8. Primitives d'une fonction et intégrales

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1 8. Primitives d'une fonction et intégrles I- Usge du tleu des dérivées Compléter les tleu et en précisnt le numéro des lignes utilisées. Tleu N f () f ' () -... Fonction f f () + érivée f ' f ' () ln - ln... 6 e e Tleu 7 8 e + sin e + cos N f () f ' () e e cos u () + v () k u () - sin u ' () + v ' () k u ' () sin - cos II- Clcul d'ires simples. Soit le trpèze ABC donné dns un repère orthonorml d'unité grphique le centimètre. A B Clculer son ire A O C Fig. 7

2 8. Primitives d'une fonction et intégrles. L représenttion grphique de l fonction f sur l'intervlle [0 ; ] pr f () =, est donnée dns un repère orthonorml d'unités grphique le centimètre. ) Clculer l'ire A du tringle ABO. y B ) éterminer l fonction F ' dérivée de l fonction F définie sur l'intervlle I = [0 ; ] pr F () = 0,7. Comprer F ' () et f (). O A Fig.. c) Clculer F () - F (0). Comprer A et F () - F (0). d) Quel est le signe de f () pour des vleurs de dns l'intervlle [0 ; ]? Que peut-on conclure pour f? III- Primitives de fonctions monômes F est une primitive de f sur l'intervlle I si, pour toute vleur de cet intervlle I, F ' () = f ().. Reprendre l réponse à l question. ) et que dire de F pour f?. Considérons les fonctions F, F et F définie sur R telle que : F () = ; F () = + et F () = -. ) éterminer les dérivées de ces trois fonctions. 8

3 8. Primitives d'une fonction et intégrles ) Que représentent les fonctions F, F et F pour l fonction f définie sur R pr f () =? Justifier. c) éterminer l dérivée de l fonction F définie sur R pr F () = + k où k est une constnte ririre et conclure.. Considérons l fonction F définie sur R telle que F () =. ) éterminer l dérivée F ' de cette fonction. ) En déduire l forme des primitives de l fonction f définie sur R, telle que f () =. c) Compléter les schéms suivnts en utilisnt les opérteurs fonctionnels et P qui donnent respectivement l dérivée et les primitives d'une fonction (respecter l'ordre,... 6 et indiquer l'opértion déqute en et ). + k... + k... : : : : d) Conclure en complétnt les schéms suivnts : P ; P ; pour > 0 ; P 9

4 8. Primitives d'une fonction et intégrles IV- Lecture inverse du tleu des dérivées. Qund une fonction f est donnée, à quelle colonne du tleu des fonctions et des dérivées ssociées doit-on se reférer pour otenir ses primitives? Primitives de u + v et de u Soit u et v, deu fonctions dérivles sur un intervlle I. écrire comment on otient les primitives d'une somme de fonctions ou d'un produit d'une fonction pr une constnte. u' + v' P u' P Compléter le tleu et préciser l ou les lignes de référence. Tleu fonction f ( > 0) + ( > 0) e - N de lignes primitives de f e cos - sin 60

5 8. Primitives d'une fonction et intégrles V- Clcul d'intégrles. Soit f l fonction définie sur l'intervlle I = [ ; ] et F une de ses primitives. Le nomre F () - F () est ppelé intégrle de à de l fonction f. On noter : f () d = [F ()] = F () - F () où est l orne inférieure et l orne supérieure ; d indique l vrile. A prtir du II.. c) compléter : f () d = [F ()] = F () - F (0) est d = [...] = Considérons l fonction F définie sur R telle que F () = - ) éterminer l dérivée F ' de cette fonction. Que représente F pour l fonction f définie sur R pr f () = 6 -? ) Les propriétés suivntes sont dmises : (f + g)() d = f () d + g () d Clculer le nomre A = F () - F (). k f () d = k f () d Quelle utre nottion peut-on utiliser pour A?. Considérons les fonctions F et F définies sur R telle que F () = + et F () = + + k ; (k est une constnte). ) éterminer les dérivées F ' et F ' de ces fonctions. ) Clculer A = (6 + 8 ) d vec F puis B vec F. - c) Conclure en donnnt l méthode de clcul de f () d 6

6 8. Primitives d'une fonction et intégrles VI- Clcul d'ires. A prtir du dessin (Fig. ) du trpèze ABC, préciser les équtions des droites support des segments [AB] et [BC] prmi : f () = et g () = et donner l'intervlle sur lequel elles sont définies. Pour [AB] : Pour [BC] :. Clculer A = g () d et B = f () d. Comprer A + B à l'ire A du trpèze. Conclure , Soit l fonction f définie sur [0 ; 7] pr f () = et Cf s coure représenttive dns un repère orthogonl (O, i, j ) ci-dessous, (Fig. ). ) élimiter l prtie E du pln, ensemle des points M( ; y) tels que : < < 7 et 0 < y < f () y 0 O 6 7 Fig. 6

7 8. Primitives d'une fonction et intégrles ) Hchurer en vert tous les crrés entiers de 0, de côté situés dns l prtie E. c) Hchurer en rouge tous les crrés entiers de 0, de côté coupés pr Cf. d) clculer, rrondies à 0,0, l'ire A ssociée u crrés verts. d) clculer, rrondies à 0,0, l'ire A ssociée u crrés verts et rouges. e) clculer, l'ire moyenne A moy de A et A. f) donner un encdrement de l'ire moyenne A de l prtie E. 7 g) clculer le nomre I = d. g) clculer l'unité d'ire, notée u, qui est le produit des unités grphiques sur chcun des es. En déduire le produit I u. h) comprer I u et Amoy. Conclure 6

8 8. Primitives d'une fonction et intégrles VII- Eemple de l loi de Vn't Hoff. L'étude mthémtique de l loi conduit à considérer l fonction f définie sur [ ; 7] pr f () = 70. Compléter le tleu de vleurs rrondies à 0,0., 6 6, 7 f ().. Trcer l coure représenttive C f dns un repère orthogonl d'unités grphiques : en scisses, ; en ordonnées,. y O Fig.. éterminer l constnte k telle que l fonction F () = k vérifie F (7) = Clculer l dérivée F ' () et conclure Clculer le nomre I = f () d Que représente le nomre J = I,,?

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