1) Existe-t-il une position de M telle que l aire de la surface rose pale soit

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1 Exercice 1 : On considère un demi-cercle de diamètre AB = 5. M est un point du segment [AB]. On construit les demi-cercles de diamètres [AM] et [MB] comme l indique la figure ci-dessous. 1) Existe-t-il une position de M telle que l aire de la surface rose pale soit égale aux 8 de l aire du demi disque de diamètre [AB]? 5 ) Existe-t-il une position de M telle que cette aire soit la moitié de l aire du demi disque de diamètre [AB]? Exercice : Equations de droites Dans un repère (O ; i ; j), on note H l hyperbole d équation y = 1 x et d m la droite d équation y = x + m. A chaque réel m correspond une droite d m. 1) Démontrer que toutes les droites d m sont parallèles. ) a) Construire H et les droites d 0, d 1 et d -. b) Démontrer que pour tout réel m, la droite d m coupe H en deux points distincts M et N. 3) On note I le milieu de [MN]. a) Calculer les coordonnées de I en fonction de m. b) En déduire que le lieu de I est une droite dont vous donnerez l équation réduite. 1

2 Exercice 3 : Résolution d équations et inéquations du second degré -5x + 1 f est la fonction x et sa représentation graphique C est donnée ci- x² + x + 1 dessous. 1) Démontrer que cette fonction est définie sur Y. ) Démontrer que la courbe C est entièrement à l intérieur de la bande délimitée par les droites d équations y = -1 et y =. 3) Expliquer pourquoi -1 est minimum de f(x) sur Y mais que n est pas un maximum. ) Détermination du maximum a) m est un réel donné. Démontrer que «f(x) m pour tout réel x» équivaut à : mx² + (m + 5)x + m 1 0 pour tout réel x. b) Justifier que cette condition est vérifiée seulement pour toutes les valeurs de m de l intervalle 5 ;+. c) Justifier que 5 est le maximum de f. Exercice : Résoudre les équations suivantes : a) x -5x² + 1 = 0 b) x² x² = 0

3 Exercice 5 : Equation symétrique Dans cet exercice, on se propose de résoudre l équation (E) : x 9x 3 + 8x² - 9x + = 0 1) a) 0 est-il solution de (E)? b) Démontrer que (E) équivaut à : x² - 9x x + x² = 0 (E ) ) Pour tout réel x non nul, on pose X = x + 1 x a) Calculer X² en fonction de x. b) Démontrer que (E ) équivaut à : 3) En déduire les solutions de (E). X = x + 1 et X² - 9X + = 0 x 3

4 Exercice 1 : 1) π Aire(rose) = AB ² π - AM ² π - BM ² = π 5 x² (5 x)² - = π x(5 x) = π (5 x² x x²) 8 Aire (demi disque de rayon [AB]) = π AB ² 5 = 8 π Aire(rose) = 8 Aire (demi disque de rayon [AB]) 5 π x(5 x) = π x(5 x) = x² - 5x + = 0 x = 1 ou x = ; (deux positions symétriques de M par rapport au centre du grand cercle.) ) Aire(rose) = 1 Aire (demi disque de rayon [AB]) π x(5 x) = π x(5 x) = 5 x(5 x) = 5 x² - 0x + 5 = 0 = 0² - 5 = = 0 x = 0 8 = 5 est une solution double qui convient.

5 Exercice : Equations de droites 1) Deux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur. Les droites d m sont colinéaires car elles ont le même coefficient directeur. ) a) b) Déterminons les abscisses des points d intersection de H et de d m. Elles sont solution de l équation 1 x = x + m Soit 1 = x² + mx ( avec x 0). On obtient l équation du second degré : x² + mx 1 = 0 Le discriminant est : = m² - (1) = m² + > 0 car m² + > 0 pour tout m réel. Donc l équation admet deux solutions distinctes et donc la droite d m coupe H en deux points distincts M et N. x M = - m + m² + 3) a) x I = x M + x N y I = y M + y N = - m et x N = - m - m² + 5

