Corrigés des exercices

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1 Il est intéressant d insister sur la définition du vecteur accélération pour enlever l idée qu un système accélère uniquement lors de variations de la valeur de son vecteur vitesse 4 Comment énoncer la deuxième loi de NEWON? Ce paragraphe est l aboutissement de l approche de la deuxième loi de Newton vue en classe de remière S et de l activité 1 de ce chapitre echercher et expérimenter 1 ratique du saut à l élastique éponses aux questions 1 Lorsque la hauteur de chute est égale à, longueur de l élastique non étiré, on passe de la première à la seconde phase du mouvement remière phase : le sauteur est soumis uniquement à son poids $ de direction verticale, orienté vers le bas et de valeur m g Seconde phase : au poids vient s ajouter la force de rappel de l élastique de direction verticale, orientée vers le haut La valeur de cette force de rappel dépend de l allongement de l élastique 3 Soit A la position du centre d inertie du sauteur lorsqu il est au plus bas de son saut Juste avant A, le sauteur a une vitesse $ avant verticale orientée vers le bas ; juste après A, son vecteur vitesse $ après est vertical orienté vers le haut Il y a donc autour du point A une variation du vecteur vitesse du sauteur ; son vecteur accélération est non nul Il est vertical, orienté vers le haut ($ après $ avant est un vecteur orienté vers le haut) 4 a En A, le sauteur est soumis à son poids m g 6 N et à la tension de l élastique 55 N pour un élastique S (masse du sauteur comprise entre 4 et 7 kg) allongé de %, c està-dire dont la longueur est égale à 3 b En A, le vecteur accélération a la direction et le sens de $ + $, c est-à-dire verticale orientée vers $ + $ m, c est-à-dire le haut et pour valeur celle de ,5 m s 6 Simulation d un saut à l élastique éponses aux questions 1a Lors de la chute, le vecteur vitesse est vertical orienté vers le bas Sur l axe (Oy) choisi, la vitesse est positive b La valeur de la vitesse augmente de façon linéaire au début de la chute, passe par un maximum, puis diminue pour s annuler lorsque le système est au plus bas de sa chute c Le coefficient directeur de la fonction affine (t) s exprime en m s et a pour valeur g 1 m s a $a $d b Au début du mouvement, le système n est soumis qu à son poids Il est en chute libre et le vecteur accélération $a $g d après la deuxième loi de Newton L accélération du système est verticale orientée vers le bas et a pour valeur g 1 m s 4b augmente au cours de la chute c our <, l accélération est verticale orientée vers le bas, dans le même sens que celui du mouvement La valeur du vecteur vitesse augmente, le mouvement est accéléré our, l accélération est nulle La vitesse atteint sa valeur maximale our >, l accélération est verticale orientée vers le haut, de sens opposé à celui du mouvement Le mouvement est ralenti, la vitesse diminue 5 La vitesse est maximale lorsque l accélération est nulle On a alors, poids de la masse suspendue à l élastique emarque : on peut prolonger l étude en pointant sur la vidéo quelques positions du système lorsqu il remonte Sur le graphique (t), la vitesse aura alors une composante négative L accélération sera orientée vers le haut comme lors de la fin de la chute ( > ), et dans le sens du mouvement ; le mouvement sera accéléré Corrigés des exercices Savoir s autoévaluer 1 1 $ d$o a $a d$ b La valeur du vecteur accélération s exprime en m s 3 Lors d un mouvement rectiligne uniforme, le vecteur vitesse du centre d inertie du système est constant Son vecteur accélération est nul Le vecteur vitesse du centre d inertie d un système doit être tangent à la trajectoire ; c est le cas dans chacune des situations schématisées Le vecteur accélération, d après la deuxième loi de Newton, a même