Statistiques. 1.2 Présentation des données et représentations graphiques
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- Raymond Soucy
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1 Statistiques 1 Séries statistiques à une variable 1.1 Vocabulaire Une population est un ensemble d individus sur lesquels on étudie un caractère ou une variable, qui prend différentes valeurs ou modalités. On distingue deux types de variables : les variables qualitatives : les modalités ne sont pas mesurables (ex. : la couleur des yeux des élèves d une classe); les variables quantitatives : les modalités sont mesurables et prennent des valeurs numériques (ex. : la taille, le poids ou l âge des élèves d une classe). Dans le cas d une variable quantitative : elle est discrète, quand elle prend des valeurs isolées (ex. : les notes obtenues au contrôle de gestion par les élèves de la classe); elle est continue, quand elle prend n importe quelle valeur sur un intervalle donné (ex. : la durée de communications téléphoniques). Dans ce cas, les valeurs sont regroupées par classes, c est-à-dire par intervalles. s Effectif total : l effectif total, noté N, est le nombre d individus qui composent la population. Effectif d une valeur ou d une classe : l effectif noté n i, d une valeur x i est le nombre d individus associé à cette valeur. Fréquence : la fréquence d une valeur x i est le rapport entre l effectif de cette valeur et l effectif total, soit f i = n i N. Effectif (ou fréquence) cumulé croissant : l effectif (ou fréquence) cumulé croissant d une valeur x i est égal à la somme des effectifs (ou fréquences) des valeurs inférieures ou égales à x i. Effectif (ou fréquence) cumulé décroissant : l effectif (ou fréquence) cumulé décroissant d une valeur x i est égal à la somme des effectifs (ou fréquences) des valeurs supérieures ou égales à x i. 1.2 Présentation des données et représentations graphiques Une série statistique peut être donnée sous la forme d une liste de tous les résultats mais généralement les données sont présentées sous forme d un tableau Variable qualitative On peut représenter la série par un diagramme circulaire où les secteurs angulaires sont proportionnels aux effectifs. On peut aussi faire un diagramme en barres Variable quantitative discrète Une variable quantitative discrète est représentée généralement par un diagramme en bâtons.
2 1.2.3 Variable quantitative continue Quand la variable prend n importe quelle valeur sur un intervalle, on fait des regroupements par classes. On procède aussi de cette façon lorsque l effectif total d ure variable discrète est très grand. Le centre d une classe [a i ; a i+1 [ est le réel c i = a i + a i+1. 2 Sa largeur ou étendue est égale à : a i+1 a i. On peut représenter la série par un histogramme dans lequel les effectifs des classes sont proportionnels aux aires des rectangles représentant les classes. 1.3 Paramètres de position Dans le cas d une variable quantitative, on cherche à donner des nombres caractéristiques permettant de mieux décrire la série, en particulier sur la façon dont la série est centrée. Ces différents nombres sont appelés paramètres ou caractères de position Mode Le mode est la (ou les) valeur(s) de la variable ayant le plus grand effectif. Lorsque la variable est continue, on définit la (ou les) classe(s) modale(s) comme la (ou les) classe(s) ayant le plus grand effectif Médiane La médiane est la valeur qui partage la population en deux sous-ensembles de même effectif. Elle correspond à la fréquence cumulée croissante de 50 %. Pour calculer la valeur de la médiane : Dans le cas d une variable discrète Si l effectif total N est impair : N = 2n + 1, la médiane est la valeur de la (n + 1)-ième valeur quand les valeurs sont rangées dans l ordre croissant. Si l effectif total N est pair : N = 2n, la médiane est la moyenne entre la n-ième valeur et la (n + 1)-ième valeur. Dans le cas d une variable continue On suppose que les valeurs sont réparties de façon régulière sur l intervalle contenant la médiane et on procède par interpolation affine Moyenne La moyenne d une série statistique est le réel noté X tel que : n i x i i X = N = f i x i i Remarque Lorsque la variable est une variable continue, on effectue tous les calculs en prenant comme valeurs les centres de chaque classe. 1.4 Paramètres de dispersion Les paramètres ou caractères de dispersion permettent de donner une estimation de l étalement de la série Etendue L étendue d une série statistique est la différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur de la variable. C1 Statistiques page 2
3 1.4.2 Variance et écart type La variance est la moyenne des carrés des écarts entre les valeurs de la variable et la moyenne : n i (x i X) 2 V (X) = L écart type est égal à la racine carrée de la variance : σ(x) = V (x) i N Quartiles - Déciles On considère une série statistique dont les valeurs ont été classées dans lšordre croissant. On a vu que la médiane correspond à la fréquence cumulée croissante de 50 %. Le premier quartile Q 1 est le réel qui correspond à la fréquence cumulée croissante de 25 %. Le troisième quartile Q 3 est le réel qui correspond à la fréquence cumulée croissante de 75 %. On a ainsi partagé la population en quatre sous-ensemble de même effectif. On calcule Q 1 et Q 3 de la même façon que la médiane. Remarque L intervalle [Q 1 ; Q 3 ] contient 50 % de l effectif total. Le réel Q 3 Q 1, appelé intervalle interquartile, est un caractère de dispersion. On peut définir de la même façon les déciles D 1, D 2,..., D 9 qui partagent la population en 10 sous-ensembles de même effectif. C1 Statistiques page 3
