EXERCICES RESOLUS DERIVATION

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1 EXERCICES RESOLUS DERIVATION On donne dans cette fiche plusieurs eercices résolus, passant en revue les différentes notions abordées en cours. Les solutions sont volontairement séparées des énoncés. Je vous conseille de ne pas céder à la facilité en vous reportant immédiatement au corrigé sans avoir au préalable cherché un temps suffisamment long sur la ou les questions «à problèmes». N'hésitez pas en cas de blocage, à replonger dans votre cours et à retravailler les fiches méthodes. C'est ainsi, en effectuant ce «ping-pong» incessant entre cours et eercices que vous progresserez le plus. Sur ce, bon courage et bon travail! Eercice Objectifs : lire un nombre dérivé, déterminer l'équation d'une tangente graphiquement et par le calcul, tracer une tangente, lien entre signe de la dérivée et variations de f. On donne ci-dessous la courbe représentative ( C ) d'une fonction f dérivable sur D = [-3 ; ]. On a représenté les tangentes à ( C ) au points d'abscisses respectives - ; et, ( C ) A Uniquement à l'aide du graphique, déterminer f ' ; f ' et f ',5.. Donner à l'aide de ( C ), le sens de variation de f. En déduire le signe de f '. 3. Parmi les trois courbes ci-dessous, quelle est celle qui représente la fonction f '? Justifier votre réponse Courbe Courbe Courbe 3. En fait, f est définie par f = Calculer la dérivée de f et en déduire le tracé eact de la tangente à ( C ) au point d'abscisse Donner l'équation eacte de la tangente à ( C ) au point A. (Vous détaillerez les calculs)

2 Eercice Objectifs : Étudier les variations d'une fonction, position relative de la courbe représentative d'une fonction et d'une de ses tangentes.. Soit f la fonction définie sur D = ]0 ; + [ par f =. a) Justifier que f est dérivable sur D et calculer f '. b) Étudier le signe de f ' sur D et dresser le tableau de variations de f.. Mêmes questions avec la fonction g définie sur [0;] par g = sin. 3. Soit h la fonction définie sur D=R par h = 3 3. a) Dresser le tableau de variations de h. b) Donner une équation de la tangente T à la courbe représentative ( C ) de h au point d'abscisse 0. c) Étudier la position relative de la courbe ( C ) par rapport à T. Eercice 3 Objectifs : Bien comprendre la signification du nombre dérivé. Soit f la fonction définie sur R { } par f =. On note ( C ) sa courbe représentative dans un repère. En quels points la courbe ( C ) admet-elle une tangente de coefficient directeur? Eercice Objectifs : modéliser une situation à l'aide d'outils mathématiques. Un fermier décide de réaliser un poulailler (en forme rectangulaire) le long du mur de sa maison. Ce poulailler devra avoir une aire de 39 m. Où doit-on placer les piquets A et B pour que la longueur de la clôture soit minimale? Mur de la ferme A B La figure ci-dessus représente le poulailler accolé à la ferme en vue de dessus. On appelle la distance séparant chaque piquet au mur et la distance entre les piquets A et B. (On a donc > 0 et > 0). Sachant que l'aire du poulailler est 39 m, eprimer en fonction de.. Démontrer que la longueur l() du grillage est : l = Calculer la dérivée l' de l. En déduire le tableau de variation de l.. En déduire les dimensions et pour lesquelles la clôture a une longueur minimale. Préciser cette longueur.

3 Solution des eercices Eercice Question : Les tangentes à ( C ) au points d'abscisses - et,5 sont horizontales. Leur coefficient directeur est donc nul. On a donc f ' = 0 et f ',5 = 0. Déterminer f ' revient à trouver le coefficient directeur de la tangente à ( C ) en A. On choisit donc un autre point sur cette tangente, par eemple A ' ;5. Comme A a pour coordonnées A;, on a donc f ' = ' A A = 5 = 9 A ' A. Question : La fonction f est croissante sur [-3 ; -], décroissante sur [- ;,5] et à nouveau croissante sur [,5 ; ]. Comme f est dérivable sur [-3 ; ], un théorème du cours nous assure alors que f ' 0 sur [-3 ; -] et sur [,5 ; ] et f ' 0 sur [- ;,5]. remarque : on a même f ' 0 sur [-3 ; -[ et sur ],5 ;] et f ' 0 sur ] ;,5[. On peut résumer ceci dans le tableau suivant : -3 -,5 Signe de f ' Question 3 : Au vu des résultats de la question, seule la courbe convient. Question : f est dérivable sur D car c'est une fonction polnôme et pour tout réel de D on a f ' = 5. On en déduit que f ' 0 = 5. Ainsi, le coefficient directeur de la tangente à ( C ) au point B d'abscisse 0 est égal à -5, ce qui nous permet de la tracer comme cidessous. (J'ai ôté du graphique le tracé de la tangente à ( C ) en A) 9 7 ( C ) 5 3 B A Remarque : Cette tangente passe aussi par le point A. Question 5 : Comme le point A a pour abscisse, l'équation de la tangente à ( C ) au point A a pour et f = 7, équation : = f ' f soit étant donné que f ' = 9 = 9 7, soit = 9 7. Remarque : avec la précision du graphique, l'ordonnée à l'origine de la tangente à ( C ) en A n'était pas bien lisible. On aurait pu penser que l'équation de T A était : =,5 0,5. moralité : rien ne vaut un bon calcul!

