Fonction dérivée. Table des matières

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1 Fonction dérivée Table des matières fonction dérivée. activité corrigé activité à retenir nombre dérivé de f en = équation de la droite tangente à la courbe de f en = lien entre le signe de f () et les variations de f dérivées usuelles et opérations sur les fonctions eercices corrigés eercices devoir maison corrigé devoir maison corrigé devoir maison corrigé devoir maison

2 fonction dérivée. activité Soit f une fonction définie et dérivable sur l intervalle [ ; 5], décroissante sur chacun des intervalles [ ; 0] et [ ; 5] et croissante sur l intervalle [0 ; ]. On note f sa fonction dérivée sur l intervalle [ ; 5]. La courbe(γ) représentative de la fonction f est donnée en annee dans le plan muni d un repère orthogonal. Elle passe par les points A( ; 9), B(0; 4), C(; 4,5), D(; 5) et E(4; 0). En chacun des points B et D, la tangente la courbe (Γ) est parallèle à l ae des abscisses. On note F le point de coordonnées (; 6). Les droites (CF) et (EF) sont tangentes à la courbe (Γ) respectivement au points C et E.. A l aide des informations précédentes et de l annee, préciser : a. les valeurs de f(0),f(),f(),f(4). b. l ensemble des solutions de l équation f() = 0 sur [ ; 5]. c. le signe de f() suivant les valeurs du nombre réel de l intervalle [ ; 5]. d. f (0),f (),f (),f (4) et les équations des tangentes à (Γ) respectivement au points C et E. e. l ensemble des solutions de l équation f () = 0 sur [ ; 5]. f. le signe de f () suivant les valeurs du nombre réel de l intervalle [ ; 5]. g. le tableau de variation complet de f sur [ ; 5]. h. Laquelle des courbes C, C ou C suivantes peut-être la courbe de la fonction f? C On considère maintenant que f() = a. Calculer f () et en déduire les variations de f sur [ ; 5]. b. Y a t-il cohérence entre les résultats graphiques et algébriques? A (Γ) O B C C Annee D F C 4 5 E

3 . corrigé activité. A l aide des informations précédentes et de l annee, on a : a. f(0) = 4, f() = 4,5 ; f() = 5 et f(4) = 0. b. l ensemble des solutions de l équation f() = 0 sur [ ; 5] est S = {4}. c. Pour le signe de f() : f() > 0 pour [ ; 4[ et f() < 0 pour [4 ; 5[ d. f (0) = 0 car la droite tangente à la courbe est horizontale en = 0 f () = coefficient directeur de la tangente à la courbe en =. f () = coefficient directeur "a" de la droite (CF), a = F C = 6,5 F C = 0,75. f () = 0 car la droite tangente à la courbe est horizontale en =. f (4) = coefficient directeur de la tangente à la courbe en = 4. f (4) = coefficient directeur "a" de la droite (EF), a = F E = 6 0 F E = 6. Equations de la tangente à (Γ) en C : C est l équation de la droite (CF), la calculatrice donne = 0,75+,75 Equations de la tangente à (Γ) en E : C est l équation de la droite (EF), la calculatrice donne = e. l ensemble des solutions de l équation f () = 0 sur [ ; 5] est S ={0;} f. le signe de f () suivant les valeurs du nombre réel de l intervalle [ ; 5] f () g. le tableau de variation complet de f sur [ ; 5]. 0 5 f () f() ց ր ց 4-8,5 h. Seule C peut-être la courbe de la fonction f car c est la seule pour laquelle f (0) = 0 et f () = C On considère maintenant que f() = a. f () = = 0,75 +,5 C Annulation de f : 0,75 +,5 = 0 ( 0,75+,5) = 0 = 0 ou =,5 0,75 = variations de f et signe de f () = 0,75 +,5 : on utilise la règle du signe du trinôme 0 5 f () f() ց ր ց 4-8,5 C

4 b. On constate qu il a cohérence entre les résultats graphiques et algébriques. A 8 Annee (Γ) B C D F O 4 5 E

