Activité Geogebra d'introduction à la notion de nombre dérivé à partir de la tangente à une courbe en un point

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1 Première S Dérivation et applications Année scolaire 202/203 Introduction : Activité Geogebra d'introduction à la notion de nombre dérivé à partir de la tangente à une courbe en un point Cliquer sur le lien suivant : ttp://mangeard.mats.free.fr/ecole/jeanxxiii/premieres/activite_derivation.t ml Quand M se «rapproce» de A, sans l'atteindre, la droite (MA) se rapproce de la tangente à la parabole au point A. I) Nombre dérivé : ) Définition du taux d'accroissement d'une fonction en un point : Si on note a l'abscisse du point A, son ordonnée est alors f(a) puisque A est un point situé sur la parabole représentant f. M étant «proce» de A, on peut noter a +, l'abscisse de M avec de plus en plus petit s'approcant de zéro au fur et à mesure que M se rapproce de A. L'ordonnée de M est alors f(a + ) f (a + ) f (a ) f (a + ) f (a ) La quantité = est le coefficient directeur de la (a +) a droite (AM). Soit f : D f R, a D f et R* tel que a + D f On définit la fonction t par son expression en fonction de : t() = t est appelée taux d'accroissement de f en a f (a + ) f (a ) 2) Définition du nombre dérivé en un point :

2 En fait, si «s'approce» de zéro sans l'atteindre, alors f(a + ) va «s'approcer» de f(a) sans l'atteindre. On dit qu'on va faire tendre vers 0 (avec 0). On va étudier alors les valeurs prises par le taux d'accroissement t : f (a + ) f (a ) Quand tend vers 0, on va donc regarder vers quoi tend l'expression On dit qu'on étudie la limite quand tend vers 0 de t() : Notation : lim t () f (a + ) f (a ) = lim ( 0) 0 0 f (a + ) f (a ) Si lim 0 = L R, alors L est le nombre dérivé de f en a Notation : Le nombre L se note f'(a) (se lit «f prime de a») Conséquence importante : Comme on a vu dans l'activité que (MA) se rapproce de la tangente en A au fur et à f (a + ) f (a ) mesure que M se rapproce de A, et que est le coefficient directeur de (MA) alors : f'(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f en a. Remarque : Si L = - ou +, le nombre dérivé de f en a n'existe pas. (On dit que f n'est pas dérivable en a) Exemples : a) Soit f définie par f(x) = x On souaite déterminer f'(3) : (c'est-à-dire pour a = 3 ) Par définition : f (3+ ) f (3) Taux d'accroissement de f en 3 = f (3+ ) f (3) = 3+ 3 f (3+ ) f (3) On a : lim 0 = = lim = 0 Donc f'(3) = b) Soit g définie par g( x) = m x + p, avec m 0 et p R (g est une fonction affine) Calculer g'(0) : g (0+ ) g (0) m (0+ )+p p = = m = m g (0+ ) g (0) D'où : lim 0 = lim m = m Donc : g'(0) = m 0

3 c) Soit i définie par : i( x) = x 2. On souaite calculer i'(). i(+) i() = (+)2 2 i(+) i() D'où : lim 0 = = lim +2 = 2 0 = ( +2) = + 2 Donc : i'() = 2 d) Soit j définie par j( x) = 3 x 2 3 x +. On souaite calculer j'() En fait, il s'agit de la fonction utilisée dans l'activité de découverte au début du capitre. j'() est donc le coefficient directeur de la tangente à la parabole représentant j au point d'abscisse ( on considère donc la tangente à la courbe au point A) j(+) j() D'où : lim 0 = 3(+ )2 3(+ )+ ( ) = 3( ) = = j(+) j() = 3 (+) = lim 3 +3 = 3 0 = Donc : j'() = 3 On retrouve bien le fait que le coefficient directeur de la tangente à la parabole représentant j au point d'abscisse a pour coefficient directeur 3 e) Soit k définie par k( x) = x 3. On souaite calculer k'(-) k ( +) k ( ) = ( )3 ( ) 3 k ( +) k ( ) D'où : lim 0 = ( ) ( 2 2 +) ( ) = = = ( ) = = lim = 3 0 Donc : k'(-) = 3. Pour observer ce qui se passe grapiquement avec cette fonction k, cliquer sur le lien suivant : ttp://mangeard.mats.free.fr/ecole/jeanxxiii/premieres/fonction_cube_tangent e.tml La tangente à la courbe en x = - a pour équation réduite y = 3 x + 2

