Examen d Optimisation Numérique CORRIGE

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1 Uiversité Paris-Sud M1 Igéierie Mathématique 24 mars 211 Exame d Optimisatio Numérique CORRIGE Exercice 1 4 poits). Soit E R l ellipsoïde E = les ombres a i > sot fixés. Soit x / E. Démotrer qu il existe ue uique valeur de µ > telle que Cette valeur sera otée µ. a 2 i a 2 i x2 i + µ)2 = 1. { x = x 1,..., x ) R : xi a i ) 2 1 }, où Soit maiteat x = P E x) la projectio sur E de x. Justifier que cette projectio existe et est uique, et prouver qu elle est doée par x i = a ix i a 2 i + µ. La foctio φµ) := a 2 i x2 i a 2 i + µ)2 est ue foctio cotiue et strictemet décroissate de la variable µ R +. O a lim µ + φµ) = et φ) = x 2 i /a2 i. Or, x 2 i /a2 i > 1 puisque x / E. Doc, par le théorème des valeurs itermédiaires il existe ue valeur µ qui doe φ µ) = 1 et cette valeur est uique par mootoie. remarque : o aurait pu égalemet expliciter l équatio e µ qui est ue équatio d ordre deux, et vérifier qu elle a qu ue seule solutio positive, les calculs état cepedat u peu mois évidets. Chercher la projectio de x sur E reviet à miimiser fy) := x y 2, parmi les y E. Ce miimum existe parce que f est cotiue et E compact et il est uique parce que f est strictemet covexe et E covexe o aurait pu égalemet évoquer tout court le théorème vu e classe, comme quoi la projectio sur les covexes fermés est bie défiie). Or, fy) = 2y x), et c est impossible d avoir fy) = avec y E puisque f e s aule que e x, qui appartiet pas à E. Doc le miimum est sur la frotière et o veut appliquer le multiplicateur de Lagrage. La foctio gy) = yi a i ) 2 a pour gradiet 2y1 gy) = a 2 1, 2y 2 a 2 2,..., 2y ) a 2, qui e s aule qu e y =. O peut alors appliquer la méthode des multiplicateurs de Lagrage puisque ous sommes itéressés à la surface {g = 1} et sur cette surface o a g. Si y est u poit de miimum o a alors fy) + λ gy), ce qui sigifie i = 1,..., y i x i + λ y i a 2 i x i a 2 i = y i a 2 i + λ).

2 Ceci permet de dire y i = x ia 2 i a 2 i +λ. De plus, il faut gy) = 1, ce qui sigifie 1 a 2 i xi a 2 ) 2 i a 2 i + λ = 1. Ceci impose λ = µ si o peut prouver λ. Pour cela, o peut soit utiliser les coditios de Kuh- Tucket, qui ous doet le sige du multiplicateur, ou remarquer qu il faut fy) gy) puisque, pour h petit, o a y h gy) E puisque E = {g 1} et gy h gy)) = 1 h gy) 2 + oh) < 1) et fy h gy)) = fy) h fy) gy) + oh) fy), ce qui implique fy) gy) et doc λ. Exercice 2 6 poits). Résoudre le problème π [ 1 mi{jf) := 2 f t) 2 sit)ft)] dt ; f A}, où A := {f C 1 [, π]) : f) = fπ) = }. Idiquer la valeur miimale de J sur A aisi que la ou les foctios f la réalisat, e prouvat qu il s agit bie d u miimiseur. Posos Lt, x, v) = 1 2 v 2 sit)x. L équatio d Euler-Lagrage de ce problème est d L dt v t, ft), f t)) = L x t, ft), f t)) f t) = sit). Le coditios au bord vieet de f A, qui impose f) = fπ) =. Les solutios de f t) = sit) sot ft) = sit) + At + B il faut remarquer qu il e s agit pas vraimet ici d ue équadiff, mais juste d u double calcul de primitives). La coditio f) = impose B = et esuite fπ) = siπ) + Bπ = impose B =. La seule solutio est doc ft) = sit). C est doc la seule foctio de A qui puisse miimiser J. De plus, la foctio L état covexe par rapport à x, v), satisfaire l équatio d Euler-Lagrage avec les coditios au bord est aussi suffisat pour miimiser. Doc f miimise, ce que l o pourrait vérifier égalemet comme suit. Soit h A arbitraire et défiissos g = h f. Remarquos que g A aussi ce est pas vrai e gééral, ce qui se passe e gééral est que g s aule sur les poit du bord où les valeurs des foctios de A sot fixées ; e gééral, A est pas u espace vectoriel mais seulemet affie). Calculos π [ 1 Jf + g) = 2 f t) g t) 2 + f t)g t) sit)ft) sit)gt)] dt = Jf) + 1 π π g t) 2 [ dt + f t)g t) sit)gt) ] dt. 2 Or, l itégrale de g t) 2 est positive et pour l autre o a π [ f t)g t) sit)gt) ] dt = π [ f t)gt) sit)gt) ] dt = car f t) = sitt) les termes aux bores disparaisset puisque g s aule e et π). Doc Jf +g) Jf), c est-à-dire Jh) Jf) et f miimise. 2

