Dérivation. On fait se rapprocher le point B de plus en plus prés du point A. B o

Transcription

1 Dérivatin I. Tangente à une curbe représentative de fnctin 1. Ntin graphique intuitive de tangente. Rappels : Les pints et de la curbe représentative de la fnctin f snt de crdnnées respectives (a ; f(a) ) et ( x ; f(x) ) Le cefficient directeur de la sécante () en à la curbe (C) est dnné par y y x x = f(x) f(a) On fait se rapprcher le pint de plus en plus prés du pint. La psitin limite de la sécante () à la curbe (C) quand est infiniment prés de s appelle Tangente (T) à la curbe (C) au pint. Le cefficient directeur de cette drite (T) est la valeur limite du cefficient directeur de la sécante () lrsque se rapprche infiniment de dnc lrsque la valeur «x» se rapprche infiniment de la valeur «a». On le nte f (a) = = 1

2 la secnde égalité est bien crrecte car il suffit de pser h = («écart» entre x et a ) On a alrs x = a + h Les pints et étant alrs de crdnnées respectives (a ;f(a)) et (a+h ; f(a+h)) et faire se rapprcher de revient à faire se rapprcher a + h de a c est-à-dire à faire se rapprcher h de Exemples : Pur la fnctin carrée, tangente à la parable d équatin y = x2 a. Tangente au pint d abscisse 1 Le cefficient directeur est f (1) = lim Or x2 1 2 ()(x + 1) = Dnc f (1) = 2 f(x) f(1) x 1 = x + 1 dnc lim = lim x x On peut aussi faire la démnstratin avec la définitin par f (1) = = lim x + 1 = = 2 car = h + 2 après simplificatin par h et, lrsque h se rapprche de 0, h + 2 se rapprche de manière évidente vers 2 Cnclusin : la Tangente à la parable d équatin y = x 2 directeur f (1) = 2 au pint d abscisse 1 a pur cefficient b. Tangente au pint d abscisse «a» ( cas général ) De la même manière, n cherche f (a) = lim x a ()(x + a) Or = f(x) f(a) = x2 a 2 f(x) f(a) ) = x + a dnc lim x a f(x) f(a) = lim x a x + a = a + a = 2a démnstratin avec la secnde définitin Faite la Cnclusin : la Tangente à la parable d équatin y = x 2 cefficient directeur «f (a) = 2a» au pint d abscisse «a» a pur 3. Equatin de tangente : Sit (Ta) la tangente à la curbe représentative de la fnctin f au pint d abscisse a. On cnnait dnc sn cefficient directeur ( c est f (a) ) et un pint ( le pint (a ;f(a)) ) Sit M(x ;y) un pint de (T a ), n a dnc (M) = (T a ) ( les deux drites snt cnfndues) Dnc les ceff. directeurs snt égaux Dnc y f(a) = f (a) n en déduit que y f(a) = () f (a) d ù y = () f (a) + f(a) Sit y = f (a) x + (f(a) a f (a)) qui a bien la frme y = mx + p avec m = f (a) ceff. directeur et p = f(a) a f (a) rdnnée à l rigine Résultat à cnnaître : Une équatin de la tangente (T a ) à la curbe représentative de la fnctin f au pint d abscisse «a» est : y = f(a) + (x a) f (a) Exercice : Dnner l équatin réduite de la tangente à la parable d équatin y = x² au pint d abscisse 2

3 II. Nmbre dérivé en «a» d une fnctin a. Définitin Le nmbre dérivé en «a» d une fnctin f est le nmbre nté f (a) défini par : f (a) = = b. Interprétatin graphique Le nmbre dérivé f (a) est la valeur du cefficient directeur de la tangente à la curbe représentative de la fnctin f au pint d abscisse «a». Exemple : d après ce qui précède si f(x) = x 2 alrs f (a) = 2a III. Fnctin dérivée d une fnctin 1. Définitin : On appelle fnctin dérivée de la fnctin f la fnctin ntée f qui, à tut x, fait crrespndre le nmbre dérivé en x de f : f : x f (x) Exemple : d après ce qui précède si f : x x 2 alrs f : x 2x On dit : «la fnctin dérivée de la fnctin carrée est la fnctin f : x 2x» Par abus, n dit suvent «la dérivée de x 2 est 2x» 2. Dérivée des fnctins de références La fnctin est dérivable sur et sa fnctin dérivée est x k ( k IR ) IR x 0 x ax + b ( a et b réels) IR x a x x n (n IN * ) IR x n x n 1 x ]- ; 0[ et ]0 ; + [ x 1 x 2 x n (n IN * ) ]- ; 0[ et ]0 ; + [ x n x x ]0 ; + [ x 1 2 x 1 x n + 1 Quelques démnstratins ( pur et il faudra attendre un peu!!) 3