direction et même sens que la résultante des forces extérieures appliquées au système Ce n est pas respecté sur le schéma (b) Lors d une trajectoire curviligne, la résultante des forces extérieures est toujours orientée à l intérieur de la trajectoire Ce n est pas respecté sur le schéma (c) 3 1 La position de l automobile à t correspond à x(t ) m a dx t + 15 b À t, (t ) 15 m s 1 3 a d d x m s L accélération du centre d inertie de la voiture est constante et égale à m s 4 remière loi de NEWON : Dans un référentiel galiléen, si la somme des forces qui s exercent sur un solide est nulle, le vecteur vitesse $ de son centre d inertie est constant Exemple : un palet de hockey sur glace lancé par un joueur a un mouvement rectiligne uniforme si on néglige les frottements de la glace Hachette Livre, hysique erminale S, Livre du professeur La photocopie non autorisée est un délit 1

2 Deuxième loi de NEWON : Dans un référentiel galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide par l accélération de son centre d inertie : éférentiel galiléen : m $a Exemple : lors d une chute libre, la seule force extérieure appliquée au système en mouvement est son poids D après la deuxième loi de Newton : $ m $a, d où $a $g Le système a une accélération verticale, orientée vers le bas et de valeur constante g 1 m s roisième loi de NEWON : Lorsqu un corps A exerce sur un corps B une force $ A B, alors le corps B exerce sur A la force $ B A Que les corps soient au repos ou en mouvement, ces forces sont opposées et ont même support : $ A B $ B A Exemple : lors d un départ de bobsleigh, l athlète exerce une force de poussée sur le bobsleigh afin de le mettre le plus rapidement en mouvement On peut considérer que cette force $ A B est horizontale, orientée dans le sens du mouvement De même, le bobsleigh exerce une force sur le coureur $ B A horizontale, de sens opposé à celui du mouvement, et telle que $ A B $ B A 5 a 3 5 1, m s 1 3 b $ $ 5 $ 3 a pour valeur,44 m s 1 On en déduit la valeur de l accélération au point 4 : a 4 3,6 m s 4 a La valeur de la somme $ des forces appliquées au solide est égale à m a 4,4 N b $ a même direction et même sens que $a 4 Exercices 1 1 Le mouvement est rectiligne uniforme Le mouvement étant uniforme, la valeur de la vitesse est constante 3 Le vecteur vitesse ne varie pas au cours d un mouvement rectiligne uniforme 4 D après la première loi de Newton, la résultante des forces extérieures appliquées au mobile est égale au vecteur nul Le spectateur se trompe La troisième loi de Newton indique que $ M B $ B M, les deux forces ont même valeur 3 1 Si l on veut relier la variation de vitesse aux forces appliquées au skieur, il faut considérer le référentiel terrestre comme galiléen f 1 f $ : poids du skieur ; $ : réaction de la piste ; $f 1 : force de frottement du sol ; $f : force de frottement de l air 3 a our t > t 1, la vitesse du skieur est constante L accélération de son centre d inertie est donc nulle b D après la deuxième loi de Newton : $ + $ + $f 1 + $f $ 4 a our t < t 1, la vitesse augmente L accélération est égale au coefficient directeur de la tangente à la courbe (t) Au début, (t) augmente linéairement avec le temps ; l accélération est donc constante Ensuite, le coefficient directeur de la tangente à la courbe diminue pour s annuler à la date t 1 ; il en est de même pour l accélération b $ + $ + $f 1 + $f m $a c La force responsable de la variation de l accélération est la force de frottement de l air qui augmente avec la vitesse 4 1 a et b Voir le schéma ci-dessous S/ / S c La valeur de la force exercée par le skieur sur la barre du téléski $ S/ est égale à la valeur de $ /S, force exercée par la barre sur le skieur Les forces restent toujours opposées mais leur valeur peut varier ,8 m s 1 ; 4 3 5,45 m s 1 ; ,13 m s 1 ; ,76 m s 1 ; ,39 m s 1 ; a $ (t 4 ) b $ (t 5 ) $ (t 6 ) $ $ 5 3 t 5 t 3 9,7 m s $ $ 6 4 t 6 t 4 9,7 m s ; $ $ 7 5 t 7 t 5 3,13 1, ,76, ,39 3, ,3 m s 3 La variation de la vitesse par unité de temps, c està-dire l accélération, diminue Il en est de même pour la somme des forces extérieures appliquées à la bille Cela peut s expliquer par la force de frottement de l air qui n est plus négligeable vers la fin de la chute

