Fonctions dérivées Applications

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1 Fonctions dériées Applications Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 04/05 Table des matières Quelques rappels. Nombre dérié Tangente Notion de fonction dériée Dériées des fonctions usuelles Opérations sur les fonctions dériables. Somme de deux fonctions dériables Multiplication par une constante Produit de fonctions dériables Inerse d une fonction dériable Quotient de fonctions dériables En résumé Applications de la dériation 4 3. Dériée et sens de ariation Extremum local Liste des tableaux Dériées des fonctions usuelles Opérations sur les fonctions dériables Ce cours est placé sous licence Creatie Commons BY-SA

2 Quelques rappels. Nombre dérié Tangente Dans toute la suite, ( on considère une fonction f définie sur un interalle I. On note C f sa courbe représentatie dans un repère O ; i ; ) j. Définition : Si le taux de ariation f(a+h) f(a) h tend ers un nombre fini lorsque h tend ers zéro, on dit que la fonction f est dériable en a. Ce nombre est alors appelé nombre dérié de f en a. On le note f (a). On a donc : f f (a + h) f (a) (a) = lim h 0 h Remarque : Le nombre dérié de f en a est donc le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d abscisse a. La tangente à la courbe représentatie de f au point d abscisse a admet comme équation : y = f (a) (x a) + f (a). Notion de fonction dériée Définition : Si une fonction est dériable pour tout réel a de l interalle I, on dit qu elle est dériable sur l interalle I. Dans ce cas, on appelle fonction dériée de f sur l interalle I la fonction qui, à tout x de I, associe le nombre dérié f (x). On note cette fonction f. Remarque : Dire qu une fonction est dériable signifie qu il existe des tangentes à tout point de la courbe la représentant. Par contre, la fonction dériée n a plus de lien aec la tangente en un point..3 Dériées des fonctions usuelles Les résultats concernant les dériées des fonctions usuelles sont résumés dans le tableau. fonction f dériée f Domaine de dériabilité f (x) = k (k constante) f (x) = 0 R f (x) = x f (x) = R f (x) = x f (x) = x R f (x) = x 3 f (x) = 3x R f (x) = x n (n entier >0) f (x) = nx n R f (x) = mx + p f (x) = m R f (x) = ax + bx + c f (x) = ax + b R f (x) = x f (x) = x ] ; 0[ ou ]0 ; + [ f (x) = x f (x) = x ]0 ; + [ Table Dériées des fonctions usuelles Opérations sur les fonctions dériables Tous les résultats de cette section sont admis.

3 . Somme de deux fonctions dériables Propriété : Soit u et deux fonctions dériables sur un interalle I. Alors la fonction (u + ) est dériable sur I et sa dériée est u +. On note : (u + ) = u +. Exemple : Soit f la fonction définie sur ]0 ; + [ par f (x) = x + x. f = u + aec u (x) = x et (x) = x. u et sont dériables sur ]0 ; + [, on a u (x) = x et (x) = x. Par suite f est dériable sur ]0 ; + [ et f (x) = x x.. Multiplication par une constante Propriété : Soit u une fonction dériable sur un interalle I et k un nombre réel. Alors la fonction (ku) est dériable sur I et sa dériée est ku. On note : (ku) = ku. Exemples : Soit f (x) = 3x 3 x + x définie sur R. Alors f est dériable sur R et f (x) = 3 3x x = 9x x +. Remarque : Il résulte des propriétés et que toute fonction polynôme est dériable sur R. Exercices :,, 3 page 97 4 page 97 ; 43, 44,45 page 06 et 47, 48, 50 page 07 5page 07 3 [TransMath].3 Produit de fonctions dériables Propriété 3 : Soit u et deux fonctions dériables sur un interalle I. Alors la fonction (u) est dériable sur I et sa dériée est u + u. On note : (u) = u + u. Exemple : Soit f la fonction définie sur [0 ; + [ par f (x) = x x. f est de la forme u aec : u (x) = x et (x) = x u et sont dériables sur ]0 ; + [ et : u (x) = et (x) = x Par suite, f est dériable sur ]0 ; + [ et f (x) = x + x x = x + x x = x + ( x) x + x = 3 x. Exercices : 5 page 98 et 3, 33 page page 06 5 [TransMath] x =.4 Inerse d une fonction dériable Propriété 4 : Soit une fonction dériable sur un interalle I, telle que, pour tout x de I, (x) 0. Alors la fonction est dériable sur I et sa dériée est. On note : ( ) =. Exemple : Soit f (x) = 3x définie sur ] 3 ; + [. f est de la forme, où (x) = 3x. est dériable sur ] 3 ; + [, ne s annule pas sur ] Par suite, f est dériable sur ] 3 ; + [ et f (x) = 3. Dériée d une somme.. Équation de tangente. 3. Positions relaties d une courbe et de ses tangentes. 4. Dériée d un produit. 5. Équation de la tangente. 3 ; + [ et (x) = 3. (3x ). 3

