Cours d harmonisation en mathématiques. Bérangère Delourme-Jose Gomez

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1 Cours d hrmonistion en mthémtiques Bérngère Delourme-Jose Gomez septembre 206

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3 Tble des mtières Trigonométrie et nombres complexes 7. Trigonométrie élémentire Le cercle trigonométrique Quelques formules importntes Angles remrqubles Formules usuelles Formules d ddition Résolution de deux équtions trigonométriques simples Nombres complexes Forme lgébrique d un nombre complexe Représenttion grphique des nombres complexes Formes trigonométrique (ou polire) et exponentielle d un nombre complexe Quelques propriétés élémentires Églité de deux nombres complexes Somme et produit de deux nombres complexes Nombre complexe conjugué Nombres complexes et trigonométrie Résolution de quelques équtions dns C Rcines crrées d un nombre complexe Introduction : rppel du cs prticulier z 0 R Résolution sous forme polire Résolution sous forme crtésienne Résolution de l éqution du second degré z 2 + bz + c = Étude des fonctions à une vrible réelle 5 2. Introduction Définitions Quelques exemples de fonctions Propriétés remrqubles de certines fonctions Limites Définition heuristique (non rigoureuse) de l limite en un point x Limite finie en un point x Limite infinie en un point x Limites à guche-limite à droite Clcul de limites Somme, produit et quotient Limite en ± des fonctions rtionnelles Les théorèmes de comprison Croissnces comprées Continuité Dérivtion Définitions Quelques propriétés Formules usuelles de dérivtion Dérivée des fonctions usuelles Opértions sur les dérivées Théorèmes de Rolle et des ccroissements finis Développements limités Formule de Tylor-Young et définition des développements limités

4 2.5.2 Clcul des développements limités Développement limités usuels u point Les opértions sur les développements limités Intégrtion L intégrle de Riemnn Primitive Définition Lien entre primitive et intégrle : le théorème fondmentl de l nlyse Clcul des primitives et des intégrles Primitives de quelques fonctions usuelles Opértions sur les primitives Formule d intégrtion pr prties Formule du chngement de vrible Intégrles générlisées

5 Ce cours été écrit à l ide du livre Les mthémtiques de l IUT-Rppels de cours et trvux dirigés de première nnée de A. Gmmell-Mthieu (éditions ellipses, collection Références sciences, 203) 5

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7 Chpitre Trigonométrie et nombres complexes. Trigonométrie élémentire.. Le cercle trigonométrique Soit (O, u, v) un repère orthonormé du pln euclidien. On ppelle cercle trigonométrique le cercle de centre O et de ryon. FIGURE. Représenttion du cercle trigonométrique Soit M un point du cercle trigonométrique de coordonnées (x, y) : OM = x u + y v ( x 2 + y 2 = ). On ppelle θ une mesure (en rdin) de l ngle orienté ( u, OM). On peut lors montrer que l bcisse x et l ordonnée y du point M sont données pr x = cos θ et y = sin θ. FIGURE.2 Quelques ngles remrqubles 7

8 Remrque... Pour θ [0, π/2], on retrouve l définition géométrique usuelle du cosinus et du sinus : en effet, en utilisnt les nottions de l Figure. (et le fit que M pprtienne u cercle unité), on obtient De même, sin θ = MxM OM = OMy OM = y. cos θ = OM x OM = x = x. Remrque..2. L ngle θ ci dessus est déterminé à 2π près (cf. Fig..2) : pr exemple, - π 2 5π 2 π + 2kπ quel que soit k pprtennt à Z, 2 - π π π + 2kπ (2k + )π quel que soit k pprtennt à Z...2 Quelques formules importntes..2. Angles remrqubles Le tbleu suivnt fournit les vleurs des fonctions cosinus et sinus pour quelques ngles remrqubles (cf. Fig..2). θ 0 π 6 sin θ 0 cos θ π 4 π 3 π 2 π TABLE. Vleurs des sinus et cosinus pour quelques ngles remrqubles..2.2 Formules usuelles Les formules suivntes peuvent être démontrées géométriquement à l ide du cercle trigonométrique (cf. Fig..3) : Proposition..3. Soit θ un nombre réel. Alors, cos 2 θ + sin 2 θ =, (.) cos( θ) = cos θ, (.2) sin θ = sin θ. (.3) FIGURE.3 Illustrtion des formules (.2) et (.3)..2.3 Formules d ddition Proposition..4. Soit et b deux nombres réels. Alors sin( + b) = sin cos b + sin b cos, (.4) cos( + b) = cos cos b sin b sin. (.5) 8

9 Exercice..5. Soit et b deux nombre réels.. Exprimer sin( b), cos( b), sin(2) et cos(2) en fonction de cos, cos b, sin et sin b. 2. Montrer que cos(π ) = cos θ, sin(π ) = sin et sin( π 2 ) = cos...3 Résolution de deux équtions trigonométriques simples Soit un nombre réel. - Éqution cos x = cos : les solutions de l éqution cos x = cos (i.e. l ensemble des nombres réels x tels que cos x = cos ) sont les nombres nombres réels x s écrivnt sous l forme où k est un nombre entier (positif ou négtif). x = + 2kπ ou sous l forme x = + 2kπ, b- Éqution sin x = sin : les solutions de l éqution sin x = sin sont les nombres réels x s écrivnt sous l forme où k est un nombre entier (positif ou négtif). x = + 2kπ ou sous l forme x = π + 2kπ, Nous renvoyons à l figure.3 pour une illustrtion grphique de ces deux résultts. Remrque..6. les deux équtions précédentes ont une infinité de solutions : en effet, si x est solution lors quel que soit l entier k, x + 2kπ est églement solution (ceci est dû u fit que les fonctions t sin t et t cos t sont périodiques de période 2π) Exercice..7. Résoudre l éqution cos x = Nombres complexes.2. Forme lgébrique d un nombre complexe Définitions On ppelle i un nombre imginire tel que i 2 =. - Soit x et y deux nombres réels. On ppelle nombre complexe z le nombre où x est ppelée prtie réelle de z et y prtie imginire de z. - On note C l ensemble des nombres complexes. z = x + iy, (.6) L nottion (.6) est ppelée forme lgébrique du nombre complexe z. On remrque deux cs prticuliers importnts : - Si y = 0 (prtie imginire nulle), lors z = x est un nombre réel (R C). - Si x = 0 (prtie réelle nulle), lors z = iy est un nombre imginire pur..2.2 Représenttion grphique des nombres complexes Soit (O, u, v) un repère orthonormé du pln euclidien. Définitions.2.2. Soit z = x + iy un nombre complexe et M le point de coordonnées (x, y) dns le repère (O, u, v). - Le point M est ppelé imge du point z, - Le nombre z est ppelé ffixe du point M. Remrque.2.3. Dns le pln (O, u, v), l xe des bcisses est ppelé xe réel et l xe des ordonnées est ppelé xe imginire. En effet, si z = x est réel, lors son imge est située sur l xe réel. De même si z est imginire pur lors son imge est située sur l xe imginire. Le pln (O, u, v) est souvent ppelé pln complexe. L correspondnce entre z et M est bijective (cd. Fig.4). À tout nombre complexe z on peut fire correspondre un point M du pln (le point de coordonnées (x,y) dns le repère (O, u, v)). Réciproquement, tout point M du pln définit pr ses coordonnées (x, y) un nombre complexe z = x + iy. Remrque.2.4. Du fit de l reltion bijective entre z et son imge M, on identifie souvent les deux entités (Pr bus de nottion, M est lors noté églement z). 9

