Leçon 08 : Statistiques Terminale. Altitude (x i ) Températures ( y i )
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- Pierre-Yves Lafleur
- il y a 7 ans
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1 Leço 08 : Statstques Termale E premer leu, l te faut relre les cours de premère sur les statstques à ue varable, l a tout u lagage à se remémorer : étude d u échatllo d ue populato, mode, moee et médae pus réalser ue classfcato, esute sur la sére étudée, calculer la varace et l écart tpe pour savor s la sére est dspersée ou peu dspersée, ef trouver les quartles et fare u dagramme e boîte avec postoemet de la médae das la boîte etc. E termale, ous allos fare des statstques sur deu varables e essaat de les reler etre elles par ue relato smple. Sot doc deu séres statstques ( ) et ( ) varat de à ( eter quelcoque, gééralemet, ou jusqu à 0 quelquefos). Nous représeteros ces doées das u repère du pla (P) par des pots M ( ; ) af de costtuer ce que ous appelos u uage de pots. Défto : O appelle pot moe d u uage, le pot G( ; ) et moees calculées das chaque sére. Nous regardos esute s ous pouvos tracer ue drote d équato a+b passat le plus prés possble des pots. S cela est possble, ous dros que ous avos réalsé u ajustemet affe du uage de pots et doc trouver ue relato smple de la forme a + b etre les deu varables. Motros u eemple : Das u avo, e plee asceso ous otos la température etéreure e degrés avec l alttude correspodate e mètres, ous avos le tableau suvat : Alttude ( ) Températures ( ) 0 3 Détermos le pot moe G : 00 m ; 8. G(00 ;8).
2 Pour réalser u ajustemet affe, ous avos ue premère méthode qu doe «la drote de Maer». Nous partageos le uage de pots e deu sous-uages pus cherchos les pots moes de ces uages G et G, la drote de Maer est la drote (G G ). X X G (00 ;) G (3000 ;- ) (G G ) a ue équato de la forme a + b. a 0,0. Pour trouver b, ous utlsos u des pots : 0,0(00)+b et doc + b c est-à-dre b. (G G ) 0,0 +. Au programme, l est demadé d utlser la méthode dte «des modres carrés» qu s est mposée à la place de la méthode de Maer. Les coeffcets sot doés par la calculette après avor retré les doées cocerat les deu séres statstques. Cela doe c : a 9,8 0-3 sot 0,0098 et b 3,. Au programme, l a les formules doat a et b : Eplcatos : B (D) A 3 A B B 3 3 A A B Il este ue drote assocée au uage A varat de à (Ic ) telle que la somme S A B sot mmale. Cette drote passe par le pot moe G( ; ) et elle a pour équato a + b a C V() et b a
3 C ( )( ) la covarace de et de et V() varace de. Fasos les calculs : C ( )( ) V() Doc : C a V() b a 8 (00) Nous retrouvos les résultats de la calculette. Cette drote s appelle la drote d ajustemet léare ou drote de régresso de par rapport à. Remarque ; la calculette parle d u coeffcet r, coeffcet de corrélato qu dque s l algemet est valable ou pas. Règle : s r, alors l algemet est de boe qualté. Ic, r 0,999. Calcul de r : C r σ σ ( σ l'écart tpe calculé sur et ) La drote trouvée, tracée e rouge sur le graphque, a doc pour équato : (D) 0, ,. Les deu drotes sot proches l ue de l autre. Elles passet par le pot moe G(00 ; 8 ). Nous pouvos le vérfer faclemet pour (G G ) : 8 00( 0,0)+ S la calculette doe u coeffcet de corrélato r dot la valeur absolue est élogé de, cela veut dre qu u ajustemet affe e se justfe pas car sot, les pots e sot pas assez algés sot, l a ue grade dsperso des doées et u autre tpe d ajustemet s mpose. 3 E résumé : Lorsque ous avos deu séres statstques, ous pouvos représeter ces doées das u repère du pla (P), cela doe u uage de pots et souvet les pots sot algés das ue certaes drecto. Il est possble alors à la mache de trouver les coeffcets a et b (ou de les calculer) de la drote d ajustemet («Méthode des modres carrés»). Cette drote (D) passe par le pot moe G( ;) du uage. Utlté : Cette drote va permettre des prévsos à court terme par le calcul.