4 .5 Quotient de fonctions dériables Propriété 5 : Soit u et deux fonctions dériables sur un interalle I, telle que, pour tout x de I, (x) 0. Alors la fonction u est dériable sur I et sa dériée est u u. On note : ( ) u = u u. Exemple : Soit f la fonction définie sur ] ; + [ par f (x) = 4x+5 x. f est de la forme u aec u (x) = 4x + 5 et (x) = x. u et sont dériables sur ] ; + [, on a u (x) = 4 et (x) =. De plus, ne s annule pas sur ] ; + [. Par suite, f est dériable sur ] ; + [ et : f (x) = 4 (x ) (4x + 5) 4x 8 4x 5 (x ) = (x ) = 3 (x ) Remarque : Il résulte de la propriété 5 que toute fonction rationnelle est dériable sur son ensemble de définition. Exercices : 6, 8 page 98 et 34, 35, 36, 37 page page 98 et 39, 40 page page 07 8 [TransMath].6 En résumé... Le tableau résume les différentes règles de dériation ainsi que leurs conditions d applications. Opération Dériée Conditions d utilisation Somme de deux fonctions u + u + u et dériables sur I Multiplication par une constante ku ku u dériable sur I Produit de deux fonctions u u + u u et dériables sur I Inerse d une fonction u et dériables sur I Pour tout x I, (x) 0 Quotient de deux fonctions u u u u et dériables sur I Pour tout x I, (x) 0 Table Opérations sur les fonctions dériables Exercices : 37, 38, 53 page 75 ; 63 page 76 ; 64 page 77 ; 67, 69, 7, 74 page 78 et 8 page page 75 et 84 page page 76 et 88, 89 page page [TransMath] 3 Applications de la dériation 3. Dériée et sens de ariation Théorème fondamental (admis) : Soit f une fonction dériable sur un interalle I. Si, pour tout x de I, f (x) 0 alors f est croissante sur I. Si, pour tout x de I, f (x) 0 alors f est décroissante sur I. Si, pour tout x de I, f (x) = 0 alors f est constante sur I. 6. Dériée d un quotient. 7. Équation d une tangente. 8. Positions relaties d une courbe et de ses tangentes. 9. Tangentes à une courbe. 0. Approximation affine locale.. Détermination de fonctions.. ROC 4

5 Remarques :. On a aussi : f (x) > 0 donne f strictement croissante, etc.. Pour étudier les ariations d une fonction, il suffit donc d étudier le signe de sa dériée. Néanmoins, dans certains cas simples (trinôme du second degré ou fonction affine par exemple), ceci n est pas toujours nécessaire. Exemples :. f définie sur R par f (x) = 3 x3 + x x + 5. f est une fonction polynôme donc est dériable sur R. f (x) = 3 3x + x = x + x. Il faut déterminer le signe de f. Pour cela, on calcule le discriminant : = 4 ( ) = +8 = 9. > 0, il y a deux racines : x = 9 = 3 = 4 = et x = + 9 = +3 = =. On en déduit le signe de f : On en déduit le tableau de ariations de f : x + Signe de f (x) x + Signe de f (x) Variations de f (x) Aec : f ( ) = 3 ( )3 + ( ) ( ) + 5 = = = = 5 3 f () = = = = = 3 6. g est définie sur R par : g (x) = 4x + 3 x + On pose : u (x) = 4x + 3 (x) = x + u (x) = 4 (x) = x g (x) = 4 ( x + ) (4x + 3) x (x + ) = 4x + 4 8x 6x (x + ) = 4x 6x + 4 (x + ) Comme pour tout x de R, ( x + ) est strictement positif (c est un carré), g (x) est du signe de 4x 6x + 4. On calcule le discriminant : = ( 6) 4 ( 4) 4 = = 00. Comme > 0,il y a deux racines : x = ( 6) 00 ( 4) = = 4 8 = et x = ( 6)+ 00 ( 4) = = 6 8 =. On en déduit le signe de la dériée : Et le tableau de ariations de g : Aec : g ( ) = 4 ( )+3 g ( x + Signe de g (x) x + Signe de g (x) Variations de g (x) = 8+3 ( ) + 4+ = 5 ) 4 = +3 ( ) = = = = = 4 5

6 Exercices : 9, 0, page 99 et 57, 59, 60, 64 page page 0 et 90 page 3 4 6, 6 page page 09 et 98 page , 88, 89 page 3 7 [TransMath] 3. Extremum local Définition : Soit f une fonction définie sur un interalle I et c I. On dit que f (c) est un maximum local (respectiement minimum local) de f s il existe un interalle ouert J contenant c et inclus dans I tel que, pour tout x J, f (x) f (c) (respectiement f (x) f (c)). Remarque :. Un extremum local est soit un maximum local, soit un minium local.. On peut remarquer sur f est dériable et si f (x 0 ) est un extremum local, alors f (x 0 ) = 0. Mais attention à la réciproque... Propriété (admise) : Soit f une fonction dériable sur un interalle I et x 0 I, x 0 n étant pas une extrémité de I. Si f s annule en x 0 en changeant de signe, alors f (x 0 ) est un extremum local de f. Module : TP 3 page 04 et 4 page 05 8 [TransMath] Exercices : page 99 et 67, 68, 69 page , 4 page 00 ; 0 page 0 ; 7 page 09 ; 75, 76, 77 page 0 ; 8, 8 page et 93, 94, 95 page page 83 page [TransMath] Références [TransMath] transmath re S, édition 0 (Nathan) 3, 4, 6 3. Étude de ariations. 4. Comparaison de fonctions. 5. À partir d un graphique. 6. Dériée seconde. 7. Identification. 8. Optimisation, utilisation de GeoGebra. 9. Extremums locaux. 0. Optimisation.. Algorithmique.. Utilisation de GeoGebra. 6