10 FIGURE.4 Imge M d un nombre complexe z = x + iy dns le pln (O, u, v) (dit pln complexe).2.3 Formes trigonométrique (ou polire) et exponentielle d un nombre complexe En repérnt l imge M d un nombre z en coordonnées polires (r, θ), on v pouvoir obtenir l forme trigonométrique d un nombre complexe. Cel conduit à définir les notions de module et d rgument d un nombre complexe : Définitions.2.5. Soit z un nombre complexe et soit M son imge dns le pln complexe. - On ppelle module de z le module du vecteur OM. On le note z ou r : z = r = OM = x 2 + y 2. - On ppelle rgument θ de z une mesure de l ngle orienté ( u, OM). On retiendr que le module de z est un nombre réel positif ou nul. Pr illeurs, comme tout ngle, l rgument θ est défini à 2π près : θ = rg(z) = ( u, OM) + 2kπ, k Z. On remrque que si l on connit le module r et l rgument θ d un nombre z, lors on connit les coordonnées de son imge M. En effet, OM = r cos θ u + r sin θ v ou encore M : (r cos θ, r sin θ). Il s en suit que le nombre z s écrit sous l forme z = r(cos θ + i sin θ). (.7) Definition.2.6. L ecriture (.7) du nombre complexe z est ppelée forme trigonométrique (ou forme polire) de z. On l note ussi z = r e iθ, (.8) où, pr définition, e it = cos t + i sin t pour tout nombre réel t. L forme (.8) est ppelée forme exponentielle d un nombre complexe..2.4 Quelques propriétés élémentires.2.4. Églité de deux nombres complexes Soit deux nombres complexes z et z 2 représentés sous formes lgébrique et polire pr z = x + iy = r e iθ, z 2 = x 2 + iy 2 = r 2 e iθ2, où x, x 2, y, y 2, θ, θ 2 sont des nombres réels et r, r 2 sont des nombres réels positifs. Proposition.2.7. z = z 2 x = x 2 et y = y 2 r = r 2 et il existe un entier k tel que θ = θ 2 + 2kπ. (.9) 0

11 Somme et produit de deux nombres complexes Définitions.2.8. Soit z et z 2 deux nombres complexes représentés sous forme lgébrique pr où x, x 2, y et y 2 sont des nombres réels. - Somme : on définit z 3 = z + z 2 le nombre complexe - Produit : on définit z 4 = z z 2 le nombre complexe z = x + iy, z 2 = x 2 + iy 2 z 3 = (x + x 2 ) + i(y + y 2 ). (.0) z 4 = (x x 2 y y 2 ) + i(x y 2 + x 2 y ). (.) On retrouve nturellement l définition (.) en écrivnt z et z 2 sous leur forme lgébrique puis en développnt leur produit en tennt compte du fit que i 2 =. On peut ussi écrire fcilement le produit sous forme polire : insi, si z = r e iθ et z 2 = r 2 e iθ2 (r R +, r 2 R +, θ R, θ 2 R), lors on peut vérifier que z 4 = z z 2 = r r 2 e i(θ+θ2). FIGURE.5 Représenttion grphique de l somme z 3 = z + z 2 (M, M 2 et M 3 sont les imges de z, z 2, z 3 ) Pr illeurs, l somme des deux nombres complexes z et z 2 peut être interprétée géométriquement en terme de somme vectorielle : en effet, si on ppelle M, M 2 et M 3 les imges des nombres z, z 2 et z 3, lors on OM 3 = OM + OM Nombre complexe conjugué Definition.2.9. Soit z un nombre complexe représenté sous formes lgébrique et polire pr z = x + iy = re iθ, On ppelle conjugué de z le nombre z = x iy. On vérifie que z = re iθ. (x R, y R, r R +, θ R). Géométriquement, l imge M du nombre z est le symétrique pr rpport à l xe réel de l imge M de z (voir Fig..6). Pr illeurs, on montre fcilement les propriétés suivntes : Proposition Si z = z, lors z est réel. - z 2 = zz Nombres complexes et trigonométrie Proposition Formules d Euler cos θ = ei θ + e i θ 2 - Formule Moivre : soit n un entier positif. Alors et sin θ = ei θ e i θ. 2i (cos θ + i sin θ) n = e inθ = cos(nθ) + i sin(nθ).

12 FIGURE.6 Représenttion grphique du conjugué z de z (M est l imge de z et M est l imge de z).3 Résolution de quelques équtions dns C.3. Rcines crrées d un nombre complexe Soit z 0 un nombre complexe. Nous souhitons résoudre l éqution c est à dire trouver l ensemble des nombres complexes z tels que z 2 = z 0. z 2 = z 0, (.2) Remrque.3.. Les nombres complexes z solutions de l éqution (.2) sont ppelées les rcines crrées de z Introduction : rppel du cs prticulier z 0 R + Dns le cs où z 0 est un nombre réel strictement positif, l éqution (.2) dmet deux solutions réelles données pr z = z 0 et z = z 0. Nous souhitons donc étendre ce résultt u cs d un nombre z 0 complexe quelconque. On sit pr exemple que si z 0 < 0, il n y ps de solution réelle. Nous llons voir que dns le cs générl, l éqution (.2) dmet deux solutions complexes opposées (suf si z 0 = 0, dns ce cs, il n y qu une rcine z = 0). Dns ce cours, nous présentons deux méthodes (bsées sur l forme polire ou crtésienne de z) pour résoudre explicitement cette éqution Résolution sous forme polire Supposons z 0 écrit sous s forme polire, i.e z 0 = r 0 e iθ0 où r 0 est un nombre réel positif et θ 0 est un nombre réel. On v chercher z solution de l éqution (.2) églement sous l forme polire, i.e. z = re iθ où r est un nombre réel positif et θ est un nombre réel. L résolution de l éqution (.2) revient donc à déterminer les deux nombres réels r et θ. En utilisnt l proposition.2.7, on obtient z 2 = z 0 r 2 e 2iθ = r 0 e iθ0 r 2 = r 0 et il existe un entier k tel que 2θ = θ 0 + 2kπ. Résolvons le système (.3). D bord, puisque pr définition de l forme polire r 0, l unique solution de l éqution r 2 = r 0 est r = r 0 (on rppelle que r 0 0). Puis, en divisnt pr deux, l seconde ligne du système (.3) devient (.3) On en déduit donc que il existe un entier k tel que θ = θ kπ. z 2 = z 0 z = r 0 e i( θ 0 2 +kπ) quel que soit k Z. En fit, il suffit de considérer k = 0 et k = pour obtenir l ensemble des solutions cr e i( θ 0 2 +kπ+2π) = e i( θ 0 2 +kπ). Finlement, { z 2 = z 0 z = r 0 e i( θ 0 2 ) ou z = r0 e i( θ 0 2 +π) } (.4) 2