4 II) Tangente à une courbe en un point : On considère une fonction f, (C f ) sa courbe représentative dans un repère ortogonal du plan et A (a ; f(a)) un point de (C f ). Si on note (T a ) la tangente à (C f ) au point d'abscisse a, on sait déjà que f'(a) est le coefficient directeur de (T a ) Propriété : L'équation réduite de (T a ) est y = f'(a)(x a) + f(a) Exemples : a) Reprenons l'exemple précédent avec la fonction cube et le point A(-;- ) On a vu que f'(-) = 3 Or, f(-) = (-) 3 = - D'où : y = 3(x - (-) ) - = 3 x + 3 = 3 x + 2 (on retouve bien l'équation réduite lue dans la fenêtre algèbre de Geogebra) b) Soit f la fonction définie par f(x) = x sur [0;+ [ Etudions la dérivabilité de f en 0 : f (0+) f (0) = 0+ 0 Voici un tableau de quelques valeurs de s'approcant de zéro : = = ( ) 2 = quand devient de plus en plus petit en 0.5, ,47 (au centième) , , , , , , , ,36 Conjecture : Plus diminue en s'approcant de zéro, plus On dit que tend vers +, lorsque tend vers 0 devient grand.

5 Notation sous la forme de limite : lim 0 = + Par conséquent, f'(0) n'existe pas. La courbe de f admet une tangente verticale en x = 0 III) Fonction dérivée : ) Définition : Soit f définie sur un intervalle I de R. Si le nombre dérivé de f existe pour toutes les valeurs x de I, on dit que f est dérivable sur I. La fonction qui à x associe f'( x) s'appelle la fonction dérivée de f (ou la dérivée de f) et elle se note f'. 2) Dérivées de fonctions usuelles : Fonction Domaine de dérivabilité (où la dérivée est définie) Dérivée m x + p (avec m et p R) R m x 2 R 2 x x n (avec n N) R n x n- x R \{ 0} 2 x Exemples : a) Soit f définie par f( x) = x 3 f est définie et dérivable sur R. Alors, f'( x) = 3 x 2 b) Soit g définie par g( x) = 4 5 x 2 g est définie et dérivable sur R. Alors, g'( x) = 4 5 3) Dérivée d'une somme : Soient u et v, deux fonctions dérivables sur un intervalle I de R, alors u + v est aussi dérivable sur I et (u + v)' = u' + v' Démonstration : Soit a I et R tel que a + I : (u +v )(a + ) (u +v )(a ) u (a +)+v (a +) u (a ) v (a ) = u (a +) u (a ) v (a +) v (a ) = +

6 (u +v )(a + ) (u +v )(a ) Or, (u + v)' (a) = lim 0 u (a +) u (a ) et u'(a) = lim 0 et v (a +) v (a ) v'(a) = lim 0 D'où : pour tout a I, (u + v)' (a) = u'(a) + v'(a) Par conséquent : (u + v)' = u' + v' Exemple : Soit f( x) = x 4 + 7x 2 = g(x) + (x) où g(x) = x 4 et (x) = 7x 2 Or, g'( x) = 4 x 3 et '( x) = 7 Donc f'( x) = 4 x ) Dérivée de ku, avec k R : Soit u dérivable sur un intervalle I de R, et k R : (ku) est aussi dérivable sur I et (ku)' = kxu' Exemple : Soit f( x) = 5 x 3 f est dérivable sur R et f'( x) = 5x3 x 2 = 5 x 2 5) Dérivée de uxv : Soient u et v, deux fonctions dérivables sur un intervalle I de uxv est dérivable sur I et (uxv)' = u'v + uv' Exemple : Soit f( x) = 7x 2 x f est dérivable sur ]0;+ [ On a : f'( x) = 4 x x 2 x = 7 x x R, alors : 6) Dérivée de u : On considère une fonction u. On se place sur un intervalle I sur lequel u est définie, dérivable et où elle ne s'annule pas. Alors, u est dérivable et : Exemple : Soit f( x) = x 2 + ( u )' = u ' u 2. On pose u( x) = x 2 + u'( x) = 2 x D'où : f'( x) = 2x (x 2 +) 2 7) Dérivée de u v : On considère u et v, deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I de R et on suppose que v( x) 0 pour tout x I. Alors : u v est dérivable et ( u v )' = u ' v uv ' v 2