5 . à retenir.. nombre dérivé de f en = 0 définition : (nombre dérivé) Soit f une fonction de courbe C f définie sur un intervalle I Soit 0 I un nombre Si la courbe de f admet une droite tangente (AB) non "verticale" au point d abscisse = 0 Alors le nombre dérivé de f en 0 noté f ( 0 ), f ( 0 ) = B A est le coefficient directeur de la droite (AB) tangente à la courbe de f en 0 B A Remarques et eemple : (admis si non démontré) i. si C f admet une droite non verticale tangente au point d abscisse = 0 on dit que f est "dérivable en 0 " ii. on peut, par abus de langage, dire que f ( 0 ) est le "coefficient directeur de la courbe en 0 " iii. Le coefficient directeur est nul la tangente est parallèle à l ae (o) iv. ci contre : avec A( ; ) et B(4; 5) f () = B A B A = 5 4 ( ) = 0,4 5 B 4 A M T,6 C f équation de la droite tangente à la courbe de f en = 0 propriété : (équation de la tangente) Soit f une fonction de courbe C f définie sur un intervalle I, soit 0 I un nombre Si la fonction f est dérivable en 0 alors la courbe C f de f admet une droite tangente T d équation = f ( 0 )( 0 )+f( 0 ) (admis) Eemple : pour la droite (AB) ci dessus, tangente à C f en 0 = l équation de la tangente est = f ( 0 )( 0 )+f( 0 ) avec 0 = f( 0 ) = f() =,6 f ( 0 ) = f () = 0,4 soit : = f ()( ())+f() donc : = 0,4(+)+,6 donc : = 0,4+0,8+,6 conclusion = 0,4+,4

6 Autres eemples Pour la fonction f représentée ci contre on détermine graphiquement que f ( 5) = B A B A = ( 5) = f ( ) = 0 ( tangente horizontale) A 4 D f () = D C = 4 () = D C 4 Pour le graphique ci dessus, on détermine graphiquement que : 5 B 5 4 C L équation de la tangente à la courbe en = 5 est : = f ( 5)( ( 5))+f( 5) = (+5)+4 = 6 L équation de la tangente à la courbe en = est : = f ( )( ( ))+f( ) = 0(+)+() = L équation de la tangente à la courbe en = est : = f ()( )+f() = ( )+() =

7 .. lien entre le signe de f () et les variations de f définition : (fonction dérivable et fonction dérivée ) Soit f une fonction définie sur un intervalle I () f est dérivable sur I quel que soit 0 I, f admet un nombre dérivé en 0 () la fonction dérivée de f est notée f, elle associe à tout I le nombre f () propriété : (signe de f et sens de variation de f) Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I, de dérivée f le sens de variation de f est en lien direct avec le signe de la dérivée f f est strictement croissante sur I f () > 0 quel que soit I f strictement positive f est strictement décroissante sur I f () < 0 quel que soit I f strictement négative f est constante sur I f () = 0 quel que soit I f nulle (admis) Remarque : Ceci permet de trouver graphiquement le signe de f () en fonction de. Ceci permet d étudier les variations d une fonction à partir de l étude du signe de sa dérivée. Eemples Pour la fonction f représentée ci contre on détermine graphiquement que : -5 f () f() f () = 0 f () > C f 4 f () < 0 Soit g une fonction telle que g = f où f est la fonction ci dessus. Donner le tableau de signes de g ainsi que le tableau de variations de g -5 g () = f() g()

8 corrigé eemple : Pour la fonction f représentée ci contre on détermine graphiquement que : f () - 0 +,5,5 f() ց ր,5 f () = 0 {} f () > 0 ] ;] C f 4 f () < 0 [ 5; [ Soit g une fonction telle que g = f où f est la fonction ci dessus. Donner le tableau de signes de g ainsi que le tableau de variations de g 5 g () = f() ?? g() ր ց ր??? par manque de données sur g

9 ..4 dérivées usuelles et opérations sur les fonctions propriété : (dérivées usuelles) propriété 4 : (dérivées et opérations sur les fonctions) f() f () validité sur a R 0 R R a (a R) a R R R n (n N ) n n n (n N ) 4 n n+ R R R R R R + e e R ln R + u et v sont deu fonctions de dérivées respectives u et v f() f () validité sur au (a R) au où u est définie u+v u +v où u et v sont définies u v u v où u et v sont définies u n (n N ) nu n u où u est définie u u n (n N ) u u où u est définie et u 0 nu u n+ où u est définie et u 0 uv u v +uv où u et v sont définies u u v uv v v où u et v sont définies et v 0 u u où u est définie et u 0 u e u u e u R lnu u u où u est définie et u > 0 Remarque : (admis) on peut calculer la dérivée f d une fonction f pour en étudier le signe et déduire les variations de f. Eemples : (a) f() = f() = f () = f () = (b) f() = +6 pour R\{} On reconnaît que f est de la forme f = u v donc f = u v uv { v u = avec : +6 = u = v = = v = donc f () = ()( ) ( +6) ( ) = ( )