13 Remrque.3.2. Comme nnoncé, si z 0 0, l éqution (.2) dmet deux solutions complexes opposées (voir ussi figure.7). En effet, r0 e i( θ 0 2 +π) = r0 e i( θ 0 2 +π) e iπ }{{} = r 0 e i( θ 0 2 +π). = Si z 0 = 0, l éqution (.2) dmet comme unique solution z = 0. Remrque.3.3. L éqution z 3 = z 0 (détermintion des "rcines cubiques" de z 0 ), et plus générlement, l éqution z n = z 0 où n est un entier nturel peuvent être résolues en utilisnt l même méthode. FIGURE.7 Représenttion grphique des deux rcines crrées de z 0 (solutions z de l éqution.2). Pour ne ps lourdir l figure, on identifié les nombres complexes et leurs imges Résolution sous forme crtésienne Il est ussi possible de résoudre l éqution (.2) sous forme crtésienne. Supposons que z 0 = x 0 + iy 0 où x 0 et y 0 sont des nombres réels et cherchons les solutions de l éqution (.2) sous l forme z = x + iy où x et y sont des nombres réels. Résoudre l éqution (.2) revient donc mintennt à déterminer les nombres réels x et y. Tout d bord, on remrque que z 2 = z 0 { z 2 = z 0, z 2 = z 0. L deuxième éqution du système obtenu (églité des modules) est introduite de mnière rtificielle. Son introduction n est ps indispensble mis fcilite l résolution de l éqution (.2) sous forme crtésienne. Puisque z 2 = (x + iy) 2 = x 2 y 2 + 2ixy, le système précédent est équivlent à (églité des prties réelle et imginire) z 2 = z 0 x 2 y 2 = x 0 2xy = y 0 x 2 + y 2 = (x 0 ) 2 + (y 0 ) 2 () (b) (c) (.5) On peut résoudre le système (.5) à l ide de l méthode suivnte :. Addition des équtions () et (c) : détermintion de x (u signe près). x = ±α vec α = (x 0 + ) (x 0 ) (y 0 ) 2 (.6) 2. Soustrction des équtions () et (c) : détermintion de y (u signe près). y = ±β vec β = 3. Étude de l éqution (b) : discussion sur le signe de y 0. ( ) (x0 ) (y 0 ) 2 x 0. (.7) 3

14 - Si y 0 0, lors x et y ont le même signe. Donc l éqution (.2) à deux solutions données pr z = α + iβ et z = α iβ. - Si y 0 0, lors x et y sont de signes opposés. Donc l éqution (.2) à deux solutions données pr z = α iβ et z 2 = α + iβ. Remrque.3.4. On vérifie que l définition de α et β dns (.6)-(.7) ont bien un sens cr x 0 + (x 0 ) 2 + (y 0 ) 2 0 et (x0 ) 2 + (y 0 ) 2 x 0 0. Remrque.3.5. Bien entendu, comme lors de l résolution polire, on retrouve bien que l éqution (.2) deux solutions complexes opposées (suf dns le cs où z = 0, où nous retrouvons que l seule solution est l solution nulle). Remrque.3.6. En prtique, pour résoudre l éqution (.2), on utiliser l méthode polire (Section.3..2) si l forme polire de z 0 est connue (ou fcile à clculer) et l méthode crtésienne dns les utres cs (Section.3..3)..3.2 Résolution de l éqution du second degré z 2 + bz + c = 0 Soit, b, c trois nombres complexes. On cherche à résoudre l éqution z 2 + bz + c = 0 (.8) c est à dire qu on chercher les nombres complexes z stisfisnt (.8). Comme dns le cs où, b et c sont réels, on introduit le discriminnt = b 2 4c, et on définit d comme une solution de l éqution d 2 =. (d est une (des deux) rcines crrées de, cf. Prtie.3. et remrque.3.). On peut lors montrer le résultt suivnt : Proposition.3.7. Les solutions de l éqution (.8) sont données pr En prtique, on peut distinguer 4 cs : z = b d 2 et z = b + d 2 - Si = 0, lors d = 0. Pr conséquent, l éqution.8 dmet une rcine double donnée pr (.9) z = b 2. - Si > 0, lors on peut choisir d =. L éqution.8 dmet deux rcines z = b + 2 etz = b 2 - Si < 0 lors on peut choisir d = i. L éqution.8 dmet deux rcines z = b + i 2 etz = b i 2 - Si est complexe non réel ( C \ R), lors il fut clculer d en résolvnt l éqution d 2 =. Cette éqution est de l forme (.2) et peut être résolue explicitement en utilisnt l une des deux méthodes présentées dns l prtie.3.. Les deux solutions de l éqution.8 sont lors données pr (.9). 4

15 Chpitre 2 Étude des fonctions à une vrible réelle 2. Introduction 2.. Définitions Definition On définit une fonction d une vrible réelle en ssocint à chque nombre réel x u plus un nombre réel, qui, lorsqu il existe, est noté f(x) et est ppelé imge de x pr f. b- On ppelle ensemble de définition d une fonction f l ensemble des réels x tels que f(x) existe. On le note D f. c- Dns un repère donné, on ppelle courbe représenttive de f l ensemble des points de coordonnées (x, f(x)) où x décrit l ensemble de définition D f de f. () (b) FIGURE 2. Deux exemples de courbes du pln. Sur l figure 2., l courbe de guche est l courbe représenttive d une fonction dns le repère orthonormé (O, u, v). On remrque que cette fonction n est ps définie sur l intervlle [, 2]. Pr contre l courbe représentée sur l figure 2.b n est ps une courbe représenttive de fonction : en effet, le point x = 0 deux ntécédents Quelques exemples de fonctions Voici une liste de quelques fonctions usuelles : Les fonctions puissnces entières - L fonction identité : x x, (domine de définition : R). - L fonction crré : x x 2, (domine de définition : R). - L fonction cube : x x 3, (domine de définition : R). - les fonctions puissnces entières : soit n N, x x n (domine de défintion : R). 5