3 6 1 3 Un point en mouvement a une accélération nulle si son vecteur vitesse est constant 1 a et b Le vecteur accélération $a a même sens et même direction que ceux de la résultante des forces extérieures a Le mouvement étant rectiligne, l accélération est égale au coefficient directeur de la droite (t) a 1 1,5 m s et a,4,5,8 m s b m 1, a 1,1 kg et m,5 kg 3 en fonction du temps est une fonction linéaire de coefficient directeur : a 3 m 1,14,1 1,4 m s 1 7 a $ 7 $ 6 8 b $ 7,16 m s 1 c $ 7 est représenté par un vecteur tangent à la trajectoire dans le sens du mouvement et de longueur 1,6 cm 8 1 a En tenant compte de l échelle 1/4 on détermine une valeur des vecteurs vitesse $ 3 et $ 5 égale à,4 m s 1 Ils sont représentés par des vecteurs de 4, cm de long, tangents à la trajectoire, respectivement aux points 3 et 5 b Il n y a pas égalité entre les deux vecteurs puisqu ils n ont pas même direction c Ces deux vecteurs ont même valeur, donc 3 5 b On détermine graphiquement une valeur de $ égale à,45 m s 1 c La valeur de a 4 est de, m s d a 4 est représenté par un vecteur de cm de long de même sens et même direction que $, c est-à-dire orienté vers O 3 a La valeur de l accélération est constante b Le vecteur accélération est toujours orienté vers le centre de la trajectoire circulaire Il n est pas constant 4 L accélération d un mouvement rectiligne uniforme est nulle 9 1 a b c $a 3 $ $ 4 avec s et $ 4 $ $ Donc $a 3 $ raphiquement, on mesure la valeur de $ $ 4 $ égale à 1 cm s 1 a 3 $ 4 $,5 cm s 11 1 a Voir le schéma ci-dessous (A ) m (B) a + Inventaire des forces extérieures : $ : le poids du solide (A) ; $ : la réaction du support ; $ : la tension du fil b Si on néglige les frottements, le poids et la réaction du support se compensent : $ + $ + $ $ a Le mouvement est rectiligne, l accélération a pour valeur le coefficient directeur de la droite (t) a,6,8,75 m s b m a,65,75,49 N 1 D après la deuxième loi de Newton, m $a avec m la masse du système étudié Si les forces extérieures appliquées au système se compensent, $, alors $a $ ; donc $ $cte Un mouvement dont le vecteur vitesse est constant est rectiligne uniforme Cas particulier : $ $cte $, le système est immobile On retrouve bien la première loi de Newton : tout corps persévère dans son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme si les forces extérieures qui lui sont appliquées se compensent 13 1 ar définition, le vecteur vitesse du centre d inertie d un mobile a pour expression : $ d$o Les coordonnées du vecteur vitesse s écrivent : x dx (1) $ dy ; () $ x dx 1t dy ; 3

4 x dx (3) $ 3 dy 1t Le vecteur accélération du centre d inertie du mobile est défini par $a d$ Les coordonnées du vecteur vitesse s écrivent : (1) $a () $a a x d x a y d a x d x a y d ; 1 ; a x d x (3) $a a y d y 1 À t s, le vecteur vitesse a pour composantes : (1) $ x ; () $ x ; (3) $ x 3 La valeur de la vitesse est égale à x + y (1) m s 1 ; () m s 1 ; (3), m s ar lecture graphique, on détermine une distance de 7 m parcourue au bout de 4 s x(4 s) 4,5 4² 7 m Aux erreurs de lecture près, la lecture graphique confirme le modèle mathématique proposé 3 La trajectoire étant rectiligne : dx d (4,5 t ) 9 t 4 (4 s) m s 1 5 Sur un graphique x(t), la vitesse instantanée à une date t correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d abscisse t 6 La trajectoire étant rectiligne : a