3 L exercice demader à calculer la valeur miimale, il faut doc calculer maiteat Jf). O a π [ 1 π [ ] 1 2 f t) 2 sit)ft)] dt = 2 cost)2 sit) 2 dt = π 4. Exercice 3 6 poits). État doé a R o cosidère f a : Ω R défiie par où Ω = {x R : x < 1} f a x) = l1 x 2 )+ < a, x >, 1. Motrer que f a est strictemet covexe sur Ω. 2. Cosidérer le problème de miimisatio P a ) mi {f a x) : x 1 } 2, < a, x >. a) Résoudre P a ) pour a =. b) Justifier que le miimum de P a ) existe égalemet pour a. c) E supposat a et e appelat x le miimiseur, motrer que x et a sot coliéaires. d) E déduire que < a, x ><, et qu o peut doc igorer cette cotraite das les coditios d optimalité doées par les multiplicateurs de Lagrage. Expliciter alors ces coditios sous la forme d u système d équatios. e) Trouver le miimiseur x. La foctio x < a, x > est liéaire et doc covexe mais o strictemet). La foctio x l1 x 2 ) est strictemet cocave sur so domaie de défiitio, qui iclut Ω, e tat que compositio de deux foctios strictemet cocaves, dot celle à l extérieur croissate la seule cocavité des deux foctios e suffit pas, imagiez par exemple de composer ue foctio cocave avec la foctio x x, qui est cocave mais chage le sige de la cocavité du résultat). Pour vérifier cela, preez f : R R cocave et g : R R cocave croissate. O a alors gf1 t)x + ty)) > g1 t)fx) + tfy)) > 1 t)gfx)) + tgfy)), la première iégalité état justifiée par la cocavité de f et la croissace de g, la deuxième par la cocavité de g. Globalemet, f a résulte strictemet covexe. Pour le cas a = il suffit de remarquer qu o veut miimiser l1 x 2 ). Doc maximiser 1 x 2. Doc miimiser x 2. La seule solutio est doc x =. Pour a le miimum existe éamois puisque l esemble {x : x 1 2, < a, x > } est compact et f est cotiue. Pour démotrer que a et x sot coliéaires il suffit de remarquer que, parmi tous les vecteurs qui ot la même orme que x, il vaut mieux choisir celui qui a le même directio de a. E effet, chager la directio e chage rie à la partie avec le logarithme, qui e déped que de x, mais peut chager le produit scalaire. Et le produit scalaire est miimale quad les directios sot opposées et maximales quad elles sot égales). O vet de dire que x = λa avec λ. Il faut juste démotrer λ. Si c était le cas, o aurait x =. Or, si o pred le vecteur y = ta ce vecteur, pour t > suffisammet petit, est admissible il satisfait y 1/2 et < a, y >= t 2 ) et f a y) = t 2 2 t 2 + ot 2 ), ce qui doe fy) < = f) pour t petit. Doc e peut pas être u miimum pour a. La cotraite < a, x > état pas saturée par l optimum x, o peut alors dire que 3

4 soit x < 1/2 et x est à l itérieur, et alors f a x) =, c est-à-dire 2x 1 x 2 + a =, soit x = 1/2 et x est sur le bord, et alors f a x) + g x) =, où g est ue foctio qui exprime la cotraite, qu o peut écrire x 2 = 1 4 et predre doc gx) = x 2 ; o a doc 2x + a + 2λx =, 1 x 2 x 2 = 1 4. évetuellemet o peut remplacer la valeur de x 2 das le déomiateur de f a. Pour trouver le miimiseur o peut se coteter de le chercher parmi les vecteurs du type t a avec t [, 1/2], e miimisat doc la foctio ht) = f a t a ) = l1 t2 ) t. Cette foctio est ue foctio covexe dot la dérivée vaut h t) = 2t. O sait déjà que cette foctio est pas miimisée e t =, elle est doc miimisée soit e t = 1/2, soit e u poit t ], 1/2[ tel que =. Ce deuxième cas est vérifié quad 2t 1 t 2 de ces deux solutios seule t 2 t 2 + 2t = t = 1 ± 1 + 2, est positive. Il y a doc deux cas soit < 1/2, ce qui correspod à < 4 3, et alors le miimiseur x est a, soit /2, ce qui correspod à 4 3, et alors x = 1 2 Exercice 4 4 poits). Soiet B + et B les boules fermées das R 2 de rayo 1 cetrées e 1, ) et 1, ), respectivemet, et Q le carré [ 1, 1] [ 1, 1]. Soit K = B + B Q. Dessier cet esemble K, qui est u covexe ; écrire ue formule pour la projectio sur K, qu o appellera P K. La formule doit être de la forme P K x, y) =... avec des calculs explicites et, évetuellemet, des cas à distiguer. a y x 1, y 1 ) P K x 1, y 1 ) B Q B + x P K x 2, y 2 ) x 2, y 2 ) Figure 1 Le covexe K Le dessi du covexe K est doé e figure. Il est facile de de redre compte évetuellemet) e distiguat plusieurs cas) que la projectio d u poit x, y) sur K est soit la projectio sur B + si x 1), soit sur B si x 1), soit sur Q si 1 x 1). 4