16 () x x (b) x x 2 (c) x x 3 FIGURE 2.2 Courbes représenttives des fonctions x x, x x 2 et x x 3. L fonction vleur bsolue L fonction vleurs bsolue x x est définie sur R pr x = { x si x 0, x si x < 0. Les fonctions inverse et puissnces entières négtives - L fonction inverse : x x, (domine de défintion : R = R \ {0}). - Les fonctions puissnces entières négtives : soit n N = N \ {0}, x x n = x n (domine de définition : R ). () x x (b) x x FIGURE 2.3 Courbes représenttives des fonctions x x, x x. Les fonctions polynomiles et rtionnelles - Les fonctions polynômiles (ou, pr bus de lngge, polynômes) sont les fonctions de l forme où - n est un entier positif ou nul, x p(x) = 0 + x + 2 x n x n, - pour tout entier compris entre 0 et n, les nombres j sont des réels. - n 0 (suf dns le cs du polynôme nul p(x) = 0). Les fonctions polynômiles sont définies sur R. L entier nturel n est ppelé dégré du polynôme p. Pr exemple l fonction x + 3x + 4x 2 est un polynôme de degré 2. - Les fonctions rtionnelles sont les fonctions de l forme x r(x) = p(x) q(x), où p et q sont des fonctions polynômiles. Ces fonctions sont définies en tous les points x où q(x) ne s nnule ps : D r = {x R, tels que q(x) 0}. 6

17 Les fonctions exponentielle et logrithmes - L fonction logrithme népérien x ln x définie sur R + = {x R, x > 0}. Cette fonction stisfit l propriété fondmentle suivnte : ln(b) = ln + ln b quels que soient R + et b R +. En prticulier, ln= 0. - L fonction logrithme décimle x log x = ln x ln 0, prfois ussi notée log 0 ou lg. Son domine de définition est R +. - L fonction exponentielle x e x, définie sur R. On On rppelle que e +b = e e b quels que soient R et b R. x R +, e ln x = x et y R, ln e x = x. ce qui signifie que les fonctions logrithme népérien et exponentielle sont réciproques. () x ln x (b) x e x (c) x x FIGURE 2.4 Courbes représenttives des fonctions logrithme népérien, exponentielle et rcine crrée. Les fonctions puissnce réelles - L fonction rcine crrée x x définie sur R +. - Les fonctions puissnces non entières positives : x x α, α R + \ N, définie sur R + pr { x R +, x α e α ln x si x > 0, = 0 si x = 0. (2.) - Les fonctions puissnces non entières négtives : x x α, α R \ Z, définie sur R + pr Les fonctions trigonométriques - L fonction sinus x sin x, définie sur R. - L fonction cosinus x cos x, définie sur R. - L fonction tngente, x tn x = sin x cos x de domine x R +, x α = e α ln x, D tn = {x R tels que cos x 0} = R \ {(2k + )π/2, k Z} Propriétés remrqubles de certines fonctions Définitions Une fonction f est pire lorsque son ensemble de définition est symétrique pr rpport à x = 0 (i.e. si x est dns domine de définition de f, lors x est ussi dns le domine de définition de f) et que f( x) = f(x). b- Une fonction f est impire lorsque son ensemble de définition est symétrique pr rpport à x = 0 et que f( x) = f(x). c- Une fonction f est périodique s il existe une réel positif T tel que { pour tout x D f, x + T pprtient à D f, f(x + T ) = f(x). Si une fonction f est périodique, on ppelle période de f le plus petit entier T stisfisnt l propriété (2.2). 7 (2.2)

18 () x cos x (b) x sin x (c) x tn x FIGURE 2.5 Courbes représenttives des fonctions cosinus, sinus et tngente. Voici quelques exemples de fonctions pires, impires et périodiques : - fonctions pires : x x 2, x x, x cos x (cf. Figures 2.2b, 2.3 et 2.5). - fonctions impires : x x, x sin x, x tn x (cf. Figures 2.2, 2.5b et 2.5c). - fonctions périodiques : les fonctions x cos x et x sin x sont périodiques de période 2π. L fonction x tn x est périodique de période π (cf. Figure 2.5). Remrque Propriétés des courbes représenttives des fonctions pires et impires dns un repère orthonormé (O, u, v) : - f est pire si et seulement si C f est symétrique pr rpport à l xe des ordonnées (x = 0). - f est impire si et seulement si C f est symétrique pr rpport à l origine O(0, 0) du repère. 2.2 Limites 2.2. Définition heuristique (non rigoureuse) de l limite en un point x 0 Nous llons mintennt nous intéresser u clcul des limites d une fonctions. Nous insistons sur le fit que l définition rigoureuse des limites nécessite l introduction des quntificteurs et ne ser ps donnée dns ce cours. Les définitions 2.2., et qui suivent sont des définitions heuristiques, non formlisées et donc non rigoureuses (mis suffisntes pour les clculs que nous llons entreprendre) Limite finie en un point x 0 Definition Soit x 0 R, L R et soit f une fonction définie prtout sur un intervlle contennt x 0, à l exception possible de x 0 lui même. On dit que f tend vers L qund x 0 tend vers x si l écrt entre f(x) et L peut devenir ussi petit que l on veut qund x s pproche suffismment de x 0. On note lim x x 0 f(x) = L. Comme L est un nombre réel (et donc fini), on dit que l limite est finie. Remrque L définition 2.2. peut être générlisée u cs où x 0 = ±. Donnons quelques exemples de limites finies. Considérons l fonction f(x) : x e x et choisissons x 0 = 0. Alors lim f(x) = lim f(x) = e 0 =. x x 0 x 0 De même, si on prend x 0 =, on lim f(x) = 0. x Pr contre, qund x tend vers +, l fonction f devient très grnde (elle n ps de limite finie). Pour décrire ce comportement, on introduit l notion de limite infinie Limite infinie en un point x 0 Definition Soit x 0 R et soit f une fonction définie prtout sur un intervlle contennt x 0, à l exception possible de x 0 lui même. On dit que f tend vers + (resp. ) qund x tend vers x 0 si f(x) est supérieure à 0 (resp. inférieure à 0) et rbitrirement grnde qund x s pproche de x 0. Remrque De nouveu, l définition peut être générlisée u cs où x 0 = ±. Pr exemple, les fonctions x e x, x ln x et x x 2 tendent vers + qund x tend vers +. On ussi lim ln x =. x 0 + Remrque Il est importnt de noter que les fonctions n ont ps forcément de limite en un point. Ainsi l fonction x sin x n ps de limite en ±. 8

