MACHINE ASYNCHRONE Gilles FELD ENS de CACHAN 61 av. du Président Wilson Cachan

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1 Alain CUNIERE Lycée Piee de Coubetin Chauée de Pai 77 eaux ACHINE ASYNCHRONE Gille FELD ENS de CACHAN 6 av. du Péident Wilon 94 Cachan Ce document et contitué de deux patie. La pemièe pemet la modéliation d une machine aynchone en utiliant la notion de vecteu complexe ou phaeu patial et conduia d une pat à un modèle implanté ou Simulink et d aute pat à l établiement de difféent chéma équivalent en égime pemanent. La deuxième étudie le commande en couple de type calaie ou le tatégie pemettant de contôle le couple en égime pemanent. ) ODELISATION D UNE ACHINE ASYNCHRONE.) Généalité La epéentation chématique de la AS dan l'epace électique et donnée u la figue. b i b a v b i a θ e b i b v b v a a v a i a v c i c Figue. Repéentation chématique d une AS Notation : x : Gandeu intantanée x : Vecteu complexe x * : Vecteu complexe conjugué X : Amplitude complexe [x] :Vecteu colonne de dimenion [x] t :Vecteu ligne tanpoé du vecteu pécédent Ω :Vitee angulaie de otation p : Nombe de paie de pôle R :Réitance d un enoulement tatoique R :Réitance d un enoulement otoique L p :Inductance pope d un enoulement tatoique :utuelle inductance de enoulement tatoique L p :Inductance pope d un enoulement otoique :utuelle inductance de enoulement otoique o :aximum de la mutuelle inductance oto tato σ : Coefficient de dipeion de Blondel c vc i c c

2 Hypothèe Le modèle de la machine que nou adopteon epoe u le hypothèe uivante : Popotionnalité de flux aux couant. Symétie tenaie de la machine. Entefe contant.(pa d effet d encoche) Foce magnétomotice à épatition patiale inuoïdale. Couant aute que dan le bobinage négligé..) odéliation dan le plan «a b c» En patant de tenion impoée u le enoulement tatoique et otoique, on cheche à détemine l expeion du couple électomagnétique pui de la vitee. Equation électocinétique La loi de Faaday et la loi d ohm pemettent de elie le tenion u le enoulement aux flux totalié et aux couant dan ce bobinage. Avec le convention utiliée, le deux équation maticielle uivante expiment le tenion u le difféent enoulement. d [ ] [ ] [ ] d v = R. i et [ ] [ ] [ ] v = R. i Expeion de flux totalié en fonction de couant Convention. Le flux dan un bobinage et calculé à pati de la elation : ufacedubobinage B ρ.n.ds ρ. Le en du vecteu unitaie N ρ nomal à la uface étant définie pa le en conventionnel du couant dan le bobinage. Avec le hypothèe pécédente, la elation ente le flux totalié u le enoulement et le couant peut ête décite pa l équation maticielle uivante : a b c a b c = [ ] [ ] = [ ] [ ( θe )] [ ( θ )] [ ] e i i i. i i i a b c a b c = [ ] [ ( θe )] [ ( θ )] [ ] e. [ i ] [ ] i où [ ], [ ], [ (θ e )] et [ (θ e )] ont de ou-matice de dimenion et [ ], [ ], [i ] et [i ] de vecteu colonne de dimenion. L p Avec [ ] = L [ ] p L p L = p L p L p π π co( θe) co( θe ) co( θe ) π π = θ θ θ e o co( e ) co( e) co( e ) [ (θ e )] = [ (θ e )] t π π co( θe ) co( θe ) co( θe) [ ( θ )]