10 .4 eercices eercice : Soit la fonction f représentée ci dessous. Les tangentes à la courbe en E, A, B et C sont aussi représentées (a) Lire i. f(4) et f (4) ii. f() et f () iii. f(0) et f (0) iv. f( 5) et f ( 5) v. f() et f () E G H B (b) en déduire les équations des tangentes à la courbe (c) donner l ensemble des solutions de i. f() = 0 ii. f () = 0 (d) donner le tableau de signes de f() (e) donner le tableau de signes de f () et de variations de f 6 5 F A C 4 eercice : soit la fonction f dont on dispose de la courbe C f pour [,5 ; 5,5] (a) estimer à 0, près : f(),f() et f(4) (b) estimer : f (), f () et f (4) (c) donner les signes de : f( ), f ( ), f(,5), f (,5), f(), f () (d) donner l ensemble des solutions de : i. f() = 0 ii. f () = 0 iii. f() > 0 iv. f () > 0 v. f() < 0 vi. f () < 0 (e) donner le tableau de variations complet de f (avec le signe de f ()) C f

11 eercice : Soit la fonction f représentée ci dessous. Laquelle des courbes ci dessous est la courbe de f où f est la dérivée de la fonction f? (justifier) C C C eercice 4 : Soit la fonction f définie sur [; 5] dont on dispose de la courbe ci dessous (a) déterminer chacune des valeurs suivantes (eacte ou à 0, près) i. f(), f( ), f(), f(), f(4) ii. f (), f ( ), f (), f (), f (4) T C f 5 4 T 5 T (b) estimer le signe de : i. f(,5), f (,5) ii. f(), f () T 4 iii. f(0), f (0) iv. f(), f () (c) donner le tableau de signes de f() (d) donner le tableau de signes de f () (e) donner le tableau de variation de f (signe de f () compris) 5 T 4 (f) déterminer les équations des droites tangentes T, T, T, T 4 et T 5

12 eercice 5 : (a) calculer f () dans chacun des cas suivants i. f() = 5 0 ii. f() = 5 iii. f() = 5+ iv. f() = 5 +0 v. f() = vi. f() = vii. f() = 5 0+ viii. f() = + i. f() = + 4. f() = 0 4 (b) calculer f () dans chacun des cas suivants i. f() = (5 0) ii. f() = (5) iii. f() = 5+ iv. f() = 5 +0 v. f() = (+4) vi. f() = vii. f() = (+) viii. f() = +5 i. f() = ++4. f() = 4 +5 i. f() = ii. f() = +5 eercice 6 : Eemples d études de fonctions du second degré (a) pour chacun des cas ci dessous calculer f () étudier l annulation et le signe de f () en déduire le tableau de variations de f i. f est définie sur R par : f() = + ii. f est définie sur R par : f() = +6 5 (b) un artiste réalise et vend de petites créations sur le marché et remarque qu en moenne : s il vend ses créations 90ealors il en vend 0 par mois chaque baisse de pri de e augmente le nombre de ventes mensuelles de 5 ventes chaque création lui coûte 40e la location mensuelle de l emplacement de ventes est de 600e i. calculer le bénéfice mensuel réalisé par l artiste A. s il ne baisse pas son pri de vente B. s il baisse son pri de 4e C. s il baisse son pri de 44e ii. montrer que s il baisse le pri de vente de e alors le bénéfice mensuel est donné par : A. B() = (90 )(0+5)0(0+5) 600 B. B() = iii. étudier les variations de B sur [;90] iv. en déduire le pri de vent "idéal" (pour l artiste) ainsi que le bénéfice maimal