19 Limites à guche-limite à droite Considérons l fonction f(x) définie sur R pr et représentée sur l Figure 2.6. f(x) = { si x 0, 0 si x > 0, (2.3) FIGURE 2.6 courbe représenttive de l fonction f définie pr (2.3) (en forme de mrche d esclier ). Il est clir que l fonction f n ps de limite en x 0 = 0. Pr contre, on v pouvoir définir une limite à guche (qund x tend vers x 0 pr l guche ou pr vleur inférieure ) et à droite (qund x tend vers x 0 pr l droite, ou pr vleur supérieure ) de ce point : Definition Soit x 0 R, L R et soit f une fonction définie prtout sur un intervlle contennt x 0, à l exception possible de x 0 lui même.. Limite à guche (limite en x 0 ) : on dit que f tend vers L qund x tend vers x 0 si l écrt entre f(x) et L peut devenir ussi petit que l on veut qund x s pproche suffismment de x 0 tout en étnt inférieur à x 0. On note lim f(x) = L. x x 0 2. Limite à droite (limite en x + 0 ) : on dit que f tend vers L qund x tend vers x+ 0 si l écrt entre f(x) et L peut devenir ussi petit que l on veut qund x s pproche suffismment de x 0 tout en étnt supérieur à x 0. On note lim f(x) = L. x x + 0 Ainsi, l fonction f définie pr (2.3) dmet une limite à guche et à droite de x 0 = 0 : lim f(x) = et lim f(x) = 0. (2.4) x 0 x 0 + On générlise isément ces définitions u cs de limites infinies : pr exemple, l fonction x x, définie sur R \ {0} n dmet ps de limite en x 0 = 0 mis dmet une limite infinie à guche et une limite infinie à droite de 0. On lim = et lim x 0 x x 0 + x = +. L courbe représenttive de cette fonction dmet une symptote verticle en x = 0 (cf Figure 2.3b). L proposition suivnte rppelle que si f dmet l même limite à droite et à guche de x 0, lors f dmet une limite en x 0 (l réciproque étnt églement vrie) : Proposition Soit l {R, ± } (l est un nombre réel ou l = ± ), x 0 un nombre réel, et f une fonction définie prtout sur un intervlle contennt x 0, à l exception possible de x 0 lui même. Alors lim f(x) = l lim f(x) = lim f(x) = l. x x 0 x x 0 x x Clcul de limites Les règles décrites dns les prgrphes suivnts vont permettre de déterminer un certin nombre de limites de fonctions. 9

20 Somme, produit et quotient On considère deux fonctions f et f 2 telles que où les nombres x 0, l et l 2 peuvent être réels ou égux à ±. lim f = l et lim f = l 2, x x 0 x x 0 Les tbleux 2., 2.2 et 2.3 donnent les vleurs des limites des fonctions somme f +f 2, produit f f 2 et quotient f /f 2 u point x 0 suivnt les vleurs de l et l 2. Le terme f.i signifie forme indéterminée : il n est ps possible dns le cs générl de déterminer l limite (d illeurs, cette limite peut exister ou non). Dns l troisième ligne du tbleu 2.3, le cs 0 + (resp. 0 ) signifie que l 2 = 0 et que f est positive ou nulle (resp. négtive ou nulle) dns un voisinge de x 0. l fini ( R) ± + + l 2 fini fini + + lim (f + f 2 ) x x 0 l + l 2 ± + f.i. f.i. TABLE 2. Somme : limite de l fonction f + f 2 u point x 0 suivnt les vleurs de l et l 2 l fini fini > 0 fini < l 2 fini ± ± + ± lim (f f 2 ) x x 0 l l 2 ± + + f.i. TABLE 2.2 Produit : limite de l fonction f f 2 u point x 0 suivnt les vleurs de l et l 2 l fini R + ou + R ou R + ou + R ou 0 ± l 2 fini ± lim f /f 2 x x 0 l /l f.i. f.i. TABLE 2.3 Quotient : limite de l fonction f /f 2 u point x 0 suivnt les vleurs de l et l 2 Pour lever les formes indéterminées, on pourr utiliser l une des propriétés suivntes Limite en ± des fonctions rtionnelles Comme décrit dns l proposition suivnte, l limite en ± d une fonction rtionnelle est égle à l limite du quotient de ses termes de plus huts degrés. Proposition Soit n et m deux entiers positifs et f et g deux polynômes de degrés m et n (m N, n N) : f(x) = 0 + x + + n x n ( n 0), f(x) = b 0 + b x + + b m x n (b m 0). Alors, Pr exemple, f(x) lim x ± g(x) = lim x ± 2x 2 + 2x lim x + x 5 + 3x 3 = n x n b m x m = n b m lim 2x 2 x + x 5 = lim x + lim x ± xn m 2 x 3 = Les théorèmes de comprison Proposition Soit un point x 0 fini ou infini (x 0 {R, ± }) et soit u et v deux fonctions telles que u(x) v(x) dns un voisinge du point x 0. Alors lim u(x) lim v(x). x x 0 x x 0 En pplicnt directement le résultt précédent, on peut montrer le théorème ci-dessous, souvent ppelé théorème des gendrmes : 20

21 Théorème (théorème des gendrmes). Soit un point x 0 fini ou infini (x 0 {R, ± }) et soit u et v et f trois fonctions telles que u(x) f(x) v(x) dns un voisinge du point x 0. Si lim u(x) = lim v(x) = l, x x 0 x x 0 l fini ou non, (l {R, ± }), lors lim f(x) = l. x x 0 Le théorème précédent s vère utile pour déterminer des limites de fonctions bornées (pr exemple x sin x et x cos x) Croissnces comprées Voici enfin les résultts dits de croissnces comprées, comprnt les fonctions puissnce, exponentielle et logrithme : Proposition Soit α un nombre réel positif. Alors e x lim x + x α = + lim x + xα e x = 0. - Soit α un nombre réel strictement positif et un nombre réel positif. Alors - Soit α un nombre réel strictement positif. Alors (ln x) lim x + x α = 0. lim x α ln x = 0. x 0 + On rppelle que l fonction puissnce (pour α entier ou non) à été définie dns l prtie L proposition 2.2. montre en prticulier que l fonction exponentielle croit plus vite que tout polynôme u voisinge de + (cs prticulier où α N). Remrque Les méthodes présentées dns les prgrphes , et peuvent permettre de lever certines indétermintions. Les développements limités, présentés dns l prtie 2.5, permettront églement de lever un certin nombre de ces indétermintions. 2.3 Continuité Définitions Soit f une fonction définie sur un intervlle I =]c, d[ (c et d peuvent être finis ou non) et x 0 un point de cet intervlle. - On dit que f est continue en x 0 lorsque lim f(x) = f(x 0 ). x x 0 - Soit J un intervlle inclus dns I. On dit que f est continue sur l intervlle J si f est continue en tout point x 0 pprtennt à J. Pr exemple, les fonctions x sin x et x cos x sont continues sur R. L fonction f définie sur R pr (2.3)(mrche d esclier) est continue en tout point x 0 0 mis elle n est ps continue en 0. Notion de prolongement pr continuité (un exemple) Certines fonctions sont dites prolongebles pr continuité. Pr exemple, considérons l fonction f(x) = sin x x définie sur D f = R \ {0}. f n est ps définie u point x 0 = 0 mis f dmet une limite en 0. En effet, sin(x) sin 0 lim f(x) = lim = cos 0 =. (2.5) x 0 x 0 x 0 Définissons lors l fonction f pr f(x) = { f(x) si x 0, si x = 0, D f = R. L fonction f est définie sur R. Pr illeurs, d près (2.5), f est continue en 0, si bien que f est continue sur R. Enfin, pr construction, f(x) = f(x) pour tout x D f. C est pourquoi on dit que f prolonge f pr continuité u point 0. 2