7 Exemple : Soit f( x) = 4 x x 2 + f est dérivable sur R. On pose u( x) = 4 x et v( x) = x 2 + u'( x) = 4 Or, f'( x) = et v'( x) = 2 x u ' (x )v (x ) u (x )v ' (x ) (v (x )) 2 = 4(x 2 +) 2 x (4 x ) (x 2 +) 2 = 4x 2 +2 x +4 (x 2 +) 2 Remarque : il est vivement conseillé de ne pas développer le dénominateur. En effet, on connaît son signe : c'est un carré, il est positif. Nous allons voir dans la suite l'importance de l'étude du signe de la dérivée d'une fonction. IV) Applications de la dérivation : ) Dérivation et variations : a) Activité de découverte : On considère une fonction f définie sur R par f(x) = 3x 2 5x + 7 ) Etudier les variations de f 2) Calculer f' 3) Etudier le signe de f' 4) Mettre en parallèle le tableau de variation de f et le tableau de signe de f'. Que constate-t-on? ) f( x) = a x 2 + b x + c (trinôme du second degré) avec a = 3, b = - 5 et c = 7 - Comme a > 0, la parabole représentant f est orientée vers le aut, autrement dit, f est d'abord décroissante puis ensuite croissante. - Soit S(α ;β) le sommet de la parabole : α = b 2a = 5 6 D'où le tableau de variation suivant : et β = f(α) = 3 ( 5 6 )2-5x = = 59 2 x Variations de f ) f étant un trinôme du second degré, f est dérivable sur R f'( x) = 6 x - 5 3) Signe de f' :

8 6 x - 5 > 0 x > 5 6 D'où le tableau de signes suivant : x Signe de f'(x) 0 + 4) Si on met en parallèle le tableau de variation de f avec le tableau de signes de f' x Signe de f'(x) 0 + x Variations de f 59 2 Il semble y avoir un lien direct entre ces deux tableaux : quand f' est négative, alors f est décroissante, quand f' est positive, alors f est croissante. b) Propriété : Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I R - Si f ' est négative sur J I, alors f est décroissante sur J (f ' peut s'annuler en quelques points de J) - Si f ' est positive sur J I, alors f est croissante sur J (f ' peut s'annuler en quelques points de J) - Si f ' = 0 sur J I, alors f est constante sur J Exemple : Soit f( x) = 2x 3 3 x 2 + f est dérivable sur R car c'est un polynôme. f'( x) = 2x3 x 2 3x2 x = 6 x 2 6 x = 6 x( x ) On va étudier le signe de f' : 6 x 0 x 0 x 0 x Tableau de signes : x Signe de 6 x Signe de x Signe de f' + - +

9 En fait, on va regrouper le signe de f' et les variations de f dans le même tableau : Tableau de variation de f : x 0 + Signe de f '(x) Variations de f 0 2) Notion d'extremum local : Activité Geogebra de découverte : Cliquer sur le lien suivant : ttp://mangeard.mats.free.fr/ecole/jeanxxiii/premieres/activite_extremum.t ml Sur ]- ; [, f admet un maximum local qui vaut et sur ]0;2[, f admet un minimum local qui vaut 0. La notion d'extremum local implique de cantonner l'étude à un intervalle ouvert n'étant pas obligatoirement égal au domaine de définition complet. La fonction représentée est définie sur R. n'est pas un maximum de f sur tout R. C'est la même cose pour 0 : minimum de f. Dans l'activité précédente, on voit que pour x <, f' ( x) > 0 puis pour x >, f'(x) < 0 avec f'() = 0 La fonction f admet un extremum local en a si et seulement si : f'(a) = 0 et f' cange de signe en a Remarque : ATTENTION les deux conditions doivent être vérifiées. Exemple : Soit f la fonction cube en x = 0 f( x) = x 3 d'où f'( x) = 3 x 2 f'(0) = 0 mais f' ne cange pas de signe en 0