13 eercice 7 : Eemples d études de fonctions du troisième degré (a) pour chacun des cas ci dessous vérifier que f () est bien égal à ce qui est proposé étudier l annulation et le signe de f () en déduire le tableau de variations de f sur [ 0;0] { f() = i. f est définie par : +96 f () = ()(+) (à vérifier) { f() = 8 ii. f est définie par : f () = 6( 5) (à vérifier) { f() = iii. f est définie par : 9 +0 f () = 9( ) + (à vérifier) eercice 8 : Le coût total de production, en euros, de centaines de kg de produit est donné par : C() = pour [0 ; 0]. La recette des ventes est donnée par : recette = pri de vente unitaire nombre de ventes = R()= p u Le bénéfice est donné par : Bénéfice = recette - coût total = B() = R() C() La centaine de kg de produit est vendu 50 euros. (a) Etude du bénéfice. i. Montrer que le bénéfice est donné par B() = ii. Montrer que B () = (+8)(+) et en déduire les variations de B sur [0 ; 0]. iii. En déduire la quantité à produire pour que le bénéfice soit maimal et donner à un euro près ce bénéfice maimal iv. Retrouver la courbe du coût et celle de la recette parmi celles données ci dessous et retrouver graphiquement le bénéfice maimal par deu méthodes. (epliquer) (b) Intervalle de rentabilité. i. Déduire du graphique ci dessous le nombre de solutions de l équation B() = 0 sur [0 ; 0]. ii. Déterminer chacune d elle à 0 près grâce à la calculatrice. iii. En déduire le signe de B() sur [0 ; 0]. iv. En déduire les valeurs de la production qui donnent un bénéfice positif strict. v. Retrouver l intervalle de rentabilité graphiquement par deu méthodes. (c) Pri minimal de vente Pour un pri de vente de a euros la centaine de kilos, la recette est donnée par R() = a Déterminer graphiquement la valeur minimale de a pour que l entreprise puisse réaliser un bénéfice

14 eercice 9 : étude de fonction rationnelle ce mois ci, une centrale de distribution fournit de manière eclusive 0 magasins d un département qui compte 50 points de ventes au total. on suppose que dans ce département, en moenne et chaque mois, il se crée 4 nouveau points de ventes et que la centrale de distribution arrive à convaincre un de ces 4 nouveau points de ventes d être son fournisseur eclusif. 0 i. calculer selon les données ci dessus la proportion des points de ventes que «détient» la centrale ce mois ci ainsi que dans 0 ans. ii. montrer que la proportion des points de ventes détenus par la centrale dans mois est donnée par p() = pour 0 iii. étudier les variations de p sur [0; 60] iv. la centrale de distribution gagne t-elle ou perd-elle des points de ventes mensuellement? (justifier) v. dans combien de mois la centrale n aurait-elle plus que 40% (puis 5%) des points de ventes? vi. que semble t-il pour le pourcentage quand devient très grand ( = 0000 par eemple )? donner une interprétation graphique. Annee : (courbe de p) eercice 0 : étude de fonction rationnelle il a actuellement 0000 personnes dans un stade dont 4000 femmes et 6000 hommes on suppose qu il part chaque minute 00 femmes et 00 hommes (sans aucune arrivée) i. calculer la proportion d hommes actuellement ainsi que dans une une demi-heure. ii. montrer que la proportion d hommes dans mn est donnée parh() = +60 pour iii. étudier les variations de h sur [0;40] iv. commentez la "variation des hommes" dans le stade sur les premières 40 minutes de sortie du stade v. tracer la courbe de h, pour la sortie des hommes du stade sur les premières 40 minutes de sortie et compléter celle ci jusqu au moment où le stade est vide

15 eercice : étude de fonction rationnelle (a) soit C la fonction définie par C() = sur [0;90] soit f la fonction définie par f() = C() sur [0;90] i. montrer que pour la fonction f, on peut aussi écrire : f() = ii. calculer f () et montrer que f () = 6(0)(+0) iii. en déduire les variations de f sur [0;90] iv. en déduire les etremums de f sur [0;90] (b) Dans une entreprise le coût total de production de q objets est donné en euros par C(q) = 6q 40q+5400 pour q [0;90] le coût moen unitaire pour la fabrique de q objets est noté C m (q) i. montrer que C m (q) = f(q) où f est la fonction de la partie précédente ii. déduire de l étude def la valeur de la production pour laquelle le coût moen unitaire est minimum ainsi que la valeur du coût unitaire associée iii. retrouver ce résultat graphiquement ci dessous grâce à la courbe de f (c) le pri de vente unitaire est de 50 e par objets i. tracer dans le repère précédent la droite d équation = 50 ii. en déduire les valeurs de la production pour lesquelles le coût moen de production par objet est strictement inférieur à 50 euros et en déduire l intervalle de rentabilité. iii. sous quel pri de vente unitaire ne faut-il pas descendre sous peine de ne pas pouvoir réaliser un bénéfice (positif)? iv. montrer que le bénéfice des ventes de objets est donné par B() = sur [0; 90] v. étudier les variations de B sur [0; 90] et en déduire la production qui assure un bénéfice maimal vi. est-ce la même production qui minimise le coût unitaire et qui maimise le bénéfice? laquelle des deu options est préférable pour l entreprise? vii. peut-on retrouver "simplement" le bénéfice maimal grâce au graphique ci dessus?

