Chapitre 2 SIMILITUDE ET ADIMENSIONNEMENT 2.1. PROBLÈMATIQUE

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1 Chaitre SIMIIUDE E ADIMENSIONNEMEN Il y a encre une grande décuverte à faire en littérature : ce serait de ayer les écrivains seln la uantité de livres u ils s engageraient à ne as écrire. hmas CARYE.1. PROBÈMAIQUE es éuatins générales établies au chaitre 1 divent ermettre, en thérie, de résudre tus les rblèmes de transferts relatifs aux fluides newtniens. En ratiue ceendant, il y a une uasi-imssibilité à résudre cmlètement ces éuatins à chaue instant et en tut int de l éculement, sauf dans uelues cas articuliers. Il est dnc indisensable de rcéder à une simlificatin, en établissant une méthde de travail lus ératinnelle, et en élabrant des mdèles schématisés ui cnstituent ceendant une descritin aussi fidèle ue ssible de la réalité bservable. On urra ainsi établir des lis hénménlgiues d un usage beaucu lus cmmde. Dans ce but, et vu la multilicité des aramètres ui interviennent dans l ensemble des éuatins de bilans, il eut araître judicieux de les agglmérer sus frme de gruements adimensinnels, ur faciliter l interrétatin et la cmaraisn des résultats exérimentaux. Pur ce faire, la méthde la lus naturelle cnsiste à imlanter des grandeurs sans dimensin dans les éuatins. Avec les démarches classiues cmme l analyse dimensinnelle u l analyse d échelle, la significatin hysiue des nmbres sans dimensin ne ressrt as tujurs clairement, et certains d entre eux snt intrduits d une façn uelue eu arbitraire. Nus cherchns dans ce chaitre à mntrer l intérêt ue résente l élabratin d une méthde systématiue. A cet égard, l util ue cnstitue l éuatin générale de bilan manifeste ici sa fécndité. Partant de l éuatin lcale ur une grandeur C, n l écrit sus frme adimensinnelle, en faisant en srte ue le cefficient du terme de transrt ar la matière sit égal à 1. Aaraissent alrs des «critères de similitude», gruements sans dimensin assciés chacun à un terme de surce, et tels ue deux exériences différentes dnnernt des résultats semblables si les critères de similitude nt la même valeur dans l une et dans l autre. a significatin hysiue et la fnctin de ces aramètres snt alrs nettement maruées. Par exemle, dans ce frmalisme, le nmbre de Reynlds aaraît cmme un critère de similitude relatif aux cntraintes visueuses dans le bilan de uantité de muvement, alrs ue l interrétatin traditinnelle le dnne ur un «rart entre les frces d inertie et les frces

2 de viscsité», ce ui est lus u mins cnvaincant (cmment dnc exliuer ce u est une «frce d inertie» dans un éculement nn accéléré?). On dit bien suligner le fait ue si tus les critères de similitude snt, ar essence, des nmbres sans dimensin, tus les nmbres sans dimensin ne snt as des critères de similitude. Nus verrns ue armi les nmbres sans dimensin d usage curant, certains juent effectivement ce rôle (nmbres de Reynlds, de Stantn ) ; d autres se résentent cmme des termes de culage entre des surces de même nature, mais ne relevant as des mêmes bilans (nmbre de Prandtl ) ; d autres enfin ne snt ue des aramètres adimensinnés (nmbre de Nusselt ). Il est à nter aussi ue la méthde s aliue à tutes les éuatins de bilans, y cmris les éuatins intégrales, et eut générer de nuveaux critères de similitude ui ne sernt tributaires d aucun chix arbitraire. Dans la dernière artie, nus attirns l attentin sur les avantages de la similitude, mais aussi sur ses limites, et nus mettns le lecteur en garde cntre les risues d un emli tr systématiue, u mal maîtrisé, des nmbres sans dimensin. Pur cmmencer, un retur à l exérience va ermettre de discerner les éléments essentiels à une telle démarche, ce ui nus cnduira à une méthdlgie basée sur la ntin de similitude ; lus tard, l analyse des dnnées exérimentales abutira à la mise en lace de deux mdèles descritifs : le mdèle de cuche limite et le mdèle statistiue de la turbulence... PREMIERS APPORS DE EXPÉRIENCE..1. Exérience de Reynlds (1883) DESCRIPION exérience sur lauelle nus allns nus auyer aartient, cmme celle de Cuette ( 1.1.3), à cette catégrie de réalisatins ui, tut en étant très simles dans leur rincie, ssèdent une grande richesse heuristiue et édaggiue. De lus, histriuement, il s agit sans dute de la remière véritable exérience de visualisatin. Elle cnsiste à bserver l éculement d un liuide dans un tube transarent dnt la ari intérieure est eu rugueuse. e tube est alimenté ar un réservir à niveau cnstant (fig..1) et il cmrte une vanne R à sn extrémité. Pur visualiser la structure de l éculement, n y intrduit un clrant liuide au myen d une iette fine lacée à l entrée du tube, aussi rigureusement ue ssible dans l axe de celui-ci. alimentatin en clrant est également réalisée au myen d un réservir à niveau cnstant, un etit rbinet R ermettant d ajuster la vitesse du clrant à celle du fluide OBSERAION Au déart, la vanne R est fermée ; l exérience cnsiste à l uvrir rgressivement, ar étaes, et dnc à augmenter as à as la vitesse du liuide dans le tube. e cmrtement du clrant met alrs clairement en évidence tris hases dans l asect de l éculement.