4 3. Dérivatin et pératins a. Dérivée de ku (k IR* ) Si la fnctin u est dérivable sur l'uvert I alrs la fnctin ku est dérivable sur I et sa dérivée est (ku)' = ku' Exemple : Si f(x) = -5 ; la fnctin f est dérivable sur et f (x) = 5 (3x²) = b. Dérivée de u + v Si u et v snt dérivables sur I alrs u + v est dérivable sur I et (u + v )' = u' + v' Exemple : Si f(x) = -5 + x² ; la fnctin f est dérivable sur et f (x) = + 2x On ne détaille pas en écrivant u(x) = -5 et v(x) = x² car, ici, les fnctins u et v snt simples, mais si elles snt cmpliquées, il vaut mieux le faire! c. Dérivée de u v Si u et v snt dérivables sur I alrs u + v est dérivable sur I et (u v)' = u'v + uv' Exemple : Si f(x) = (x² + 2x + 3) On a f = u avec u(x) = x² + 2x + 3 et v(x) = u et v snt dérivables sur ]0 ; [ ( u l est même sur ) dnc f est dérivable sur ]0 ; [ cmme fnctin-prduit u (x) = 2x 3 et v (x) = Dnc f (x) = u (x) v(x) + u(x)v (x) = (2x 3) + ( x² + 2x + 3) Si la questin le nécessite il peut y avir des mdificatins de l écritures à effectuer Peut-n dnner le signe de f (x) ici sans mdificatin d écriture? d. Dérivée de 1 u si u et dérivable sur I et ne s'annulant pas sur I alrs 1 u est dérivable sur I et = u' u 2 4

5 Exemple Sit f(x) = On a f = avec u(x) = x² + x u est dérivable sur mais s annule en et 0 ( car x² + x = x(x+1) ) dnc f est dérivable sur, et (n dit suvent «f est dérivable sur tus les uverts qui cmpsent sn ensemble de définitin») et f (x) = = il est frtement décnseillé de dévelpper le dénminateur car, en général, il faut ensuite étudier le signe de la dérivée et le fait d avir un carré est un vrai bnheur!!!! Dnner le tableau de signe de f (x) e. Dérivée de u v Si u et v snt dérivables sur I et si v ne s'annule pas sur I alrs u v est dérivable sur I et = Exemple Sit f(x) = On a f = avec v(x) = x² + x et u(x) = 2x 3 u est dérivable sur v est dérivable sur mais s annule en et 0 ( car x² + x = x(x+1) ) dnc f est dérivable sur, et (n dit encre «f est dérivable sur tus les uverts qui cmpsent sn ensemble de définitin») et f (x) = = Etudier le signe de f (x) 5

6 IV. Utilisatins 1. Rappel :Tangente à C f au pint d'abscisse a Si f est dérivable en a, alrs f '(a) est le cefficient directeur de la tangente à C f au pint d'abscisse a Une équatin de cette tangente est alrs y = f(a) + () f '(a) 2. pprximatin affine de x f(x) au visinage de x = a Si f est dérivable en a, alrs x () f '(a) + f(a) est la meilleur apprximatin affine de la fnctin x f(x) au visinage de a Ce résultat est hrs prgramme il est purtant bien intéressant : il traduit simplement que, lrsqu n reste près de a, l arc de la curbe peut être remplacer par un segment de la tangente. L erreur cmmise sera alrs de et plus x est prche de a, plus l erreur se rapprche de zér 3. Variatins d'une fnctin Le signe de la dérivée permet d btenir les variatins de la fnctin. Thérème Si f est définie sur [a ;b] et dérivable sur ]a ;b[ et si x ]a ;b[ f (x) > 0 alrs f est strictement crissante sur [a ;b]. Si f est définie sur [a ;b] et dérivable sur ]a ;b[ et si x ]a ;b[ f (x) 0 alrs f est crissante sur [a ;b]. Si f est définie sur [a ;b] et dérivable sur ]a ;b[ et si x ]a ;b[ f (x) < 0 alrs f est strictement décrissante sur [a ;b]. Si f est définie sur [a ;b] et dérivable sur ]a ;b[ et si x ]a ;b[ f (x) 0 alrs f est décrissante sur [a ;b]. Si f est définie sur [a ;b] et dérivable sur ]a ;b[ et si x ]a ;b[ f (x) = 0 alrs f est cnstante sur [a ;b]. 4. Extrema Si f est définie sur [a ;b] et dérivable sur ]a ;b[ et si f (x) s annule en c en changeant de signe alrs f admet en c un extremum ( valant f(c) ) sur [a ;b] 5. Pints à tangente hrizntale f '(a) = 0 ne permet que de cnclure à une tangente hrizntale et nn pas à la présence d'un extremum de la fnctin sur un certain intervalle. 6. Remarques : a. Les extrema et les pints à tangente hrizntale sernt systématiquement indiqués sur les représentatins graphiques b. Si, pur tut x de I, f '(x) 0 mais ne s'annulant que pur un nmbre fini de valeurs ( en fait : ne s'annulant pas sur un petit intervalle inclus dans I ) alrs f est strictement crissante sur I 6