm 3 On a les équivalences suivantes : { x R y = e x { y ];+ [ x = ln(y) Propriétés. Dans un repère (O, i, j ) orthonormé, la courbe représentative Γ de la fonction logarithme népérien est la courbe symétrique de la courbe représentative C de la fonction exponentielle par rapport à la droite d équation y = x. y = e x m= e t t = lnm y = x y = ln x m> et t R e lnm = m lne t = t t m Ph Depresle :Notes de cours Page sur 3

3 . Conséquences a,b>, ln a= lnb a= b La fonction logarithme est strictement croissante sur ];+ [. Quelques valeurs : ln= lne= ln e= car e = e ln e = car e = e Propriétés algébriques Théorème. Pour tous réels x et y strictement positifs : ln(x y)=ln x+ ln y. Propriétés.. Pour tout réel x strictement positif, ln = ln x. x. Pour tous réels x et y strictement positifs, ln x = ln x ln y. y 3. Pour tout réel x strictement positif et pour tout entier relatif n, ln(x n )=nln x. 4. Pour tout réel x strictement positif : ln x= ln x. 3 Étude de la fonction ln 3. Dérivabilité et variations Théorème. La fonction ln est continue et dérivable sur ];+ [ et, pour tout x de ];+ [, ln (x)= x. Remarque : La fonction ln est strictement croissante sur ];+ [. On a vu que ln=, donc : ln x< x ];[ et ln x> x ];+ [ x + ln x = x ln Ph Depresle :Notes de cours Page 3 sur 3

4 3. Limites aux bornes de l ensemble de définition Théorème 3. lim ln x =+ et lim ln x = x On obtient le tableau de variation de la fonction ln : 4 3 y=x- x + y = x e ln (x)= x ln x + + e A B La représentation graphique de la fonction ln dans un repère (O; i, j ) admet l axe des ordonnées comme asymptote verticale. 4 Croissances comparées de la fonction ln et de la fonction x x Théorème 4. ln x lim = et lim x x ln x = x 5 Dérivée de x ln(u(x)) Théorème 5. Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I, alors la fonction f définie sur I par f (x)=ln[u(x)] est dérivable sur I et, pour tout réel x I, f (x)= u (x) u(x). Exemple : Calculer la dérivée de f (x)=ln(x + x+ ). Solution : x + x+ est strictement positif. Donc D f =Ret f est dérivable surr. f (x) est de la forme ln(u(x)) avec u(x)= x + x+. On a u (x)=x+. On a donc : f (x)= x+ x + x+ 6 Logarithme décimal Définition. Pour tout réel x strictement positif, le logarithme décimal de x est le réel l og x= ln x ln. Propriétés 3. Pour tout entier relatif n, l og ( n )=n. En particulier l og =. Ph Depresle :Notes de cours Page 4 sur 3

5 7 QCM Pour chacune des propositions suivantes dire si elle est vraie ou fausse.. ln x est toujours positif. ( ). ln est égal à 8 3 ln. 3. L équation ln x= n a pas de solution. 4. La dérivée de la fonction x ln(3x) est x 3 x. 5. Si f (x)=ln(x + x+ ), alors f (x)= x+ x + x+. 6. La limite de ln x quand x tend vers est. x 7. La limite de ln x quand x tend vers est. x Solutions. FAUX, La fonction ln est définie seulement sur ],+ [. Mais ln x> si est seulement si x>. ( ). FAUX, car ln = ln8= ln( 3 )= 3ln FAUX, ln x= si et seulement si x = e. 4. FAUX, posons pour x> : u(x)=3x et f (x)=ln(u(x). f (x)= u (x) u(x) = 3 3x = x. 5. VRAI (enfin!) Posons u(x)= x + x+. On a f (x)= u (x) u(x) = x+ x + x+. 6. FAUX. lim ln x=, lim =+, donc lim ln x=. x x + x x x 7. VRAI, ln x lim x x = lim ln x ln = ln = x x Ph Depresle :Notes de cours Page 5 sur 3