3 FIG..1. Exérience de Reynlds. Phase 1. Au début, ur les vitesses faibles, le filet clré issu de la iette est arfaitement rectiligne jusu à la srtie du tube. On n bserve aucun mélange entre le clrant et le liuide (fig..). Phase. A artir d une certaine valeur de la vitesse, le filet clré se met à nduler et s éaissit rgressivement vers l aval de l éculement. rsu n augmente encre la vitesse, les ndulatins s amlifient et il aaraît en aval une zne de mélange ù le clrant se diserse ttalement dans l éculement. Cette zne de mélange se délace vers l amnt en même tems ue crît. FIG... Régimes d éculement dans une canalisatin. Phase 3. a zne de mélange atteint l entrée du tube. Dès sn éjectin, le clrant est entièrement dilué dans le liuide, ce ui imliue un brassage cmlet des articules fluides dans le tube.

4 es tris tyes d éculements mis en évidence ar l exérience snt resectivement ualifiés de laminaire (hase 1) et turbulent (hases et 3). Pur des raisns ui sernt justifiées lus lin, n aelle turbulent «lisse» le régime crresndant à la hase, et turbulent «rugueux» celui ui crresnd à la hase 3. De lus, Reynlds a mntré, en utilisant différents liuides et différents diamètres de tubes, ue la transitin laminaire turbulent (hase 1 hase ) ne déend as séarément des aramètres, u µ (viscsité dynamiue du liuide), u ρ (masse vlumiue) u D (diamètre du tube), mais uniuement du gruement ρd/µ, ui est un nmbre sans dimensin. Il fut cnvenu ar la suite d aeler nmbre de Reynlds ce gruement ue nus nterns désrmais Re. ρ D Re µ a valeur critiue Re c du nmbre de Reynlds ui caractérise la transitin laminaire turbulent eut varier légèrement avec certaines cnditins exérimentales (gémétrie de l entrée du tube ar exemle), mais elle n est jamais inférieure à, sa valeur la lus curante étant visine de.... Exérience de la laue lane On eut se demander si certains asects des bservatins récédentes ne snt as liés au caractère articulier de la gémétrie cylindriue u à la nature du fluide (l exérience est lus difficile à mettre en euvre avec un gaz). Une série d bservatins cmlémentaires réalisées en gémétrie lane mntre u il n en est rien. Une laue lane de surface lisse est lngée dans un éculement de fluide (gaz u liuide) dnt la vitesse U est unifrme ; elle est dissée arallèlement à la directin de U, et sn brd d attaue est biseauté ur éviter des hénmènes arasites (fig..3). FIG..3. Régimes d éculement sur une laue lane En un int chisi à rximité de la laue et du brd d attaue, n fait arriver un filet de clrant (liuide u gaz seln la nature de l éculement rincial), à la même vitesse U. Cmme dans l exérience de Reynlds, n bserve le cmrtement du clrant et l n cnstate l aaritin de hénmènes analgues :

