Jeux sous forme extensive. Michel de Rougemont, University Paris II & LRI

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Claude Dumas
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1 Jeux sous forme extensive Michel de Rougemont, University Paris II & LRI

2 Jeux sous forme extensive éfinition: un jeu extensif à information parfaite ( N, H, P, U i N joueurs et ( a i, j joueur i et action H ensemble de séquences d actions des joueurs P (play fonction de H vers un joueur Utilités U i : H Nat (Entiers Naturels j I II III

3 Stratégies et Equilibres éfinition: une stratégie du joueur i dans ( N, H, P, U i { a i j } S : H, définie pour tout h tel que P(h = i éfinition: ( S i * ( N, H, P, U i est un équilibre de Nash dans si i, S i U i ( S i* U i ( S i

4 Jeux sous forme extensive Forme stratégique: A B AE a c d AF b c E F c BE d d BF d d a b

5 Jeux sous forme extensive Forme stratégique réduite: A B AE a c AF b c E F c d B d d a b

6 Exemple eux équilibres: A B (A, gain (2,1 (B, gain (1,2 1,2 0,0 2,1 omment caractériser (A,?

7 Equilibre de sous-jeu parfait Γ = ( N, H, P, U i éfinition : un sous-jeu limité à h du jeu est Γ ( h = ( N, H h, P h, U i h où: H h est l ensemble des séquences h telles que (h,h est dans H. éfinition : Un équilibre de sous-jeu parfait est S i * si i, h, S i de Γ (h U i ( S i* h U i ( S i Exemple: dans le sous-jeu n est pas optimal pour II. Un seul équilibre en sous-jeu parfait. 0,0 2,1

8 Existence d un équilibre de sous-jeu parfait Lemme : S i * est un équilibre de sous-jeu parfait dans Γ = ( N, H, P, U i si i, h, S de Γ i (h où S i S * au point h uniquement i. U i ( S i* h U i ( S i One deviation property: considérer le point le plus profond dans l arbre. Si on peut changer de stratégie et obtenir un meilleur gain, alors la stratégie initiale n est pas optimale.

9 Existence d un équilibre de sous-jeu parfait Lemme : tout jeu sous forme extensive admet un équilibre de sous-jeu parfait dans Γ = ( N, H, P, U i Backwards induction: considérer le point le plus profond dans l arbre. éterminer la situation optimale pour chacun des joueurs. A B d E F c a b

10 Exemple: Jeu Nord-Est (Gale Γ = ( N, H, P, U i Entrée: n,m Etat du jeu: ( i, j1, ( i 2, j 2...( i k, j 1 k Gain: 1 ou 1 si le joueur choisit (1,1 et perd. (i,j (i,j

11 Stratégie gagnante de Nord-Est Le jeu est fini O(n.m. Soit I soit II gagne. Supposons que II gagne. Si I joue (n,m, II joue sa stratégie gagnante et la première action est (i,j. Alors I gagne en jouant (i,j directement, contradiction. Stratégie gagnante de I inconnue.

12 Jeux répétés ilemme des prisonniers: (3,3 (0,4 (4,0 (1,1 3,3 0,4 4,0 1,1

13 Jeux répétés éfinition: un jeu répété à information parfaite A matrice du jeu simple, N joueurs et ( a i, j joueur i et action j H ensemble de séquences finies de vecteurs Utilités : U i : H N Somme des utilités du jeu simple. ( A, H, U i a a a 1, j 2, k 3, l I II III

14 Stratégies et Equilibres éfinition: une stratégie du joueur i dans A, H, U { a i j } S : H, ( i définie pour tout h H éfinition: ( S i * est un équilibre de Nash dans ( A, H, U i si i, S i U i ( S i* U i ( S i

15 Existence d un équilibre Lemme : ans le.p. S i * est un équilibre de sous-jeu parfait dans ( A, H, U i si chaque joueur joue un N.E. Backwards induction. A partir des feuilles, on définit les stratégies.

16 ilemme répété ilemme modifié des prisonniers: E E (3,3 (0,4 (0,0 E E 3,3 0,4 0,0 0,0 1/2,1/2 (4,0 (1,1 (0,0 E (0,0 (0,0 (1/2,1/2 Equilibre?

17 ilemme répété modifié Représentation extensive: Lemme: pour un horizon T, il existe un équilibre de sous-jeu parfait (, sauf pour les 3 dernières étapes (,. Si l autre joueur ne joue pas cette stratégie, on joue E. H1: (,, (,, (,, (, Gain=6 Non-coopération: H2: (,, (E,E, (E,E, (E,E Gain=5.5 3,3 0,4 E 0,0 E E 0,0 1/2,1/2 Gain moyen= 3(T-3+3/T=3 6/T

18 Rationalité limitée éfinition: un joueur à rationalité limitée pour est un automate: S ensemble des états S0 l état initial A actions δ : S. A S ( N, H, P, U i

19 Tit for Tat Action Interprétation: on commence dans l état et on duplique la décision de l autre joueur à l instant précédent. Lemme: TfT est optimal si l adversaire a au plus N-1 états pour un horizon N. Si l adversaire dévie et joue k fois Gain: 4+ 1(k-1+0.d Où d=0 si on est à la fin.

20 Tit for Tat Optimalité: Au milieu du jeu: oopération 3k+3 Non-coopération 3+k Si k=1, il vaut mieux trahir (. Si l automate a N-1 états, on boucle avant d atteindre l horizon N. onc on applique.

21 ilemme borné du prisonnier Lemme: Pour un horizon N, si les joueurs ont un automate de taille N alors le seul équilibre est ( itéré. 2 1 Lemme: Pour un horizon N, si les joueurs ont un automate de taille 2 ε. N alors il existe un équilibre approx. ( itéré, de gain 3 ε '.

22 Jeux extensif à information incomplète H est partiellement connu. éfinition: Un jeu extensif à information incomplète est tel que ( N, H, P, U i N joueurs H est une séquence d actions et d informations P et Ui sont comme précedemmment. A B d Exemple: ou n est pas connu de I. Les nœuds sont dans le même ensemble d information. a E F c b

23 Jeux extensif à information incomplète Perfect recall: tout l historique est connu. Imperfect recall: une partie seulement de l historique est connue. A B d E F c a b

24 as classiques Problème: comment traverser un graphe? éterministe Probabiliste Non-déterministe Information complète ou incomplète 4 2 n 1 5 3

25 as classiques Problème: comment traverser un graphe à information incomplète? éterministe Probabiliste Non-déterministe 1/2 1/3 n 1/2 1 2/3

26 Modèles d erreurs Fiabilité: un sous graphe aléatoire est tiré au départ, chaque arête avec probabilité p. Fiabilité dynamique: en chaque sommet on enlève des arêtes avec probabilité qui dépend du sommet. Incertitude de déplacement: en chaque sommet on dévie selon un loi δ ( e, i. 1/2 n 1 1/2

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