4 Pour la température, ous pouvos la prédre pour 000m par eemple : ( 0,0) Remarque : le problème étudé c-dessus a fat l objet de recherche e phsque et effectvemet, ue lo a été trouvée dsat que la température basse de tous les 00m sot s o appelle t la température et t s la température au sol, état e mètre : t 0,0 + t s (Eemple : t s 0, pour 00, t et pour 00, t ) Voos mateat des uages où l ajustemet léare e se justfe pas. Cas : u ajustemet parabolque Sot le uage avec les pots A ( ;) ; A (3 ;) ; A 3 ( ;) ; A ( ;0). A 3 A G A 3 (D) 0 A La calculette doe G(3. ;.7) et (D) 0.+. mas r 0. très lo de e valeur absolue. Nous voos be que la drote (D) des modres carrés apporte re das ce cas. Les quatre pots par leur stuato fot peser à ue parabole d équato a + b + c. Il faut détermer a, b et c. Nous preos A ( ; ), A (3 ; ) et A ( ; 0). Cec doe le sstème suvat : (boe révso pour la résoluto de sstèmes) a + b + c (L) a + b + c (L ) a + b + c 9a + 3b + c (L) 8a + b 3 (L L)(L ) 8a + b 3 a + b + c 0 (L3) a + b (L3 L)(L 3) b 0 (3L L 3) Nous obteos : b 8a 3 0 sot a 0.87 c La parabole (P) a doc pour équato : Repreos le uage :
5 A 3 (P) G A 3 A 0 A 3 Atteto, la parabole e passe pas par le pot moe du uage. Cas : Ajustemet logarthmque Il peut être valable lorsque ous avos ue varable qu augmete peu alors que l autre augmete beaucoup plus vte. Sot le uage formé par les pots suvats : A ( ;) A (3 ;) A 3 ( ;.) A (0 ;3) 3 A 3 A G (D) A A La calculette doe (D) avec r 0.9 doc u ajustemet léare est possble car l faut r vos de. Mas, u ajustemet logarthmque est peut-être plus judceu. Nous allos chercher ue focto de la forme a l + b e preat le premer et le derer pot. Nous avos ecore u pett sstème : a l + b b a l 0 + b 3 a l 0 a et b l 0 La focto cherchée est doc : l l + + log + (Vor la leço sur les logarthmes, ous utlsos l 0 l 0 le logarthme décmal)
6 3 A 3 A G (Cf) A A Ic auss, la courbe e passe pas par le pot moe G du uage. Cas 3 : Ajustemet epoetel Utlsable lorsqu ue des deu varables vare beaucoup plus vte que l autre. Par eemple : Preos les pots suvats : A ( ;) A (3 ;7) A 3 ( ;) A ( ;0) et A ( ;) A (D) 8 0 G A 3 A 8 A A La calculette (D) d équato 7..9 avec r 0.9. Essaos u ajustemet epoetel de la forme a e b e preat le premer et le derer pot :
7 a e b a état pas ul, ous pouvos dvser les deu lges, cela doe a e b b e b l e et doc b l et b 0. 7 b e Nous pouvos calculer a : a e l a l ( ) e a() et doc a 0. 7 La focto serat doc : 0.7 e 0.7. () Voos le graphque : A (Cf) 8 0 G A 3 A 8 A A Volà, ous avos fat le tour des possbltés d ajustemet d u uage. Passos à la fche d eercces.