3 Enegie magnétique Elle peut ête calculée à pati de l expeion uivante : t t Wmag =.( [ i ].[ ] [ i ].[ ]) L expeion de W mag en fonction de couant et de inductance ne compotent que 6 teme! Couple électomagnétique Il et donné pa la déivée patielle de la coénegie (ici égale à l énegie) pa appot à l angle mécanique ente le oto et le tato. mag mag Ce = W = p. W θm θe Vitee Elle et olution de l équation fondamentale de la dynamique. J dω = Ce C avec J : moment d inetie et C : couple éitant. Concluion Le équation pécédente pemettent la modéliation de la machine dan le plan «a b c». Elle peuvent ête implantée dan un calculateu. Pa conte, vu la complexité (6 teme pou l énegie magnétique) de ce équation non linéaie et multi-vaiable, il et tè difficile d en tie de tatégie de commande..) odéliation en utiliant le vecteu complexe (voi annexe) On définit le vecteu complexe uivant : -Vecteu complexe couant ia = = [ ] (ia a.ib a.ic) a a. b i c i -Vecteu complexe tenion v = = [ ] (va a.vb a.vc) a a. v v -Vecteu complexe flux = ( = [ ] a a. b a. c) a a. i i = (ia a.ib a.ic) = [ a a ] c a v b v = (va a.vb a.vc) = [ a a ] c a [ ] b = ( a a. b a. c) = a a Equation électocinétique Le deux équation maticielle uivante expimant le tenion u le difféent enoulement d [ ] [ ] [ ] d v = R. i et [ ] [ ] [ ] v = R. i peuvent ête amenée à deux équation complexe d d v = R.i et v = R.i Expeion de flux totalié en fonction de couant Apè quelque calcul, le vecteu et peuvent écie : = L. i. e j.θe i et = L. i. e -j.θe i i. i i v. v v. a b c a b c a b c

4 j θe L.e i ce qui donne ou fome maticielle : =. jθe.e L i où L, L et epéentent le inductance cyclique définie pa le expeion uivante : L = L p L = L p =.o Expeion de l énegie magnétique En utiliant le matice de paage définie en annexe, on monte que cette énegie peut écie : * * * * * * Wmag = (.i.i.i.i ) = Réel(.i.i ) 8 4 Couple électomagnétique En emplaçant dan l équation pécédente le vecteu complexe flux pa leu expeion en fonction de couant, de inductance et de la poition angulaie θ e, on aboutit à l expeion uivante du couple. * j e * jθe Ce = p..j.(i.i.e θ i.i.e ) 4 qui peut encoe écie : * * Ce = p.j.( i. i) ou Ce 4 = p.( i. ) 4 Vitee Elle et olution de l équation fondamentale de la dynamique. J dω = Ce C avec J : moment d inetie et C : couple éitant. odèle Le équation de ce paagaphe conduient au modèle donné pa la figue. Le coefficient de dipeion de Blondel σ et défini pa la elation : σ = L.L C V Intégateu R i 4 * p.j(.i -.i) * Ce J Intégateu Ω S - L σ.l.e jθe i Intégateu V Intégateu R -.e -jθe L σ.l i θe p θm Figue. odèle de la machine aynchone utiliant le phaeu patiaux C et ce modèle qui ea implanté ou SIULINK et qui pemetta d effectue le difféente imulation. On paea de gandeu éelle aux vecteu complexe et inveement en utiliant le elation de paage. Il ea aui poible de viualie le difféent vecteu patiaux dan le plan complexe de façon à compae de tatégie de commande, ente aute, compae une commande calaie et une commande vectoielle. 4