6 y M = x M + m = m + m² + y N = x N + m = m - m² + y I = m I - m ;m b) On a y M = - x M Donc M appartient à la droite d équation y = -x qui correspond au lieu de I. Exercice 3 : Résolution d équations et inéquations du second degré 1) f(x) existe si x² + x Or = ² - 1 = -6 < 0 Donc x² + x pour tout x réel. Donc f est bien définie sur Y. ) Montrons que -1 f(x) < pour tout x réel. -5x x² + x + 1 x² - x + f(x) + 1 = = x² + x + 1 x² + x + 1 = (x 1)² x² + x + 1 Or x² + x + 1 > 0 pour tout x réel (cf discriminant négatif de la question 1)) Donc f(x) -1 pour tout x réel. f(x) = -5x + 1 (x² + x + 1) x² + x + 1 = -8x² -9x 3 x² + x + 1 = - 8x² + 9x + 3 x² + x + 1 Discriminant associé à 8x² + 9x + 3 : = 9² = = - 15 < 0 Donc 8x² + 9x + 3 > 0 pour tout x réel. Et donc, f(x) < 0 pour tout x réel. On a donc montré que : -1 f(x) < pour tout x réel. La courbe C est bien entièrement à l intérieur de la bande délimitée par les droites d équations y = -1 et y =. 3) f(x) -1 pour tout x réel et f(1) = -1 montrent que -1 est un minimum de f(x) sur Y. L inégalité stricte f(x) < pour tout x réel montre que n est pas un maximum de f(x) sur Y. -5x + 1 m(x² + x + 1) ) a) f(x) m 0 x² + x + 1 -mx² - (m + 5)x (m 1) 0 (car x² + x + 1 > 0) 6

7 mx² + (m + 5)x + m 1 0 (car x² + x + 1 > 0) d) = (m + 5)² - m (m 1) = m² + 10m + 5 8m² + 8m = -m² + 18m + 5 mx² + (m + 5)x + m 1 est de signe constant si 0. On considère l équation du second degré d inconnue m : -m² + 18m + 5 = 0 = 18² + 5 = 10 = 3² Deux solutions : = 5 et m² + 18m si m -1 ou m 5 = -1 Donc mx² + (m + 5)x + m 1 0 pour tout x réel si m 0 et (m -1 ou m 5 ) C'est-à-dire si m 5. c) f(x) m pour tout x réel est possible si m 5. Si m > 5, on obtient l inégalité stricte f(x) < m. Donc si m > 5, m est un majorant mais pas un maximum. Si m = 5 alors = 0 et f(x) = 5 pour x = = Donc le maximum de f sur Y est 5 et il est atteint en Exercice : Résoudre les équations suivantes : a) x -5x² + 1 = 0 b) x² x² = 0 a) On pose X = x² L équation devient alors : X² - 5X² + 1 = 0 Le discriminant est : = (-5)² - 1 = 5 16 = 9 = 3² Les solutions en X sont donc : X 1 = et X = Soit X 1 = 1 et X = 1

8 On résout alors les deux équations en x : x² = 1 et x² = 1. Il y a alors quatre solutions en x : - 1 ; 1 ; -1 et 1. Donc S = -1 ;- 1 ;1 ;1 Vérification graphique : b) Pour x non nul, on pose X = x² L équation devient : X 35 9 X = 0 En multipliant par X (avec X non nul), on obtient : X² - 35X 9 = 0 Le discriminant est : = (-35)² - (-9) = 1369 = 3² Les solutions en X sont donc : X 1 = = - 1 et X = On résout alors les deux équations : x² = - 1 et x² = La première n a pas de solution car un carré est toujours positif ou nul dans Y. La deuxième a pour solutions -3 et 3. Donc S = {-3 ;3} = 9 Vérification graphique : 8

9 Exercice 5 : Equation symétrique Dans cet exercice, on se propose de résoudre l équation (E) : x 9x 3 + 8x² - 9x + = 0 1) a) 0 est-il solution de (E)? b) Démontrer que (E) équivaut à : x² - 9x x + x² = 0 (E ) ) Pour tout réel x non nul, on pose X = x + 1 x a) Calculer X² en fonction de x. b) Démontrer que (E ) équivaut à : 3) En déduire les solutions de (E). X = x + 1 et X² - 9X + = 0 x 1) a) 0 n est pas solution de (E). c) Pour x différent de 0, on obtient directement l équation (E ) équivalente à (E) en divisant par x² le membre de gauche de l équation (E). ) a) X² = x² + 1 x² + b) (E ) x² - 9 x + 1 x + 8 = 0 (X² - ) - 9 X + 8 = 0 X² - 9 X + = 0 On a donc bien l équivalence : (E ) X² - 9 X + = 0 et X = x + 1 x 3) On résout l équation du second degré en X : X² - 9X + = 0 Le discriminant est : = (-9)² - = 81 3 = 9 = ² Les solutions sont X 1 = 9 = 1 et X = 9 + =. On résout ensuite les deux équations du second degré en x : 1 = x + 1 x et = x + 1 x La première est équivalente à : x² - x + = 0 Le discriminant est : = (-1)² - = -3 < 0 Cette première équation n a pas de solution réelle. La deuxième équation est équivalente à : x² - x + 1 = 0 Le discriminant est : = (-)² - = 1 > 0 9

10 Les solutions sont x 1 = 1 = - 3 et x = + 3. L ensemble des solutions de l équation initiale (E) est donc : Vérification graphique : S = { - 3 ; + 3} - 3 0, et + 3 3,3 10