6 8 EXERCICES : Les exercices de base Exercice Résoudre l inéquation : ln(3x x ) ln(6x+ 4). Exercice T C La courbe C représente une fonction f sur l intervalle [, 5; 3, 5]. On sait que f ()= et que la droite T est la tangente à C au point d abscisse.. On considère la fonction g définie par g (x) = ln( f (x)). (a) Quel est le domaine de définition de g? (b) Déterminer lim x x< g (x). (c) Donner une équation de la tangente à la courbe de la fonction g au point d abscisse.. Justifier que la fonction g admet un maximum positif sur ];[. Exercice 3 Soit f la fonction définie sur l intervalle ] ; + [ par f (x)= +ln(x) x et soit C la courbe représentative de la fonction f dans un repère du plan.. (a) Étudier la limite de f en. ln(x) (b) Que vaut lim? En déduire la limite de la fonction f en+. x (c) En déduire les asymptotes éventuelles à la courbe C.. (a) On note f la fonction dérivée de la fonction f sur l intervalle ] ; + [. Démontrer que, pour tout réel x appartenant à l intervalle ] ; + [, f (x)= ln(x) x 3. Ph Depresle :Notes de cours Page 6 sur 3

7 (b) Résoudre sur l intervalle ] ; + [ l inéquation ln(x) >. En déduire le signe de f (x) sur l intervalle ] ; + [. (c) Dresser le tableau des variations de la fonction f. 3. (a) Démontrer que la courbe C a un unique point d intersection avec l axe des abscisses, dont on précisera les coordonnées. (b) En déduire le signe de f (x) sur l intervalle ] ; + [. Exercice 4 Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans le plan muni d un repère orthonormé (O; #» ı, #» j ), la courbe représentative C d une fonction f définie et dérivable sur l intervalle ] ; + [. C B C j O i A On dispose des informations suivantes : les points A, B,C ont pour coordonnées respectives (, ), (, ), (, ) ; la courbe C passe par le point B et la droite (BC ) est tangente à C en B ; il existe deux réels positifs a et b tels que pour tout réel strictement positif x, a+ b lnx f (x)=. x. (a) En utilisant le graphique, donner les valeurs de f () et f (). (b) Vérifier que pour tout réel strictement positif x, f (x)= (c) En déduire les réels a et b. (b a) b ln x x.. (a) Justifier que pour tout réel x appartenant à l intervalle ],+ [, f (x) a le même signe que ln x. (b) Déterminer les limites de f en et en +. On pourra remarquer que pour tout réel x strictement positif, f (x)= x + ln x x. (c) En déduire le tableau de variations de la fonction f. 3. (a) Démontrer que l équation f (x) = admet une unique solution α sur l intervalle ], ]. (b) Par un raisonnement analogue, on démontre qu il existe un unique réel β de l intervalle ],+ ] tel que f (β)=. Déterminer l entier n tel que n< β<n+. Ph Depresle :Notes de cours Page 7 sur 3

8 Exercice 5 Pour tout entier naturel n, on considère la fonction f n définie sur ] ; + [ par : f n (x)= nx x ln x. On note (C n ) la courbe représentative de la fonction f n, dans un repère orthonormal (O; #» ı, #» j ). Les courbes (C ), (C ) et (C ) représentatives des fonctions f, f et f sont données. Partie A : Étude de la fonction f définie sur ] ; + [ par f (x)= x ln x.. Déterminer la limite de f en+.. Étudier les variations de la fonction f sur ] ; + [. Partie B : Étude de certaines propriétés de la fonction f n, n entier naturel. Soit n un entier naturel.. Démontrer que pour x ] ; + [, f n (x)= n ln x où f n désigne la fonction dérivée de f n.. (a) Démontrer que la courbe (C n ) admet en un unique point A n d abscisse e n une tangente parallèle à l axe des abscisses. (b) Prouver que le point A n appartient à la droite d équation y = x. (c) Placer sur la figure en annexe les points A, A, A. 3. (a) Démontrer que la courbe (C n ) coupe l axe des abscisses en un unique point, noté B n, dont l abscisse est e n. (b) Démontrer que la tangente à (C n ) au point B n a un coefficient directeur indépendant de l entier n. (c) Placer sur la figure en annexe les points B, B,B. 3 C C C Ph Depresle :Notes de cours Page 8 sur 3

