Chapitre 2. Dérivation (rappels) Convexité. 2.1 Dérivation (rappels) Sommaire Fonctions affines. Tracés

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1 hapitre Dérivation (rappels) onveité Sommaire. Dérivation (rappels) Fonctions affines Nombre dérivé Fonctions dérivées des fonctions usuelles Opérations algébriques et dérivation Variations et dérivée onveité Activités Bilan et compléments Eercices et problèmes Lectures graphiques Études de fonctions onveité Problèmes plus ou moins économiques Dérivation (rappels).. Fonctions affines Tracés. Dans un même repère, tracer les représentations graphiques des fonctions suivantes (définies sur R) : f ()= + 5 ; f ()= ; f 5 ()=+ 0 ; f ()= ; f ()=. f 6 ()=6.. Dans un autre repère, tracer les droites suivantes : D passant par H ( ; ) et de coefficient directeur ; D passant par I ( ; ) et de coefficient directeur ; D passant par K ( ; 0) et de coefficient directeur ; D passant par L (0 ; ) et de coefficient directeur ; D 5 passant par M ( ; ) et de coefficient directeur 0 ; 9

2 . Dérivation (rappels) Terminale ES Équations de droites Déterminer graphiquement les équations réduites des droites représentées sur la figure ci-dessous. D D 6 D D 5 D j O ı D D 5 D j O ı D 5 D.. Nombre dérivé On donne sur la figure. de la présente page la courbe représentative de la fonction f en indiquant les droites tangentes au points A, B et.. Donner par lecture graphique f () et f (6). Donner par lecture graphique f (), f (6) et f (). Déterminer l équation de la tangente à au point d abscisse. FIGURE.: Figure du paragraphe.. 6 A O B 0

3 Terminale ES. Dérivation (rappels).. Fonctions dérivées des fonctions usuelles ompléter le tableau ci-dessous. Fonction f définie sur Fonction dérivée f définie sur f ()=k (constante) R f ()= f ()=m+ p R f ()= f ()= n avec n N R f ()= f ()= R f ()= f ()= R + = [0;+ [ f ()=.. Opérations algébriques et dérivation Soient u et v définies et dérivables sur un même intervalle I. ompléter le tableau ci-dessous. Fonction ku avec k R u+ v u v u avec v() 0 v avec v() 0 v Fonction dérivée..5 Variations et dérivée. Rappeler le lien entre les variations d une fonction et sa dérivée.. La courbe de la figure. de la présente page est la représentation graphique d une fonction u définie sur R. Par lecture graphique : (a) Déterminer le signe de u() selon les valeurs de. (b) Déterminer le signe de u () selon les valeurs de. FIGURE.: Graphique de la question j O ı David ROBERT

4 . onveité Terminale ES. onveité.. Activités ATIVITÉ. (as général). On considère la fonction f : définie sur R. On appelle sa courbe représentative (donnée sur la figure ci-contre). On note A et M les points de la courbe d abscisses respectives et. On veut démontrer que le segment [AM] est audessus de la courbe M. Donner les coordonnées des points A et M.. Déterminer l équation réduite de la droite (AM).. Montrer que «(AM) est au-dessus de» «f ()» «f () () 0». O A. Déterminer le signe de f () ( ) selon les valeurs de. 5. onclure DÉFINITION. Soit une fonction f définie sur un intervalle I et sa courbe représentative. Si pour tous points distincts A et B de la courbe, le segment [AB] est situé au-dessus de alors on dit que la fonction f est convee sur I. Si pour tous points distincts A et B de la courbe, le segment [AB] est situé au-dessous de alors on dit que la fonction f est concave sur I. ATIVITÉ. (as d une fonction dérivable). On considère la fonction f : définie sur R. On appelle sa courbe représentative. Le travail ci-dessous est à effectuer sur Geogebra.. (a) Dans la barre de saisie, entrer la fonction f. (b) Par lecture graphique déterminer sur quel intervalle la fonction est convee et sur quel intervale elle est concave.. réer un point sur la courbe de f.. réer une tangente en A à la courbe de f (quatrième bouton).. Déplacer le point A sur la courbe de f, là où f est convee. (a) Que constate-t-on quant au positions relatives de la tangente et de la courbe? (b) Quelle est la variation du coefficient directeur de la tangente (affiché dans la fenêtre algèbre) lorsque l abscisse de A augmente? Que peut-on en déduire pour la dérivée de f? 5. Déplacer le point A sur la courbe de f, là où f est concave. (a) Que constate-t-on quant au positions relatives de la tangente et de la courbe? (b) Quelle est la variation du coefficient directeur de la tangente (affiché dans la fenêtre algèbre) lorsque l abscisse de A augmente? Que peut-on en déduire pour la dérivée de f?