5 .4) odéliation en égime pemanent inuoïdal Dan cette patie, on uppoe que : Le couant tatoique écivent : i a = I..co( ω.t ϕ ) i. b = I.. co( ω.t ϕ π ) i 4. c = I..co( ω.t ϕ π ) Le couant otoique écivent : i a = I..co( ω.t ϕ ) i. b = I..co( ω.t ϕ π ) i I..co(.t 4. ) c = ω π ϕ La vitee Ω et contante. On définit le gliement g comme le appot de pulation otoique et tatoique. ω g = ω Le pulation ω, ω et la vitee angulaie de otation Ω ont eliée pa la elation : ω = p. Ω ω En choiiant une oigine de temp telle qu à l intant t = le axe du oto et de la phae «a» du tato oient confondu, la elation pécédente peut encoe écie : θe = ω. t ω.t Phaeu patiaux couant en égime pemanent inuoïdal En utiliant le définition de vecteu complexe, le gandeu i et i peuvent e mette ou la fome : j. ω.t j. ω.t i = I.e et i = I.e ou I et I epéentent le amplitude complexe donnée pa le elation : jϕ jϕ I = I.. e et I = I.. e Phaeu patiaux flux en égime pemanent inuoïdal Le elation uivante j θe L.e i =. et θe = ω. t ω. t jθe.e L i pemettent d expime le vecteu et ou la fome : j. ω.t j. ω.t = Φ.e et = Φ.e ou Φ,et Φ epéentent le amplitude complexe donnée pa le elation : Φ = L.I. I et Φ = L.I. I Phaeu patiaux tenion en égime pemanent inuoïdal Le oto étant en cout cicuit, le équation électocinétique pemettent d écie en amplitude complexe : V = R.I j.l. ω.i j.. ω. I et = R. ω.i j.l. ω.i j.. ω. I ω Il et à note que vu du tato, la otation du oto fait appaaîte le couant i de pulation ω comme un couant de pulation ω. Schéma équivalent Le chéma équivalent donné u la figue taduit le équation pécédente A R C I E I B V D L L F R g Figue. Schéma équivalent avec cicuit couplé

6 Bien que le fuite magnétique oient pie en compte dan l étude pécédente, le chéma avec cicuit couplé et peu utilié ; on lui péfèe de chéma faiant inteveni le inductance de fuite. Repéentation d un couplage non pafait à l aide d inductance de fuite Le couplage de cicuit pécédent n étant pa pafait ( < L.L ), il et poible de epéente le quadipôle CDEF pa le chéma donné u la figue 4 où : Le quadipôle GHIJ et à couplage pafait défini pa le élément : Inductance pope pimaie :Y Inductance pope econdaie :Y utuelle inductance : Y = Y. Y Le dipôle CG d inductance y et IE d inductance y caactéient le impefection du couplage. C y y G I E I Y I Y Y D H J Figue 4. Repéentation d un couplage non pafait à l aide d inductance de fuite. Pou que le deux epéentation oient équivalente, le élément (Y, Y, y, y ) et (L, L et ) doivent véifie le elation uivante : L = Y y L = Y y = Y. Y Il exite une infinité de poibilité. En patique, toi olution ont utiliée. Le deux pemièe pemettent d élimine un paamète, ce qui conduit à un chéma équivalent élémentaie. Le détemination expéimentale de élément ont plu facile à éalie. Le loi de commande ont plu imple à élaboe, il agit de chéma avec : a) Fuite localiée au econdaie ou oto : y =. b) Fuite localiée au pimaie ou tato : y =. La toiième et eentiellement utiliée pa le contucteu pou dimenionne en patie la machine ca il exite de elation ente la fome de encoche, la natue du bobinage et le élément intevenant dan cette denièe olution. Il agit d attibue le fuite aux deux enoulement ce qui conduit au chéma avec : c) Fuite patielle. On impoe au quadipôle GHIJ d avoi un appot de tanfomation égal au appot du nombe de pie affecté de coefficient de bobinage. Schéma amené au tato avec inductance de fuite localiée au oto Dan le ca d une inductance de fuite localiée au oto, le chéma de la figue et équivalent au chéma de la figue. A R I L σ L I'' F B V Ve L L R g Figue. Schéma équivalent amené au tato avec inductance de fuite localiée au oto. 6