10 La fonction cube n'admet pas d'extremum local en 0 3) Optimisation : Dans certaines situatons, on est amené à déterminer les éventuels extremas d'une fonction pour minimiser ou,dans d'autres cas, pour maximiser une certaine quantité : - Cercer un coût minimum - Cercer une aire maximale - Optimiser des volumes - Déterminer la distance d'un point à une courbe, etc... Exemples : a) Aire maximale : ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 8 cm et AC = 6 cm. M est un point mobile du segment [AB]. On pose x = AM On trace le rectangle AMNP. Question : Pour quelle valeur de x l'aire du rectangle AMNP est maximale? Pour conjecturer la valeur de x, cliquer sur le lien suivant : ttp://mangeard.mats.free.fr/ecole/jeanxxiii/premieres/optimisation_aire00. tml Exprimons MN en fonction de x : Dans le triangle ABC, (MN) // (AC), appliquons le téorème de Talès : BM BA Alors MN = 6(8 x ) 8 = MN AC = 3(8 x ) 4 d'où : 8 x 8 = MN 6

11 Or, Aire(AMNP) = AMxMN = 3(8 x ) 4 On pose f( x) = x2 + 6 x f est dérivable sur R car c'est un polynôme. On a f'( x) = x + 6 x x = 3 x 2 +24x 4 = x2 + 6 x f'( x) x x - 6 x 4 En x = 4, f' s'annule et cange de signe. Donc, f admet en 4 un extremum local (ici un maximum) Par conséquent : L'aire du rectangle AMNP est maximale et vaut 2 (= f(4) ) cm 2 pour x = 4 cm b) Distance d'un point à une parabole : On a tracé la parabole représentant la fonction f définie par f( x) = x 2 3 x + 4 dans un repère ortonormé du plan. Le point A de coordonnées (0;) est fixe. M est un point mobile sur la parabole. Question : déterminer les coordonnées de M qui minimisent la distance AM. Pour pourvoir émettre une conjecture, Cliquer sur le lien suivant : ttp://mangeard.mats.free.fr/ecole/jeanxxiii/premieres/distance_parabole _point.tml Exprimons AM en fonction de x : AM = (x M x A ) 2 +(y M y A ) 2 = x 2 +(y ) 2 Or, y = x 2 3 x + 4 d'où : (y ) 2 = ( x 2 3 x + 3) 2 = ( x 2 (3 x 3)) 2 = x 4 2x 2 (3x 3) + (3x 3) 2

12 = x 4 6 x x x 2 8 x + 9 = x 4 6 x x 2 8 x + 9 D'où : x 2 + (y ) 2 = x 4 6 x x 2 8 x + 9 = AM 2 Posons f( x) = x 4 6 x x 2 8 x + 9 f est un polynôme donc elle est dérivable sur R. f'( x) = 4 x 3 8 x x 8 est racine évidente de ce polynôme. En effet, 4x 3 8x x 8 = 0 D'où : 4 x 3 8 x x 8 = (x )(a x 2 + b x + c) Pour déterminer les coefficients a, b et c, on développe le membre de droite et on identifie à celui de gauce : (x )(a x 2 + b x + c) = a x 3 + b x 2 + c x a x 2 b x c = a x 3 + x 2 (b a) + x(c b) c D'où en identifiant les coefficients de même degré : a = 4 b a = - 8 Alors : a = 4, b = - 4 et c = 8 c b = 32 - c = - 8 Donc : f'(x) = (x )(4x 2-4 x + 8) Or, pour 4x 2-4 x + 8, on a : Δ = 4 2 4x4x8 = - 92 < 0 Donc le trinôme est strictement positif. f'(x) = 0 si et seulement si x = 0 si et seulement si x = Les coordonnées de M qui minimisent AM sont donc : (;f()) c'est-à-dire (;2) et cette distance minimum est de = 2 (en effet 2,4 : ce que l'on observait avec la figure Geogebra précédente)