5 Terminale ES. onveité 6. À l aide des observations faites au questions et 5, compléter les propriétés suivantes : PROPRIÉTÉ. Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I dont la courbe représentative est. Alors : «f convee sur I» «est de toutes ses tangentes». «f concave sur I» «est de toutes ses tangentes». PROPRIÉTÉ. Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I dont la courbe représentative est. Alors : «f convee sur I» «f est ». «f concave sur I» «f est ». 7. Que peut-on dire de la position de la tangente par rapport à la courbe là où la conveité de f change?.. Bilan et compléments onformément au programme, sauf mention d une preuve, les propriétés seront admises. onveité d une fonction f quelconque Définition.. Soit une fonction f définie sur un intervalle I et sa courbe représentative. Si pour tous points distincts A et B de la courbe, le segment [AB] est situé au-dessus de alors on dit que la fonction f est convee sur I. Si pour tous points distincts A et B de la courbe, le segment [AB] est situé au-dessous de alors on dit que la fonction f est concave sur I. onveité d une fonction f dérivable Propriété. (onveité et tangentes). Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I dont la courbe représentative est. Alors : «f convee sur I» «est au-dessus de toutes ses tangentes». «f concave sur I» «est au-dessous de toutes ses tangentes». Propriété. (onveité et dérivée). Soit f une fonction définie et dérivable, de dérivée f, sur un intervalle I et dont la courbe représentative est. Alors : «f convee sur I» «f est croissante». «f concave sur I» «f est décroissante». onveité d une fonction f deu fois dérivable Définition. (Dérivée seconde). Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I et telle que sa dérivée f est elle aussi dérivable, alors la dérivée de f est appellée dérivée seconde de f et notée f. On dira alors que f est deu fois dérivable. Propriété. (onveité et dérivée seconde). Soit f une fonction définie et deu fois dérivable sur un intervalle I. Alors : «f convee sur I» «f est positive». «f concave sur I» «f est négative». David ROBERT

6 . Eercices et problèmes Terminale ES Preuve. On sait que «f convee sur I» «f est croissante» or «f est croissante» «f est positive». De même on sait que «f concave sur I» «f est décroissante» or «f est décroissante» «f est négative». Point d infleion Définition. (Point d infleion). Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I et sa courbe représentative. On appelle point d infleion tout point M de où la tangente à la courbe en M traverse la courbe. Propriété. (onveité et point d infleion). Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I et sa courbe représentative et M( M ; M ) un point d infleion. Alors la conveité de f change en M. Propriété.5 (Point d infleion et dérivée seconde). Soit f une fonction définie et deu fois dérivable sur un intervalle I et sa courbe représentative. Alors : «M( M ; M ) un point d infleion» «f s annule et change de signe en M». Preuve. «M( M ; M ) un point d infleion» «la conveité de f change» «la dérivée f change de sens de variation» «f s annule et change de signe en M».. Eercices et problèmes.. Lectures graphiques EXERIE.. On a représenté, sur la figure. de la présente page, dans un repère orthogonal, la courbe représentative Γ d une fonction g définie et dérivable sur R. FIGURE.: Figure de l eercice. j O i A B 5 6 La courbe Γ passe par les points O(0 ; 0) et A( ; ). La droite (AB) est la tangente en A à la courbe Γ. La tangente à Γ au point d abscisse est parallèle à l ae des abscisses.. Déterminer graphiquement les valeurs de g (0), g (), g () et g ().. Une des représentations graphiques page ci-contre, figure., représente la fonction dérivée g de g. Déterminer laquelle.. Une des représentations graphiques page suivante, figure., représente une fonction h telle que h = g sur R. Déterminer laquelle. Vous justifierez vos choi à l aide d arguments basés sur l eamen des représentations graphiques. Γ

7 Terminale ES. Eercices et problèmes FIGURE.: ourbes de l eercice. ourbe ourbe j O i 5 6 j O i ourbe ourbe 5 j O 5 6 i j O i EXERIE.. On a représenté, sur la figure.5 page suivante, la courbe représentative Γ, dans un repère orthonornal, d une fonction f définie sur R. La courbe Γ passe par les points A(0 ; ) et ( ; 0) et la droite (AB) est la tangente en A à Γ. La tangente à Γ en son point D d abscisse est parallèle à l ae des abscisses.. Déterminer, à l aide des renseignements fournis par l énoncé, les valeurs de f (0) et de f (0).. Avec la précision permise par le graphique, résoudre les inéquations suivantes : f ()>; f () ; f () ; f ()<.. Parmi les trois représentations graphiques.6 page suivante, une représente la fonction dérivée f de f et une autre représente une fonction h telle que h = f sur R. Déterminer la courbe associée à Ia fonction f et celle qui est associée à la fonction h. Vous epliquerez avec soin les raisons de votre choi David ROBERT 5