d d (9 t) 9 m s L accélération est constante 7 D après la deuxième loi de Newton, la résultante des forces extérieures appliquées à la voiture est constante et dans le sens du mouvement 15 1 x(1),3 m et x(3),7 m a La trajectoire est rectiligne, (t) dx 4,6 t b (1) 4,6 m s 1 et (3) 13,8 m s 1 3 a La trajectoire étant rectiligne, a(t) d b a(t) 4,6, elle est constante a(1) a(3) 4,6 m s 4 x(m) 3 1 t(s) (m s 1 ) t(s) a(m s ) t (s) ,4 m s 1 et 6 3, m s 1 Le vecteur accélération $a 5 même direction et même sens que $ 6 $ 4 La résultante des forces d après la deuxième loi de Newton a la même direction et le même sens que ceux du vecteur accélération 3 a La balle étant en chute libre, elle n est soumise qu à son poids b $a 9 doit être vertical orienté vers le bas c $a 9 a même direction et même sens que la somme des forces extérieures appliquées à la balle, ici le poids L accélération est bien verticale orientée vers le bas 17 1 raphiquement, on observe que la vitesse augmente pendant les 4 premières secondes, puis se stabilise La vitesse maximale atteinte par le scooter est de 14 m s 1, soit 5 km h 1 : aucune infraction à signaler 3 L accélération instantanée a pour expression $a d$ ; la trajectoire du scooter étant rectiligne, d$ correspond graphiquement au coefficient directeur de la tangente à la courbe (t) au point d abscisse t 4 Le coefficient directeur de la tangente à la courbe diminue au cours du temps pour s annuler au bout de 4 secondes ; il en est de même de l accélération instantanée 4

5 5 D après la deuxième loi de Newton, m $a, la résultante des forces a même direction et même sens que le vecteur accélération endant les 4 premières secondes, la résultante des forces est dans le sens du mouvement et sa valeur diminue Après 4 s, la vitesse se stabilise, le mouvement est rectiligne, la résultante des forces est nulle 18 1 a c + p , N b m g 7, 1 6 N 3 a ( ) m 8, m s 19 1 a (t) a t 4 t b (1) 4 m s 1 et (,5) 6 m s 1 a x(t) 1 a t ² 1 t b x(1) 1 m et x(,5) 75 m 3 a x (1),6 1,6 m et x (,5),6,5 16,3 m b t 6 11,5 s 5, c x 346 m 1 3 Scénic errari 1 a 17 m s 1 3 m s 1 5 m s 1 b 8 m s 1 44 m s 1 69 m s 1 Scénic errari 1 a,1 m s 6, m s 1,1 m s b 4,6 m s 1,3 m s c 8,4 m s 7,8 m s a démarrage sens de déplacement freinage 1 A remière partie du saut 1 En 1 s, le parachutiste passe de à km h 1, c est-à-dire de à 55,6 m s 1 La valeur moyenne de l accélération lors des 1 premières secondes est de a 5,6 m s Le parachutiste est soumis à son poids $, la force de frottement de l air $f et la poussée d Archimède $ A Le vecteur somme $ + $f + $ A est orienté vers le bas pendant les 1 premières secondes Lorsque la vitesse se stabilise à km h 1, la somme des forces extérieures est nulle 3 Le poids est supérieur à Le parachutiste n est pas en chute libre 4 Il reste à vitesse constante pendant 4 s 5 D après la première loi de Newton, la vitesse étant constante, les forces se compensent Si on néglige la poussée d Archimède, le poids du parachutiste est égal à la force de frottement de l air : f m g N B Seconde partie du saut 6 Le parachute ouvert, le parachutiste parcourt 1 m en 4 minutes, c est-à-dire avec une vitesse moyenne de 4, m s 1 7 La vitesse étant constante, on a f 8 N A Déterminer expérimentalement l accélération du centre d inertie du mobile auto-porteur 1 et Voir le document à la fin des corrigés 3 A A 1 A 3 A 1 A 3,1 A 1 A 3 correspond au calcul B3 B1 sur le tableur correspond à A3 A1 4 ar cette méthode, il est impossible de calculer la vitesse aux dates t et t 11 5 a Le graphe obtenu est une droite b L équation de la droite s écrit (t) 47,6 t + 14 c La valeur de l accélération est égale au coefficient directeur de la droite f (t) a 47,6 cm s B Déterminer théoriquement l accélération du centre d inertie d un mobile auto-porteur 6 Les forces