5 e filet clré est d abrd rectiligne et bien individualisé, ce ui crresnd, d arès la définitin du aragrahe récédent, à une zne d éculement laminaire. Arrivé à une certaine distance du brd d attaue, le filet cmmence à nduler en s éaississant, uis se dilue dans le fluide ; n recnnaît ici une zne d éculement turbulent. Dans le cas résent, il n est dnc as nécessaire de faire varier la vitesse ur bserver les différentes structures d éculement uisue celles-ci cexistent le lng de la laue lane. En réitérant l exérience ur différentes vitesses et différentes viscsités de fluides, n cnstate en utre ue la transitin laminaire turbulent est caractérisée ar une valeur critiue du gruement ρu x/µ, l abscisse x étant mesurée le lng de la ari à artir du brd d attaue. a arenté de ce terme sans dimensin avec le aramètre ρd /µ de l exérience récédente cnduisit à l aeler également nmbre de Reynlds. On a dnc ici : Re ρu µ x Si x c est l abscisse de transitin, la valeur critiue de Re, sit Re xc ρu x c /µ, est de l rdre de Exlitatin des exériences Ainsi u il a déjà été annncé au début de ce chaitre, les exériences ue l n vient de décrire nt l intérêt d être simles à interréter et de suggérer à la fis des mdèles ur les éculements laminaires et turbulents, et une méthde générale de travail ANAYSE QUAIAIE E MODÉISAION éculement laminaire se caractérise ar une uasi absence de mélange entre le fluide et le clrant. Il se rduit bien un mélange dû à la diffusin mléculaire, mais celui-ci est très lent. ut se asse dnc en fait cmme si les articules fluides suivaient des trajets ui ne s entrecrisent jamais. utes les articules issues d un même int frment une srte de «filet fluide» analgue à un rail ui ne cmrterait as d aiguillages. Pur des cnditins aux limites statinnaires, les aramètres de l éculement (,,, etc.) snt des cnstantes. A artir de ces aarences, n eut dessiner un remier mdèle ù le fluide en éculement serait cnstitué de lames minces (d ù le terme de laminaire) ui glisseraient les unes sur les autres, en exerçant sur leur surface de cntact un effrt de frttement τ ij dû à la viscsité. Cet asect a déjà été évué à rs de l éculement de Cuette ( ). D autre art, dans le secnd tye d éculement, ualifié de turbulent, il se rduit endant le délacement un mélange rgressif entre le fluide et le clrant, uis un brassage général. Ceci exige un enchevêtrement des trajectires suivies ar les articules fluides, et indiue l aaritin lcale de muvements instatinnaires tridimensinnels ui ne snt as induits directement ar les cnditins aux limites uisu ils se manifestent même lrsue celles-ci snt statinnaires. On ne eut dnc lus arler ici de filets fluides u de lames fluides. a ntin de trajectire garde évidemment un sens hysiue mais erd tut intérêt ératinnel.