8 . Eercices et problèmes Terminale ES FIGURE.5: Figure de l eercice. D A B FIGURE.6: ourbes de l eercice. ourbe ourbe ourbe O O O 6.. Études de fonctions EXERIE.. Soit f la fonction définie sur R\{} par : f ()= +6. On appelle sa représentation graphique dans un repère ( O; ı, j ).. Déterminer f ().. Étudier le sens de variation de f.. Déterminer une équation de la tangente T à au point d abscisse.. Déterminer les abscisses des points de où la tangente est parallèle à l ae des abscisses. 5. Déterminer les abscisses des points de où la tangente a pour coefficient directeur. EXERIE.. Soit f la fonction définie sur R\{} par f () = ++ et sa représentation graphique dans un repère ( O; ı, j ).. Déterminer f ().. Étudier les variations de f et dresser le tableau des variations de f.. Déterminer, s il en a, les coordonnées des points d intersection de avec les aes de coordonnées.. Déterminer, s il en a : (a) les abscisses des points de où la tangente est parallèle à l ae des abscisses. (b) une équation de T 0, la tangente à au point d abscisse 0. (c) les abscisses des points de où la tangente est parallèle à la droite d équation =. 6

9 Terminale ES. Eercices et problèmes 5. (a) Dans un repère orthogonal placer les points et représenter les tangentes rencontrés dans les questions précédentes. (unités graphiques cm = unité sur l ae des abscisses et cm = unités sur l ae des ordonnées) (b) Tracer dans le même repère. EXERIE.5. f est la fontion définie sur R\{} par : f ()= +8 On note la courbe représentative de f dans un repère du plan.. f est dérivable sur R\{} et on note f la fonction dérivée de f. (a) Justifer que f ()= 6+5 (). (b) Étudier le signe de f () selon les valeurs de. (c) Établir le tableau de variation de la fonction f (on indiquera les etremums locau de f ). (d) Soit A le point de la courbe dont l abscisse est et T la tangente en A à la courbe. Déterminer une équation de la droite T.. Dans un repère : (a) placer les points correspondant au etremums locau de f et A ; (b) tracer T et les tangentes horizontales à la courbe ; (c) tracer. EXERIE.6. Soient f et g deu fonctions définies sur R par, respectivement, f () = et g ()= Étudier les variations de la fonction g.. (a) alculer g (0) et g (). (b) Montrer que l équation g () = 0 admet une unique solution α [0 ; ]. (c) Déterminer un encadrement de α d amplitude 0. (d) Déduire de ce qui précède le signe de g () selon les valeurs de.. Étudier les variations de f... onveité EXERIE.7. Dans les cas suivants, par lecture graphique, étudier la conveité et l eistence de point(s) d infleion des fonctions dont les courbes sont représentées sur la figure ci-dessous. O 6 O 6 O David ROBERT 7

10 . Eercices et problèmes Terminale ES EXERIE.8 (Fonction cube). Soit f la fonction définie sur R par f ()=. On appelle sa courbe représentative (donnée cicontre).. Par lecture graphique, conjecturer la conveité de f. L objectif de cet eercice est de démontrer cette conjecture. O. (a) Déterminer f (). (b) Déterminer f () et étudier son signe. (c) Étudier alors la conveité de f et l eistence de point(s) d infleion. EXERIE.9 (Fonction racine). Soit f la fonction définie sur [0 ;+ [ par f ()= et dérivable sur ]0 ;+ [. On appelle sa courbe représentative (donnée ci-contre).. Par lecture graphique, conjecturer la conveité de f. L objectif de cet eercice est de démontrer cette conjecture.. (a) Déterminer f (). (b) Déterminer f () et étudier son signe. (c) Étudier alors la conveité de f et l eistence de point(s) d infleion. O 5 EXERIE.0 (Fonction inverse). Soit f la fonction définie et dérivable sur R par f ()=. On appelle sa courbe représentative (donnée ci-contre).. Par lecture graphique, conjecturer la conveité de f. L objectif de cet eercice est de démontrer cette conjecture.. (a) Déterminer f (). (b) Déterminer f () et étudier son signe. (c) Étudier alors la conveité de f et l eistence de point(s) d infleion. O 8