4 2 Séries statistiques à deux variables 2.1 Série statistique double On remarque que l on peut étudier conjointement deux caractères (ou variables) quantitatifs discrets X et Y sur une même population et chercher s il existe un lien entre les deux caractères. On associe alors à chaque individu de la population un couple (x i ; y i ), valeurs respectives des variables X et Y prises par l individu ; on définit ainsi une série statistique double. On appelle série statistique double (X, Y ) l ensemble des couples (x i ; y i ), chaque couple étant associé à un individu de la population. Exemples On peut étudier sur une population la taille et le poids des individus. On obtient une série statistique double en associant à chaque élève d une classe de B.T.S. leur moyenne en comptabilité et leur moyenne en mathématiques. On peut aussi pour une entreprise associer à une année le chiffre d affaires ; une série, où l une des variables est une date, est appelée série chronologique. Présentation des données Les résultats sont présentés généralement sous forme de tableaux. Le tableau ci-dessous représente pour six voitures le prix de vente ainsi que la cote de revente au bout d un an (les prix sont donnés en euros). Prix du véhicule neuf : x i Cote de revente au bout d un an : y i Nuage de points - Point moyen du nuage Soit le plan P muni d un repère orthogonal (O ; i, j ). A chaque couple (x i ; y i ) on peut associer le point M i (x i ; y i ). s L ensemble des points M i (x i ; y i ) est le nuage associé à la série statistique double (X ; Y ). On appelle point moyen d un nuage le point de coordonnées (x ; y) où x (respectivement y) est la moyenne de la variable X (respectivement de Y ). 2.3 Ajustement affine Ajustement On considère les nuages de points representés ci-dessous. D fig.1 fig.2 On cherche s il existe une corrélation entre les deux variables. raphiquement, cela revient à chercher s il existe une courbe qui «approche» le nuage, c est à dire une courbe qui passe au plus près des points du nuage. On dit que l on effectue un ajustement. fig.3 C1 Statistiques page 4
5 On remarque sur la figure 1 que les points semblent disposés de facon quelconque. Par contre, sur la figure 2, le nuage présente une forme rectiligne, la courbe cherchée peut être une droite d ajustement. On peut noter que, sur la figure 3, le nuage peut être approché par une courbe plutôt parabolique. Une droite d ajustement affine est une droite qui passe au plus près des points du nuage. Il est généralement admis que la droite d ajustement affine passe par le point moyen du nuage. Il existe plusieurs droites d ajustement affine pour un même nuage Ajustement à la règle On pourra tracer une telle droite au jugé, en équilibrant les points situés au-dessus et les points situés en dessous de la droite. Sur le dessin 2, on a tracé au jugé une droite D qui semble approcher correctement le nuage Ajustement par la droite de Mayer On partage le nuage en deux sous-nuages puis on détermine les points moyens 1 et 2 des deux sous-nuages. La droite de Mayer est la droite ( 1 2 ); elle constitue une droite d ajustement dans le cas d un nuage présentant une forme longiligne. Remarque : La droite de Mayer passe par le point moyen du nuage Ajustement par la méthode des moindres carrés On considère la série statistique double représentée par le nuage de points M i donnés ci-contre. On remarque que le nuage présente une forme longiligne, ce qui justifie un ajustement affine. Soit D une droite non parallèle aux axes d équation y = ax + b. Appelons P i les points de la droite D de même abscisse x i que les points M i. Donc : M i P i = y i (ax i + b). M 1 La droite de régression de y en x est la droite telle que la somme i=n Equations des droites de régression Les droites de régression passent par le point moyen (x; y) du nuage. La droite de régression D de y en x a pour équation : y = ax + b. a et b sont donnés par la calculatrice. P 1 M 3 P 4 P 3 M 2 M 4 i=1 P 2 D M i P 2 i soit minimale Coefficient de corrélation linéaire Le coefficient de corrélation linéaire d une série statistique double est un réel noté r, tel que 1 r 1. Il donne une mesure de la dépendance des variables X et Y et permet de justifier un ajustement affine. 1er cas : r = 1 Les points M i sont alignés ; la corrélation est parfaite. 2ème cas : r est proche de 1 Les points M i sont à peu près alignés ; il y a une forte corrélation. Lorsque la corrélation est forte, on pourra déduire, à l aide des équations de droite obtenues par la méthode des moindres carrés, des prévisions ou estimations. C1 Statistiques page 5
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