16 eercice : fonction rationnelle et modèle de Wilson - Coût de Passation, Coût de Possession (a) Pour une grande surface, relativement au ventes d un article,la consommation prévisionnelle annuelle est estimée à 5400 articles. Le pri de chaque article est de 0 euros. Pour se réapprovisionner, le coût de passation d une commande est de 0 euros. (frais de dossier,...) Le coût de possession est de 6% du stock moen en euros (coût de stockage proportionnel au stock) On suppose les délais de réapprovisionnement nuls et une livraison immédiate. On cherche le nombre de commandes idéal dans le sens ou il minimise le coût total constitué de la somme du coût de passation et du coût de possession. Par eemple : pour commandes de 5400 = 700 articles évolution du stock théorique en nombre d articles stock moen = 50 articles mois le coût de passation est de C pas = 0 = 40e stock moen en articles : S ma = = 50 articles, soit en euros : S m = 50 0 = 500e le coût de possession est donné par : C pos = 6% de S m = = 60e le coût total pour commandes est donc C T = C pos +C pas = = 400e i. montrer que pour commandes annuelles le coût total est de C T () = 800e ii. montrer que pour commandes annuelles le coût total est donné par C T () = iii. montrer que C T 0( 6)(+6) () = iv. en déduire les variations de C T sur [0;00] v. en déduire le nombre 0 de commandes à choisir pour un coût total minimum vi. comparer les coûts de passation et de possession dans le cas de 0 commandes (b) Pour une grande surface, relativement au ventes d un article,la consommation prévisionnelle annuelle est estimée à C articles. Le pri de chaque article est de p euros. Pour se réapprovisionner, le coût de passation d une commande est de P euros. (frais de dossier,...) Le coût de possession est de t% du stock moen en euros (coût de stockage proportionnel au stock) Soit le nombre de commandes dans l année pour assurer la consommation prévisionnelle. i. montrer que le coût total est donné par C T () = P+ tcp 00 tcp tcp P( ii. montrer que C T () = 00P )(+ 00P ) iii. étudier le signe de C T () et en déduire les variations de C T en déduire le nombre de commandes 0 à choisir pour un coût total minimum (c) à l aide de la deuième partie, retrouver le résultat trouvé à la première partie pour 0 en prenant les bonnes valeurs de t, C, P et p

17 .5 corrigés eercices

18 .6 devoir maison.6. corrigé devoir maison eercice : corrigé devoir maison Seule C peut-être la courbe de f En effet : D après la courbe de f, f () s annule pour = 0 (C f a une tangente horizontale en = 0 ) donc f (0) = 0 donc C ne convient pas. De plus, d après la courbe de f, f décroît sur ] ;0] donc f () < 0 sur ] ;0] donc C ne convient pas. eercice : Soit la fonction f définie sur [; 5] dont on dispose de la courbe ci dessous (a) déterminer chacune des valeurs suivantes (eacte ou à 0, près) i. f(),5, f( ),6, f() = 0 f(),8, f(4) = ii. f () = 5 () =,5, f ( ) = 0 f () = = 4, f () = 0 f (4) = 4 =,5 (b) estimer le signe de : i. f(,5) > 0, f (,5) < 0 ii. f() < 0, f () < 0 iii. f(0) < 0, f (0) > 0 iv. f() > 0, f () > 0 (c) tableau de signes de f() (d) tableau de signes de f () ci dessous (e) tableau de variation de f T C f 5 4 valeur de -4, 5 4, 5 5 signe de f() T T 5 T 4 4 T (f) tableau de signes de f () et de variations de f valeur de -4-5 signe de f () ,6 variations de f() ց ր ց,6,5 (g) équations des droites tangentes T : = f ()( ())+f() =,5(+)+,5 donc =,5 9 T : = f ( )( ( ))+f( ) = 0(+),6 donc =,6 T : = f ()( )+f() = 4 ( )+0 donc = 4 4 T 4 : = f (4)()+f(4) = 0()+,8 donc =,8 T 5 : = f (4)()+f(4) =,5()+ donc =,5+7