4 Eercice. a) f est dérivable sur D comme somme de deu fonctions dérivables sur D. Pour tout réel de D on a f ' =. b) Comme D = ]0 ; + [, on a donc 0. Par conséquent 0 et 0. On en déduit que pour tout D, f ' 0 comme somme de deu quantités strictement positives. Ainsi f est strictement croissante sur D. D'où le tableau de variations de f : 0 + Signe de f ' Variations de f. a) g est dérivable sur D : en effet, c'est une fonction de la forme ua b avec u = sin et a = ; b = par c'est-à-dire [ ;. 9 ] varie entre 0 et, varie entre, et u est dérivable sur l'image de l'intervalle D Très important à comprendre! Lorsque et 9 et réciproquement. On a pour tout de D g ' = a u ' a b = cos, soit g ' = cos. b) On doit donc étudier le signe de g ' = cos lorsque varie entre 0 et. ATTENTION Point technique!! Posons X =. Comme dit précédemment, varie entre 0 et si et seulement si X = varie entre et 9. Autrement dit, étudier le signe de g ' lorsque varie entre 0 et est équivalent à étudier le signe de g ' X = cos X lorsque X varie entre et 9 =. Un simple coup d'œil au cercle trigonométrique nous permet d'affirmer que si 3 X 9 X, cos X 0, si X 3, cos X 0 et si, cos X 0. Mais n'oublions pas que notre variable est et non pas X! Il nous faut donc revenir à... Qu'à cela ne tienne, X = équivaut à = X. Réécrivons donc les inégalités précédentes en utilisant. Si 0, g ' 0 ; si 5 3, g ' 0 et si [, g ' 0. On en déduit que g est croissante sur 0; ] [ 3 ; ] et décroissante sur [ 5 ; ]. et sur

5 On en déduit le tableau de variations suivant : 0 Signe de g ' 0 0 Variations de g a) h est dérivable sur D car c'est une fonction polnôme et pour tout réel de D on a : h ' = 3. h' est strictement positif comme somme d'un terme positif et d'un terme strictement positif ; on en déduit que h est strictement croissante sur D. D'où le tableau de variations : - + Signe de h' Variations de h b) On a h0 = 3 et h' 0 =. T tangente à ( C ) au point d'abscisse 0 a pour équation = h' 0h0, soit = 3. c) On étudie le signe de h 3 pour connaître les positions relatives de ( C) et de T. En effet, ceci revient à comparer la différence entre l'image de par h et celle de par la fonction 3. h 3 = = 3. Or et 3 ont le même signe. Ainsi, si 0, on a h 30 et ( C ) est située en dessous de T. Par contre, si 0, h 30 et ( C ) est située au dessus de T. Eercice 3 Rappelons que pour une fonction dérivable f sur un intervalle I et pour appartenant à I, f ', nombre dérivé de f en, a été interprété comme étant le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse. Rechercher les points la courbe ( C ) où elle a une tangente de coefficient directeur revient donc à rechercher les réels de R { } tels que f ' =. Une fois les abscisses de ces points déterminées, il sera aisé de calculer leur seconde coordonnée : l'image de par f. f est dérivable sur ]- ; [ et sur ] ; + [ comme quotient de deu fonctions polnômes dérivables u sur ]- ; [ et sur ] ; + [. On a f = avec u = et v =. v u' = et v ' =. Pour tout R {} on a f ' = soit f ' = 3. Attelons-nous donc à présent à la question posée! Soit R {}. Les lignes suivantes sont équivalentes : f ' = 3 =

6 3= [ ] 3 = 0 [ 3][ 3] = 0 = 3 ou = 3 Or f 3 = 3 et f 3 = 3. Conclusion : La courbe ( C ) admet deu tangentes de coefficient directeur B de coordonnées respectives : Eercice A 3 ; 3 et B 3 ; 3. au points A et. L'aire du poulailler est égale à. On en déduit que = 39.. La longueur l du grillage est égale à (le poulailler est accolé à la ferme), soit l = 39 = 39. u 3. l est dérivable comme quotient de deu fonctions dérivables sur ]0 ; + [. l = v avec u = 39 et v =. u ' = et v' =. Donc pour tout réel strictement positif : l ' = 39 = 39. Comme 0, l ' est du même signe que = 9 = =. Et comme 0, 0 et donc l ' est du même signe que. Ainsi, si, l ' 0 et l est croissante sur [ ; + [ et si, l ' 0 et l est décroissante sur ]0 ; ]. D'où le tableau de variations : 0 + Signe de l ' Variations de l l = D'après la question précédente, la clôture a une longueur minimale lorsque = m, et donc = 39 = m.