5 E coaissat les projectios sur des rectagles et des disques o peut coclure ) x 1 1 +, y x 1) 2 +y 2 x 1) 2 +y 2 si x 1 et x 1) 2 + y 2 1, x, y) si x 1 et x 1) 2 + y 2 < 1, x, 1) si 1 < x < 1 et y 1, P K x, y) = x, y) si 1 < x < 1 et 1 < y < 1, x, 1) si 1 < x < 1 et y < 1, x, y) si x 1 et x + 1) 2 + y 2 < 1, ) x+1 1 +, y si x 1 et x + 1) 2 + y 2 1. x+1) 2 +y 2 x+1) 2 +y 2 Cette même projectio peut égalemet s écrire à l aide d autres formules équivaletes, otammet e utilisat des expressios avec mi et max. Par exemple, défiissos Rx, y) = mi{ x 1) 2 + y 2, x + 1) 2 + y 2 }, qui correspod à la plus petite des deux distaces aux poits, 1) et, 1). O a alors ce qui est exactemet la même chose. 1, ) + x 1,y) max{rx,y),1} si x 1 P K x, y) = x, mi{1, max{y, 1}})) si 1 < x < 1 1, ) + x+1,y) max{rx,y),1} si x 1, Exercice 5 4 poits). Ue quatité variable est observée aux istats t i et doe lieu à des observatios k i. Ces observatios devraiet découler d ue foctio f, qui est supposé être de type siusoïdal la fréquece état coue aussi) et o veut trouver la foctio qui approche mieux les observatios au ses des moidres carrés. O cosidère toutes les foctios de la forme ft) = A + B siωt φ), ω état ue fréquece fixée. Le but est de trouver A, B et φ qui miimiset JA, B, φ) := A + B siωt i φ) k i ) 2. S agit-il d u problème d optimisatio covexe c est-à-dire : J est-elle ue foctio covexe de 3 variables)? O le réécrit sous la forme suivate : o cherche maiteat ue foctio g doée par gt) = A + B siωt) + C cosωt) qui miimise HA, B, C) := A + B siωt i ) + C cosωt i ) k i ) 2. Justifier que ce problème est équivalet au précédet, e motrat que la classe des foctios g de ce type coïcide avec la classe des foctios f itroduite précédemmet. S agit-il maiteat d u problème covexe? Réécrire ce derier problème comme u problème d optimisatio quadratique, e trouvat ue matrice symétrique M, u vecteur v et ue costate c qui permettet de l écrire sous la forme mi 1 < Mx, x > < v, x > +c. 2 Suggérer u algorithme qui trouve sa solutio exactemet e u petit ombre d itératios, et estimer ce ombre. 5

6 La foctio J est pas covexe puisqu elle est périodique mais o costate par rapport à sa troisième variable φ. L équivalece etre la miimisatio de J et de H viet du fait que toute foctio s exprimat comme B siωt+φ) pour B, φ) R 2 s exprime égalemet comme combiaiso liéaire de siωt) et cosωt), e utilisat l égalité B siωt + φ) = B cos φ siωt) + B si φ cosωt). Cette trasformatio est égalemet iversible, puisque B siωt) + C cosωt) = B ) 2 + C ) 2 siωt + φ) pour φ = arctac /B ) et φ = π/2 si B = ). La foctio H est maiteat covexe puisque quadratique et défiie positive. Elle peut égalemet s expliciter comme HA, B, C) = A 2 + B 2 siωt i ) 2 + C 2 cosωt i ) 2 +2AB siωt i ) + 2AC cosωt i ) + 2BC siωt i ) cosωt i ) +2A k i + 2B siωt i )k i + 2C cosωt i )k i + ki 2, ce qui doe ue matrice M de taille 3 3 de la forme siωt i ) cosωt i ) M = 2 siωt i ) siωt i ) 2 siωt i ) cosωt i ), cosωt i ) siωt i ) cosωt i ) cosωt i ) 2 u vecteur v de la forme et ue costate ) v = 2 k i, siωt i )k i, cosωt i )k i, c = ki 2. L algorithme du gradiet cojugué trouverait la solutio exacte de ce problème e 3 itératios la dimesio de l icoue état ici 3). 6