7 Schéma amené au tato avec inductance de fuite localiée au tato Dan le ca d une inductance de fuite localiée au tato, le chéma de la figue 6 et équivalent au chéma de la figue. A R I σ L I''' B V V'e ( σ).l L R g Figue 6. Schéma équivalent amené au tato avec inductance de fuite localiée au tato. Couple en égime pemanent L expeion du couple en égime pemanent peut e détemine : oit à pati de l expeion généale établie pécédemment * * Ce = p.j.( i. i) 4 oit à pati d un bilan de puiance effectué u l un où l aute de modèle. Ce qui conduit aux deux elation uivante : En fonction du flux tatoique : ( ) R Ce =.p.. Φ ω L ( R ) ( σ.l ) ω En fonction du flux otoique : Ce =.p. Φ. ω R Remaque Pou de fonctionnement au voiinage du ynchonime, on peut en généal conidée : ( ) ( ) R >> σ. L et la pemièe elation peut donc écie Ce.p. ( ).. ω L Φ ω R Dan l hypothèe où ( ) Φ Φ ce qui uppoe un bon couplage, le deux fonction pemettant de L. calcule le couple ont patiquement identique dan la patie utile. ) COANDE SCALAIRE EN COUPLE Pouquoi une commande en couple? Le modèle invee d une machine tounante nou conduit à contôle le couple pou impoe la vitee de otation ou la poition de l abe. Le difféente commande en couple.. Une commande calaie pemet de contôle le couple en égime pemanent (aui il ne fauda pa pétende à de gande pefomance dynamique) Une commande vectoielle pemet de contôle le couple en égime dynamique..) Gandeu de églage du couple en égime pemanent En égime pemanent le couple et donné pa le elation uivante : 7

8 C e ( ) =.p. L. Φ R ω ( R ) ( σ.l ) C e =.p. Φ ω De deux expeion pécédente, il en éulte que le gandeu de églage du couple ont : La pulation otoique ω. Le flux totalié Φ ou Φ. Il ete à éoude le deux poblème uivant : Comment impoe la pulation otoique ω achant qu en ègle généale, le oto et inacceible? Pou cela, on utiliea la elation natuelle d auto-pilotage de machine d induction à avoi : ω = ω p. Ω avec ω : gandeu impoable. et Ω : gandeu meuable. Comment impoe le flux totalié Φ ou Φ. et à quelle valeu? Le flux eont contôlé en boucle ouvete à pati de gandeu électique tatoique couant ou tenion. Le tatégie de commande couamment utiliée eont : D une vitee nulle à la vitee nominale, on maintienda le flux contant à a valeu maximale pou minimie le pete. Pou cette plage de fonctionnement, on dipoea du couple nominal de la machine. Pou de vitee upéieue à la vitee nominale, on diminuea le flux dan la machine. Pou cette plage de fonctionnement, on dipoea de la puiance appaente nominale de la machine. On en déduit le ynoptique d une commande en couple donné u la figue 7.. ω R ω Loi de commande pemettant de contôle Φ ou Φ Conigne tenion ou couant ω Alimentation pemettant d'impoe la tenion ou le couant AS ω ω ω p Figue 7 : Schéma de pincipe du contôle en couple de la ma. Ω Capteu de vitee ou de poition.) Loi de commande pemettant de contôle le flux..) Contôle du flux à pati de couant tatoique Nou chechon à établi le elation ente le flux et le module du couant tatoique. A pati du chéma équivalent amené au tato avec inductance de fuite localiée au oto, on aboutit à la elation uivante : 8

9 Φ j. τ. ω ( τ. ω) = oit en module : I = Φ. en poant L σ τ ω L ( σ. τ. ω). j... I L utiliation du chéma équivalent amené au tato avec inductance de fuite localiée au tato conduit à la elation uivante : Φ I = ( j. τ. ω) oit en module : I = Φ ( τ. ω) Pou de caactéitique de couple imilaie dan la zone utile de fonctionnement, il appaaît plu imple de contôle le flux otoique. La figue 8 pécie la valeu efficace du couant devant cicule dan le enoulement tatoique pou mainteni le flux otoique à a valeu nominale dan le ca d une machine de kw. τ = R L I en A ω en ad/ Figue 8 : Couant tatoique en fonction de la pulation otoique à flux otoique contant De façon à contôle ce couant, on utiliea : Un commutateu de couant à diode d iolement. La commutation natuelle de thyito et impoible u une machine aynchone. Un onduleu de tenion piloté en couant. C et ce denie epéenté u la figue 9 qui ea développé dan la uite. Chage Ka Kb Kc Uo A B C achine aynchone K'a K'b K'c ω Commande de l'onduleu de tenion en couant ia_me ib_me ic_me θm Capteu de poition Figue 9 : Schéma de puiance. 9