extérieures appliquées au palet sont : le poids de direction verticale, orienté vers le bas et de valeur m g ; la réaction du support perpendiculaire à ce dernier et orientée vers le haut palet cales y N x 7 a $ x sin α y cos α ; $N N x N y N b Deuxième loi de Newton : m $a ; $ + $N m $a rojection suivant $i : sin α + m a x rojection suivant $j : cos α + N c Donc a g sin α 9,81 sin 3,51 m s 51 cm s Les valeurs expérimentale et théorique de l accélération sont très proches On remarque que la valeur expérimentale est plus faible, cela est dû à l existence de frottements 5

6 3 1 $ k $ Une force peut modifier la trajectoire et/ou la valeur de la vitesse Les forces visibles sont généralement des forces de contact Les forces invisibles sont des forces à distance, le poids par exemple 3 a Dans un mouvement circulaire, le vecteur vitesse tangent à la trajectoire change constamment de direction Il y a donc une accélération, car $a d$ b Lors d un mouvement circulaire uniforme, l accélération est centripète ; il en est de même pour la résultante des forces appliquées au mobile c On peut considérer le mouvement de la erre autour du Soleil comme circulaire uniforme La force centripète est la force gravitationnelle exercée par le Soleil sur notre planète 4 1 La troisième loi de Newton indique que lors de la mise en mouvement de la charrette, la force exercée par le cheval sur la charrette a même valeur que celle exercée par la charrette sur le cheval L affirmation du texte est donc fausse Le mot «acteur» dans le texte peut être assimilé à un système d étude Voir le schéma ci-dessous 3 7 a et b $ est la résultante des forces extérieures appliquées au système Voir le schéma ci-dessous 5 c À vitesse constante et sur une trajectoire rectiligne, les forces extérieures se compensent La projection suivant un axe horizontal de $ 5 a même valeur que la projection de $ 4 sur ce même axe Les projections sont de sens opposés 4 4 Document du corrigé de l exercice Sujets BAC Mouvement d un skieur 11 orces extérieures exercées sur le skieur : son poids $ de direction verticale orienté vers le bas ; la réaction normale du support $ de direction verticale vers le haut ; la force de frottement du sol $ de direction horizontale, de sens opposé à celui du mouvement ; la force exercée par la perche sur le skieur $ 1 Le mouvement étant rectiligne, l accélération moyenne a pour valeur : a 8,5 m s 13 D après la deuxième loi de Newton : m $a ; soit : $ + $ + $ + $ m $a En projetant cette égalité vectorielle suivant une direction horizontale orientée dans le sens du mouvement : + cos α m a ; d où : m a + 8, N cos α cos 45 D après la deuxième loi de Newton ou le principe d inertie, on peut écrire : $, donc : $ + $ + $ + $ $, car le vecteur vitesse du skieur est constant 6

7 En projetant cette égalité vectorielle suivant une direction parallèle à la pente et dans le sens du mouvement : + cos δ sin β ; d où : + sin β cos δ sin 4 cos 3 1, 1 N Étude d un appontage 1 (t,1) M, M, 8,,1 4 m s 1 t(s),1,,3,4,5,6,7 (m s 1 ) , +35, +3, +5, +, +15, +1, +5, (m s 1 ) +, +,3 +,4 +,5 +,6 3 L accélération est égale au coefficient directeur de la tangente à la courbe (t), ici une fonction affine L accélération est constante, de même direction (horizontale) et de sens opposé à $ Sa valeur par détermination graphique est de 4 m s Sur l intervalle [,1 ;,7] Le mouvement de l avion est rectiligne uniformément décéléré 4 Comme l accélération est constante, il en est de même de la somme des forces extérieures appliquées à l avion $ + $ + $ m $a En projetant cette égalité vectorielle suivant un axe horizontal en sens inverse du mouvement : m a 1, , 1 5 N $ est horizontale, de sens opposé à celui du mouvement et de valeur 5, 1 5 N t(s) 7

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