22 De mnière similire, l fonction x α définie sur R + pr (2.) est un prolongement pr continuité en 0 de l fonction e α ln x en définie sur R + : lim x 0 eα ln x = 0. Pour terminer cette section, nous rppelons le théorème des vleurs intermédiires, théorème ssez intuitif qui ssure qu une fonction continue sur [, b] prend toutes les vleurs comprises en f() et f(b). Théorème (Théorème des vleurs intermédiires). Soit et b deux nombres réels tels que < b et soit f une fonction continue sur l intervlle fermé [, b]. Alors, pour tout nombre réel y compris entre f() et f(b), il existe c [, b] tel que f(c) = y. Nous insistons sur le fit que le résultt précédent est fux si f n est ps continue. 2.4 Dérivtion 2.4. Définitions Définitions Soit f une fonction définie sur un intervlle I. - Dérivbilité en un point : soit x 0 un point de I. On dit que f est dérivble en x 0 lorsque le quotient f(x0+h) f(x) h dmet une limite finie qund h tend vers 0. Lorsque cette limite existe, elle est ppelée nombre dérivé de f en x 0 et est notée f (x 0 ). - Dérivbilité sur un intervlle : soit un intervlle J inclus dns I. On dit que f est dérivble sur l intervlle J si elle est dérivble en tout point de J. - Ensemble de dérivbilité : on ppelle ensemble de dérivbilité D f d une fonction f l ensemble des points x 0 D f tels que f (x 0 ) existe. - Fonction dérivée : On ppelle fonction dérivée de f l fonction notée f définie sur l ensemble de dérivbilité D f, qui à tout x D f ssocie le nombre dérivé f (x), c est à dire x D f, f f(x + h) f(x) (x) = lim. h 0 h Quelques propriétés Géométriquement, le nombre dérivée d une fonction f en un point x 0 correspond à l pente (coefficient directeur) de l tngente à l courbe C f en x 0 (cf. l figure 2.7). Proposition (Interpréttion géométrique du nombre dérivé). Si f est dérivble en x 0, l courbe représenttive de f dmet u point d bscisse x 0 une tngente d éqution y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). FIGURE 2.7 Interpréttion géométrique du nombre dérivée. L propriété précédente permet de comprendre le lien entre le signe de l dérivée d une fonction et son sens de vrition : Proposition (dérivée et sens de vrition). Soit f une fonction dérivble sur un intervlle I.. Si f (x) 0 (resp. f (x) > 0) pour tout x I, lors f est croissnte (resp. strictement croissnte) sur I. 2. Si f (x) 0 (resp. f (x) < 0) pour tout x I, lors f est décroissnte (resp. strictement décroissnte) sur I. Enfin, on peut montrer que l dérivbilité d une fonction en un point entrine l continuité de cette fonction en ce point : 22

23 Proposition Soit x 0 R. Si f est dérivble en x 0, lors f est continue en x 0. L réciproque de l proposition précédente est fusse. Pr exemple, l fonction x x est continue sur R mis non dérivble u point 0 (cf. figure 2.3) : 0 + h 0 lim = ±. h 0 ± h De même l fonction x, définie et continue sur R + n est ps dérivble en 0 : en effet, lim h 0 + h 0 h = lim h = +. h 0 + Géométrique, le résultt précédent montre que l courbe représenttive de l fonction rcine dmet une tngente verticle en x = 0 (dérivée infinie) (voir l figure 2.4c) Formules usuelles de dérivtion Dérivée des fonctions usuelles L tbleu suivnt rppelle les dérivées de quelques fonctions usuelles. f(x) D f D f f (x) c (c R) R R 0 x n (n N ) R R n x n x n (n N ) R R n x x R + R + 2 x { x R R six < 0 six > 0. e x R R e x n+ = ( n)x( n) ln x R + R + x cos x R R sin x sin x R R cos x tn x R \ {(2k + )π/2, k Z} R \ {(2k + )π/2, k Z} + tn 2 x = cos 2 x x α (α R + \ N, α > ) R + R + αx α x α (α R + \ N, α < ) R + R + αx α x α (α R \ Z) R + R + αx α TABLE 2.4 Domine de dérivtion et dérivées de quelques fonctions usuelles Opértions sur les dérivées Soient f une fonction dérivble sur un intervlle I et soit g une fonction dérivble sur un intervlle J. Le tbleu 3. rppelle les formules de dérivtion pour les fonctions produit fg, quotient f/g et composée f g (pr définition, (f g)(x) = f (g(x))). Fonction dérivée Domine de dérivbilité fg (fg) (x) = f (x)g(x) + g (x)f(x) I J ( ) f f (x) = f (x)g(x) g (x)f(x) g g (g(x)) 2 I {x J, tel que g(x) 0} f g (f g) (x) = f (g(x))g (x) = (f g)(x)g (x) {x J, g(x) I} TABLE 2.5 Opértion sur les dérivées. 23

24 2.4.4 Théorèmes de Rolle et des ccroissements finis Théorème (Théorème de Rolle). Soit et b deux nombres réels tels que < b, et soit f une fonction continue sur l intervlle fermé [, b], dérivble sur l intervlle ouvert ], b[, telle que f() = f(b). Alors, il existe un nombre c pprtennt à ], b[ tel que f (c) = 0. Le théorème de Rolle montre que puisque f() = f(b), il existe (u moins) un point de l intervlle ], b[ où l pente de l tngente à C f est horizontle. À l ide du théorème de Rolle, on peut montrer le théorème des ccroissements finis : FIGURE 2.8 Illustrtion du théorème de Rolle. Théorème (Théorème des ccroissements finis). Soit et b deux nombres réels tels que < b et soit f une fonction continue sur l intervlle fermé [, b] et dérivble sur l intervlle ouvert ], b[. Alors il existe c ], b[ tel que f (c) = f(b) f(). b Le résultt précédent signifie qu il existe (u moins) un point de l intervlle ], b[ où l pente de l tngente à C f est égle u tux d ccroissement moyen f(b) f() b (cf. Figure 2.9). FIGURE 2.9 Illustrtion du théorème des ccroissements finis. 2.5 Développements limités 2.5. Formule de Tylor-Young et définition des développements limités Théorème 2.5. (Formule de Tylor-Young). Soit n un entier nturel (positif), I un intervlle de R et f une fonction de clsse C n sur I (f est n fois dérivble sur I et l dérivée n-ième de f est continue sur I). Alors pour tout I et pour tout réel h tel que + h I, on f( + h) = f() + f ()h + f (2) () h2 2! + + f (n) () hn n! + hn ε(h), (2.6) où ε est une fonction telle que lim ε(h) = 0. h 0 Dns le théorème précédent, f (k) désigne l dérivée k-ième de f. L reste h n ε(h) est souvent noté génériquement o(h n ), ce qui signifie que h n ε(h) = o(h n ) est négligeble devnt h n, c est à dire que h n ε(h) o(h n ) lim h 0 h n = lim h 0 h n = 0. 24