6 Cette interrétatin cnduit tut naturellement à un mdèle d éculement turbulent dans leuel un muvement chatiue, d aarence aléatire, se suerserait à un muvement d ensemble cnsidéré cmme muvement myen, c est-à-dire ur le remier à un mdèle statistiue. Ce muvement, d asect irrégulier (du mins à remière vue) cnstitue le hénmène de la turbulence. a descritin des éculements turbulents fera l bjet du chaitre UNE MÉHODE DE RAAI : A SIMIIUDE Penchns-nus maintenant sur le dernier enseignement des exériences récédentes. Celle-ci mettent en jeu uatre aramètres ue l n eut mdifier : la vitesse du fluide ( u U ), une lngueur (diamètre D du tube u lngueur de la laue), la masse vlumiue ρ et la viscsité dynamiue µ du fluide. Mais n bserve ue le critère de transitin laminaire turbulent fait intervenir un seul aramètre adimensinnel Re ui cmbine les uatre récédents. On eut alrs légitimement se demander si d autres rriétés des fluides en éculement ne urraient as être décrites également ar un nmbre réduit de gruements sans dimensin. Plus récisément, eu égard au nmbre élevé de aramètres nécessaires ur décrire cmlètement un rblème d éculement anistherme (ρ,,,, µ, etc.), l interrgatin essentielle dit être frmulée en ces termes : «A uelle cnditin eut-n attribuer une valeur générale à une exérience articulière?». Ou encre : «Peut-n établir des lis de cmrtement ui ne fassent as intervenir les cnditins articulières relatives à telle u telle exérience?». a méthde ui ermet de réndre ar l affirmative à ces uestins rte le nm de similitude. Bien entendu, la même uestin se se dans tutes les branches de la hysiue, mais elle rend une imrtance majeure en thermcnvectin ur la raisn indiuée lus haut. En utre, si elle se se d abrd au théricien, elle résente aussi un intérêt tut articulier ur l ingénieur ui ne eut, dans bien des cas, ni résudre sn rblème cmlet ar le calcul (encre ue les chses cmmencent à changer dans ce dmaine), ni rendre le risue financier d une exérimentatin directe en grandeur nature et dans les cnditins nrmales d utilisatin. Ce sera le rôle d une étude sur mauette ue d arter des renseignements sur le cmrtement du mdèle définitif, la similitude ermettant de transser de l une à l autre les résultats btenus. Intuitivement, n se rend cmte, ar exemle ue, ur u il y ait similitude entre deux éculements, il est nécessaire ue les trajectires des articules fluides sient semblables (similitude gémétriue, imliuant celle des frntières) et ue les articules ccuent des sitins hmlgues à des instants hmlgues (similitude cinématiue). Il reste maintenant à réciser et à cmléter ces dnnées intuitives UN OUI DE RAAI : ADIMENSIONNEMEN D une façn mins cntraignante, n eut aussi se cntenter d utiliser des gruements sans dimensin uniuement ur diminuer le nmbre des aramètres mis en jeu, sans faire sécifiuement référence à la similitude. Ceci élargit l éventail des ssibilités, car il existe des nmbres sans dimensin ui ne snt as rerésentatifs d une similitude, mais ui snt néanmins des utils de travail utiles et aréciés. Nus les asserns en revue au.5.

7 .3. ES FONDEMENS DE A SIMIIUDE Avant de nus intéresser de façn lus arfndie aux mdèles d éculements (ch. 3 et suivants) nus examinerns d abrd la uestin de la similitude, en essayant de ser le rblème dans tute sa généralité Frme adimensinnelle d une éuatin de bilan Nus artirns de l éuatin générale de bilan lcal (1.4) ur une entité hysiue scalaire : C div( C ) I div t S en raelant le sens des ntatins : C densité vlumiue de l entité cnsidérée I débit lcal des surces de vlume S densité de flux lcale des surces de surface Il va nus être utile d indiuer, dans l écriture de l éuatin récédente, ue ur une entité dnnée, les surces de surface aussi bien ue de vlume euvent être de lusieurs srtes, ce ue nus symbliserns ar des smmatins sur deux indices n et m : C t div( C ) In n m div Sm (.1) Si l n veut faire aaraître dans cette éuatin des gruements sans dimensin, et s affranchir ur sa réslutin des valeurs articulières de certains aramètres, n est cnduit à y intrduire des variables adimensinnelles. Il cnvient ur cela de cmarer chaue variable à une valeur de référence (à l inverse, l idée même de cmaraisn cnduit tut naturellement à la ntin de grandeur sans dimensin). Pur les crdnnées d esace et de tems, n chisira ainsi : : lngueur de référence relative à la gémétrie de l éculement (u «échelle de lngueur») t : durée de référence (u «échelle de tems»). es grandeurs de référence relatives à (grandeur scalaire) In et C,,, sernt, uant à elles, ntées C, In Sm (scalaire également). es variables adimensinnelles (u variables réduites) snt alrs définies de la façn suivante : Sm x y z x ; y ; z ; t C C ; C In In ; Sm In Sm Sm t t (.)