11 Terminale ES. Eercices et problèmes EXERIE.. On considère la fonction f définie sur R par f ()= +. On appelle sa courbe représentative (donnée sur la figure.7 de la présente page). FIGURE.7: ourbe de l eercice. 5 O. Par lecture graphique, conjecturer la conveité de f et l eistence de point(s) d infleion.. Vérifier vos conjectures par le calcul.. Donner l équation des tangentes au() point(s) d infleion et les tracer sur la figure. EXERIE.. On considère la fonction f définie sur R par f ()= +. On note la courbe représentative de cette fonction (donnée sur la figure.8 de la présente page). FIGURE.8: ourbe de l eercice O Par lecture graphique, étudier la conveité de la fonction f selon les valeurs de.. En déduire l eistence de trois points d infleion.. alculer f (), la dérivée de f et vérifier que f ()= ( +). Donner une équation de la tangente T 0 à la courbe au point d abscisse On note d()= f (). (a) Vérifier que d()= + David ROBERT 9

12 . Eercices et problèmes Terminale ES (b) En déduire le signe de d() suivant les valeurs de. (c) En déduire les positions relatives de la tangente T 0 et de la courbe. (d) Que peut-on en déduire pour O (l origine du repère)? 6. Un logiciel de calcul formel affiche les données suivantes : (%i) deriver((-^)/(^+)^,); ( - ) (%o) ( + ) ( + ) (%i5) factoriser(%o); ( - ) (%o5) ( + ) (a) Interpréter cet affichage. (b) En déduire que admet bien trois points d infleion dont on précisera les abscisses... Problèmes plus ou moins économiques PROBLÈME.. Une entreprise fabrique des sacs de lue en cuir. haque jour, elle produit un nombre de sacs, tel que Le coût, eprimé en euros, de la production journalière de sacs est donné par la fonction f définie sur [0 ; 70] par f ()= On appelle la courbe représentative de f (donnée sur la figure.9 de la présente page). FIGURE.9: ourbe Partie A. Étude de la fonction f.. Étudier le sens de variation de la fonction f.. Étudier la conveité de f et montrer qu elle admet un point d infleion I dont on déterminera les coordonnées ( I ; I ).. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe en I et représenter cette tangente dans le repère. 0

13 Terminale ES. Eercices et problèmes. On appelle coût marginal le coût supplémentaire induit par la dernière unité produite et on admet que le coût marginal est sensiblement égal à la dérivée du coût par rapport à la quantité produite. Montrer que le coût marginal m est minimum en I. Partie B. Étude du bénéfice. On suppose que tout la production est vendue au pri de 900 euros l unités. On note g () la recette journalière.. Déterminer l epression de g ().. Tracer sur la figure.9 page précédente la courbe Γ représentant la fonction g.. Déterminer graphiquement le nombre de sacs que doit fabriquer l entreprise pour réaliser un bénéfice positif.. On appelle h la fonction donnant le bénéfice de l entreprise. (a) Déterminer une epression de h(). (b) Étudier les variations de h et dresser son tableau de variations en indiquant les etremums. (c) En déduire le nombre de solutions de l équation h()=0 puis la résoudre. (d) Déterminer le signe de h() selon les valeurs de. (e) onclure. PROBLÈME.. Une épidémie a frappé les habitants d une ville. Partie A. Lectures graphiques. La courbe, donnée sur la figure.0 de la présente page, représente le nombre de personnes malades en fonction de temps t, eprimé en jour depuis le début de la maladie. FIGURE.0: ourbe t. Donner les jours où il a eu 000 malades.. Donner le jour où le nombre de malades est maimal ainsi que ce maimum.. Estimer le jour où la vitesse de propagation de la maladie est la plus grande. Partie B. Étude théorique. Le nombre de personnes malades en fonction du temps t, eprimé en jour, peut-être modélisé par la fonction f, définie sur l intervalle [0 ; 0], par f (t)= t + 0t. La vitesse de propagation de la maladie au jour t est assimilée au nombre dérivé f (t). David ROBERT

14 . Eercices et problèmes Terminale ES. Étudier les variations de la fonction f.. Déterminer le nombre de solutions sur [0 ; 0] de l équation f (t) = Un logiciel de calcul formel affiche ceci : (%i) factoriser(-^+0*^-000); (%o) - ( - 0) ( ) (a) Interpréter cet affichage. (b) En déduire les valeurs eactes des solutions de l équation f (t) = 000 pour t [0 ; 0]. (a) alculer la dérivée seconde f (t). (b) Étudier le sens de variation de la dérivée f. En déduire la conveité de la fonction f et en donner une interprétation. (c) Démontrer que la courbe admet un point d infleion. En donner une signification concrète. (d) alculer la vitesse de propagation de la maladie le diième jour.