25 Remrque Il existe d utres formules de Tylor qui diffèrent dns l fçon d exprimer le reste h n ε(h) = o(h n ). Nous pouvons mintennt définir l notion de développement limité. Definition Soit f une fonction définie sur un intervlle I, I et n N. On dit que f dmet un développement limité d ordre n u point s il existe n + nombres réels ( j ), j N compris entre 0 et n, et une fonction ε définie sur I tels que f(x) = 0 + (x ) + 2 (x ) n (x ) n + (x ) n ε(x) et lim x ε(x) = 0. Le polynome p n,,f (x) = 0 + (x ) + 2 (x ) n (x ) n s ppelle l prtie régulière (ou prtie principle) du développement limité. Il est prfois ussi noté DL n (x). On remrquer que si f est de clsse C n sur un intervlle I contennt, lors, d près le théorème 2.5., f dmet un développement limité d ordre n en. Pr illeurs, il fut svoir que le développement limité est unique, ce qui signifie que, s il existe, le polynôme p n,f, est unique. En prtique, les développements limités permettent de remplcer loclement des fonctions régulières pr des polynômes. En fit, connître ce développement peut s vérer d une grnde ide pour lever les indétermintions dns le clcul des limites. Pr illeurs les développements limités sont souvent utilisés en physique pour obtenir des modèles simplifiés Clcul des développements limités Développement limités usuels u point 0 Nous remrquons d bord que pour clculer un développement limité f u point, il suffit de clculer un développement de l fonction g(x) = f( + x) u point 0. C est pourquoi, on peut souvent se contenter de connitre les développement limités des fonctions usuelles u point 0. Les formules suivntes peuvent être obtenues à l ide de l formule de Tylor-Young 2.5. :. Développement limité de l fonction exponentielle en 0 : 2. Développement limité de l fonction e x = + x + x2 2! + x3 3! + + xn n! + xn ε(x). (2.7) + x en 0 : 3. Développement limité de l fonction ln( + x) en 0 : + x = x + x2 x ( ) n x n + x n ε(x). (2.8) ln( + x) = x x2 2 + x3 3 x4 xn + + ( )n+ 4 n + xn ε(x). (2.9) 4. Développement limité de l fonction ( + x) α en 0 : soit α R. ( + x) α = + αx + α(α ) x 2 + 2! 5. Développement limité de l fonction cosinus en 0 : 6. Développement limité de l fonction sinus en 0 : Les opértions sur les développements limités α(α )(α 2) x ! α(α )(α 2) (α n + ) x n + x n ε(x). (2.0) n! cos x = x2 2! + x4 x2n + + ( )n 4! (2n)! + x2n ε(x). (2.) cos x = x x3 3! + x5 x2n+ + + ( )n 5! (2n + )! + x2n+ ε(x). (2.2) L proposition suivnte résume les opértions élémentires possibles utiles pour le clcul des développements limités. Proposition Somme : soit f et f 2 deux fonctions, R et n N. Si f et f 2 dmettent un développement limité à l ordre n u point lors l fonction f = f + f 2 dmet un développement limité à l ordre n u point. De plus, l prtie régulière du développement limité de f à l ordre n peut être obtenue en dditionnnt les prties régulières des développements de f et f 2 à l ordre n. 25

26 Produit : soit f et f 2 deux fonctions, R et n N. Si f et f 2 dmettent un développement limité à l ordre n u point lors f = f f 2 dmet un développement limité à l ordre n u point. De plus, l prtie régulière du développement limité de f à l ordre n peut être obtenue en effectunt le produit des prties régulières des développements de f et f 2 à l ordre n puis en tronqunt le résultt obtenu u degré n. Composition :soit f et f 2 deux fonctions, R et n N. Si f possède un développement limité à l ordre n en et si f 2 possède un développement limité à l ordre n en f (), lors f = f 2 f possède un développement limité à l ordre n en. De plus, l prtie régulière du développement limité de f à l ordre n est obtenue en composnt les prties régulières des développements limités à l ordre n de f et f 2 en en tronqunt le résultt obtenu u degré n. Dérivtion : Si une fonction f dmet un développement limité d ordre n en un point et si f est de clsse C n dns un voisinge de, lors l fonction f dmet un développement limité d ordre n u point. L prtie régulière du développement de f est obtenue en dérivnt l prtie régulière du développement limité de f à l ordre de n. En utilisnt l proposition précédente, on voit que l formule (2.9) découle de l formule (2.8) puisque ln( + x) est l primitive de /( + x) qui s nnule en 0. De même, Les formules (2.) et (2.2) peuvent être obtenues à prtir de l formule (2.7) puisque cos x = (e ix + e ix )/2 et sin x = (e ix + e ix )/2i. 26

27 Chpitre 3 Intégrtion 3. L intégrle de Riemnn Soit et b deux nombres réels tels que < b et f une fonction continue sur l intervlle fermé borné [, b]. Soit σ n = (x 0, x,, x n ) une subdivision (cf. figure 3.) de l intervlle [, b], c est à dire un ensemble de n + points x i (i est un entier compris entre 0 et n) tels que x 0 =, x 0 < x < < x n, et x n = b. Afin de définir l notion d intégrle, on introduit le nombre S σn,f défini pr Remrquons que si f est positive sur [, b], lors n S σn,f = (x i+ x i )f(x i ). i=0 n S σn,f = A(R i ), où A(R i ) désigne l ire du rectngle R i de sommets (x i, 0), (x i, f(x i )),(x i+, 0), (x i+, f(x i )) (cf. Figure3.). i=0 () Subdivision irrégulière (n = 4) (b) Subdivision régulière FIGURE 3. Subdivisions de [, b] et sommes de Riemnn. Definition 3... Soit f une fonction continue sur [, b] ( R, b R, < b). On ppelle intégrle de Riemnn de f sur [, b], l limite de S σn,f qund δ n = mx (x i+ x i ) tend vers 0. On l note i N,0 i n Remrque f(x)dx. 27