8 Deux remarues s imsent à rs des définitins récédentes. Premièrement, uisu n ne eut as diviser un vecteur ar un autre, la référence d une grandeur vectrielle est bligatirement un scalaire. Deuxièmement, le chix d une même lngueur de référence dans les tris directins de l esace araît à remière vue une nécessité lgiue, mais il y a des exemles (cmme les entrées de canalisatins) ù ce chix est hysiuement inarrié. Nus en arlerns au chaitre 6 ( 6.5). Remlaçns maintenant x, y, z, t, C, In, et dans l éuatin (.1). On a en articulier : C t C t C t C C ( C ) (et de même ur y et z). x x éuatin (.1) s écrit dnc : Sm en fnctin des nuvelles variables C t C t C div C In In n ù tus les cefficients snt de dimensin [C] [t] - 1. m Sm div Sm (.3) Nus uvns rendre cette relatin cmlètement adimensinnelle en multiliant les deux membres ar /C, ui est de dimensin [t][c] 1. ératin résente en articulier l avantage d isler le terme de transrt : div C. On btient ainsi : t C t div C n C In In m C Sm div Sm (.4) Bien entendu, tut ceci n a de sens ue si les grandeurs de référence C,. snt des cnstantes. es gruements sans dimensin ui snt aarus dans l éuatin (.4) résentent un grand intérêt. Nus les nterns resectivement Γ t, Γ In, Γ Sm : Γt t In Γ In (.5) C Sm ΓSm C d ù l écriture définitive de l éuatin générale adimensinnelle de bilan lcal : C Γ t div C Γ In In Γ Sm div Sm (.6) t n m

9 On abutit à des cefficients Γ identiues aux récédents si l n raisnne sur une grandeur vectrielle. a méthde ssède dnc une validité tut à fait générale..3.. es critères de similitude étude d un rblème de thermcnvectin sus frme adimensinnelle cnduit dnc à résudre un système de lusieurs éuatins de bilans du tye (.6), éuatins relatives aux différentes entités hysiues ui divent être rises en cmte. es incnnues snt habituellement les distributins C (x, y, z, t ) des grandeurs hysiues cnsidérées. es termes de surces In, Sm et les vitesses déendent en général des grandeurs C. A titre d aide-mémire, n truvera en annexe (.A.1) des tableaux raelant les rinciales surces imliuées dans les bilans ue nus aurns à utiliser. On vit ue deux rblèmes différents urrnt être ualifiés de semblables s ils nt des slutins adimensinnelles identiues, car alrs, en tus ints hmlgues des deux éculements (ints ayant les mêmes crdnnées réduites x, y, z ), les grandeurs C,, In, Sm sernt dans des rarts cnstants. identité des slutins imliue en articulier ue les cefficients Γ définis ar (.5) sient resectivement égaux. es Γ cnstituent dnc un ensemble de «critères de similitude», chacun d eux étant relatif à une grandeur C et à une surce dnnées, c est-à-dire à un rblème hysiue bien récis (sauf Γ t, sur leuel nus reviendrns dans un instant).. Crrélativement, il y a invariance des slutins dans tute transfrmatin réalisée à Γ cnstants. Enfin, les critères de similitude snt évidemment indéendants du système d unités uisu ils snt sans dimensin. e chix ue nus avns fait dans la cnstructin des éuatins adimensinnées (cefficient 1 devant le terme de transrt) revient à imser la similitude à l échelle 1 ar rart au flux transrté, et à chercher à uelles cnditins une similitude sera également assurée ur les surces. Ceendant, l égalité des cefficients Γ ne suffit as à assurer l identité des slutins. Il faut en utre vérifier l identité des cnditins aux limites et des cnditins initiales, exrimées également sus frme adimensinnelle. En articulier, les surfaces frntières des systèmes cnsidérés devrnt avir les mêmes éuatins en x, y, z. Ceci imliue la similitude gémétriue des frntières des deux éculements. A ce rs, la réalisatin d une mauette exérimentale est rdinairement entendue dans un sens diminutif, «mauette» étant identifiée à «mdèle réduit» ; cette cncetin est tr restrictive, car la similitude autrise arfaitement l usage de «mdèles agrandis» si les dimensins du système à étudier snt tr etites. es critères de similitude snt cnstruits à artir de grandeurs de référence sur lesuelles nus n avns dnné ur l instant aucune récisin. En fait, les chix de ces grandeurs snt a riri arbitraires mais, en ratiue, ils divent être en relatin avec les hénmènes hysiues cnsidérés. Par exemle, ur un éculement dans un tuyau de sectin circulaire, l exérience de Reynlds nus mntre ue la dimensin caractéristiue du hénmène n est as la lngueur du tube, mais sn diamètre. a lngueur de référence sera dnc ici le diamètre D. A l inverse, ur l éculement sur une