8 TERMINALE ES Les statstques Eercce U uage de pots assocés à ue sére statstque cotet 0 pots. Nous coassos le pot moe G ( ; ) des premers pots et le pot moe G ( ; ) des derers pots. Peut-o trouver les coordoées du pot moe G du uage complet? Eercce Covarace Que se passe-t-l pour la covarace s o effectue u chagemet d'coue ' 000? Applcato vérfcato S o a ue sére chroologque, où les représetet par eemples des aées : ( ombre d'avos vedus) Effectuer 000 pus calculer C et C ', Cocluso? Eercce 3 Nous voulos étuder l évoluto de la populato d ue commue. U relevé a été fat et doe le tableau suvat : Aées Populato Calculer les coordoées du pot moe G. Représeter ce uage de pots. A la calculette, détermer les coeffcets a et b de la drote d ajustemet par la méthode des modres carrés pus les retrouver par le calcul. Doer esute l équato de la drote d ajustemet affe et tracer la sur le graphque. Vérfer que G appartet à cette drote. Quelle prévso pour 00 cette drote permet-elle de fare? Eercce O veut étuder ue populato amale e voe de dsparto : Aée Rag Populato e mllers
9 . Représeter graphquemet le uage formé par les pots A de coordoées ' et. U ajustemet affe est-l adapté? Pourquo?. Nous preos z l ; représeter le uage formé par les pots B de coordoées ' et z. Que costate-t-o? Doer ue équato de la drote d'ajustemet avec la méthode des modres carrés. 3. Motrer que l'o peut eprmer e focto de par ue focto de la forme : a b. Détermer a et b. E quelle aée peut-o prévor qu'l restera seul amal de cette populato? Eercce (Tpe BAC) Nous voulos étuder l évoluto de la populato modale etre 90 et 990. Nous avos les doées suvates : Aées Rags Populatos Fare u graphque. L allure de ce graphque suggère u modèle d ajustemet sous la forme f(t) Ae Bt où t désge le rag de l aée avec comme orge 90 et f(t) la populato e mllard d habtats. ) Détermer A et B e utlsat le premer et le derer pot du uage (Doer A et B à 0 prés). Das la sute du problème, ous predros f(t). e 0.08t. ) Représeter graphquemet cette focto. 3) A l ade du modèle proposé, doer ue estmato de l aée au cours de laquelle la populato dépassera 0 mllards d habtats. f (t + ) f (t) ) Calculer f (t) Doer ue valeur eacte pus ue valeur approchée. Iterpréter ce résultat. (Fare ue représetato graphque das u repère sem logarthmque) Eercce Nous avos le tableau suvat : A B C a +b 0 0? ? 0 08? 70 0? 80 7? ? 8 0 0? Etrer ces doées das ue feulle de calcul Ecel. E utlsat les commades : drotereg(b :B ;A :A) et ordoee.orge(b :B ;A :A) détermer a te b les coeffcets de la drote (D) d ajustemet par la méthode des modres carrés. Calculer alors a + b Fare u graphque das la feulle pour llustrer cec. (E sélectoat la coloe et a + b, ous pouvos tracer (D))
10 Correcto Eercce La défto du pot moe d u uage formé par d pots est : G( ; ) Ic ous coassos G pot moe des premers pots avec : et ous e dédusos: et Nous avos de même pour G pot moe des derers pots : et ous e dédusos: et Nous pouvos doc trouver les coordoées de G le pot moe de tout le uage, e effet : et et Eercce Nous effectuos u chagemet d'coue ' 000. Calculos la ouvelle covarace C : ' C ' ' (' )( 000 ) ' ' Doc s o elève 000 à chaque valeur, l est ormal que la moee sot dmuée de 000. C' ' ' ( 000) ( 000)
11 Cocluso : La covarace e chage pas s o effectue u chagemet de varable de la forme + b b état u réel quelcoque. Remarque : Nous avos vu auss e ES, que la varace e chage pas s o effectue u chagemet de varable de la forme + b b état u réel quelcoque. Il est doc bo de remarque que le coeffcet a de la drote d ajustemet est chagé mas b chage s o effectue u tel chagemet de varable (Même chose pour les s cela faclte les calculs). Cocluso : s les et/ou les sot des ombres trop grads alors o peut effectuer des chagemets de varable pour redre les calculs plus smples. La drote d ajustemet par la méthode des modres carrés garde le même coeffcet drecteur et seul b l ordoée à l orge chage. Applcato vérfcato : ( ombre d'avos vedus) Calculos ( 000) C (93) (00) (08) C (98) ' ' (3) () ' ' (8) ' Remarque : s ous poursuvos le calcul pour avor la drote d ajustemet das les deu cas, ous trouvos : V() 3 C 7 3 a ; V(X) 8 Doc (D) b a (00) Avec le chagemet de varable, V( ), chagé. Nous auros : C a V(X) et doc (D ) ; b a () Eercce 3 représete le ombre d aées à partr de 980 et doe le ombre d habtats de la commue., et 8. Le pot moe G aura pour coordoées (, ; 8).
12 Représetos le uage de pots : 000 M 300 (D) 3000 G Le pot G est be au cetre du uage. Les pots sot relatvemet algés et la calculette doe : a 7, sot a 8 et b 0,3 sot b 0. Le coeffcet de corrélato r etre et est de 0,99 doc l ajustemet affe est valable. Retrouvos tout cec par le calcul : V() (88) (.) 07.8 C (700) (.)(8) 33. C 33. a 7. V(X) 07.8 La drote d ajustemet (D) aura pour équato : ; b a 8 (.) (D) (Pour la calculette CASIO, ous etros les doées das le module STAT pus o chost REG et ef F). Vérfos que G appartet à la drote (D) : 8(,) , l a ue dfférece de habtats car ous avos prs ue valeur approchée pour a et b. e fat, s ous preos 7,03 pour a et 0,9 pour b alors 7,03(,) + 0,9 8,98 doc e fat 8. Nous pouvos alors effectuer ue prévso pour 00 c est-à-dre 0 (00 980), cela doe ue dée du ombre d habtats pour l aver. 8(0) persoes.