28 - Le fit que f soit continue sur [, b] grntit l existence de l limite de S σn,f. Pr illeurs, cette limite est indépendnte de l suite (σ n ) n N des prtitions choisies. - Géométriquement, f(x)dx correspond à l ire de l prtie du pln située entre l xe des bscisses et l courbe représenttive de f (comptée lgébriquement, ce qui signifie que l ire est comptée négtivement si f est négtive). Sur les figures b, l intégrle f(x)dx correspond à l ire de l prtie grisée. - Comme les intégrles ne peuvent ps toujours être clculées explicitement, les sommes de Riemnn fournissent un moyen efficce pour pprocher ces intégrles. En effet, pour voir une pproximtion de f(x)dx, ils suffit de clculer S σ n,f pour n ssez grnd.. L définition précédente peut être générlisée u cs de fonctions continues pr morceux sur [, b]. () (b) FIGURE 3.2 Interpréttion géométrique de l notion d intégrle. Les propriétés suivntes découlent directement de l définition 3.. de l intégrle. Proposition Soit et b deux nombres réels tels que < b, soit f et g deux fonctions continues sur l intervlle fermé [, b].. Si f(x) 0 quel que soit x [, b], lors f(x)dx L intégrle de Riemnn est linéire : pour tout couple de nombres réels (λ, µ), 3. Reltion de Chsles : Soit c [, b]. Alors (λf(x) + µg(x)) dx = λ f(x)dx = c f(x)dx + f(x)dx + µ c g(x)dx. f(x)dx. (3.) 4. L inéglité suivnte est vérifiée : f(x)dx f(x) dx. En ppliqunt le premier point de l proposition précédente, on voit que si f(x) g(x) quel que soit x [, b], lors Formellement, l reltion de Chsles donne ussi l formule f(x)dx f(x)dx = b 28 g(x)dx. f(x)dx.

29 3.2 Primitive 3.2. Définition Definition Soit et b deux nombres réels tels que < b et f une fonction continue sur l intervlle [, b]. On ppelle primitive de f toute fonction F définie et dérivble sur [, b] telle que F = f. On note prfois F = f. Remrque Si f est une primitive de f, lors toutes les primitives de f sont de l forme G = F + c où c est une constnte réelle. Autrement dit, il y une infinité de primitives qui diffèrent deux à deux d une constnte. 2. L existence de primitive n est ps grntie si f n est ps continue. 3.3 Lien entre primitive et intégrle : le théorème fondmentl de l nlyse Le théorème suivnt, connu sous le nom de théorème fondmentl de l nlyse, étblit le lien entre les notions de primitive et d intégrle : Théorème 3.3. (Théorème fondmentl de l nlyse). Soit et b deux nombres réels tels que < b et f une fonction continue sur l intervlle [, b]. - L fonction F (x) = x f(t)dt (définie pour tout x pprtennt à [, b]) est l unique primitive de f qui s nnule en. - Soit G une primitive de f sur [, b]. Alors, pour tout x pprtennt à [, b], x f(t)dt = G(x) G(). Soit f une fonction continuer sur [, b] et dont l dérivée est continue sur [, b]. En ppliqunt le second point du théorème précédent à l fonction f (f est une primitive de f sur [, b]), on obtient : x 3.4 Clcul des primitives et des intégrles 3.4. Primitives de quelques fonctions usuelles L tbleu suivnt rppelle les primitives de quelques fonctions usuelles. f (t)dt = f(x) f(). (3.2) f(x) R x n x α (x R +, α R \ { }) x, x 0 cos x sin x + tn2 x x F (x) x + c n+ n+ + c x α α+ + c ln x + c sin x + c cos x + c tn x + c TABLE 3. Primitives usuelles (c est une constnte réelle) Opértions sur les primitives Soit f et g des fonctions dérivbles de dérivée f et g, et soit (λ, µ) un couple de nombres réels. - Les primitives de l fonction λf + µg sont les fonctions de l forme λf + µg + c, où c est une constnte réelle. - Les primitives de l fonction (f g)g sont les fonctions de l forme f g + c, où c est une constnte réelle. Exercice Soit g une fonction définie et dérivble sur R. Donner les primitives de l fonction f : x f(x) = g (x) sin(g(x)). - Soit g une fonction définie et dérivble sur R telle que g(x) > 0 et soit f : x g (x) g(x). Montrer que les primitives de f sont de l forme F (x) = ln(g(x)). - Soit g une fonction définie et dérivble sur R telle que g(x) < 0 et soit f : x g (x) g(x). Déterminer les primitives de f. 29

30 3.4.3 Formule d intégrtion pr prties Une formule très utile pour le clcul des intégrles est l formule d intégrtion pr prties : Proposition (Intégrtion pr prties). Soit et b deux nombres réels tels que < b et soit f et g deux fonctions de clsse C sur [, b]. Alors, f(x)g (x)dx = [fg] b f (x)g(x)dx. (3.3) où [fg] b = f(b)g(b) f()g(). Démonstrtion. On sit que (fg) = f g + fg. Donc, en prennt l intégrle dns l églité précédente, on obtient (fg) (x)dx = f (x)g(x)dx + f(x)g (x)dx. En utilisnt l seconde prtie du théorème 3.3. (cf. ussi eqution 3.2), on voit que (fg) (x)dx = [fg] b, ce qui termine l preuve de l proposition Exercice En utilisnt l formule d intégrtion pr prties, montrer que - Soit t >. Montrer que t En déduire une primitive de l fonction x ln x Formule du chngement de vrible 2 ln x dx = 2 ln 2 =. ln x dx = t ln t (t ). Pour clculer des intégrles, on peut ussi prfois utiliser l formule de chngement de vrible : Proposition Soit et b deux nombres réels tels que < b, soit ϕ une fonction de clsse C sur [, b] et soit f une fonction continue et définie sur l imge de [, b] pr ϕ. Alors, ϕ(b) ϕ() f(x)dx = f (ϕ(t)) ϕ (t)dt. (3.4) Pr exemple, nous pouvons ppliquer l formule suivnte pour clculer 2 π π 2t cos(t 2 )dt. Posons f(t) = cos t et ϕ(t) = t 2 et prenons = π et b = 2 π. On vérifie fcilement que f est définie et continue sur R et que ϕ est définie, dérivble (ϕ (t) = 2t) et de dérivée continue sur R. Évidemment, son imge est continue sur R. De plus ϕ() = π et ϕ(b) = 4π. On peut donc ppliquer l proposition : 2 π π 2t cos(t 2 )dt = f (ϕ(t)) ϕ (t)dt = ϕ(b) ϕ() f(x)dx = 4π π cos xdx = [sin x] 4π 0 = 0. Remrque Qund ϕ est bijective de [, b] dns [ϕ(), ϕ(b)], l formule (3.4) peut être réécrite sous l forme f(x)dx = ϕ (b) ϕ () Il est prfois plus fcile d utiliser l formule 3.5 que l formule 3.4. f (ϕ(t)) ϕ (t)dt, (3.5) 3.5 Intégrles générlisées Jusqu à présent, nous vons défini les intégrles f(x)dx lorsque f est une fonction continue sur l intervlle fermé borné [, b]. Nous llons voir qu il est prfois possible de donner un sens (vi un pssge à l limite (cf. 3.3) à f(x)dx qund f est définie et continue sur les intervlles semi-ouverts [, b[ ( R, b R ou b = + ), ou ], b] (b R, R ou = ). Définitions 3.5. (Intégrle générlisée). 30