10 laue lane, l exérience mntre ue c est la lngueur mesurée deuis le brd d attaue ui est rerésentative du hénmène, et c est dnc elle ui sera naturellement chisie cmme valeur de. utes récisins sur les chix des grandeurs de référence sernt dnnées au fur et à mesure des besins dans les chaitres d alicatins. Signalns tutefis dès maintenant, car ceci est imrtant, ue d une façn générale les grandeurs de référence sernt chisies sur des surfaces frntières. Ce sernt dnc des cnditins aux limites. rsue l n veut rendre deux rblèmes semblables, l égalité des cefficients Γ assure alrs is fact l identité de certaines cnditins aux limites. Si le rblème étudié cmrte au ttal N surces, il n y aura as frcément N critères Γ indéendants. En effet, certaines surces snt culées entre elles, ce ui se traduit ar des relatins de déendance entre les Γ crresndants (.5). Avec l intrductin de la similitude, l un des buts ursuivis sera d établir la frme de ces relatins. Enfin, en l absence de surces, une éuatin de bilan devient une simle éuatin de cnservatin. En régime ermanent, il n y a lus de critères de similitude. Pur ue deux rblèmes sient semblables, il suffit alrs ue les cnditins aux limites exrimées en variables adimensinnelles sient identiues Cnditins de validité de la similitude invariance des lis hysiues entre mdèle et mauette est évidemment l essence même de la similitude. A cntrari, aucune similitude n est ssible si les lis ui guvernent les transferts ne snt as cnservées lrs d un changement d échelle (au sens large du terme : échelle de tems, de lngueur, de temérature, échelle dans les rriétés thermhysiues ). Pur dnner un exemle cncret, n ne eut as envisager de similitude entre un éculement d air à l échelle centimétriue et à ressin ambiante, et un éculement d air à échelle micrmétriue u à très faible ressin : le changement d échelle fait ue le libre arcurs myen des mlécules devient du même rdre de grandeur ue les dimensins du système ; le gaz ne eut lus alrs être cnsidéré cmme un milieu cntinu (cf ) et les lis de cmrtement (relatins cntraintes / défrmatins u flux de chaleur / écart de temérature) changent de frme. Mais bien entendu, n eut tujurs cnstruire une similitude dans tut dmaine à l intérieur duuel les lis hysiues snt cnservées, les définitins générales des critères Γ relatifs à chaue surce restant valables dans leur frme générale (.5)..4. PANORAMA DES CRIÈRES DE SIMIIUDE.4.1. es rincies et l usage Arès cette résentatin glbale, il cnvient maintenant de réciser les exressins des critères de similitude ui interviennent dans les relatins de bilans établies au chaitre 1. Malheureusement, l usage a imsé des nmbres sans dimensin ui ne cïncident as exactement avec les cefficients Γ. C est ainsi ue les nmbres de Struhal (.9), de Reynlds (.6) u de Péclet (.57) snt les inverses des Γ crresndants, tandis ue