10 La commande élaboe toi couant de conigne : -d amplitude pemettant de mainteni le module du flux contant -de pulation ω. Le fonction de connexion de inteupteu contituant l onduleu de tenion ont élaboée à pati d une commande en fouchette de couant elon le chéma de commande donné à la figue. Φ (τ.ω) in(x) ia_con ia_me i fca f'ca ω Intégateu modulo pi in(x- π ) ib_con ib_me fcb f'cb in(x-4 π ) ic_con ic_me fcc f'cc θe p Figue : Schéma de commande...) Contôle du flux à pati de tenion tatoique θm Capteu de poition La tenion tatoique expime en fonction du flux tatoique pa la elation complexe : V = R.I j. ω. Φ En emplaçant le couant complexe tatoique pa on expeion déteminée au chapite pécédent, on obtient : R. Φ j. τ. ω V =. j. ω. Φ L j. σ. τ. ω Soit en module : V = Φ. ω ( σ. τ. ω ) ( R. τ ) ω ω L R. ω L.. ( σ. τ. ω) On en conclut (Figue ) que pou impoe le flux tatoique à pati de la tenion V, il et néceaie de connaîte le pulation ω et ω aini que le élément de la machine (R, L, σ et τ ) Φ_déié ω ω Loi de commande V Figue : Synoptique de commande en tenion La figue epéente, pou le faible valeu de la pulation tatoique, l évolution de la tenion efficace tatoique pou difféente valeu de ω.

11 V en V 4 ω en ad/ 4 Pulation otoique = ad/ Pulation otoique = ad/ Pulation otoique = -ad/ Figue : Tenion tatoique en fonction de la pulation tatoique à flux tatoique contant En patique, on e contentea le plu ouvent d une loi de commande implifiée coepondant à R = oit : V = Φ. ω Il ea poible pou amélioe le pefomance, en paticulie à bae vitee, de majoe la tenion V d une quantité popotionnelle à I,le plu ouvent en ignoant la phae. Le chéma de puiance et de commande ont donné pa le figue et 4 dan le ca d une loi implifiée. Chage Ka Kb Kc Uo A B C achine aynchone K'a K'b K'c Capteu de vitee ω Commande de l'onduleu de tenion Ω Figue : Schéma de puiance.

12 -.Φ.ω Uo vmod_a in(x) fca f'ca ω Intégateu in(x- π ) modulo pi ω vmod_b fcb f'cb in(x-4 π ) vmod_c fcc f'cc p Ω Figue 4 : Schéma de commande. Capteu de vitee.) Concluion u le contôle calaie Le éultat de imulation qui uivent coepondent à une commande calaie en couple pa contôle de couant tatoique. On contate que le flux otoique et bien maintenu contant en égime pemanent, pa conte il n et pa contôlé duant la phae tanitoie. Ce tanitoie u le flux e taduit pa un temp d établiement du couple de pluieu dixième de econde. Pulation otoique = f(t).4 Flux otoique = f(t) Couple = f(t) Couant = f(t) Figue : Répone à un échelon de pulation otoique dan le ca d une commande calaie.

13 C et ce temp de épone qui pouait ête minimié en utiliant une commande vectoielle. Pulation otoique = f(t).4 Flux otoique = f(t) Couple = f(t) Couant = f(t) Figue 6 : Répone à un échelon de pulation otoique dan le ca d une commande vectoielle implifiée