19 eercice : (0 p 6) (a) C = 40 0 = 8800e C = 4 ( ) = 950e (b) i. p() = (40 ) n() = 0(40 )+60 = = 0+0 ii. C() = (40 )(0+0) = = (c) i. C () = 0+80 ii. C () = 0+80 Annulation de C () : 0+80 = 80 0 = 9 variations de f et signe de C () = 0+80 : on utilise la règle du signe du binôme a+b (signe de "a" à droite et de a à gauche) 0 9 C () (a = 0) 960 C() ր ց C(0) = 8800 (d) le pri idéal pour le vendeur est de 40 9 = e pour une recette maimale de 960euro eercice 4 : (04 p 64) (a) C() = = 400 R() = 00 = 400 B() = R() C() = = 000 (b) i. R() = 00 ii. B() = 00 ( ) = (c) i. f () = ()( 5) = 6( 5+45) = 6( 8+45) = = f () 0 5 annulations = 0 = ii = 0 = 5 f () f() ց ր ց iii. le bénéfice est maimal pour une production de 5 objets le bénéfice maimal est de 70e

20 .6. corrigé devoir maison corrigé devoir maison eercice : (05 page 65) (a) Etude d une fonction i. f() = f () = 900 d autre part : ii. (0)(+0) donc iii. A. = 900 f () = (0)(+0) = = = f () (0)(+0) est du signe 0 sur [0;90] car > 0 et +0 > 0 sur [0;90] d où le tableau : annulation = 0 = 0 f () f() ց ր 60 f(0) = = f() , ,9 9, 00 B. courbe iv. A. g(0) = 0, = 65 donc A(0;65) D g(60) = 0, = 75 donc B(60;75 D B. D construite ci dessus (b) application économique i. le coût minimal vaut 60e pour une production de 0 objets ii. intervalle de rentabilité = ]0;60[

21 .6. corrigé devoir maison

22 eercice : (4 page 8) A.. (a) f () = 0,8+4 (b) corrigé devoir maison (c) f () = 0,8+4 = 0 = 0,8 = 5 f(0) = 0, = f () (a = 0,8) f() ր ց 8 8 (d) le maimum vaut pour = 5. = 0,4 A +4 A 8 B.. recette = R() = 5,5 = 6, 5 mililers d euros bénéfice = R() C() = 6,5 (0,4 +,5 +8) = 0,4. B(q) = R(q) C(q) = 5,5q (0,4q +,5q +8) = 0,4q +4q 8. (a) B(q) 0 0,4q +4q 8 0 on utilise la règle du signe d un trinôme a = 0,4 b = 4 =,,76 et 7,4 c = 8 il faut donc produire entre et 7 chaudières (b) il faut une production de 5 chaudières pour un bénéfice maimal (c) Bénéfice maimal = milliers d euros eercice : (5 page 8) A.. f() f () f() ր 6. (a) f() = 500 0,5 donc α 0,5 0,5 0,6 0,7 (b) f() (c) 0,6 < α < 0,7 B.. charges fies = 6e. le coût total est de 500e pour une production comprise entre 0,6 et 0,7 kg

23 eercice : (eercice 6 b) polcopié). calculer le bénéfice mensuel réalisé par l artiste (a) s il ne baisse pas son pri de vente : B(0) = = = 00 (b) s il baisse son pri de 4e: B(4) = (90) (0+5 4)0(0+5 4) 600 = = 780 (c) s il baisse son pri de 44e: B(44) = (904) (0+5 44)0(0+5 44) 600 = = 780. montrer que s il baisse le pri de vente de e alors le bénéfice mensuel est donné par : (a) B() = (90 )(0+5)0(0+5) 600 bénéfice = recette - coût total bénéfice = pri de vente nombre de ventes - coût unitaire nombre de ventes - coût fie B() = (90 )(0+5)0(0+5) 600 (b) B() = B() = (90 )(0+5)0(0+5) 600 (on développe) B() = B() = étudier les variations de B sur [;90] B () = 0+40 Annulation de f () : 0+40 = 0 = 40 0 = 4 variations de B et signe de B () = 0+40 on utilise la règle du signe du binôme a+b (signe de "a" à droite et de a à gauche) 4 0 B () = (a =-0) 780 B() = ր ց B(4) = = en déduire le pri de vente "idéal" (pour l artiste) ainsi que le bénéfice maimal bénéfice maimal = 780 euros pri idéal =904 = 66 euros

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