13 Eercce Aées Rags Populato ) Représetos le uage formé par les A de coordoées et : Nous sommes e présece d ue décrossace epoetelle et ous voos que les pots e sot pas assez algés pour permettre u ajustemet affe. S ous etros les doées das la calculette, ous voos que r 0.8 doc l ajustemet affe est pas adapté à ce uage. ) Rags z l l l l l00.30 l00. l303.0 Représetos à ouveau le uage formé par les pots B de coordoées et z l : Nous costatos que les pots sot relatvemet be algés.
14 Détermos ue équato de la drote d ajustemet affe par la méthode des modres carrés : ' z V(' ) C 'z z 0 ; (l(000) + l(00) + l(00) + l(00) + l(00) + l(30)) ' ' (00) () ' z ' z (738.93) 87 3 ()(.388) 3.0 Calculos les coeffcets a et b de la drote d ajustemet : C' z 3.0 a 0. doc evro 0.3 V() 9.7 b z a'.388 ( 0.)() 9.3 La drote aura pour équato : z sot evro 9. 3) Nous avos z l Doc e sot e 0.3 e 9. et doc 330 e 0.3. peut s écrre : 330 (e 0.3 ) 330 (0.88). Nous pouvos alors chercher tel que : 330(0.88). Nous pouvos utlser l pour détermer : l(330(0.88) ) l sot l(330)+l((0.88) ) l(0.88) 0 et doc 9. ' 7. l 0.88 E cocluso, la populato amale sera étete evro e 90+7 sot 0.
15 Eercce Aées Rags Populatos (e mllards d habtats) Nous posos t le rag de l aée et f(t) la populato correspodate. Nous utlsos u modèle epoetel car le développemet de la populato correspod à ue crossace epoetelle, ce qu quète les scetfques pour la questo de la ourrture et de l eau sur terre. ) f(t) Ae Bt A et B réels vot être détermés grâce au premer et au derer pot : Cec doe u sstème :. Ae 0 A.. Ae 0B e 0B l ce qu doe 0B l.08 sot B Nous avos doc à 0 prés A.000 et B La focto réalsat le modèle sera doc f(t). e 0.083t. Pour la sute du problème, ous predros f(t). e 0.08t. ) représetato graphque : Pour détermer graphquemet e quelle aée, ous auros 0 mllard d habtats sur la terre, l sufft de tracer 0 et de vor le t correspodat. Cherchos par le calcul :. e 0.08t > 0 (ous utlsos l car s a > b > 0 alors l a > l b) l. e 0.08t > l 0 l. + l e 0.08t > l 0 (l e a a) 0 l l Sot : 0.08t > l 0 l. ou t >. doc t > et s o pred t eter t >
16 La populato modale d après le modèle utlsé dépassera 0 mllards d habtats e : sot evro e 08. (Nous sommes evro 7 mllards e 0) 0.08(t+ ) 0.08t 0.08( t+ ) 0.08t 0.08t 0.08 f (t + ) f (t).e.e e e e e e ) 0.08t 0.08t 0.08t f (t).e e e 0.08t 0.08 f (t + ) f (t) e (e ) e 0.08t f (t) e Ce rapport a doc pour valeur eacte e 0.08 et comme valeur approchée Il e déped pas de t et doe le tau d évoluto e % sot evro.8% par a. Représetato e sem logarthmque : 0.08t E fat, sur l ae des ordoées, ous avos l, l, l 3 etc et ous écrvos, ou 3 etc.. Les pots apparasset alors be algés et s ous tapos la focto f, elle apparaît comme ue drote. Eercce A B C a + b a, , b 7, , , (Calculs par Ecel des coeffcets a et b de (D)) 70 0, , a est calculé avec :" drotereg (B:B8;A:A8)" , etré das la cellule suvat a 0 0,9 b est calculé avec : "ordoee.orge (B:B8;A:A8)" etré das la cellule suvat b (sére ) (sére )
17 Das la derère coloe, ous avos calculé avec, a et b, La drote d'ajustemet a doc pour équato ;, + 7,3 (appromato au dème) (tracé rouge sur le graphque) Sére Sére Nous avos c u uage ascedat et l ajustemet par ue drote est valable.
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