11 d autres (nmbre de Grashf (.9), de Bussines (.61) ) en snt les inverses élevés au carré. Dans le rincie, ceci est regrettable, mais la significatin de ces nmbres cmme critères de similitude n est as en cause ur autant : il y a seulement un renversement d échelle, et en lus, dans le secnd cas, une distrsin dans l échelle des valeurs numériues utilisées, ar rart à celles des critères Γ. On truvera en Annexe.A.1 des tableaux ui récaitulent l ensemble des critères de similitude et des surces auxuelles ils se rattachent, ainsi ue d autres nmbres sans dimensin d usage curant e critère de similitude temrelle Cmmençns ar le cefficient Γ t, ui n intervient ue dans les hénmènes instatinnaires (éuatin.6). Sn exressin est dans tus les cas : Γ t t Il s agit d un critère de similitude temrelle ur leuel deux situatins snt à cnsidérer. e terme instatinnaire C / t est lié directement à l évlutin dans le tems des cnditins aux limites. Par exemle, si la vitesse à l entrée d une canalisatin varie en fnctin du tems, la uantité de muvement ρ déendra de t en chaue int. Sit dl le délacement d une articule fluide endant une durée dt : dl dt Psns : dl dl / ; n a : dl dt.t dt (.7) Ici, n ne eut as chisir la durée de référence t de façn arbitraire, si le chix de et de a déjà été fait, car n dit avir, en crdnnées réduites : dl dt d ù en rarchant de (.7) : t On a ar cnséuent : t et : Γ t 1 (.8) a similitude temrelle est autmatiuement assurée à l échelle 1. e terme instatinnaire C / t n est as lié à l évlutin des cnditins aux limites. C est ce u il se asse ar exemle dans un éculement turbulent, ù le muvement est instatinnaire même uand les cnditins aux limites snt statinnaires (..3.1), u

12 encre dans certains échangeurs thermiues ui snt arfis le siège de muvements vibratires S il y a suersitin d un muvement vibratire à un muvement myen, le terme C / t eut se dédubler ; il faut dnc a riri cnsidérer deux critères de similitude temrelle : - le remier, relatif au muvement myen, est égal à 1 d arès ce ui récède ; - dans le secnd, n chisira ur durée de référence la seud-éride t du hénmène. e critère de similitude temrelle relatif au muvement vibratire sera dnc : Γ / t (.9a) t usage a retenu, lutôt ue le nmbre Γ t, sn inverse (ui reste néanmins un critère de similitude, cf..4.1) aelé nmbre de Struhal S : t S (.9b)!!! Ceci dit, dans la suite de ce chaitre nus cnsidérerns uniuement des régimes ermanents, indéendants du tems. En effet, dans la luart des régimes variables, la caractérisatin des grandeurs de référence se de sérieux rblèmes et limite l intérêt de l adimensinnement es critères de similitude relatifs aux surces de uantité de muvement Pur des raisns ratiues ue l n cnstatera lus lin, nus allns examiner d abrd l alicatin de la similitude aux transferts de uantité de muvement GRANDEURS E REAIONS DE BASE Cmme nus l avns déjà récisé en (.3.1), le fait ue la grandeur cnsidérée sit vectrielle ne change rien à la définitin (.5) des nmbres Γ, et les grandeurs de référence utilisées snt tujurs des scalaires. Dans le cas résent, n a dnc : C ρ ; C ρ ρ C ρ ρ (.1) Ntre éuatin de déart sera la relatin de bilan lcal (1.3) (en régime ermanent) : div P ρ F div dans lauelle nus adterns ur la frme (1.16b) I τ τ désignant le tenseur des cntraintes de viscsité. e bilan devient ainsi : div P ρ F div I divτ u lus simlement, d arès 1.A. : div P ρ F grad divτ (.11)

13 CRIÈRES REAIFS AUX FORCES DE OUME Dans beaucu d alicatins, les surces vlumiues de uantité de muvement (ui snt les frces de vlume aliuées au fluide) snt négligeables devant les autres surces. rsu elles ne le snt as, tris situatins snt rincialement à envisager. es frces de esanteur snt réndérantes devant les frces de ressin (éculements à surface libre, vir Ch. 8) Alrs, I ρ F ρ g et l n devra rendre cmme grandeur de référence un terme du même rdre, à savir : I ρ g. e critère de similitude relatif aux frces de esanteur est ici (cf..5) : I ρ g Γ g ρ. ρ ( ) g Γ g (.1a) ( ) inverse de Γ g est cnnu sus le nm de nmbre de Frude Fr : Fr 1 Γ g ( ) g (.1b) es frces de esanteur snt du même rdre de grandeur ue les frces de ressin (éculements en charge, vir Ch. 6) Cmme n a dans un éculement ischre I ρ g grad ( ρgz ), ù ρgz est hmgène à une ressin, n vit u il est également ssible de rendre ur valeur de référence I un gradient de ressin caractéristiue de l éculement. a ressin statiue étant liée à la vitesse, n cnvient rdinairement de chisir : ρ ( ) (.13a) c est-à-dire : fis la ressin dynamiue crresndant à la vitesse de référence. Quant à la référence I (ui dit être une grandeur scalaire, cf ), ce sera tut naturellement le utient de la ressin de référence ar la lngueur de référence : I ( grad ) (.13b) d ù, en aliuant la définitin (.5) : I ρ ( ) Γ ρ. ρ ( ) c est-à-dire : Γ 1 (.13c)