9 9 EXERCICES : Les exercices de base ( corrigés) Exercice On factorise : 3x x =(x )(3x+ ). Pour que ln(6x+ 4) soit défini, on doit avoir x> 3. Pour x>, ln(x )(3x+ ) est défini si et seulement si x>. 3 On cherche donc à résoudre l inéquation dans I =],+ [. Les inéquations suivantes sont équivalentes dans I : ln(3x x ) ln(6x+ 4) 3x x 6x+ 4 (car la fonction ln est strictement croissante). (x )(3x+ ) (3x+ ) x (car dans I la quantité 3x+ est positive). L ensemble des solutions est [3,+ [. Exercice. (a) ln(f (x)) est défini pour f (x) strictement positif. Donc l ensemble de définition de la fonction g est ];[ ]3;3,5]. (b) On cherche la limite de la fonction composée g : lim x x< f (x)= et lim ln y =. Donc lim g (x)=. y x x< (c) Sur le graphique on observe que la pente de T est -. Donc f ()=. Or pour tout x ];[, g (x)= f (x) f (x), donc g ()=. L équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction g au point d abscisse est donc : y = g ()(x )+ g ()= (x )+ln.. Il existe α ];[ tel que f (α)=. Exercice 3 x α f (x) + f (α) f ln(f (α)) g g admet un maximum en α. Or f (α) >, donc ln( f (α)) > ln car la fonction ln est croissante. Or ln>ln, et ln=, ce maximum est bien strictement positif.. (a) lim x (+ln x)= et lim x x=+. Donc lim f (x)= x Ph Depresle :Notes de cours Page 9 sur 3

10 ln(x) (b) Par croissances comparées lim =. x ln x Donc lim = et lim x f (x)= (c) La droite x = est asymptote verticale à C en et la droite y = est asymptote verticale à C à+.. (a) Pour tout x ] ; + [, f (x)= f (x)= x( ln(x) x 4 (b) Soit x ] ; + [. = ln(x) x 3. x x x(+ln x) x 4 x x x ln(x) = x 4 (c) ln(x)> ln x< x< e. ] [ ] [ f est positive sur ;e, négative sur e ;+. x e + f (x) + f 3. (a) f (x)= +ln x= ln x= x = e Exercice 4 Donc la courbe C a un unique point d intersection avec l axe des abscisses : le point de coordonnées (e,). (b) Pour tout x ] ;e ], f (x) et pour tout x [ e ;+ [, f (x). x e e + f. (a) f ()=, car C passe par le point B. La tangente à C en B est dirigée par le vecteur C # B» = #» j (elle est horizontale), donc f ()=. b x (a+ b ln x) (b) Pour tout x>, f x (b a) b ln x (x)= x = x. (c) f ()=a et f ()=b a car ln()=, donc : { { { f ()= a= a= f ()= b a= b=. (a) Pour tout x ],+ [, f (x)= ln x x, donc a le même signe que ln x. (b) lim(+ln x)= et lim =+, donc lim x x x> x f (x)=. x lim = et par croissances comparées x lim Donc lim f (x)= ln x x =. Ph Depresle :Notes de cours Page sur 3

11 (c) Le tableau de variations de la fonction f est : x + f (x) + + f 3. (a) La fonction f est continue, strictement croissante de ];] sur ] ;] et appartient à ] ; ]. D après le théorème des valeurs intermédiaires pour une fonction strictement croissante, il existe un unique α ]; ] tel que f (α) =. Exercice 5 Partie A : (b) Avec la calculatrice on trouve que f (5)> et f (6)<, donc 5<β<6 et n= 5.. lim ln(x)=+, et lim x = donc par produit lim f (x)=. Pour tout x ] ; + [, f (x)= ln(x) x x = ln(x). Partie B : f (x) ln(x) ln(x) x e f est croissante sur ];e ], décroissante sur [e ;+ [.. Pour tout x ] ; + [, f n (x)= nx f (x), donc f n (x)= n f n (x)= n ln x.. (a) La courbe (C n ) admet une tangente parallèle à l axe des abscisses au point d abscisse x si et seulement si f n (x)=. f n (x)= ln(x)= n x = e n La courbe (C n ) admet une tangente parallèle à l axe des abscisses au point A n d abscisse e n. (b) L ordonnée de A n est f n (e n )= ne n e n ln(e n ) f n (e n )= ne n e n ( n )=e n Le point A n appartient bien à la droite d équation y = x. (c) Voir figure 3. (a) La courbe (C n ) coupe l axe des abscisses en un point d abscisse x si et seulement si f n (x)=. f n (x)= nx x ln(x)= ln(x)= n, car x. Donc la courbe (C n ) coupe l axe des abscisses en un unique point B n, dont l abscisse est e n. (b) La tangente à (C n ) au point B n a pour coefficient directeur (c) f n (e n )= n ln(e n )= n +n =. Ce coefficient directeur est toujours -, il est indépendant de l entier n. Ph Depresle :Notes de cours Page sur 3

12 Chapitre : Logarithme et autres fonctions A A A B C B C B C Ph Depresle :Notes de cours Page sur 3