14 Il n y a dnc lus ici de cnditin de similitude vis-à-vis des frces de esanteur : cette similitude se truve autmatiuement assurée avec un rart d échelle égal à 1. On aura nté u ici, le terme grad a été traité cmme une surce vlumiue, ce ui est arfaitement licite vu le caractère bivalent de la ressin, signalé au aragrahe es frces d Archimède (u frces de flttabilité) snt du même rdre de grandeur ue les frces de ressin (cnvectin mixte) Sus l influence du gradient de temérature, le fluide subit des variatins de masse vlumiue à artir d une valeur de référence ρ (PC, Ch. 5 et 6). a frce ascensinnelle exercée sur une articule fluide s écrit : ρ ρ F g, et F ρ I ρ (.14) En intrduisant la «dilatabilité» du fluide : 1 β (.15a) ρ et en admettant ue ρ est une fnctin linéaire de, n eut faire aaraître les temératures si l n écrit : 1 ρ ρ ρ ρ β, sit : β ( ) (.15b) ρ ρ De ce fait : I ρ β ( ) g ρ β g (.16a) On rend alrs ur valeur de référence : I ρ β g (.16b) ù est un écart caractéristiue de temérature (en général ari - ) On dit dnc cmter dans le cas résent avec un nuveau critère de similitude : I g β Γ β sit avec (.16) : Γ β (.17a) ρ ( ) ( ) Par chance, le nmbre sans dimensin emlyé dans la ratiue cïncide avec Γ β et n est autre ue le nmbre de Richardsn Ri (arfis aelé aussi nmbre d Archimède) : Ri g β Γ β (.17b) ( ) CRIÈRES REAIFS AUX FORCES DE SURFACE es frces surfaciues se subdivisent en frces nrmales (ressin) et en frces tangentielles. D arès (1.16b), (1.5) et (1.3), n a ici :

15 (terme S S I S1 S τ (.18) Il y aura dnc a riri deux critères de similitude crresndant resectivement à S1 I ) et S (terme τ ). Frces de ressin 1. En tute rigueur, la valeur de référence S1 dit être une ressin statiue u mtrice (u une différence de ressin). Seln (.5), (.1) et (.13b), le critère Γ stat asscié est dnné ar : S1 Γ stat (.19) C ρ. Il rend alrs le nm de nmbre d Euler Eu (u très suvent de «cefficient de ressin» C /) : Eu Γ stat (.a) ρ ( ). Mais dans les éculements ischres u en cnvectin frcée, n réfère généralement, cmme il a déjà été dit au aragrahe.4.3.., chisir ur une ressin dynamiue en relatin avec la vitesse de référence, à savir : ρ ( (.b) S 1 ) Cette cnventin dnne satisfactin dans les cas cités, mais elle n est ceendant as la lus lgiue, et n verra u elle eut cnduire à des erreurs d interrétatin en cnvectin mixte (.5..). Alrs, seln (.5) et (.1) et (.13b), le critère Γ asscié est cette fis : S1 Γ S1 C ρ c est-à-dire :. Γ 1 (.c) Il est nrmal d abutir aux mêmes cnclusins ue dans le aragrahe cité uisue la grandeur de référence est la même dans les deux cas. Frces de viscsité Cncernant les grandeurs de référence à rendre en cmte, une uestin nuvelle et imrtante va maintenant être sulevée avec la caractérisatin du critère de similitude relatif aux frces de viscsité. Pur les surces surfaciues engendrées ar un mécanisme de diffusin (dans le cas résent, la diffusin de uantité de muvement, cf ; lus lin, la diffusin de masse u de chaleur), n se truve devant une alternative, seln ue l attentin est rtée en ririté sur le cham de la fnctin incnnue (ici : le cham de vitesse) u sur ses gradients (ici : les cntraintes de viscsité).

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